Волков В.Я. и др. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования
Подождите немного. Документ загружается.
Аналогично можно записать уравнение множества пучков пря-
мых, параллельных плоскостям OXZ и OYZ.
Однопараметрическое множество пучков окружностей, лежащих
в плоскостях, параллельных плоскости OXY с центрами на кривой /:
у = у(х), х = x(z), может быть записана в виде
j(x-x(z))
2
+(y-y(x)f =и,
[z - V.
И так далее.
В качестве примере рассмотрим получение уравнения линейча-
той поверхности, заданной условиями А
2
• А
г
• В
3
(табл. 6.1). Пусть ус-
ловие А
2
определяется прямой х = 0, у = а; условие А
ъ
определяется
окружностью у = 0, x
2
+ z
2
=b
2
; условие В
3
определяется плоско-
стью z = 0. Тогда действительная часть поверхности будет определе-
на условием -b<z<b.
Множество прямых, удовлетворяющих условию А
2
, описывается
уравнениями
[у
—
а = и- х,
\z = v, -b<v<h.
Определим зависимость между параметрами и и v. Полагая у - О,
получим х = -—, z = v. Подставляем в уравнение окружности
и
а
ъ
+\'
2
=Ь
2
. Однако и = - , v~z. Окончательно, получим
и"
х
2 .2
——— + г
2
= Ь
1
. Это есть уравнение искомой поверхности, записан-
{.У-а?
нее в неявном виде. (Рекомендуется построить чертеж поверхности
самостоятельно). Следует заметить, что это не единственный способ
получения уравнения этой поверхности.
Рассмотрим пример вывода уравнения циклической поверхности,
заданной условиями А
ъ
-В
2
. Пусть условие А
г
обеспечивается тем,
что центр окружности принадлежит винтовой линии, а условие В
2
обеспечивается постоянным углом наклона плоскости окружности к
данной винтовой линии. Пусть окружность имеет постоянный радиус.
Нетрудно подметить, что суммарная размерность условий равна че-
тырем. Учитывая, что множество окружностей постоянного радиуса
имеет размерность, равную пяти, получим однопараметрическое не-
прерывное множество окружностей, т.е. поверхность. Пусть г - ра-
диус образующей окружности; R - радиус данной винтовой линии;
OZ - ось винтовой линии. Пусть а - параметр точки на образую-
щей; В - угол поворота плоскости образующей вокруг оси OY; у —
у юл поворота плоскости образующей вокруг оси ОХ. Тогда уравне-
ния окружности будут в параметрическом виде следующими:
х'
=
г
•
cos а
•
cos р - г
•
sin а
•
sin
/5
•
sin у,
у'= г
•
sin а
•
cos у ,
z'= г
•
cos а
•
sin /?
+
г
•
sin а
•
sin /7
•
sin у
•
Пусть р и S - параметры винтовой линии: х = R-cosS,
у = Л
•
sin
<5,
z
—
р
•
S .
Тогда получим следующие уравнения поверхности:
х - г
•
cos а
•
cos В - г
•
sin а
•
sin /5
•
sin у
+
R
•
cos
<5,
у = г
•
sin
с?
•
cos у
+
R- sin
<5
,
z - r
•
cos ar
-
sin /9 + r
•
sin a
•
sin В
•
sin у
+
p S .
При В = ^ = 0 условие i?
2
обеспечивается параллельностью
плоскости ОХУ. Тогда уравнения поверхности имеют вид
х — г • cosa + R • cos<5,
у = г
-
sin яг + R
-
sin
<5
,
2 = р
•
S .
Если у = 90°, /3-0°, то плоскостью параллелизма будет плос-
кость OXZ. Если 0 < у < 90°, /? = 0°, то будет существовать поверх-
ность параллелизма - прямой круговой конус с осью OZ. (Чертежи
всех этих поверхностей рекомендуется выполнить самостоятельно).
Если центр образующей располагается на конической винтовой
линии
x = a-S-cosS,
у = а
•
8
•
sin S ,
z = р
•
S ,
а плоскостью параллелизма будет плоскость OXY, то уравнения по-
верхности будут иметь следующий вид
х = г
•
coser+г + а
•
8
•
соъё,
у = г
•
sin а + а
-
8
•
sin 8 ,
z =
P
-S.
Вывод этих уравнений полностью анаюгичен.
