Волкова Е.С. Сборник домашних контрольных работ
Подождите немного. Документ загружается.
90
ВАРИАНТ 21
1. Найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции
)176()1(
2
3
2
+−⋅+−= xxxy
.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
)4012ln(
2
++= xxy .
3. Исследуйте функцию
11
33
2
−
+
=
x
xx
y и постройте ее график.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
x
x
y
ln
= на отрезке
[]
1;1 +− ee .
5. Построить графики функции спроса
2
30
5)(
+
+=
p
pD и функции пред-
ложения
8
ln8)(
p
pS += и найти графически точку рыночного равновесия.
6. Зависимость объема произведенной продукции
V
от капитальных затрат
k
задается функцией
k
k
V
232
2
6
+
⋅= ,
(
)
0≥k . Найти интервал изменения
k
,
на котором выполняется закон убывающей эффективности.
7
*
. Оценить абсолютную погрешность в приближенном равенстве
242
cos1
42
xx
x −≈−
, если известно, что
]005,0;0[
∈
x
.
91
ВАРИАНТ 22
1. Найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции
)27224()4(
2
3
2
+−⋅+−= xxxy
.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
)258ln(
2
++= xxy .
3. Исследуйте функцию
7
21
2
−
+
=
x
xx
y и постройте ее график.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2
2
x
ey
−
= на отрезке
]1;1[− .
5. Построить графики функции спроса
1
6
5)(
+
+=
p
pD и функции пред-
ложения
2
ln7)(
p
pS +=
и найти графически точку рыночного равновесия.
6. Зависимость объема произведенной продукции
V
от капитальных затрат
k
задается функцией 66
3
+−= kV ,
(
)
0≥k . Найти интервал изменения
k
,
на котором выполняется закон убывающей эффективности.
7
*
. Оценить абсолютную погрешность в приближенном равенстве
x
x
≈+ )1ln( , если известно, что ]025,0;0[
∈
x
.
92
ВАРИАНТ 23
1. Найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции
)61236()6(
2
3
2
+−⋅+= xxxy
.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
)6514ln(
2
++= xxy .
3. Исследуйте функцию
6
18
2
−
+
=
x
xx
y и постройте ее график.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2
x
xey
−
= на отрезке
]3;5,1[.
5. Построить графики функции спроса
1
6
4)(
+
+=
p
pD и функции пред-
ложения
2
ln6)(
p
pS +=
и найти графически точку рыночного равновесия.
6. Зависимость объема произведенной продукции
V
от капитальных затрат
k
задается функцией
k
k
V
381
3
8
+
⋅= ,
(
)
0≥k . Найти интервал изменения
k
,
на котором выполняется закон убывающей эффективности.
7
*
. Оценить абсолютную погрешность в приближенном равенстве
2
1
2
x
xe
x
++≈
, если известно, что ]0015,0;0[
∈
x
.
93
ВАРИАНТ 24
1. Найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции
)6812()2(
2
3
2
+−⋅+= xxxy
.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
)6816ln(
2
++= xxy .
3. Исследуйте функцию
2
6
2
−
+
=
x
xx
y и постройте ее график.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2
1ln xy += на
отрезке ]1;1[− .
5. Построить графики функции спроса
1
14
2)(
+
+=
p
pD и функции пред-
ложения
6
ln4)(
p
pS += и найти графически точку рыночного равновесия.
6. Зависимость объема произведенной продукции
V
от капитальных затрат
k
задается функцией 76
3
+−= kV ,
(
)
0≥k . Найти интервал изменения
k
,
на котором выполняется закон убывающей эффективности.
7
*
. Оценить абсолютную погрешность в приближенном равенстве
82
11
2
xx
x −+≈+ , если известно, что ]004,0;0[
∈
x
.
94
ВАРИАНТ 25
1. Найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции
)10()3(
2
5
2
+−⋅+= xxxy
.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
)5314ln(
2
++= xxy .
3. Исследуйте функцию
7
21
2
−
+
=
x
xx
y и постройте ее график.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
x
x
y
2
8
+= на отрез-
ке ]6;1[.
5. Построить графики функции спроса
1
18
4)(
+
+=
p
pD и функции пред-
ложения
8
ln6)(
p
pS += и найти графически точку рыночного равновесия.
6. Зависимость объема произведенной продукции
V
от капитальных затрат
k
задается функцией
k
k
V
216
2
9
+
⋅= ,
(
)
0≥k . Найти интервал изменения
k
,
на котором выполняется закон убывающей эффективности.
7
*
. Оценить абсолютную погрешность в приближенном равенстве
8484sin +≈+
x
x
, если известно, что ]3,0;0[
∈
x
.
95
ВАРИАНТ 26
1. Найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции
3
2
)1(1 −−= xy
.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
)52ln(
2
++= xxy .
3. Исследуйте функцию
4
2
−
=
x
x
y и постройте ее график.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
xxx
y 2122922
23
⋅+⋅−⋅=
на отрезке
]1;1[−
.
5. Построить графики функции спроса
1
8
2)(
+
+=
p
pD и функции пред-
ложения
3
ln4)(
p
pS += и найти графически точку рыночного равновесия.
6. Зависимость объема произведенной продукции
V
от капитальных затрат
k
задается функцией
k
k
e
e
V
+
=
100
,
(
)
0≥k . Найти интервал изменения
k
,
на котором выполняется закон убывающей эффективности.
7
*
. Оценить абсолютную погрешность в приближенном равенстве
x
e
x
+≈1
, если известно, что ]1,0;0[
∈
x
.
