Волков В.Я. и др. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования

Подождите немного. Документ загружается.

ционно в методе двух изображений рассматриваются вопросы ото-

бражения геометрических свойств кривых линий, алгебраических и

неалгебраических, в целом. Свойства же в малом остаются, как пра-

вило, вне поля зрения. Лишь слегка затрагиваются проекционные

свойства касательной к кривой линии и отображение кривизны кри-

вой в кривизну ее проекции [2J. Вместе с тем, моделирование кривых

линий на чертеже Монжа, будучи задачей теоретического и практиче-

ского смысла, должно позволять:

1. Определять геометрические свойства в целом и в малом моде-

ли кривой линии по самой кривой;

2. Восстанавливать геометрические свойства в целом и в малом

кривой линии по ее модели.

Рассмотрению некоторых из обозначенных задач геометрическо-

го моделирования пространственных кривых линий и вопросов, спо-

собствующих их решению, посвящена настоящая глава.

5.2.1. Моделирование пространственной кривой линии

на чертеже Монжа

На чертеже Монжа алгебраическая или трансцендентная поверх-

ность моделируется, как известно, некоторым соответствием, уста-

навливаемым между полями горизонтальных и фронтальных проек-

ций точек этой поверхности. Так, например, алгебраическая поверх-

ность Ф" /7-го порядка моделируется (/г-и)-значным соответствием

F"~" п-го порядка [15]. Например, сфера Ф

моделируется двузнач-

ным квадратичным соответствием

между

полями {АЛ и {А

}

проекций точек АеФ

[15]. Если линия а принадлежит сферической

поверхности Ф

, то ее моделью на чертеже Монжа будет пара пло-

ских линий я, и а

- ортогональных проекций линии а, точечно со-

ответственных в квадратичном соответствии F

. Обобщая на слу-

чай алгебраической поверхности Ф", можно утверждать, что линия

a G Ф" моделируется на чертеже Монжа парой линий а, и а

, точеч-

но

по соответственных в соответствии F"". Таким образом, если про-

странственная кривая рассматривается как принадлежащая некоторой

поверхности, то ее моделирование на чертеже Монжа необходимо

выполнить на основе соответствия, которым моделируется сама по-

верхность.

Если кривая линия а пространства рассматривается как линия

пересечения двух поверхностей Ф и ¥, то ее моделью на чертеже

Монжа является пара ортогональных проекций а, и а

- плоских ли-

ний, точечно соответственных одновременно в двух соответствиях,

каждое из которых моделирует на чертеже Монжа одну из поверхно-

стей - Ф или ¥. В частности, если а есть линия пересечения по-

верхности Ф и плоскости, то ее модель - пара линий а, и а

, точечно

соответственны в родстве, моделирующем плоскость, и в соответст-

вии, моделирующем поверхность Ф.

Если линия а пространства рассматривается как линия пересе-

чения двух проецирующих цилиндрических поверхностей Ф1 /7, и

¥ ± //

, то ее моделью служит пара ортогональных проекций а

и а

- линий, точечно соответственных в двух вырожденных соответстви-

ях, одно из которых моделирует проецирующую цилиндрическую по-

верхность Ф, а другое - ¥.

Вышеизложенный подход к моделированию поверхностей и ли-

ний, им принадлежащих, не так давно обозначен в классической на-

чертательной геометрии [15, 16] и основан на теории многозначных

соответствий, которая до настоящего времени изучена недостаточно.

5.2.2. Проекционные свойства осей подвижного трехгранника

пространственной кривой

При конструктивном и аналитическом моделировании на плоско-

сти алгебраических и неалгебраических плоских и пространственных

кривых линий их свойства в целом и дифференциально-

геометрические свойства (свойства в малом) преобразуются в соот-

ветствующие свойства моделей (проекций) этих кривых. Очевидно,

161

эти свойства моделей зависят как от свойств в целом и в малом моде-

лируемых кривых, так и от соответствующих свойств аппарата моде-

лирования (проецирования). Задача исследования указанных свойств

моделей кривых линий известна в начертательной геометрии [2, 16],

однако считать ее полностью решенной нет оснований. Обратная за-

дача - восстановление указанных свойств кривых линий по их моде-

лям, является новой и ожидает своего решения.

