Волков В.Я. и др. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования

Подождите немного. Документ загружается.

3.5.2. Определение действительного

изображения треугольника ABC

Определение действительного изображения треугольника ABC -

это задача по преобразованию плоскости общего положения ABC в

частное положение.

Пусть задана плоскость ABC общего положения. Это означает,

что, например, h

II ОХ , h,J ОХ , h

HOX или /

# ОХ , /

//ОХ ,

/, i ОХ или q

# ОХ , q

# ОХ, q

ll ОХ • Выберем любую из этих ли-

ний уровня. На рисунке 3.35 выбрана линия /

// ОХ и построена /,.

Можно было построить /

и вести все построения относительно нее.

Выбрана новая гиперплоскость проекций o

ZT , при этом ось ОХ,

принадлежит плоскости OXY . На гиперплоскости проекций построе-

ны проекции Л

и А

, причем А.

С,

- вырожденная про-

екция.

Затем выбрана гиперплоскость проекций 0

ZT , параллельная

плоскости

ЛВС. На

чертеже это означает- выбор оси

Построены проекции А

и Л

С-,. Поскольку ABC И ()

ZT , то

на эту гиперплоскость треугольник ABC проецируется в "натураль-

ную величину". Другими словами, плоскость ЛВС в системе

YZT является плоскостью уровня. Таким образом, произошло

понижение размерности пространства, в котором расположена плос-

кость ABC. Теперь можно считать, что треугольник ABC расположен

в трехмерном пространстве и его проекции есть А

и Л

Дальнейшие построения такие же, как и в трехмерном пространстве.

Окончательно получаем проекцию A

, которая представляет со-

бой действительное изображение треугольника ABC.

В зависимости от выбора прямой уровня можно реализовать

шесть направлений решения задачи. Во всех из них будет получено

одно и то же действительное изображение треугольника ABC.

На

рисунке

3.35

выбор осей

, О

, 0

, 0,Х_

диктует-

ся направлением линий /,, Л

, А

, Л

. Расстояния, отклады-

ваемые

от

осей

следующие:

l-^^nj

ИгЛт!'

j^s^xi!

ИзДг|>

= |.4

4гз|. Аналогично, для точек В

...., В

и С,,..., С

3.6. Моделирование гиперплоскостей пространства Е

Гиперплоскость (3-плоскость) пространства Е

определяется че-

тырьмя параметрами или задается четырьмя независимыми точками

пространства. Пусть это будут точки A,B,C,D . Тогда на простейшей

модели будут проекции (A

), (S,,B

, В

), (С

,С

) и

(£>,.D

,£>

) (рис. 3.36). От этого задания можно перейти к другому

заданию гиперплоскости, например, двумя скрещивающимися пря-

мыми - ребрами тетраэдра ABCD , плоскостью и точкой - гранью и

противоположной вершиной тетраэдра ABCD , плоскостью и пересе-

кающей ее прямой, тремя прямыми, пересекающимися в одной точке

и т.д.

Судя по чертежу, можно утверждать, что гиперплоскость ABCD

является гиперплоскостью общего положения по отношению к гипер-

плоскостям проекций OXYZ , OXYT , OXZT , но ничего определенно-

го нельзя сказать о ее положении относительно гиперплоскости

OYZT .

Гиперплоскость ABCD частного положения может быть парал-

лельна одной из гиперплоскостей проекций. Например, если

Рис. 3.37. Гиперплоскость уровня

относительно гиперплоскости

OXYZ пространства Е

Рис. 3.36. Модель гиперплоскости

пространства Е

= t

= сош7 , то гиперплоскость ABCD будет параллельна

гиперплоскости OXYZ (рис. 3.37). Такая гиперплоскость называется

гиперплоскостью уровня.

На рисунке 3.38 приведена модель гиперплоскости уровня

(ABCD )// OYZT, для которой х

= х

= x

= const.

Рис. 3.38. Гиперплоскость уровня Рис. 3.39. Проецирующая относительно

Гиперплоскость может быть перпендикулярна какой-либо плос-

кости проекций. Тогда на этой плоскости проекций проекция гиперп-

лоскости будет вырожденной. На рисунке 3.39 показана гиперпло-

скость ABCD , перпендикулярная плоскости OXY . Такая гиперпло-

скость называется проецирующей относительно плоскости OXY .

Аналогично будут выглядеть модели проецирующих гиперплоскостей

относительно других плоскостей проекций.