96
Решение варианта 26
1
. Найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции
3
2
)1(1 −−= xy
.
1) Область определения функции –
R
yD
=
)(.
2)
3
13
2
'
−
−=
x
y
. Производная функции не равна нулю ни в одной точке из
области определения, но )1('y не существует, следовательно, 1=
x
– кри-
тическая точка.
3) 0'>y при )1;(
−
∞∈
x
и 0'
<
y при );1(
+
∞
∈
x
. Следовательно, функция
возрастает на промежутке ]1;(
−
∞
∈
x
и убывает на промежутке );1[
+
∞∈
x
.
Значит, 1=
x
является точкой максимума функции, 1)1(
=
y .
Ответ. Функция возрастает на промежутке ]1;(
−
∞
∈
x
и убывает на проме-
жутке );1[ +∞∈
x
. 1=
x
– точка максимума.
2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
)52ln(
2
++= xxy .
1) Область определения функции –
R
yD
=
)(, так как 052
2
>++
x
x
при
всех
R
x
∈ .
2)
52
)1(2
'
2
++
+
=
x
x
x
y ,
22
)52(
)1)(3(2
''
++
−
+
−=
xx
xx
y . Вторая производная равна нулю в
точках 3−=
x
и 1
=
x
. Эти точки являются точками «подозрительными» на
перегиб.
3) 0'' >y при )1;3(−∈
x
, следовательно, на промежутке ]1;3[−∈
x
функция
выпукла.
0'' <y при )3;( −
−
∞∈
x
и );1(
+
∞
∈
x
, следовательно, на промежутках
]3;( −−∞∈
x
и );1[ +∞∈
x
функция вогнута.
Точки 3−=
x
и 1
=
x
являются точками перегиба.
97
Ответ. Функция выпукла при
]1;3[
−
∈
x
; функция вогнута при ]3;(
−
−∞∈
x
и
);1[ +∞∈
x
. Точки 3−=
x
и 1=
x
– точки перегиба.
3. Исследуйте функцию
4
2
−
=
x
x
y и постройте ее график.
1) Область определения функции );4()4;(
+
∞∪
−
∞
∈
x
.
4=
x
– точка разрыва функции. Исследуем ее:
−∞=
−
−→
4
lim
2
04
x
x
x
, +∞=
−
+→
4
lim
2
04
x
x
x
.
Следовательно, 4
=
x
– точка разрыва второго рода, 4
=
x
– вертикальная
асимптота.
Наклонную асимптоту будем искать в виде bk
x
y
+
=
. Найдем
k
и b .
1
4
lim
)(
lim =
−
==
±∞→±∞→
x
x
x
xf
k
xx
,
()
4
4
4
lim
4
lim)(lim
2
=
−
=
−
−
=−=
±∞→±∞→±∞→
x
x
x
x
x
kxxfb
xxx
.
Таким образом, 4+
=
x
y – уравнение наклонной асимптоты.
Точкой пересечения с осями координат является точка )0;0(.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
3)
22
2
)4(
)8(
)4(
)4(2
'
−
−
=
−
−−
=
x
xx
x
xxx
y .
Находим критические точки – 0
=
x
, 8
=
x
и промежутки возрастания,
убывания функции.
0' >y при )0;(−∞∈
x
и );8(
+
∞∈
x
.
0'<y при )4;0(∈
x
и )8;4(.
Следовательно, функция возрастает на промежутках ]0;(−∞∈
x
и
);8[ +∞∈
x
, убывает на промежутках )4;0[
∈
x
и ]8;4(.
98
Значит, 0=
x
является точкой максимума функции, 0)0(
=
y ; 8=
x
являет-
ся точкой минимума функции, 16)8(
=
y .
4)
34
22
)4(
32
)4(
)8)(4(2)4)(82(
''
−
=
−
−−−−−
=
xx
xxxxx
y .
0'' >y при );4(
+
∞∈
x
, следовательно, на промежутке );4( +∞
∈
x
функция
выпукла.
0'' <y при )4;(−∞∈
x
, следовательно, на промежутке )4;(−∞
∈
x
функция
вогнута.
Точек перегиба нет, так как точка 4
=
x
не принадлежит области определе-
ния функции.
Результаты исследования приведены в таблице:
x
)0;(−∞
0
)4;0(
4
)8;4(
8
);8(
+
∞
'y
+ 0
max
– не существует – 0
min
+
''y
– – – не существует + + +
0
16
y
не определена
99
График функции
4
2
−
=
x
x
y
4
. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
xxx
y 2122922
23
⋅+⋅−⋅= на отрезке ]1;1[
−
.
Пусть
x
t
2= , тогда из условия 11
≤
≤
−
x
и возрастания функции
x
t
2= следует, что 2
2
1
≤≤ t . Тогда ttttgxf 1292)()(
23
+−== ,
[]
2;5,0∈t .
)1)(2(612186)('
2
−−=+−= tttttg . 1
=
t
, 2
=
t
– критические точки, при-
чем критические точки из отрезка
[
]
2;5,0. Найдем значения функции в кри-
тических точках и на концах отрезка: 4)5,0(
=
g
; 5)1(
=
g
; 4)2( =
g
. Следо-
вательно,
5==
наибнаиб
gf , 4
=
=
наимнаим
gf .
Ответ. 5=
наиб
f , 4=
наим
f .
5. Построить графики функций спроса
1
8
2)(
+
+=
p
pD и функции пред-
ложения
3
ln4)(
p
pS += и найти графически точку рыночного равновесия.