200
201
ГЛАВА 7. КОНСТРУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
МНОЖЕСТВА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Одной из основных тем учебного курса начертательной геомет-
рии является тема "Позиционные задачи". К позиционным относятся
задачи на определение взаимной принадлежности и взаимного пере-
сечения геометрических объектов в евклидовом пространстве. Из-
вестное в существующих учебниках традиционное изложение этой
темы предусматривает использование нескольких узкоспециализиро-
ванных методов решений задач на пересечение.
Рассмотрим построения различных алгоритмов решений позици-
онных задач, исходя из теоретико-множественных представлений
множества пересечения двух множеств в евклидовом пространстве.
7Л. Алгоритмы конструктивного определения
множества пересечения
Формула (1.7) позволяет определить размерность множества пе-
ресечения двух линейных множеств: т- плоскости и q - плоскости в
пространстве Е
<;
. Покажем, что эта формула справедлива и для двух
нелинейных множеств этого пространства. Пусть в пространстве Е„
находятся два пересекающихся линейных множества А""и У. Их
общая часть - линейное множество пересечения Z
p
имеет размер-
ность, определяемую формулой (1.7): р = m + q-n. Введем в про-
странстве Е
п
нелинейное преобразование F, описываемое уравне-
ниями:
х\ = f
j
(x
1
,x
2
,...,x
n
);
X 2 — ./2 > *2 »•••> ) »
• - ?
х
п ~ fn(-
X
\
,
>
x
2>"
,
'
X
n)>
где
fi,f
2
,—,f„
независимые непрерывные функции от п аргумен-
тов. При этом х
{
,х
2
,...,х
п
- координаты произвольной точки про-
странства Е
п
; х\,х'
2
,...,х'
п
- координаты точки-образа. В результате
применения преобразования F линейному множеству Х
т
будет со-
ответствовать некоторый нелинейный образ. В силу непрерывности
функций /,,/,,...,/„ две достаточно близкие точки множества Х
т
202
перейдут в две сколь угодно близкие точки, принадлежащие образу
пого множества, то есть непрерывность в расположении точек явля-
ется инвариантом преобразования F. В силу взаимной однозначности
преобразования любой точке множества Х
т
будет соответствовать
единственная точка - образ на образе множества Х
т
, то есть количе-
ство независимых параметров, определяющих положение точки-
образа и точки-прообраза в фиксированной системе координат про-
странства Е„ будет одно и то же - т. Таким образом, количество т
независимых параметров и их непрерывность являются инвариантами
нелинейного преобразования F, что позволяет сделать вывод об ин-
вариантности размерности линейного множества Х
т
и других линей-
ных множеств пространства Е
п
относительно этого преобразования.
При использовании формулы размерности (1.7) множества пере-
сечения необходимо учитывать нижеследующее.
1. Если р<0, то X
m
C]Y
q
=0, то есть множества Х
т
и Y
q
не
имеют пересечения в пространстве Е„.
2. Формула справедлива для множеств Х
т
и Y
4
общего поло-
жения в пространстве Е
п
. Например, если и = 3, т-\, с/ = 1, то
р--\, то есть Х'ПТ
1
-0. Если же п = 2, то Х'П^
1
=0, то есть две
прямые, принадлежащие плоскости Е
2
, пересекаются.
3. Если р = а, то это значит, что множество пересечения
X"'C\Y
4
состоит из одного элемента размерности а, или конечного
числа таких элементов.
Рассмотрим пересечение двух множеств Х
т
и У в пространстве
Е
ъ
. Учитывая ограничение m + q>n, накладываемое на размерности
пересекающихся множеств, для пространства Е
ъ
могут иметь место
следующие случаи:
1. m = q = 2, откуда следует р = 1, что указывает на то, что мно-
жество Z
p
есть линия, либо конечное число линий.
2. т = 1, q = 2, откуда следует р = 0, то есть множество Z
p
со-
стоит из одной или конечного числа точек.