Пространственные кривые линии, в отличие от плоских линий, не

могут быть помещены всеми своими точками в плоскость. Плоскости

множества плоскостей, каждая из которых проходит через тройку то-

чек пространственной кривой линии, различаются между собой по-

ложением и ориентацией в пространстве. Возьмем на пространствен-

ной кривой линии четыре обыкновенные точки A,B,C,D (рис. 5.32).

В дифференциальной геометрии пространственной кривой линии из-

вестно, что предельное положение

разом прилегает к кривой, т.е. в бесконечно малом около точки А

пространственная кривая может быть рассмотрена как плоская линия,

принадлежащая соприкасающейся плоскости. Нормаль п в точке А

кривой, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется

главной нормалью, а нормаль Ь, перпендикулярная в точке А к со-

прикасающейся плоскости (n,t), называется бинормалью. Образую-

щиеся в точке А пространственной кривой плоскости (п,Ь) и (t,b),

называются соответственно нормальной и спрямляющей плоскостью

плоскости, проходящей через три

бесконечно близко расположенные

точки B,C,D на кривой линии, ко-

гда эти точки стремятся к точке А,

называется соприкасающейся плос-

костью кривой в точке А [26]. Роль

соприкасающейся плоскости заклю-

чается в том, что среди всех плоско-

стей, проходящих через точку А

кривой, она наиболее плотным об-

Рис. 5.32. Подвижный

трехгранник

пространственной кривой

162

кривой. Совокупность трех прямоугольных координатных осей t , п,

h и трех координатных плоскостей (п,t), (n,b) и (t,b) называется

подвижным трехгранником пространственной кривой в се обыкно-

венной точке А. Его положение в пространстве меняется при движе-

нии точки А по кривой линии. Этот трехгранник называют трехгран-

ником Френе, по имени впервые предложившего его в 1874 году

французским математиком Жаном Фредериком Френе (1816 - 1900).

Рассмотрим проекционные свойства осей трехгранника Френе

для случая линейного проецирования. Пусть 5 и П - соответственно

центр и плоскость проецирования (рис. 5.33). Для пространственной

кривой а построим ее центральную проекцию а'аП. Центральное

проецирование в общем случае (случай Sea исключается) устанав-

ливает взаимно однозначное соответствие между точками кривых а

и о', а именно: (ka)o(l'efl'), (2 е а) <-» (2'е а'), (Зеа)о(З'ео'),

В обыкновенной точке 2 кривой а можно провести три единич-

ных вектора: /

- касательный вектор, п

- нормальный вектор, при-

надлежащий соприкасающейся плоскости кривой а в ее точке 2, и Ь

- вектор бинормали. Очевидно, секущей 1 - 2 кривой линии а вза-

имно однозначно соответствует секущая Г-2' линии а', секущей 2-3

взаимно однозначно соответствует секущая 2-3' и т.д. Точки пересе-

чения пар соответственных секущих образуют на плоскости проекций

II некоторую линию соответствия а". Очевидно, при стремлении

точки 1 по линии а к фиксированной точке 2, точка Г будет стре-

миться к фиксированной точке 2' и ттредельному касательному поло-

жению г

секущей 1 - 2 будет соответствовать предельное касатель-

ное положение г'

секущей Г-2', при этом секущая Г-2" будет зани-

мать предельное касательное положение г"

в точке 2"еа". Из ска-

занного следуют выводы:

1. В общем случае линейного проецирования (Sea исключает-

ся) касательная к кривой линии пространства проецируется в каса-

тельную к проекции этой кривой, т.е. t

-> t\ ;