Следует заметить, что невырожденными проекциями гиперпло-

скости будут все поля проекций OXZ , OXY (рис. 3.37) и ОХТ, OXZ

(рис. 3.39).

3.6.1. Принадлежность точки, прямой и плоскости гиперплоскости

Можно сформулировать следующие признаки принадлежности:

относительно гиперплоскости

OYZT пространства Е

OXY гиперплоскость

пространства

1) точка принадлежит гиперплоскости, если она принадлежит

какой-либо линии данной гиперплоскости;

2) точка принадлежит гиперплоскости, если она принадлежит

какой-либо плоскости данной гиперплоскости;

3) прямая принадлежит гиперплоскости, если две ее точки при-

надлежат данной гиперплоскости;

4) плоскость принадлежит гиперплоскости, если три ее точки, не

лежащие на одной прямой, принадлежат данной гиперплоскости.

Очевидно, что для рисунков 3.37, 3.38, 3.39 задача о принадлеж-

ности точки данной гиперплоскости частного положения решается

просто, без дополнительных построений. Так на рисунке 3.37 доста-

точно, чтобы проекция Е

точки Е(Е

}

,Е

) принадлежала пря-

мой A

. Тогда Е е (ABCD). То же самое относится к гиперп-

лоскости, изображенной на рисунке 3.39. Если E

]

B,C

, то

Е(Е

,Е

) е (ABCD ).

Рассмотрим эту задачу в

общем случае. Пусть дана ги-

перплоскость ABCD (рис. 3.40).

Пусть будет' дана точка

Е{Е,,Е

.Е

), относительно ко-

торой нельзя сказать ничего оп-

ределенного по принадлежности

ее данной гиперплоскости.

Предположим, что существует

точка F(F

}

), принадлежащая

данной гиперплоскости и кон-

курирующая с Е относительно

плоскостей OXY и OXZ . Тогда

по условию принадлежности,

можно построить точку F, -

проекцию точки F на плос-

кость ОХТ. Если F

Е е (ABCD), если F

* £

Ег(ABCD).

Для реализации этой идеи

проведем через точку Е гипер-

плоскость А, перпендикулярную

, то

то

Рис. 3.40. Принадлежность точки

гиперплоскости пространства £

плоскости OXY . Это можно сделать бесконечным числом способов.

На рисунке 3.40 гиперплоскость Л(4) проведена через точку А . Пе-

ресечение ABCD и А будет плоскость, которую можно построить по

трем точкам А, М, iV, где М е ВС, N е BD . Таким образом, полу-

чаем А

= (A

), А

= (/i

). Очевидно, что размерность по-

нижена до трех, и мы получили задачу на принадлежность точки

E(E

) плоскости A(A

). Дальнейшее решение было

описано выше.

На рисунке 3.40 Е

* Е

, следовательно, Е е (ABCD).

Для решения задачи о принадлежности прямой и плоскости дан-

ной гиперплоскости необходимо описанный алгоритм повторить два

и три раза, соответственно.

3.6.2. Прямые уровня и плоскости уровня

в данной гиперплоскости

В данной гиперплоскости общего положения ABCD MOiyr быть

выбраны прямые, параллельные какой-либо гиперплоскости ироек-

Рис. 3.41. Прямая уровня гиперплоскости

относительно плоскости OXY пространства £

ций, и прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций. На ри-

сунке 3.41 изображена прямая h(h„k

) данной гиперплоскости,

параллельная плоскости OXY , а на рисунке 3.42 - прямая h(h

)

данной гиперплоскости, параллельная гиперплоскости OXYZ .

Для проведения прямой hllOXY предварительно проведена ги-

перплоскость уровня S(Z

)II OXYZ . Строить другие проекции ги-

перплоскости 27 нет необходимости. В гиперплоскости 27 выбрана

плоскость уровня A(A

)IIOXYZ, проекции A

) и

) строятся по точкам М и N, М GBD, N е CD . Гиперп-

лоскость 27 проведена через вершину А тетраэдра ABCD для эко-

номии построений. Проекции h

и h

прямой уровня h строятся по

условию принадлежности плоскости уровня А. При этом h

II ОХ ,

II OX ,h

iOX.

Построение прямой h, he (ABCD) и h II XYZ выполняется точно

так же, как и в предыдущем случае. Однако теперь в плоскость

A(AMN) можно выбрать любую прямую h(h

# ОХ) и построить иро-

Рис. 3.42. Прямая уровня гиперплоскости

относительно плоскости OXYZ пространства Е,

екцию Л, по принадлежности. Получаемая прямая h(h

) будет

параллельна гиперплоскости OXYZ .