Рассмотрим первый случай. Множество Z
1
- X
2
f]Y
2
может
быть линейным, если оба множества X
2
и Y
2
линейны (две плоско-
сти); может быть нелинейным, если оба X
2
и Y
2
нелинейны (две по-
203
верхности), или одно из них, например X
2
, линейно, а другое - Y
2
-
нелинейно (поверхность). Применим для исходных множеств X
2
и
Y
2
операцию разбиения на классы эквивалентности с целью пред-
ставления каждого из этих множеств в виде фактормножества по от-
ношению эквивалентности, представляющем собой разбиение на не-
пересекающиеся классы, определенном на каждом из множеств X
2
и
Y
2
. В результате разбиений получим: X
2
~ Ф
Щ)
=[j(p
x
;
у
2
= = у у/ . После таких преобразований исходных множеств
для множества пересечения можно записать: Z
p
= Z
,f0)
= Ф
ЦХ)
Г\Ч>.
При услонии взаимного пересечения классы ср
1
и if/
1
образуют эле-
мент z
k
eZ
](0
\ то есть точку z° =(/?'flV
/l или
конечное множество
точек. Исходя из формулы размерности (1.7), согласно которой
р = m+q - п, где р = к = 0, m = q- \, получаем, что элемент
(р'[)ц/
1
= z° е Z
,(W)
может быть получен только при n~2,io есть при
условии, что классы - линии <р
х
и (//' будут принадлежать одному
двумерному множеству а
2
— плоскости или поверхности. Предпола-
гая, что существует множество а", можно выполнить конструктивное
определение элемента z° = г/>' []>//' по следующему алгоритму:
1. «т
2
ПА'
2
=^';
2. o-
2
f]Y
2
=^';
3. ^W=z°.
Поскольку множество Z
1
*-
0
-
1
= {Jz
(}
есть непрерывное однопара-
метрическое множество точек, то есть линия, то для ее определения
необходимо непрерывное однопараметрическое применение приве-
денного алгоритма. Таким образом, однопараметрическому точечно-
му множеству \Jz° =Z
1(0)
взаимно однозначно соответствует однопа-
раметрическое множество \J<7
2
— Х^
2)
плоскостей или поверхностей.
Представлял множество 27
1<2)
= {Ja
2
как фактормножество множества
(пространства) Е
ъ
по отношению эквивалентности, представляющем
собой разбиение пространства £
3
на однопараметрическое множест-
во непересекающихся классов а
2
(плоскостей или поверхностей),
204
можно получить общий алгоритм конструктивного определения мно-
жества Z
1(0)
пересечения двух множеств X
2
и Y
2
пространства Е
ъ
.
Алгоритм 7.1
1.
£
3
=2-
1(
Ц
=Ua
2
=>ljff?,/
= l,2,...,*r;
2.
а
2
(\Х
2
=(р)',
3. aff)Y
2
= у/];
4. <р)Г\
¥
]=г*;
5. U4'=>Uz°=Z
,(0>
.
При конструктивной реализации алгоритма непрерывное однопа-
раметрическое множество U с
2
в п.1 представляется как дискретное
(=> Uс
2
) множество, а полученное в результате 1гостроений дискрет-
ное
множество
U
z
,°
представляется
как
непрерывное (=>(J-°)- По-
лучение дискретною множества (Jzf основано на многократном по-
вторении (7 = 1, 2,к) пунктов 2, 3, 4 алгоритма.
Алгоритм 7.1, полученный в результате теоретико-
множественного рассмотрения пересечения двух множеств в про-
странстве £
3
, соответствует известному в начертательной геометрии
методу посредников, к которым относятся вспомогательные плоско-
стн и поверхности [2, 15, 20, 22].
Критериями выбора классов а
2
фактормножества 27
1(2
^=lja"
2
при конструктивной реализации алгоритма 7.1 могут быть:
- достижение минимальной сложности геометрической формы
поучаемых в результате построений вспомогательных классов
<р
л
с X
2
и ц/
х
cz Y
2
, например, прямая линия и окружность;
- возможность реализации алгоритма на конкретной модели про-
странства Е
ъ
и др.условия.
Поскольку достижение минимальной сложности геометрической
формы классов <р
[
а X
2
и у/
]
с Y
2
имеет важное значение, то в осно-
ву представления пространства Е
ъ
как некоторого фактормножества
Е
3
= Ф
2(|)
по отношению эквивалентности, представляющем собой
разбиение этого пространства на классы эквивалентности, может
быть положено разбиение одного из пересекающихся множеств X
2
и
Y на непересекающиеся классы, например X
2
- Ф
вд
, с последую-
205
щим расширением множества полученных классов до проецирующе-
го фактормножества Ф
2(1)
, то есть X
2
= Ф
т
-> Ф
20)
= Е
3
. На основа-
нии сказанного может быть предложен нижеследующий алгоритм
конструктивного определения множества пересечения Z
w>
двух
множеств X
2
и Y
2
(рис. 7.1).