163

2. Соприкасающаяся плоскость кривой линии пространства в ее

обыкновенной точке определяется касательной к этой кривой и соот-

ветствующей касательной к линии соответствия на плоскости проек-

ций, т.е. (/

, «2.) = (f

,г"

Нормаль п

к кривой линии а пространства в общем случае не

отображается в нормаль п\ к проекции а' этой линии в их соответст-

вующих точках. Действительно. Пусть п\ - нормаль в точке 2' цен-

тральной проекции d линии а. Плоскость (S, п\ ) - плоскость про-

ецирования для нормали п\ , при этом (S, п\) в общем случае не

перпендикулярна плоскости проекций П. Предположим, что нормаль

к линии а в точке 26а, соответствующей точке 2'GO

, принад-

Рис. 5.33. К обоснованию проекционных свойств осей

подвижного трехфанника

лежит плоскости (S, п\ ). Очевидно, что п

будет единственной нор-

малью, расположенной на прямой п

пересечения двух плоскостей:

264

плоскости проецирования (5,ri

) и нормальной плоскости (п

,Ь

)

птнии а в ее точке 2. Но через касательную прямую t

к линии на

конической поверхности (S,a) можно провести пучок соприкасаю-

щихся плоскостей, каждая из которых соответствует определенной

линии на поверхности (S,a), т.е. касательная прямая t

является об-

щей касательной для множества кривых на поверхности (S, а) в их

общей точке 2, при этом линия а' является общей центральной про-

екцией всех этих кривых линий. Поскольку каждая кривая линия на

поверхности (S,a) из множества линий с общей касательной прямой

/, имеет свою определенную нормаль п

в точке 2, то в точке 2 е а

образуется пучок нормалей п

, соответственный вышеуказанному

пучку соприкасающихся плоскостей, т.е. определенной нормали п

пучка соответствует определенная соприкасающаяся плоскость из

пучка таких плоскостей. Следовательно, в общем случае (особые слу-

чаи Sea и ?

// П исключаются из рассмотрения) нормаль к кривой

линии пространства не проецируется в нормаль к центральной проек-

ции этой линии в их соответствующих точках. Лишь в единичном

случае, рассмотренном выше, когда п

принадлежит плоскости

(S,n'

), нормаль к кривой линии принадлежит проецирующей плос-

кости (S, п'

5.2.3. Кривизна и кручение пространственной кривой

Предположим, что пространственная кривая линия состоит из

обыкновенных точек (рис. 5.34, а). Для каждой из этих точек может

быть построен трехгранник Френе (t ,n,b) пространственной кривой.

Если свести все единичные векторы касательных t и бинормалей b

кривой линии в некоторую точку S пространства, то получим сфери-

ческие индикатрисы e

и е

касательных и бинормалей кривой, при-

надлежащие единичной сфере (рис. 5.34, б, в). Расстояние s'

между

точками 0 и 1, измеренное по индикатрисе е

представляет собой

165

угол ог

между единичными касательными векторами /

и /,, а рас-

стояние 5*, между точками 0 и 1, измеренное по индикатрисе е

представляет собой угол в

между единичными векторами Ь

и Ь

{

бинормалей. Очевидно, непрерывному изменению положения точки

А на кривой линии (А^,..., А

,..., А

,А

,...) соответствует непре-

рывное изменение длины дуги я этой кривой (,у

, s

, ...) и непрерывное изменение значений углов а(а

= О,а

{

,...,

,...,а

,...) и Д/?

=0,Д,...,/Л,...,/?

,...). Таким образом, оче-

видно существование зависимостей а = f

(s) и /3 = fp(s), в которых

функции f

и fp обладают однозначностью, непрерывностью и

дифференцирусмостью (рис. 5.35, а, б). Они называются уравнениями

кривой в естественных координатах [2, 26].

