Волкова Е.С. Сборник домашних контрольных работ
Подождите немного. Документ загружается.
130
ВАРИАНТ 26
Вычислить интегралы:
1.
cos
sin
x
exdx
∫
.
2.
∫
−−
2
23 xx
dx
.
3.
ln( 1)
x
dx+
∫
.
4.
∫
−+
22
)1)(2( xx
dx
.
5.
4
cos
x
dx
∫
.
6.
2
2
0
cos sin
x
xdx
π
∫
.
7. Исследовать на сходимость
∫
+∞
−
0
dxe
x
.
8. Исследовать на сходимость
∫
−
3
0
2
)3(x
dx
.
9. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций: xxy
−=
2
и
x
y 3= .
10. Объем )(
t
V
ежегодного производства продукции, производимой на не-
котором предприятии, растет с относительным темпом
%34,0
=
k
, т.е. при
малом промежутке времени
∆t выполняется соотношение tk
V
V
∆=
∆
. Опре-
делить суммарный объем продукции, произведенной за 11 лет, если объем
продукции, производимый в начале этого периода, составлял величину
14)0(
=
V
.
131
Решение варианта 26
1
. Cexdexdxe
xxx
+−=−=
∫
∫
coscoscos
)(cossin .
Ответ.
Ce
x
+−
cos
.
2.
∫∫∫∫
=
+−
+
=
+−
=
+++−
=
−−
2222
)1(4
)1(
)1(41)12(323 x
xd
x
dx
xx
dx
xx
dx
C
x
+
+
=
2
1
arcsin .
Ответ.
C
x
+
+
2
1
arcsin
.
3. =
+
−+=
=→=
+
=→+=
=+
∫∫
1
)1ln(
1
)1ln(
)1ln(
x
xdx
xx
xvdxdv
x
dx
duxu
dxx
Cxxxxdx
x
xx +++−+=
+
−−+=
∫
)1ln()1ln(
1
1
1)1ln( .
Ответ.
C
x
x
x
x
+
++−+ )1ln()1ln( .
4.
∫
−+
22
)1)(2( xx
dx
.
Представим дробь
22
)1)(2(
1
−+ xx
в виде суммы простейших дробей
методом неопределенных коэффициентов:
=
−
+
−
+
+
+
=
−+
1
)1(2)1)(2(
1
2222
x
D
x
C
x
BAx
xx
22
23
)1)(2(
)22()22()2()(
−+
−+++−+−++−++
=
xx
DCBxDBAxDCBAxDA
.
Из равенства дробей находим:
0)122()22()2()(
23
=−−+++−+−++−++ DCBxDBAxDCBAxDA ,
132
следовательно,
=−−+
=+−
=−++−
=+
0122
022
02
0
DCB
DBA
DCBA
DA
. Решая систему, находим
−=
=
−=
=
92
93
91
92
D
C
B
A
.
Итак,
−
−
−
+
+
−
=
−+
1
2
)1(
3
2
12
9
1
)1)(2(
1
2222
x
xx
x
xx
.
=
−
−
−
+
+
−
=
−+
∫∫
dx
x
xx
x
xx
dx
1
2
)1(
3
2
12
9
1
)1)(2(
2222
=
−
−
−
+
+
−
+
+
=
∫∫∫∫
1
2
)1(
3
22
)2(
9
1
222
2
x
dx
x
dx
x
dx
x
xd
Cx
x
x
x +
−−
−
−−+= 1ln2
1
3
2
arctg
2
1
)2ln(
9
1
2
.
Ответ.
Cx
x
x
x +
−−
−
−−+ 1ln2
1
3
2
arctg
2
1
)2ln(
9
1
2
.
5.
∫
xdx
4
cos .
Понизим степень косинуса:
()
()
()
=+++=++=
+= xxxxxx 4cos1
8
1
2cos
2
1
4
1
2cos2cos21
4
1
2cos1
2
1
cos
2
2
4
xx 4cos
8
1
2cos
2
1
8
3
++= .