Рис. 7.1. Интерпретация алгоритма 7.2
Алгоритм 7.2
1. х
2
= Ф
т
=tV;
2. фН1)_
>ф
2(1)
= и
^
=
£
з
.
2
3. г
2
=v
K1)
=
иУ;
4. Вводится П - плоскость проекций (плоскость сюръективного
отображения пространства Е
3
);
5 х
2
-» А
1
}/ = Z)j
0)
- след проецирующей поверхности X" и
одновременно проекция искомой линии Z ,
6. IV->!>}/;
8.
z
^
z
»
6
^,Uz°=Z
1(0)
.
Отображение множества У" на плоскость // в п.6, выполняемое
проецирующим фактормножеством Е
ъ
= Ф
2<
" = \J<p
x
, в общем случае,
в соответствии с логикой алгоритма 7.2, должно быть биективным.
Рассмотренный алгоритм по существу сводится к алгоритму 7.1. Дей-
ствительно. Классы-линии <р
х
и у/
х
в алгоритме 7.2 принадлежит не-
которому множеству а
2
(плоскость или поверхность), на котором ос-
новано построение алгоритма 7.1. Представление исходных пересе-
кающихся множеств в виде объединения непересекающихся классов
X
2
= []<р
х
и Y
2
= [)у/
х
, пары которых принадлежат одному множест-
ву, то есть (ф
Х
,у/
х
) а а
2
, приводит к образованию непрерывного од-
нопараметрического множества двумерных классов U а
2
, образую-
2 •
](2
>
щих фактормножество пространства Е
3
— IJ<т -21 по отношению
эквивалентности, представляющем собой разбиение этого простран-
2
ства на непересекающиеся проецирующие классы а .
Алгоритм 7.2 основан на конкретном построении фактормноже-
ства Е
3
- Ф
2{Х>
с последующим использованием его в качестве про-
ецирующего для отображения пространства на плоскость, в отличие
от алгоритма 7.1, в котором выбор фактормножества Е
у
= 27
1(2)
никак
не оговорен. Очевидно, построение различных фактормножеств про-
странства £
3
по отношению эквивалентности, представляющим со-
бой разбиение множества на классы, зависит как от геометрической
формы пересекающихся множеств X
7
, Y
2
, так и от самого отноше-
ния эквивалентности, которое в частности может быть разбиением
пространства £\ на непересекающиеся проецирующие классы. Прак-
тическая целесообразность того или иного алгоритма конструктивно-
го определения множества пересечения зависит от возможности дос-
тижения минимальной сложности геометрической формы тех проме-
жуточных элементов и классов элементов, которые участвуют в алго-
ритме.
207
206
Рассмотрим теперь второй случай, когда от = 1, q-2, р = 0. Как
было отмечено выше, множество пересечения Z
p
в этом случае пред-
ставляет собой точку или конечное число точек и может быть полу-
чено, если оба множества X
х
и Y
2
линейны {X
1
- прямая, F
2
- плос-
кость); оба множества X
х
и Y
2
нелинейны (X
1
- кривая линия, Y
2
-
поверхность); одно из множеств, например Х\ линейно (прямая), а
другое - Y
2
- нелинейно (поверхность), либо А'
1
, нелинейно (кривая
линия), а У
2
— линейно (плоскость). Поскольку q~2, то точечное
множество Y можно разбить на непересекающиеся классы и пред-
ставить его в виде фактормножества Y
2
= с элементом <//' - ли-
нией. Так как множество пересечения Z
p
- Z° может быть получено
согласно формуле (1.7) только при условии, что обе линии Х
]
и
IJ/
1
с Y
2
будут принадлежать некоторому двумерному множеству 2
2
,
то в возможных алгоритмах конструктивного определения множества
пересечения должно присутствовать множество 2 .
Рассмотрим алгоритм конструктивного определения множества
пересечения X
1
П Y".
Алгоритм 7.3 (рис. 7.2)
=27
2(|)
=и<?
1
~ проецирующее фактормножество (двухпара-
2
метрическое множество проецирующих классов - линий а
]
);
Рис. 7.2. Интерпретация алгоритма 7.3
208
1. X
х
-» Х\, (X
х
, Ху) с: \Jcr
l
- проецирующая поверхность;
2. Х
Х
С\Х\ = Z°.
