Волкова Е.С. Сборник домашних контрольных работ
Подождите немного. Документ загружается.
40
ВАРИАНТ 1
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если 12
2
+= xy .
2. Найти производные следующих функций:
а)
3
2
3sin2 xxy += ; б)
32
32
xx
y
xx
−
−
=
; в)
()
2
1
2
1
x
x
yxx
−
+
=++ ; г)
)(lnlog xy
x
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
−
−
−
→
x
x
x
1
2
1
4
lim
2
1
; б)
2
2
0
3
)12(ln
lim
x
x
x
+
→
;
в)
()
)1sin(
1
1
2lim
+
−→
+
x
x
x ; г)
3
2
lim
x
x
ex
−
∞→
.
4. Найти производную
dx
dy
y
=
′
неявной функции, если
(
)
1sin
−
−=+ yxyx
.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
5
16,32 .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 728)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
26)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равно-
весия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
9
1990
)(
– функция
спроса,
190
ln10)(
p
pS
+= – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по
формуле
t
A
4
3= . Актив можно продать в любой момент и положить вы-
рученные деньги в банк под 15 % годовых. Найти момент времени, в кото-
рый выгоднее всего продать актив.
41
ВАРИАНТ 2
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
x
y cos
=
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
()
xy 2sinlog
5
= ; б)
()
2
3
2
18cos
ln
6
−+
+
= x
x
xx
y ;
в)
x
xy
sinln2
=
; г)
)(tglog xy
x
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
152
67
lim
2
3
3
−+
−−
→
x
x
xx
x
; б)
23
2
0
3
)2(sin
lim
x
x
x
x
−
→
;
в)
()
)1ln(
1
2
2
3lim
−
→
−
x
x
x ; г)
(
)
)2(arcsinlim
0
xctgx
x
⋅
→
.
4. Найти производную
dx
dy
y
=
′
неявной функции, если
(
)
5ln
22
=−−+ yxyx .
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала )003,1ln( .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D
−
=
12)(, функция предложения –
p
p
S
61)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
7
1176
)(
– функция
спроса,
140
ln8)(
p
pS
+= – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по
формуле
arctgt
e
A
5= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 14 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
42
ВАРИАНТ 3
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
x
y sin
=
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
()
xy
2
2
logln=
; б)
1
arctg
2
−
+
=
x
xx
y ; в)
(
)
x
xy
sin
ln= ; г)
2
1
log ( )
x
yxx
+
=
+ .
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
−
−
−
→
x
x
x
3
1
27
27
lim
3
3
; б)
32
2
0
4
)(tg
lim
x
x
x
x
+
→
;
в)
x
x
x
1
0
))3sin(1(lim +
→
; г)
x
x
exx
23
)(lim
−
∞→
⋅− .
4. Найти производную
dx
dy
y
=
′
неявной функции, если
(
)
22
ln
x
yxy xy+−−= +.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
03,9 .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 516)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
26)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равно-
весия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
4
820
)(
+
=
p
pD
– функция
спроса,
5
160
ln)( +=
p
pS – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
t
A
4
10= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 11 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
43
ВАРИАНТ 4
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
xy =
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
2
3
31
2
1
xx
x
y +−−= ; б)
+
=
x
x
y
2
sin1
sin
arsin ;
в)
()
2
tg
x
xy =
; г)
)(sinlog
2
xy
x
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
43
86
lim
24
2
2
−−
++
−→
x
x
xx
x
; б)
)arcsin(
1)3(arctg
lim
2
2
2
0
x
ex
x
x
−+
→
;
в)
()
1
1
1
1lim
−
→
+−
x
x
x
ee ; г)
(
)
x
x
xx
−
∞→
⋅−− 2)23(lim
2
.
4. Найти производную
dx
dy
y
=
′
неявной функции, если 22yxyx
−
+=.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
3
97,7.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 824)(
−
=
, функция предложения –
53)(
+=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
3
732
)(
+
=
p
pD
– функция
спроса,
4
180
ln)( +=
p
pS – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по
формуле
arctgt
e
A
4=
. Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 12 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
44
ВАРИАНТ 5
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если xxy
+=
2
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
x
xxy
sin
1
21
3
−−⋅= ; б)
+=
x
x
y tg
cos
1
ln ;
в)
()
x
xy ctg= ; г) )(sinlog
2
cos
xy
x
= .
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
−
−
−
→
2
4
16
8
4
1
lim
x
x
x
; б)
()
x
x
x
3arcsin
)7sin(
lim
0→
;
в)
2
23
0
lim
x
xee
xx
x
−−
→
; г)
()
)1sin(
1
2
1
1lim
−
→
−+
x
x
xx .
4. Найти производную
dx
dy
y
=
′
неявной функции, если
ln ln
x
xy y x y
+
+=+.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
4
96,15 .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 724)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
21)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
1
342
)(
+
=
p
pD
– функция
спроса,
2
170
ln)( +=
p
pS – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по
формуле
t
A
4
6= . Актив можно продать в любой момент и положить вы-
рученные деньги в банк под 18 % годовых. Найти момент времени, в кото-
рый выгоднее всего продать актив.
45
ВАРИАНТ 6
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если 53
2
−= xy .