/,,/

;

'"V

ч Т,

а)

б) в)

Рис. 5.34. Сферические индикатрисы касательных и бинормалей

пространственной кривой

Величина к = lim

Л5->0

Да

Л*

представляет собой скорость вращения

вектора t касательной в данной точке кривой по отношению к пути

As, проходимому точкой по кривой, и называется кривизной в данной

точке. Очевидно, А:>0. Величина —-R представляет собой радиус

соприкасающейся с пространственной кривой линией окружности,

(рад)

SIMHI

а) б)

Рис. 5.35. Графики уравнений кривой в естественных координатах

принадлежащей соприкасающейся плоскости кривой в данной точке.

Центр этой окружности принадлежит главной нормали п кривой и

является ее центром кривизны в данной точке [26].

^ = |%\ представляет собой скорость вращения

Величина lim

ДА'-»

вектора b бинормали или соприкасающейся плоскости (1 , п) в дан-

ной точке кривой по отношению к пройденному точкой пути As, и

называется модулем кручения кривой в данной точке [26].

Различают пространственные кривые положительного (х > 0) и

отрицательного (х < 0) кручения. Существует наглядное правило оп-

ределения кривых />0и кривых х < 0 (рис. 5.36, а, б).

z>o 1<0

а) б)

Рис. 5.36. Кривые различных по знаку кручений

167

166

Выберем направление смещения точки по кривой линии, опреде-

ляемое вектором t ее касательной, таким образом, чтобы закругле-

ние кривой при этом смещении происходило со стороны вектора b

против часовой стрелки. Тогда при х > 0 происходит переход кривой

линии в рассматриваемой точке с задней стороны соприкасающейся

плоскости (t, п) на переднюю, а при ^ < 0 - с передней стороны со-

прикасающейся плоскости на заднюю. Выбор точки зрения, с перед-

ней или с задней стороны соприкасающейся плоскости, для различе-

ния кривых / >0и/<0не имеет значения. Знак кручения х зави-

сит лишь от геометрической формы кривой линии. В дифференциаль-

ной геометрии известна теорема, согласно которой две кривые в про-

странстве отличаются лишь положением в пространстве, если (после

согласования начальных точек и направлений отсчета на них) их на-

туральные уравнения к = F

(s) > О и х = ^С<) одинаковы [26].

Представление о геометрической форме пространственной кри-

вой вблизи ее обыкновенной точки можно получить, рассматривая

ортогональные проекции кривой на плоскостях сопровождающего

трехгранника Френе в этой точке. Пусть в исследуемой точке кривой

выполнены условия к > О, J * О, которыми исключаются точки рас-

прямления (А = 0) и плоскостной характер (х = 0) кривой. Исследо-

вание формы кривой удобнее вести на основе ее векторного уравне-

ния г = r(s). Пусть точке А (рис. 5.37, а) соответствует значение дли-

ны дуги S, а бесконечно близкой точке А' - значение (s + As). Тогда

точка А

определится радиус-вектором r(s + As). Таким образом, по-

лучаем: OA = r(s); OA' = r(s + As); АА' = r(s + As) - r(s).

Вектор смещения АА' представляет собой приращение

r(s + Ач) - г(л) радиус-вектора ф) при переходе из точки А в точку

А'. Записав разложение этого приращения но формуле Тейлора по

степеням As, получим выражение вектора смещения АА ':

AZ4' = r-As+

]

r-(As)

+-r-(As)

+...,

168

н котором г, г, г, ... - последовательные производные радиус- векто-

ра r(s) по аргументу S. Учитывая соответствующие выражения для

этих последовательных производных [26], получим формулу:

~АА' = 7 -As+

kn(As)

+ - (-к

7 + кп + • (Л*)

+...,

2 6

в которой А: = -. От этой формулы путем группировки по векторам

7' ,п н b перейдем к окончательной и пригодной для рассматривае-

мых исследований формуле [26]:

АА' = 7 • {As + ...} + «• ^(As)

+ ...| + Ь • |^ ^ • (А*)