Очевидно, в этом алгоритме проецирующее отображение
Л'
1
—> Х
х
у
является биективным с инвариантной точкой Z
0
, которая
является искомой.
Алгоритм 7.4 (рис. 7.3)
1. r
2
=r
,(1)
=iV;
2
3. Вводится /7 - плоскость проекций (плоскость сюръектинного
отображения пространства £'
3
);
4. X
1
-> .A"J
7
(биективное отображение);
5. Г
2
—> У
я
(след проецирующего множества К
2
);
6. A-',ri^=Z&;
7. Z*j^Z°eX\
Запись в п.2 алгоритма означает, что фактормножество У" =
4
/Xtl)
индуцирует в пространстве £, проецирующее фактормножество
У
2(1)
-\Ji//
x
=
этого пространства. Как и в случае рассмотренных
Рис. 7.3. Интерпретация алгоритма 7.4
209
алгоритмов конструктивного определения множества пересечения
2 2
множеств X и Y , конструирование алгоритма определения пересе-
чения X
l
f]Y
2
также зависит от геометрических форм множеств X
1
и
Y
2
и от выбора отношения эквивалентности для представления про-
странства Е
3
в виде соответствующего фактормножества. Здесь так-
же основным критерием практической целесообразности алгоритма
является достижение минимальной сложности геометрических форм
классов эквивалентности, объединение которых является фактормно-
жеством пространства Е
3
, и в целом - достижение минимальной
сложности всех этапов конструктивной реализации алгоритма.
В последующем изложении настоящей главы будут рассмотрены
примеры практических реализаций вышеприведенных алгоритмов
конструктивного определения множества пересечения.
7.2. Алгоритмы конструктивного определения множества
пересечения двух линейных множеств
В главе 4 были приведены традиционные решения задач опреде-
ления пересечения прямой и плоскости и двух плоскостей. Рассмот-
рим взаимосвязь приведенных решений и предложенных алгоритмов,
а также иные решения названных задач, основанные на этих алгорит-
мах.
Рассмотрим вначале за-
дачу о пересечении прямой
и плоскости. Проведем ана-
лиз возможных подходов к
решению этой задачи с по-
зиций теоретических по-
строений, положенных в
основу предложенных алго-
ритмов. Поскольку прямая
а и плоскость А (рис. 7.4)
являются линейными мно- р
ис
. 7.4. Пересечение прямой и плоскости
жествами, то возможные
фактормножества пространства Е
3
, используемые в алгоритмах 7.3 и
7.4, также должны быть линейными, то есть линейными должны быть
как множество классов эквивалентности, гак и сами классы эквива-
лентности.
В этой связи фактормножество в алгоритме 7.3, то есть
Е
ъ
= 2''
(1)
= U с'. должно быть проецирующей конгруэнцией Кг (1,0),
то есть связкой с собственным или несобственным центром. Посколь-
ку решение задачи выполняется на графической модели пространства
Е
у
, представляющей собой чертеж Монжа, то в качестве проеци-
рующей связки может быть выбрана связка с несобственным центром,
прямые которой перпендикулярны плоскости проекций Я, или 77,.
На рисунке 4.1 приведен пример конструктивного определения точки
пересечения прямой с и плоскости (alib), в котором используется
связка, проецирующая относительно 77
2
. При этом роль проецирую-
щей поверхности \Ja
l
в алгоритме (рис. 7.2) играет проецирующая
плоскость (cC\d), где с - исходная прямая, d - ее образ на исходной
плоскости (alib) в отображении, выполняемом проецирующей связ-
кой.
кости 77, относительно оси х до совмещения с плоскостью П
2
. В
этом преобразовании полю точек 77, соответствует поле точек 77
2
.