Если бы А, оказалась тоже параллельной оси ОХ, то это бы озна-

чало, что заданная гиперплоскость ABCD не является гиперплоско-

стью общего положения. В этом случае гиперплоскость ABCD была

бы перпендикулярна гиперплоскости OYZT или, что, то же самое,

была бы параллельна оси ОХ .

Очевидно, что в гиперплоскости ABCD общего положения

нельзя найти и построить плоскость, параллельную какой-либо плос-

кости проекций.

3.б.3. Преобразование гиперплоскости общего положения в

проецирующую гиперплоскость и гиперплоскость уровня

Для преобразования данной гиперплоскости общего положения в

гиперплоскость проецирующую относительно какой-либо гиперпло-

А_

А-/

х-

П?,П

Рис. 3.43. Преобразование гиперплоскости общего положения

пространства Е

в проецирующую гиперплоскость

скости проекций необходимо в данной гиперплоскости построить

прямую уровня. На рисунке 3.43 выбрана прямая уровня А(А,, А,, А

параллельная плоскости OXY . Новая гиперплоскость проекций

OA'JZJT,

перпендикулярна прямой h, т.е. ± А,. В новой системе

проекций гиперплоскость ABCD является проецирующей относи-

тельно плоскости ОХ

Если задать ось о

параллельно вырожденной проекции

, то в новой системе проекций o

гиперплоскость

ABCD станет гиперплоскостью уровня относительно гиперплоскости

ГЛАВА 4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ

ЛИНЕЙНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ

В пространстве Е

прямая и плоскость, а также две плоскости,

могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными.

Выполним на рассматриваемой графической модели решения пози-

ционных, аффинных и метрических задач для указанных пар геомет-

рических объектов.

4.1. Пересечение прямой и плоскости

Из аксиомы стереометрии [7]: «Если две точки прямой лежат в

плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости» следует, что

прямая и плоскость могут пересекаться в точке - собственной или не-

собственной (бесконечно удаленной). В последнем случае прямая и

плоскость являются параллельными, кроме того, исходя из формулы

s = m + q-n размерности пространства пересечения (п. 1.7.2), также

получаем пересечение прямой и плоскости пространства Е

в точке,

поскольку 5 = 2 + 1- 3 = 0.

Рассмотрим алгоритм конструктивного определения точки пере-

сечения прямой и плоскости. Пусть на чертеже (рис. 4.1) заданы

плоскость Ф(а// в) и не принадлежащая ей прямая с(с

,с

). Требует-

ся определить точку пересечения сГ)Ф. Отметим, что существуют

различные решения данной задачи [23]. Наиболее простое графиче-

ское решение ее может быть выполнено на основе применения пары

конкурирующих прямых, принадлежащих одной проецирующей

плоскости. Одной прямой этой пары служит заданная прямая с, а

другой - прямая d с Ф. В этом случае определение искомой точки

пересечения с[}Ф сводится к определению точки пересечения cf]d,

поскольку при с Ф имеет место тождественное равенство

с(]Ф - cf]d. Алгоритм решения задачи может иметь нижеследующий

вид.

1. c

(прямые с и d - фронтально-конкурирующие);

2. d

f)a

, d

f]e

;

3. 1

-И, еа,, 2

—>2

ее,;

4. ri, =(lj,2]) - проекция d

прямой d определена проекциями

l|,2j ее точек 1 и 2;

Точка

Рис. 4.1. Модель построения

пересечения прямой и плоскости

К(К

, К

) является решением

задачи.

Для полноты представле-

ния расположения прямой с и

плоскости Ф относительно

друг друга и относительно

плоскостей проекций Я, и П

необходимо рассмотреть оп-

ределение видимости прямой

с при ее пересечении с плос-

костью Ф. Видимость опре-

деляется относительно плос-

кости проекции с учетом на-

правления проецирования.

Смысл сказанного и способ

определения видимости заключается в следующем. Предположим,

что заданы: плоскость ортогонатьных проекций 77, прямая с и плос-

кость Ф с их точкой пересечения К (рис. 4.2). Очевидно, последняя

является границей видимости прямой с относительно плоскости Ф

при проецировании на П. Возьмем на прямой с точку М * К и про-

ведем проецирующую прямую т 1 П такую, что Mem. 11усть

тГ\Ф-А', тГ\П = М'. Тогда на прямой т возможны расположения

тройки точек в последова-

тельности, соответствую-

щей ортогональному про-

ецированию на 77:

М -> /V -> Л/' либо

N -> М -> М'. Для наблю-

дателя, расположенного в

соответствии с направлени-

ем проецирования перед

тройкой точек, в первом

случае будет «открытой», то

есть видимой, ближе распо-

ложенная к нему точка М.