+ ...| •

Рассмотрим вначале проекцию е

кривой е на соприкасающуюся

плоскость (г,и). Очевидно, векторное уравнение ортогональной про-

екции е,„ будет получено, если в формуле для АА' отбросить со-

ставляющую по бинормали Ь:

~АА'

• {As

...}

«•

|^ *( А»')

• • j •

Анализ этого уравнения показывает, что точка Л',„ описывает

кривую е,„ (рис. 5.37, б)) со смещениями по векторам t и и соответ-

ственно 1-го и 2-го порядков малости относительно As. Поскольку

кривизна исходной кривой е определяется в соприкасающейся плос-

кости, то кривизна ортогональной проекции е

и самой кривой е

имеют одно и то же значение в точке А.

Проекция кривой е на спрямляющую плоскость (7 , Ь) представ-

ляет собой линию e

, уравнение которой получается исключением из

общего уравнения смещения АА' его составляющей по вектору нор-

мали п\

AA'

= 7 • {As +...} + b • Ц ky(Asf + ...j.

Анализ этого уравнения показывает, что точка А\

описывает

кривую e

со смещением по векторам t и Ъ соответственно 1-го и

169

3 го порядков малости относительно As. Следовательно, прямая АА\

имеет с кривой e

касание 2-го порядка, т.е. точка А является точкой

распрямления и кривая e

расположена по обе стороны касательной

прямой АА\, так как коэффициент при Ъ меняет свой знак при смене

знака у As (рис. 5.37, в).

ч2?

б) в) г)

Рис. 5.37. Ортогональные проекции кривой на гранях трехгранника Френе

170

Проекция кривой е на нормальную плоскость (п,Ь) представляет

собой линию е

пЪ

, уравнение которой получается из общего уравнения

смещения А А исключением составляющей по касательной t :

= п-11 k(Asf + ...J + b • |i^(A5)

+...] •

Анализ этого уравнения показывает, что точка А'

пЬ

описывает

кривую е

пЬ

со смещением по векторам nub соответственно 2-го и

3-го порядков в малом относительно As-. Составляющая смещения по

вектору п направлена в сторону этого вектора (&>0,(А<;)" >0), т.е.

проекция e

находится с одной стороны бинормали Ь. Составляю-

щая смещения по вектору b меняет свой знак со сменой знака Ду при

фиксированном знаке кручения % >

опа

расположена по обе сто-

роны главной нормали п. Поскольку составляющая по Ъ есть беско-

нечно малая более высокого порядка малости относительно As\ чем

составляющая по п, то проекция е

п1>

более плотно примыкает к век-

тору главной нормати /?, чем к вектору бинормати Ъ. Имеет место

ючка возврата 1-го рода (рис. 5.37, г).

Различные виды пространственных кривых линий, обладающих

определенными дифференциально-геометрическими свойствами,

рассмотрены в работах [2, 26].

5.2.4. Кривизна ортогональных проекций кривой линии

Пусть кривая а, описываемая векторным уравнением r — r(s),

< ,v < s

, где s - длина ее дуги, имеет на плоскостях Я, = XOY и

= XOZ ортогональные проекции а, и а

соответственно

(рис. 5.38). Орты к и j декартовой системы координат XYZ с точно-

стью до знака определяют направления ортогонального проецирова-

ния на плоскости проекций Я, и П-, соответственно. В таком случае

уравнение проекции я, будет иметь вид:

171

r,=r-(r-k)k, (5.1)

а проекции a

вид:

=r-(r-J)j- (5.2)

Уравнение (5.1) позволяет определить следующие производные

радиус-вектора г, :

л =

-(Г к)к

d~r

"ds

к-[п-(п-к)к],

(5.3)

(5.4)

где t , п - единичные векторы касательной и нормали исходной кри-

вой а в некоторой ее точке А ; к

I [уеть л

, < Л) < л

, - длина

дуги проекции ы,. Из проекци-

онной схемы на рисунке 5.38

следует соответствие между из-

менениями длины дуги 5 кривой

а и длины дуги ,v, ее ортого-

нальной проекции а,, которым

соответствуют взаимосвязанные

перемещения точки А по кривой

а и А

{

по а

{

. Это соответствие

может быть выражено прямой

функциональной зависимостью

кривизна кривой в этой точке.

i а

г,

а.