Если этими двумя проецирующими связками отображается на плос-
кости 77, и Т1
2
некоторое двухпараметрическое множество точек про-
странства Е
2
— линейное (плоскость) или нелинейное (поверхность),
то возникает преобразование совмещенной плоскости Я, = П
2
, ли-
нейное — в случае задания плоскости и нелинейное — в случае задания
поверхности. Линейное преобразование - родство, является моделью
2
Использование
двух проецирующих
связок, прямые одной
из которых перпен-
дикулярны к плоско-
сти Л,, а прямые
Рис. 7.5. Интерпретация применения
алгоритма 7.4
другой - к плоскости
Я
2
, приводит к воз-
можности возникно-
вения преобразова-
ния плоскости двух
проекций Я, = Я
п
,
образуемой в резуль-
тате поворота плос-
2X1
210
плоскости пространства и может быть использовано для решения рас-
сматриваемой задачи. Пример этого решения приведен на рисунке
4.8. Оба отмеченных решения, первое из которых - прямо, а второе -
косвенно, связаны с алгоритмом 7.3.
Рассмотрим использование алгоритма 7.4 для решения задачи оп-
ределения точки пересечения прямой а и плоскости А (рис. 7.5). В
соответствии с алгоритмом выберем в качестве фактормножества
£'
3
= iF
2(,)
= Uц/
х
проецирующую связку с центром на несобственной
2
прямой плоскости А. Прямая 1 czA связки проходит через этот центр
и выполняет роль класса ц/
1
из множества [)у/
]
таких классов в алго-
2
ритме 7.4. Последовательность решения рассматриваемой задачи в
соответствии с алгоритмом 7.4 и с учетом принятых обозначений мо-
жет иметь нижеследующий вид.
1. Строится образ а'аП прямой а в отображении, выполняе-
мом проецирующей связкой (/), определяемой прямой I сА.
2. Строится образ A'cz Я плоскости А в том же отображении.
А' — след проецирующей плоскости А .
3. Определяется образ искомой точки пересечения: А'- а'Г\А'.
4. Определяется прообраз - искомая точка: Л'—> А е а.
Рассмотрим примеры реализации этого алгоритма на графической
модели пространства Щ. Пусть на модели заданы: прямая а, плос-
кость A(
S
BCD) (рис. 7.6). Требуется определить точку пересечения
оГ]А. Для решения задачи назначим в качестве прямой I с: А сторону
CD треугольника BCD, а в качестве плоскости отображений плос-
кость /7 = Я,. Выбрав на прямой а две точки 1 и 2, построим их об-
разы 1'(Г|,Г
2
) и 2'(2'
1
,2'
2
) на плоскости Я = Я, в отображении, вы-
полняемом проецированием в направлении прямой CD(C
l
D
l
,C
2
D
2
) на
эту плоскость. Точки Г и 2' определяют прямую а'(а\,а\) а П
х
-
образ прямой а в этом отображении. Используя точку В и прямую
CD проецирующей плоскости А, строим образ A'(B\D\,B'
2
D'
2
)
этой плоскости на плоскости Я, в принятом отображении, где
B\D\ = А\ - след плоскости А. Затем определяем образ А'(А\,А\)
искомой точки А в отображении, где А\ = а\Г\А\, и соответствую-
щий ему прообраз А(А
Х
,А
2
) е а, который является решением задачи.
212
Рассмотрим решение еще одной задачи, в условии которой зада-
ны плоскость A(ff)h), прямая а и требуется также определить точку
пересечения аГ]А (рис. 7.7). Для решения задачи выберем отображе-
ние пространства Е
ъ
на плоскость П = П
2
при помощи проецирую-
щей связки (h), определяемой линией уровня h(h
{
,h
2
)a А. Выбрав на
прямой а две точки 1(1, ,1
2
) и 2(2, ,2
2
) и построив их образы 1'(1',,Г
2
)
и 2'(2',,2'
2
), тем самым построим образ а'(а\,а'
2
) прямой а на
плоскости /7
2
в принятом отображении. Образом плоскости А в этом
отображении является ее фронтальный след f(f\,f
2
)- Точка
А'(А\,А'
2
) = fC]a' является образом точки пересечения в отображе-
нии, при этом А'
2
- /
2
Г]а'
2
. Переходя от образа А' к прообразу
А(А
1
,А
2
), получаем искомый результат решения задачи А = аГ]А. Оба
приведенных решения (рис. 7.6 и 7.7) соответствуют известному в на-
чертательной геометрии способу вспомогательною проецирования
[21].
Рис. 7.6. Пример определения пересечения прямой и плоскости
Рассмотрим еще одно решение рассматриваемой задачи, отли- ,
ч
чающееся от предыдущих выбором проецирующей связки. Для опре-
213
деления точки пересечения аГ\А выберем в качестве проецирующей
связку (а), определяемую самой прямой а, и плоскость отображения
П (рис. 7.8). Алгоритм решения задачи в этом случае может иметь
нижеследующий вид.
