Волкова Е.С. Сборник домашних контрольных работ
Подождите немного. Документ загружается.
50
ВАРИАНТ 11
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если sin(2 )yx
=
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
(
)
257
arctg 2
x
yx
−
=+; б)
cos 2
51ln(arcsin)
x
yx x=⋅+− ;
в)
()
1/
tg
x
yx= ; г)
3
log (ln )
x
yx
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
0
lim
ctg( / 2)
x
xx
π
π
→
⋅
; б)
sin
00
lim
x
x
x
→+
;
в)
2
22
lim
2
x
x
x
→
+−
−
; г)
(
)
lim ln
x
x
x
xe
−
→+∞
⋅⋅ .
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если sin
xy
eyx
+
= .
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
3
124,98 .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 822)(
−
=
, функция предложения –
58)( +=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
3
572
)(
– функция
спроса,
140
ln4)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
arctg
8
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 17 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
51
ВАРИАНТ 12
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
1
y
x
=
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
3
2
1
cos 3 logyx
x
=⋅−
; б)
2
2
sin
cos tg
x
e
yx
xx
=+
+
;
в)
()
ctg
sin
x
yx= ; г)
5
ln
log ( 1)
x
yx
=
− .
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
1
1ln
lim
x
x
x
xx
ee
→
−+
−
; б)
sin
0
1
lim
3
x
x
e
x
→
−
;
в)
tg
00
1
lim
x
x
x
→+
; г)
34
1
34
lim
11
x
x
x
→
−
−−
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если
sin
arctg 0
x
eyy++=.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
25,12 .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 622)(
−
=
, функция предложения –
78)( +=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
7
1576
)(
– функция
спроса,
190
ln8)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
t
A
4
3= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 18 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
52
ВАРИАНТ 13
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
1
3
x
y
−
= .
2. Найти производные следующих функций:
а)
(
)
3
ctg 4 3 sin
x
yx=⋅−; б)
2
cos ln 5 1 arctgyxx x=⋅ ++
;
в)
(
)
5sin
2
3
x
yx=+ ; г)
cos
log (ln )
x
yx
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
2
2
0
11
lim
5
x
x
x
→
+−
; б)
0
2
lim
sin
xx
x
ee x
x
x
−
→
−
−
−
;
в)
()
2
tg
/2
lim sin
x
x
x
π
→
; г)
()
1
lim 1 tg
2
x
x
x
π
→
−⋅
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если
2
arctg( ) 0xy xy+=.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
− 017,0
4
π
ctg .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 213)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
44)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равно-
весия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
3
772
)(
– функция
спроса,
190
ln4)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
arctg
3
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 11 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
53
ВАРИАНТ 14
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если cos( 1)yx
=
+ .
2. Найти производные следующих функций:
а)
(
)
2
ln sin 3 5
x
yx=+−
; б)
cos
12
37
4
8
x
x
y
xx
+
=−
+
;
в)
()
2
2
1ln
x
yx
+
=+ ; г)
2
3
log (sin )
x
yx
−
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
2
0
1
lim
1
x
x
x
ex
e
−
→
−+
−
; б)
3
233
lim
3
x
x
x
→
+
−
−
;
в)
(
)
lim
x
x
xe
−
→+∞
⋅ ; г)
()
1
2
2
lim 11 5
x
x
x
−
→
− .
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если
ln 0
x
xy
y
+=
.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
5
32,11 .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D
−
=
26)(, функция предложения –
105)( +=
p
p
S
. Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равно-
весия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
4
770
)(
– функция
спроса,
150
ln5)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
arctg
2
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 12 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
54
ВАРИАНТ 15
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
2
2xy = .
2. Найти производные следующих функций:
а)
(
)
2
arctg
x
ye= ; б)
3
log (cos )
x
yx
=
;
в)
(
)
3ln cos
x
yx= ; г)
4
5
4
ctg
1
x
x
e
yx
e
=⋅
+
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
x
x
xxx
x
−
−+
∞→
3
23
523
lim ; б)
00
lim ln tg(3 )
x
x
x
→+
⋅
;
в)
()
()
2/sin1
1
lim
2
1
x
x
x
π
−
−
→
; г)
1
tg( 1)
1
lim ( 2)
x
x
x
+
→−
+ .
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если y
x
y += 2sin .
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала 03,1ln .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D
−
=
19)(, функция предложения –
p
p
S
22)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равно-
весия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
2
396
)(
– функция
спроса,
3
130
ln)( +=
p
pS – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
arctg
9
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 13 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
55
ВАРИАНТ 16
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
x
y
1
= .
2. Найти производные следующих функций:
а)
(
)
xxy
2
cos1ln +⋅= ; б)
(
)
2
log 3
x
x
ye
+
=
+
;
в)
()
x
xy
2
ln
2
1+= ; г)
2
3
tg arcsin
x
ye x x=⋅ ⋅ .