Рис. 5.38. Моделирование кривой в

методе Монжа

)

обратной

s-F^s^.

При

этом функции

w.F\—

одно-

значные, непрерывные и дифференцируемые. В таком случае могут

быть определены следующие производные вектора г\ :

-, dr, -

Л =—

ds.

-(п') =

г,

(>f)

где / единичный вектор касательной кривой а.

172

Кривизна к

кривой а

может быть выражена известной форму-

лой [26]: А, = jr, "[. Отсюда следует формула:

(h )

Последнее равенство равносильно следующему:

(Ц5Г_

(

(1 )

Для производных в формуле (5.5) можно записать их выражения

=\-(7-к)

=(Гхк)\

(5.7)

?{ =к

[\-(п-к)

} = к

(пхк)

, (5.8)

и на их основе получить другие выражения, имеющие место в этой

формуле:

•Л .~2 ;.2ц /~ 7Л2 /Г ;,

2 , /Г.1л2 ,,"~.Тл

[l-(n-irr-(/

-Jtr+a

•ky-in-ky],

/••г; - |/ -(Л *)*]•[*:«-(*«•*)*] = -*(/ -А)-(и-Л);

(/^ -/^)

= А

(г -А)

-(п-к)

Подставим (5.3), (5.4), (5.7), (5.8) и следующие за ними выраже-

ния в формулу (5.5) и выполним необходимые преобразования. В ито-

ге получим выражение:

\\-(п-к)

-(7-к)

+(Т-к)

-(п-к)

]-к\Т-к)