Cxxxdxxxxdx +++=
++=
∫∫
4sin
32
1
2sin
4
1
8
3
4cos
8
1
2cos
2
1
8
3
cos
4
.
Ответ.
Cxxx +++ 4sin
32
1
2sin
4
1
8
3
.
6.
3
1
3
1
2
0
0
cos
sin
sincos
1
0
1
0
3
2
2
0
2
===
=
=
=
∫∫
t
dtt
t
x
xdxdt
xt
xdxx
π
π
.
Ответ.
3
1
.
133
7. =
−==
=
−
+∞→
−
+∞→
+∞
−
∫∫
b
x
b
b
x
b
x
edxedxe
0
00
limlim
рода I интеграл
ныйнесобствен
()
1
1
1lim1lim =
−=+−=
+∞→
−
+∞→
b
b
b
b
e
e . Следовательно, интеграл сходится и ра-
вен 1.
Ответ. Сходится.
8.
=
−
∫
3
0
2
)3(x
dx
()()
=
=
+∞∪∞=
−
=
тточкособая - 3
рода II интеграл ныйнесобствен
;3;3-)( ,
)3(
1
)(
2
x
fD
x
xf
∫
−
+→
=
−
ε
ε
3
0
2
00
)3(
lim
x
dx
+∞=
−=
−
−=
+→
−
+→
3
11
lim
3
1
lim
00
3
0
00
ε
ε
ε
ε
x
. Следовательно, интеграл расхо-
дится.
Ответ. Интеграл расходится.
9.
1) Построим графики функций xxy −=
2
и
x
y 3
=
. Найдем точки
пересечения графиков, решив систему уравнений
=
−=
xy
xxy
3
2
. Точки )0;0(
и )12;4( – точки пересечения.
134
2) Имеем:
.
3
2
10
3
32
0
3
64
32
3
2)4()(3
4
0
3
2
4
0
2
4
0
4
0
2
==−−=
−=−=−−=
∫∫∫
x
xdxxxdxxxxdxS
Ответ.
3
2
10=S .
10. Относительный темп роста равен
()
'ln
'
V
V
V
k == . Следовательно,
()
ktkxkdxdxV
t
tt
===
∫∫
0
00
'ln . С другой стороны,
()
14
)(
ln14ln)(ln)0(ln)(ln)(ln'ln
0
0
tV
tVVtVxVdxV
t
t
=−=−==
∫
. Следова-
тельно, kt
tV
=
14
)(
ln ⇒
tkt
eetV
0034,0
1414)( == . Тогда суммарный объем
оборудования, произведенный к моменту времени 11
=
t
, определяется ин-
тегрированием: 92,156)1(
17
70000
14)(
0374,0
11
0
0034,0
11
0
≈−==
∫∫
edtedttV
t
.
Ответ. 156,92.
135
Рекомендуемая литература
1. Математика в экономике: Учебник:В 2-х ч. Ч. 2./ А.С. Солодовников,
В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. – 2-е изд., перераб. и доп.
– М.: Финансы и статистика, 2007.
2. Шипачев В.С. Курс высшей математики. Учебник / Под ред. А.Н.
Тихонова.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Проспект, 2005.
3. Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х ч. Ч.2.
Математический анализ: учеб. пособие / под ред. В.А. Бабайцева и
В.Б. Гисина. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2010.
4. Орел О.Е. Математический анализ: Ч. 1. Введение в анализ: Учебное
пособие для подготовки бакалавров. / Под ред. В.Б. Гисина и.
Е.Н. Орла. М.: Финакадемия, 2009.
5. Липагина Л.В. Математический анализ. Ч. 2. Дифференциальное ис-
числение функции одной переменной: Учебное пособие для подго-
товки бакалавров. / Под ред. В.Б. Гисина и Е.Н. Орла. М.: Финакаде-
мия, 2009.
6. Борцова Т.В., Денежкина И.Е., Попов В.А. Математический анализ.
Ч. 3. Интегральное исчисление: Учебное пособие для подготовки ба-
калавров / Под ред. В.Б. Гисина и Е.Н. Орла. М.: Финакадемия, 2009.