Волкова Е.С. Сборник домашних контрольных работ
Подождите немного. Документ загружается.
20
ВАРИАНТ 14
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
15
lim 5
n
n
n
→∞
−
=
− .
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
32
3
725
lim
63 8
n
nn
nn
→∞
−+
−+
; б)
2
71
lim 7
23
n
n
n
n
→∞
−
−
+
;
в)
2
1
lim arctg( 5)
n
n
n
→∞
⋅+
; г)
()
lim(5 1) ln( 2) ln( 4)
n
nn n
→∞
+⋅ + − − .
3. Найти предел функции:
а)
2
2
2
12 11
lim
22
x
xx
xxx
→−
+−
+
++−
; б)
2
1
42
lim
1
x
xx
x
→−
+
+−
+
;
в)
0
87
lim
65
x
x
x
x
x→
−
−
; г)
(
)
ctg
0
lim 1 cos
x
x
xx
→
+⋅
.
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
2
4
|4|
x
y
x
x
+
=
+
⋅
.
5. Найти асимптоты графика функции, если:
2
237
1
xx
y
x
−
+
=
+
.
6
*
. Доказать, что уравнение
06183
23
=
−
+
−
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
21
ВАРИАНТ 15
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
1
3
310
lim −=
−
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
∞→
n
n
n
3cos
2
1
lim
; б)
(
)
nn
n
294lim
2
−+
∞→
;
в)
4
5645
lim
2
+
++
∞→
n
nn
n
; г)
2
24
2
3
lim 1
2
nn
n
n
−+
→∞
+
+
.
3. Найти предел функции:
а)
2
3
3
56
lim
415
x
xx
xx
→−
++
−+
; б)
2
0
cos1
lim
x
x
x
−
→
;
в)
1
arcsin 5( 1)
lim
sin
x
x
x
π
→−
+
; г)
x
x
x
x
2
0
1
31
lim
−
+
→
.
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
2
(15)
15
xx
y
x
x
−
=
−
.
5. Найти асимптоты графика функции
2
1
x
x
y
+
= .
6
*
. Доказать, что уравнение
025656317
23
=
−
+
+
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
22
ВАРИАНТ 16
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
2
1
12
lim =
+
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
∞→
n
n
n
8sin
1
lim
2
; б)
2
4
lim
2
nnn
n
+−
∞→
;
в)
24164
4
lim
2
2
++
+
∞→
nn
nn
n
; г)
(
)
lim(2 1) ln( 5) ln
n
nn n
→∞
+
+− .
3. Найти предел функции:
а)
4
0
1
lim
2arctg
x
x
e
x
→
−
; б)
()
2
2
1
0
lim 2
x
x
x
e
→
− ;
в)
0
1
lim 2 tg cos
x
x
x
→
−⋅
; г)
1
3
1
12
lim
−
→
−
x
x
x
x
.
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
2
2 ( 14)
14
xx
y
x
x
−⋅ −
=
−
.
5. Найти асимптоты графика функции
3 arcctgyx x
=
− .
6
*
. Доказать, что уравнение
05195537
23
=
−
+
+
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
23
ВАРИАНТ 17
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
4
2
83
lim −=
−
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
+
∞→
n
n
n
cos
)1(
1
lim
3
; б)
(
)
nnn
n
342lim
2
+−
∞→
;
в)
−
+
+
+
−
∞→
2
2
2
2
lim
22
n
n
n
n
n
; г)
41
2
2
27
lim
2
n
n
n
nn
−
→∞
+
+
.
3. Найти предел функции:
а)
1
33
lim
arcsin(3 3)
x
x
x
→
−
−
; б)
32
2
321
lim
16
x
xx
x
x
→∞
+
+
++
;
в)
+
→
)1ln(
2sin
lim
2
0
x
xx
x
; г)
(
)
lim(4 2) ln(2 6) ln(2 1)
x
xx x
→∞
+
+− +
.
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
3
2
(1)xx
y
x
x
+
=
+
.
5. Найти асимптоты графика функции
x
x
y
1
2
+
= .
6
*
. Доказать, что уравнение
05514311
23
=
−
+
+
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
24
ВАРИАНТ 18
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
3
5
3
15
lim =
−
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
∞→
n
n
n
cos
2
sinlim ; б)
(
)
nnn
n
593lim
2
+−
∞→
;
в)
−
+
+
+
−
∞→
3
3
3
3
lim
22
n
n
n
n
n
; г)
45 5
6
lim 1
51
n
n
n
⋅
+
→∞
−
+
.
3. Найти предел функции:
а)
2
3
1
67
lim
21
x
xx
xx
→
+−
−+
; б)
2
1
2
2
lim
−
→
x
x
x
;
в)
2
3
0
tg3 ln(1 2 )
lim
sin
x
x
x
x
→
⋅−
; г)
0
54
lim
arcsin
x
x
x
x
→
−
.
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
2
sin( 1)
32
x
y
xx
+
=
+
+
.
5. Найти асимптоты графика функции
arctg
2
3
x
yx
=
+ .