-(ri-lcf_

l =

~~~ ~l^t~-Wf

[l-(n-k)

-(T'k)

]

(b-lcf_

~ [1 (' - А)

Г [1 -и -агГ

из которого следует формула:

[b-k\

jfc,=*

LJ-

. (5.9)

Аналогично для проекции а

можно получить формулу ее кри-

визны:

173

- J

=*-

.J-^=f

, (5.10)

где b - единичный вектор бинормали кривой а. Из формулы (5.9)

следует:

1. В случае плоской кривой а величина J6 • к\ есть постоянная и

представляет собой косинус угла наклона плоскости кривой к плоско-

сти проекций Я,, а в случае пространственной кривой а - косинус

утла наклона соприкасающейся плоскости ((,«) к //,;

2. Величина |/ хк\ есть косинус угла наклона касательной кри-

вой линии а к плоскости проекций П

Содержание п.п. 1 и 2 соответствуют известным в начертатель-

ной геометрии результатам исследования ортогональных проекций

пространственной кривой, полученными из иных соображений [2].

Учитывая координатное представление каждого из единичных

векторов / и b [26], уравнения (5.9) и (5.10) можно преобразовать к

виду, удобному для практического вычисления кривизны ортогональ-

ных проекций а

}

и а

исходной пространственной кривой а :

\ix

;УЛ

. - , . (5.11)

(х

+у

)

Последние формулы с точностью до обозначений производных

совпадают с известными формулами определения кривизны плоской

кривой [261, заданной параметрическими уравнениями х = x(t),

у - y(t), где параметр t - не длина дуги этой кривой. В (5.11) диффе-

ренцирование производится по параметру S (длина дуги пространст-

венной кривой а), который выполняет роль параметра t для проек-

ции этой кривой. Вычисление кривизны по формулам (5.11) возможно

только в заведомо обыкновенных точках кривых а

т а

, поскольку

для них имеет место соответственно t\ * 0; г

* 0, а также в их точках

х У

х у

174

х у

z х

= 0

х у

= 0,

= 0

х У Z X

распрямления, необходимым и достаточным условием существования

которых является:

Из формул (5.9) и (5.10) следует, что кривизна ортогональных

проекций а

и а

в их соответственных точках А

{

и А

- ортогональ-

ных проекциях точки А исходной пространственной кривой а, не за-

висит от кручения х

этои

кривой.

5.2.5. Определение кривизны кривой линии

по ее ортогональным проекциям

Предположим, что а, и а

- две плоские кривые, рассматривае-

мые как заданные ортогональные проекции некоторой кривой а про-

странства. Пусть эти кривые описываются векторными уравнениями:

/[ =

г,(.9,),

где s

i <5,

;

где д

< s

В таком

слу-

чае из проекционной схемы на рисунке 5.38, а также существования

однозначных, непрерывных и дифференцируемых функций .v, -

(s),

(,s),

следует:

г = 7

+ {7

• l)k = г

+ (г, • j)j, (5.12)

что позволяет определить единичный касательный вектор искомой

кривой а в пространстве

Г =

*[.dsy

+ (

d_s^

иГ

+ 1

к)1

2> (5]3)

}

ds ds

ds ds ds

а также получить выражение второй производной радиус-вектора

Ф):

r=nk= n

}

{

)

+1\~^ + *[/, • k)^- + (п

• А)£

• С^

]. (5.14)

fife t/.v~ «л-

Уравнение (5.13) можно представить в виде t -r\ + (r

k)k, где

точками, как и прежде, обозначено дифференцирование по параметру

s. Очевидно, для определения вектора t в точке Аеа с параметром

s, необходимо выполнение для этой точки хотя бы одного из усло-

175

„ j_ dn ds,

_l dr

вии: r, = —- —- Ф 0; r

= —^ —- j± 0, каждое их которых соответст-

ds " ds

вует достаточному признаку существования обыкновенных точек [26]

е а

, Л

г •> проекционно соответственных точке Ае\а с пара-

метрами и s

соответственно. Уравнение (5.3) позволяет записать

выражение:

=1-{Г-к)

. (5.15)

Последнее уравнение на основании (5.13) можно преобразовать к

виду:

=\-[(7

-k)^f, (5.16)

Учитывая, что имеет место выражение г

=(|^))

=(-—

)

, урав-

нение (5.16) можно записать следующим образом:

(^)

=1-К^*)^1

. (5.17)

ds ds

Для кривых а

и а

, принятых в качестве ортогональных проек-

ций некоторой кривой а пространства, имеют тождественные равен-

ства:

-i = r

-i - г • i . (5.18)

Дифференцируя эти равенства по параметру S, получим:

- .- ds, — т ds-, - -

1Г

. ,

i-l =t

-,-±=t-i . (5.19)

ds ds

откуда следует:

ds, (-, • i ds-,

ds t

• i ds

Из сравнения уравнений (5.17) и (5.20) следует выражение произ-

водной:

-if

-ky-{t

iY+(t

-iY

(5.21)

176