1. Определяется образ dczTI прямой а в отображении, выпол-
няемом связкой (а).
2. Задается точка В е А и строится ее образ В'. Пара точек А' и
В' определяют образ Ь' некоторой вспомогательной прямой bczA,
которая в пересечении с прямой а образует искомую точку
ЬС\а = аС\А.
3. Строится след А' плоскости А на плоскости //.
4. Две точки М = Ь'Г\А' и В в А определяют прообраз - вспо-
могательную прямую Ь .
5. Определяется искомая точка пересечения А = ЬГ]а.
Рис. 7.7. Пример определения пересечения прямой и плоскости
На рисунке 7.9 в соответствии с этим алгоритмом приведено ре-
шение задачи определения точки пересечения af)A(ff)h), где
/(/иЛ)
и
hQh>h>) ~ линии уровня плоскости А. В качестве плоско-
сти отображения принята плоскость П = /7
2
. Последовательность по-
строений в этом решении может иметь нижеследующий вид.
214
1. Строится образ а'(а\,а'
2
) прямой а в отображении связкой
(а).
2. Строится образ В'(В\,В'
2
) произвольной точки Be А. При
этом выполняются построения: В
Х
В\ II а
х
, В
2
В\ II а
2
.
3. Пара точек Л
1
и В
х
определяют образ V вспомогательной
прямой Ъ cz А, при этом Ь'
2
= (В'
2
,А'
2
).
4. Определяется проекция M
2
-b\f]f
2
точки Me If, где
/
2
= Ат — фронтальный след плоскости А .
5. Пара точек М и В определяют прообраз - вспомогательную
прямую b , при этом Ь
2
- (В
2
,М
2
).
6. Определяется искомая точка пересечения А(А
Х
,А
2
), при этом
А
2
- Ь
2
Г]а
2
, А
2
-» Д е щ.
Если пересекающиеся точечные множества .V
2
и Y
2
линейны, то
возникает задача о пересечении двух плоскостей. Ранее в п. 4.2 было
приведено ее решение (рис. 4.6), основанное на задании двух прямых
в одной плоскости и определении точек пересечения этих прямых с
другой плоскостью. Это решение, выполненное на графической моде-
ли пространства по существу соответствует двукратному приме-
нению алгоритма 7.3, позволяющему определить точку пересечения
прямой и плоскости.
Как было показано в п. 4.2, задание на графической модели про-
странства Е
3
двух преобразований родства соответствует заданию
двух плоскостей в пространстве, что позволяет свести решение зада-
чи построения линии пересечения этих плоскостей к решению задачи
Рис.7.8. Интерпретация алгоритма 7.4
215
определения общей прямой двух родственных преобразований. Такой
подход реализован на рисунке 4.8.
Анализ вышерассмотренных решений задач на пересечение пока-
зывает, что существуют варианты решений одной и той же задачи,
среди которых есть более простые (рис. 4.1) и более сложные
(рис. 7.6) в конструктивной реализации варианты. Многообразие ва-
риантов следует из тех теоретико-множественных построений, кото-
рые были положены в основу предложенных алгоритмов конструк-
тивного определения множества пересечения. Эти алгоритмы не ис-
черпывают возможности теоретико-множественного подхода в этом
направлении его применения. Рассмотренные решения задач, осно-
ванные на применении отображения, указывают на возможность по-
строения алгоритмов с использованием преобразования, как частного
случая отображения, например, родства (см. гл. 4).