6
*
. Доказать, что уравнение
05615113
23
=
−
+
+
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
25
ВАРИАНТ 19
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
1
1
lim =
+
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
∞→
n
e
n
n
n
coslim
; б)
(
)
1164lim
2
+−
∞→
nn
n
;
в)
−
−
+
∞→
n
n
n
n
2
4
lim
2
; г)
42
6
(3 2) ( sin )
lim
(5)
n
nnn
n
→∞
−+
+
.
3. Найти предел функции:
а)
3
2
2
32
lim
56
x
xx
xx
→−
−+
++
; б)
x
xx
x
3
35
lim
0
−
→
;
в)
)1(ln
5sin
lim
2
2
0
x
x
x
+
→
; г)
(
)
lim( 1) ln( 8) ln( 10)
x
xx x
→∞
+
−− − .
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
()
1
2
2
−⋅
−
=
xx
xx
y .
5. Найти асимптоты графика функции
3
2
34
9
x
y
x
+
=
−
.
6
*
. Доказать, что уравнение
03052397
23
=
−
+
+
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
26
ВАРИАНТ 20
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите,
что
2
3
21
13
lim =
+
−
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
+
∞→
n
n
n
n
2
2
sin
2
1
lim
; б)
1
84
lim
2
+
−+
∞→
n
nn
n
;
в)
(37 7 )
lim
24 2
n
nn
n
→∞
+
−− −
K
; г)
21
2
2
15
lim
1
n
n
n
nn
+
→∞
+
++
.
3. Найти предел функции:
а)
(
)
43
lim 3 5 10
x
xxx
→∞
−+−; б)
153
256
lim
+⋅
−⋅
−∞→
x
x
x
;
в)
2
cos3
lim
arcsin 5( 2)
x
x
x
π
π
→
−
; г)
(
)
lim 1 sin 3
ctgx
x
x
→∞
+ .
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
2
|3|sin(4)
712
xx
y
xx
+
⋅+
=
++
.
5. Найти асимптоты графика функции
2 5arctgyx x
=
− .
6
*
. Доказать, что уравнение
025454713
23
=
−
+
+
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
27
ВАРИАНТ 21
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
5
2
25
21
lim =
−
+
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
+
+
∞→
1cos
1
1
lim
11
n
n
n
; б)
(
)
nnn
n
−+
∞→
3lim
2
;
в)
−
−
+
∞→
n
n
n
n
2
2
92
lim
2
; г)
(
)
lim(4 3) ln(2 6) ln(2 1)
n
nn n
→∞
−
+− +
.
3. Найти предел функции:
а)
43
2
4
316
lim
712
x
xx
xx
→−
+−
++
; б)
(
)
2
2
1
arcsin2lim
x
x
x
+
∞→
;
в)
sin
lim
x
x
x
π
π
→
−
; г)
()
2
2
23
0
lim 1 2
x
x
xx
→
++ .
4. Найти и исследовать точки разрыва функции
2
3
23
x
y
xx
+
=
+
−
.
5. Найти асимптоты графика функции
4
5
65
x
x
y
−
=
.
6
*
. Доказать, что уравнение
050806111
23
=
−
+
+
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
28
ВАРИАНТ 22
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
5,3
2
107
lim =
−
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
−
+
+
∞→
n
n
n
n
3
2
lim
2
; б)
4
323
lim
22
nnnn
n
+−+
∞→
;
в)
n
n
nn
nn
2
2
2
65
106
lim
++
++
∞→
; г)
+
+
+
+
−⋅+
∞→
n
n
n
nn
n
321
315
313
314)115sin(
lim
15
.
3. Найти предел функции:
а)
xxx
xx
x
−−+
+−
→
2
23
lim
2
2
2
; б)
)1(ln
5sin
lim
2
2
0
x
x
x
+
→
;
в)
x
x
x
sin
1
0
)31(lim +
→
; г)
xx
xx
x
2sinsin
52
lim
0
−
−
→
.
4. Найти точки разрыва функции и определить характер этих точек
)1(
2
2
−⋅
−
=
xx
xx
y
.
5. Найти асимптоты графика функции
2
1
2
3
+
+
=
x
x
y
.
6
*
. Доказать, что уравнение
012206
23
=
+
−
−
x
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).
29
ВАРИАНТ 23
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
2
52
41
lim −=
+
−
∞→
n
n
n
.
2. Найти предел числовой последовательности:
а)
15
2
lim
10
+
+
∞→
n
n
n
n
; б)
22
32
lim
++
+
∞→
n
n
n
;
в)
1
2
2
2
421
423
lim
+
∞→
+−
+−
n
n
nn
nn
; г)
nn
nn
n
sin2
sin
lim
+
+
∞→
.
3. Найти предел функции:
а)
2
2
30
(3)( 23)
lim
6
x
xxx
xx
→+
−−−
−−
; б)
6
32
0
5
3sin
lim
x
x
x→
;
в)
x
x
x
x
2
1
0
2
2
lim
+
−
→
; г)
7
7lnln
lim
7
−
−
→
x
x
x
.
4. Найти точки разрыва функции и определить характер этих точек
2
sin
2
x
y
x
x
=
−
.
5. Найти асимптоты графика функции
2
3
1 x
x
y
−
=
.
6
*
. Доказать, что уравнение
0812
3
=
−
+
x
x
имеет хотя бы один действительный корень, и найти его приближенное
значение с точностью до сотых (решение обосновать).