Последнее уравнение позволяет преобразовать выражение (5.20)

к виду:

(h-T)

-к)

•(/,

-Г)

+(/

(5.22)

Повторное дифференцирование (5.22) приводит к выражению

второй производной:

=~^

-\к

ё-~^^Ык

па

+ к

}

ев

) + к

буЦ, (5.23)

\" s

a'+y

в котором приняты следующие обозначения: t

-i =а; n

-i = В;

-i -у\ n

-i -5\ t

-k~ = K; п

-к = п. Повторное дифференцирова-

ние выражения (5.21) также приводит к выражению второй производ-

ной:

Лк.уВ- ,

~ • Ay(k

В+ к

В) + к

£т?)\. (5.24)

i ~> 2 2 2 "

22 2

ds' £ а + у s а + у

Приведенные формулы позволяют получить из уравнения (5.14)

кривизну к искомой кривой а пространства

к = (А

+ В

)S (5.25)

. d

s> „ , ,ds,.

п d

где приняты обозначения:

А-—г-;

л = /с,(—) ; с = £••—— +

ds ds ds~

Пк

(^)

Уравнения 5.13, 5.14, 5.21, 5.22, 5.23 и 5.24 определяют положе-

ние трехгранника Френе кривой линии в сс текущей точке по ортого-

нальным проекциям этой кривой.

Рассмотрим пример. Выберем в качестве линий а, и а

окруж-

ность и косинусоиду соответственно (рис. 5.39). Уравнения линииa

имеют вид:

= Я, cos<р + t

; у

= R

{

sin <р +1

; 0 < <р < 2ж. (5.26)

Уравнение линии а

имеет вид:

177

= R

cos(—) + U.

(5.27)

Для выполнения проек-

ционного соответствия рас-

сматриваемых линий а

и а

на чертеже Монжа необходимо

ввести условия R

= R

= R;

=t; x, = x

, которые

приводят к уравнению

cos(—) =

cosij?.

Из него

следу-

ст ^ = ±<р + 2т. Для обеспе-

чения проекционной взаимной

однозначности соответствия

линии я, и а

принимаем

Рис. 5.39. Цилиндрическая шгатоная

линия

~fjip, где /л - веществен-

ный коэффициент. Таким об-

разом, (р является общим параметром в уравнениях кривых о, и а,.

Учитывая это обстоятельство и используя известные вычислительные

формулы для единичных векторов касательных и нормалей плоских

кривых о, и а

[26], можно получить выражения ранее введенных

параметров: <z = -sin^; /J = -cos<p; у = Rco'hmcp;

8--^

Rco 'cos<p;

s = /лоз

tj = -R

jUco "Vos^sin^;

2 i 9

1 1

w = (R sin'tp +/u~)

; R

=~; i? = —. Подставляя выражения пара-

метров в (5.21), (5.22), (5.23) и (5.24), на основании (5.25) получим из-

вестную формулу [26] для вычисления кривизны цилиндрической

винтовой линии: к = R(R

+ /и

Определение кручения кривой линии а по заданным ее проекци-

ям a

и а

представляет собой более сложную задачу, чем определе-

178

мне се кривизны к. Решение этой задачи может быть выполнено на

основе дифференцирования выражения (5.13) по параметру S.

Отметим, что задача восстановления кривизны и кручения кри-

вой линии по ее модели - пары взаимосвязанных ортогональных про-

екций, в учебной и научной геометрической литературе не рассмат-

ривалась.

5.2.6. Проекционные свойства алгебраических кривых

Кроме общих проекционных свойств, характерных для неалгеб-

раических и алгебраических пространственных кривых, вытекающих

из соответствия геометрий в малом пространственной кривой и ее

проекций, алгебраические кривые дополнительно обладают проекци-

онными свойствами, которые отражают соответствие алгебраических

характеристик этих кривых и их проекций [15, 16]. Приведем основ-

ные из них.

1. Для центрального проецирования в общем случае порядок ал-

гебраической кривой равен порядку ее проекции.

Как известно, порядок п пространственной алгебраической кри-

вой равен числу точек ее пересечения с произвольной плоскостью

пространства. Проведем плоскость через центр проецирования. Эта

плоскость пересечет кривую в П точках. В силу однозначности цен-

трального проецирования и-точек пересечения отобразятся в п точек

пересечения прямой линии - следа проведенной проецирующей плос-

кости, и проекции пространственной алгебраической кривой линии на

плоскости проекций.

2. Если центр проецирования является / -кратной точкой алгеб-

раической кривой порядка п, то порядок криволинейной составляю-

щей проекции кривой равен n — i. Действительно. Через / -кратную

точку проходят г ветвей алгебраической кривой. Возьмем на каждой

ветви по две точки, бесконечно близко расположенные к i -кратной

точке. Эта тройка точек на каждой ветви определяет плоскость, пре-

дельным положением которой является соприкасающаяся в / -

кратной точке плоскость этой ветви. Таким образом, в / -кратной

179