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
2
32
2
710
lim
512
x
xx
xx
→
−+
−+
; б) xx
x
lnlim
2
00+→
;
в)
x
x
x
cos1
)31ln(
lim
2
0
−
+
→
; г)
()
2
2ln
0
coslim
x
x
x
→
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если 0sin
2
=+⋅ yxye
x
.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
06,36
.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 616)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
41)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
5
690
)(
– функция
спроса,
110
ln6)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
t
A
4
8=
. Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 16 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
56
ВАРИАНТ 17
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если xxy −=
2
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
25
3tg3yx x=⋅ ; б)
(
)
3
tg 1/
arctg
x
x
e
y
x
=
;
в)
()
2
31
x
x
y += ; г)
2
sin
log (3 )
x
yx= .
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
1
24
lim
2
1
+
−++
−→
x
xx
x
; б)
0
2arctg
lim
arcsin 3
x
x
x
→
;
в)
3
2
0
13
lim
x
x
ex
x
→
−−
; г)
()
1
00
lim cos sin
x
x
x
x
→+
+ .
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если 0cos =+ yexe
xy
.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
+ 001,0
2
cos
π
.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 422)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
57)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
2
576
)(
– функция
спроса,
190
ln3)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
arctg
7
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 13 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
57
ВАРИАНТ 18
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
1
3
y
x
=
−
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
3
arcsin 4
x
yex=+; б)
2
2
log (cos )
x
yx
+
=
;
в)
53
x
x
y =+; г)
(
)
5
3
ln sinyx x=⋅ .
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
2
32
5
310
lim
425
x
xx
xx
→
−−
−−
; б)
x
ee
xx
x
sin
lim
0
−
→
−
;
в)
2
00
lim ln
x
x
x
→+
⋅
; г)
()
x
x
x
ln
1
1
2lim −
→
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если 0
22
=+− yxe
xy
.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
01,0
e
.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D
−
=
12)(, функция предложения –
p
p
S
41)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
5
1170
)(
– функция
спроса,
190
ln6)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
t
A
4
3= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 18 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
58
ВАРИАНТ 19
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если
(
)
2
1+= xy
.
2. Найти производные следующих функций:
а)
(
)
2
)21(arccos xy −= ; б)
10sin
)102( +⋅= xey
x
;
в)
x
xy
ln2
)cos1( += ; г)
(
)
ln
log sin(2 )
x
yx
=
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
65
23
lim
2
2
++
++
∞→
x
x
xx
x
; б)
2
0
arctg(2 )
lim
cos 1
x
x
x
→
−
;
в)
2
/
lim
coscos
2/
π
π
−
−
−
→
x
ee
xx
x
; г)
(
)
x
x
x
ln
00
1lim +
+→
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если
2
arcsin 0xy y+=.
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
3
03,27 .
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 419)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
33)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равнове-
сия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
3
732
)(
– функция
спроса,
180
ln4)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
arctg
7
t
A
e= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 15 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.
59
ВАРИАНТ 20
1. Пользуясь определением производной, найти производную функции в
каждой точке ее области существования, если ln( 1)yx
=
− .
2. Найти производные следующих функций:
а)
32
arctg3yx x=⋅ ; б)
cos
2
3tg
cos
x
x
y
x
+
= ;
в)
x
xy
sin2
)1( += ; г)
2
1
log ( 2)
x
x
ye
−
=
+
.
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:
а)
6
372
lim
2
2
−−
+−
∞→
x
x
xx
x
; б)
()
2
3
0
31ln
lim
x
x
x
+
→
;
в)
11
)sin(sin
lim
0
−+
→
x
x
x
; г)
−
→
2
1
cos
1
lim
x
x
x
π
.
4. Найти производную
dx
dy
y =
′
неявной функции, если 1ln
23
=++ xxyyx .
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала )001,0( +
π
t
g
.
6. Функция спроса имеет вид
p
p
D 329)(
−
=
, функция предложения –
p
p
S
62)( += . Вычислить эластичность спроса в точке рыночного равно-
весия.
7. Пусть
p
– цена в рублях некоторой продукции,
p
pD
+
=
1
362
)(
– функция
спроса,
180
ln2)(
p
pS += – функция предложения. Оценить с помощью
дифференциала изменение равновесной цены при введении дополнитель-
ного налога в 1 руб. на единицу продукции.
8. Стоимость некоторого актива
A
увеличивается с течением времени
t
по формуле
t
A
4
4= . Актив можно продать в любой момент и положить
вырученные деньги в банк под 14 % годовых. Найти момент времени, в ко-
торый выгоднее всего продать актив.