Рис. 7.9. Пример определения пересечения прямой и плоскости
7.3. Алгоритмы конструктивного определения множества
пересечения двух множеств, одно из которых
двумерно и нелинейно
Указанному в заголовке названию соответствуют решения задач
определения линии пересечения плоскости и поверхности, а также
216
точек пересечения линии (прямой или кривой) и поверхности. Сле-
дующими после плоскости наиболее изученными и часто используе-
мыми в практических приложениях следуют поверхности второго по-
рядка (квадрики). Множества невырожденных, то есть нераспавшихся
па две плоскости, квадрик включает (рис. 7.10): а) эллипсоиды (об-
щий - трехосный и вращения - сжатый или вытянутый при вращении
эллипса относительно малой или большой его оси соответственно); б)
параболоиды эллиптический и вращения; в) параболоид гиперболиче-
ский; г) одноиолостные гиперболоиды эллиптический и вращения; д)
двухполостные гиперболоиды эллиптический и вращения; е) прямые
конусы эллиптический и вращения и наклонные конусы эллиптиче-
ский и круговой (в качестве направляющей линии конуса может быть
взята любая нераспавшаяся кривая второго порядка); ж) прямые ци-
линдры эллиптический и вращения и наклонные цилиндры эллипти-
ческий и круговой (направляющей линией цилиндра также может
быть любая нераспавшаяся кривая второго порядка). Квадрики на ри-
сунке 7.10 (в, г, е, ж) - линейчатые поверхности.
Г) Д) Е) ж)
Рис. 7.10. Поверхности второго порядка
Рассмотрим возможные алгоритмы конструктивного определения
линии пересечении квадрики и плоскости, а также точек пересечения
линии, в частности прямой, с квадрикой. В соответствии с принятыми
в п.п. 7.1 и 7.2 теоретико-множественным подходом к определения
217
множества пересечения в пространстве е
3
, необходимо это простран-
ство представить в виде проецирующего фактормножества
Е~ = Ф
2<1>
= [}<р
х
. Как было отмечено ранее, основным критерием вы-
2
бора фактормножества Ф
2(1)
={J<p
x
является минимальная сложность
2
геометрической формы класса <р
х
эквивалентности (проецирующего
класса) и минимальная сложность самого множества [}<р
1
этих клас-
2
сов. В рассматриваемой задаче о пересечении с участием квадрики на
выбор фактормножества пространства /5, будет, несомненно, влиять
геометрия конкретной квадрики, которая определяет аффинные, мет-
рические и проективные свойства этой поверхности. В современной
начертательной геометрии известны результаты исследований ука-
занных свойств квадрик. Множество этих результатов включает тео-
ремы и предложения, которые характерны для всех перечисленных
невырожденных квадрик и достаточно полно раскрывает их свойства
[13, 32]. Приведем эти свойства, поскольку они потребуются для раз-
работки последующих алгоритмов.
1. Пучок плоскостей, проходящий через ось квадрики, рассекает
ее по семейству кривых второго порядка, родственных между собой.
2. Два произвольных эллиптических сечения квадрики всегда
перспективны.
3. Параллельные между собой плоскости могут пересекать квад-
рику по подобным и подобно расположенным эллипсам.
4. Любое коническое сечение квадрики и окружность, или лю-
бые два конических сечения квадрики, могут быть приведены в пер-
спективное соответствие с помощью конической поверхности второго
порядка двумя различными способами.
5. Любые сечения конуса второго порядка плоскостями, не про-
ходящими через вершину, перспективны с центром перспективности
в вершине конуса.
6. Стереографическая проекция из омбилической точки квадри-
ки ее произвольного плоского сечения на соответствующую этой точ-
ке плоскость круговых сечений есть окружность.
Рассмотрим вначале примеры определения линии пересечения
квадрики и плоскости. Пусть на графической модели пространства
заданы фронтальное и горизонтальное изображения отсека эллипти-
ческого однополостного гиперболоида Г и след Р
2
плоскости Р А.П
2
218
(рис. 7.11). Требуется построить линию пересечения РГ\Г. Для ре-
шения задачи воспользуемся свойством 3 квадрики. Пучок плос-
П72 '
Рис. 7.11. Пример определения пересечения квадрики и плоскости
костей, параллельных плоскости Р, рассекает поверхность Г по по-
добным и подобно расположенным эллипсам с центрами на прямой
_/'(/)) /
2
). По эллипсу в плоскости Р определяем направление s(s
i
,s
2
)
проецирующей связки с несобственным центром, принимаемой в ка-
честве фактормножества == Ф
2(1>
, и выбираем в качестве плоскости
отображения плоскость П = Л,. Направление J определяется сле-
дующим образом: в горловой эллипс l(l
x
,l
2
) поверхности Г вписыва-
ется окружность n'(n\,n'
2
), диаметр SD(S,D,,/i
2
D
2
) которой равен
длине малой оси этого эллипса; линия п
2
ПР
2
отсекает на фронталь-
ном очерке поверхности Г точки В'
2
и D'
2
; B\D\ есть фронтальное
219