2. Найти производные следующих функций:
а)
1
1
2
+
−⋅
=
x
xx
y ; б)
2
cos1
sin
+
=
x
x
y ;
в)
()
1
2
log
+
=
x
xy
; г)
)1(log
2
1
−−=
+
xxy
x
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
96
125
lim
2
3
3
++
−−
−→
x
x
xx
x
; б)
+
∞→
2
2
2
1ln
lim
x
x
e
x
;
в)
()
)4sin(
1
4
tglim
x
x
x
π
→
; г)
(
)
(
)
1lim
22
−+⋅
−
∞→
xx
x
eex .
4. Найти производную
dx
dy
y
=
′
неявной функции, если
2
tg 3 5xxyxy
+
=+ −.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала )99,0ln( .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 218)(
−
=
, функция предложения –
58)(
+=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
5
690
)(
+
=
p
pD
– функция
спроса,
6
110
ln)( +=
p
pS – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по
формуле
arctg
7
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 12 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
46
ВАРИАНТ 7
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
2
2 xxy −= .
2. Найти производные следующих функций:
а)
2
3
tg xxxy +⋅=
; б)
3
arcsin x
ey = ;
в)
()
2
2
+
=
x
xy ; г) 5log += xy
x
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
−
+
−
→
3
1
1
9
1
3
lim
x
x
x
; б)
23
2
0
5
sin
lim
x
x
x
x
−
→
;
в)
()
)
2
1ln(
1
2
0
31lim
x
x
x
+
→
+
; г)
(
)
22
0
131lim
−
→
⋅−+ xx
x
.
4. Найти производную
dx
dy
y
=
′
неявной функции, если
(
)
2ln 7xy x y
+
+=.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
4
73,80 .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 923)(
−
=
, функция предложения –
105)(
+=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равно-
весия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
3
732
)(
+
=
p
pD
– функция
спроса,
4
180
ln)( +=
p
pS – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по
формуле
t
A
4
5=
. Актив можно продать в любой момент и положить вы-
рученные деньги в банк под 16 % годовых. Найти момент времени, в кото-
рый выгоднее всего продать актив.
47
ВАРИАНТ 8
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
1
2
y
x
=
+
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
(
)
2
sin 1 lnyx x=−+; б)
2
31
arcsin 2
cos(3 )
x
x
xx
ye
xx
−+
+
=+
−
;
в)
(
)
tg
2
1
x
yx=+ ; г)
sin
log ( 5)
x
yx
=
+ .
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
1
76
lim
4
3
1
−
−+
→
x
xx
x
; б) xtx
x
g)5ln(lim
00
⋅
+→
00
lim ln(5 ) tg
x
x
x
→+
⋅ ;
в)
−
→
xx
x
1
sin
1
lim
0
; г)
x
x
x
x
5
2
12
lim
+
∞→
.
4. Найти производную
dx
dy
y
=
′
неявной функции, если sin( )
x
x
ye y=+.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
8, 76 .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 625)(
−
=
, функция предложения –
59)(
+=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
9
1690
)(
+
=
p
pD
– функция
спроса,
10
160
ln)( +=
p
pS – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по
формуле
t
A
4
8= . Актив можно продать в любой момент и положить вы-
рученные деньги в банк под 15 % годовых. Найти момент времени, в кото-
рый выгоднее всего продать актив.
48
ВАРИАНТ 9
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
2
(1)yx
=
− .
2. Найти производные следующих функций:
а)
2
2
5sin
x
yx
+
=−; б)
23
ln( 3) (sin 6)yxx x=⋅ −− +;
в)
(
)
arccos
23
x
x
y =+ ; г)
51
log (ctg )
x
yx
+
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
2
3
2
6
lim
8
x
xx
x
→−
−−
+
; б)
()
2
1/
0
lim cos
x
x
x
→
;
в)
()
23
lim
x
x
xe
−
→+∞
⋅ ; г)
0
lim
3sin
x
x
x
ee
x
x
−
→
−
+
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если
3
sin
y
ye x=⋅ .
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
cos 0.01
3
π
+
.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 921)(
−
=
, функция предложения –
58)( +=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
7
1016
)(
+
=
p
pD
– функция
спроса,
120
ln8)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по
формуле
arctg
5
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 19 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
49
ВАРИАНТ 10
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если ln( 5)yx
=
+ .
2. Найти производные следующих функций:
а)
3
cos( 7 ln )
2
x
x
y
+
= ; б)
2
2
ln(arcsin ) 1 cos
x
ye x x=⋅ ++ ;
в)
(
)
arctg
ln
x
yx= ; г)
2
tg
log (3 7)
x
yx
=
− .
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
0
lim
4
x
x
x
ee
x
−
→
−
; б)
(
)
12
lim ln 5 2
x
xxx
−
→+∞
⋅
++;
в)
1
11
lim
1ln
x
x
x
→
−
−
; г)
()
1
0
lim 1 tg
x
x
x
→
+ .
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если
(
)
2
cos 2yxy=+.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала arcsin 0,08 .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 912)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
43)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
3
492
)(
+
=
p
pD
– функция
спроса,
120
ln4)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по
формуле
t
A
4
11= . Актив можно продать в любой момент и положить вы-
рученные деньги в банк под 16 % годовых. Найти момент времени, в кото-
рый выгоднее всего продать актив.