Очевидно, что в этом случае

Рис. 4.2. Определение видимости прямой

при ее пересечении с плоскостью

|MMJ>j/VAf|, то есть видимой является более удаленная от плоскости

U точкам е с. Во втором случае имеет место ]/УМ

|>|ММ'], то есть

видимой является более удаленная от плоскости П точка N е Ф.

Следовательно, при ортогональном проецировании на плоскость П в

первом случае получаем на П изображение [&Т'М') видимого луча

[КМ) прямой с, а во втором - изображение [ЛГ'М') ее невидимого

луча, расположенное справа от точки К'. Очевидно, что произволь-

ное и единственное назначение точки М Ф К на прямой с не влияет

на результат анализа рассматриваемой видимости.

На рисунке 4.1, в соответствии с изложенным, дважды определе-

на видимость.

1. Видимость относительно плоскости проекций П

при помощи

фронтально-конкурирующих точек 2 € Ф и 3 е с; 2

= 3

, 2, Ф 3j. По-

скольку у

> у

, то есть точка 3 е с более удалена от плоскости П

чем точка 2 е Ф, то точка 3 видима при проецировании на П

и луч

[КЗ) прямой с является видимым при этом проецировании.

2. Видимость относительно плоскости проекций П

при помощи

горизонтально-конкурирующих точек 4 е с и 5 е Ф : Л

= 5

Ф 5

Гак как z

> z

, то есть точка 5 € Ф более удалена от плоскости Я,

чем точка 4 е с, то точка 5 видима при проецировании на П

и луч

[КЛ) прямой с является невидимым при этом проецировании.

Очевидно, определение видимости прямой имеет смысл при до-

пущении, что плоскость Ф представляет собой непрозрачную неогра-

ниченную либо ограниченную пластину бесконечно малой толщины.

На рисунке 4.3 на ос-

новании вышеуказанного

определена видимость пря-

мой с общего положения,

пересекающей проецирую-

щую плоскость Ъ LII

точке К при проецирова-

нии на П

, поскольку с

учетом указанного допуще-

Рис. 4.3. Модель построения ния, на плоскость П

пря-

пересечения прямой общего положения мая с проецируется как ви-

с проецирующей плоскостью димая.

6. К, —> /С

e c

х-

Рис. 4.4. Модель построения

пересечения проецирующей прямой с

плоскостью общего положения

На рисунке 4.4 определе-

на видимость проецирующей

прямой сА-П

, пересекающей

плоскость Ф(ААВС) общего

положения в точке К. Для

анализа видимости прямой с

относительно плоскости Ф

при проецировании на П

ис-

пользуется пара фронтально-

конкурирующих точек 2 е Ф и

Зес, при этом у

>у

Рассмотрим определение

точки пересечения прямой и

плоскости, заданной на графи-

ческой модели родством. Пусть заданы: прямая т(т

,т

) и плос-

кость Ф(я,Д,Л

), где s - ось родства; А

,А

- пара соответственных в

родстве точек, при этом /и<гФ (рис. 4.5). Требуется определить точ-

ку пересечения тоФ. Последовательность графического решения

рассматриваемой задачи имеет нижеследующий вид.

1. Строим прямую я,, соответственную прямой п

- т

в родст-

ве (s,A

). Для этого вначале

назначим точку 1

ея

. Затем

построим прямую 1

и опре-

делим точку пересечения

C\s. В пересечении

прямой 2, Л, и прямой е на-

правления родства определим

точку 1], соответственную точ-

ке 1

в родстве. Прямая

я, = (l

) является искомой.

2. Определим проекции

искомой точки пересечения К:

ЛГ, = т

пп

К, -> К

ет

Рис. 4.5. Модель построения

пересечения прямой и плоскости,

заданной родством

4.2. Пересечение двух плоскостей

Исходя из формулы размерности пространства пересечения

(п. 1.7.2) две плоскости в пространстве Е

пересекаются по прямой

линии, поскольку $ = 2 + 2- 3 = 1. Эта линия может быть собственной,

либо несобственной. В последнем случае плоскости являются парал-

лельными. Рассмотрим решение задачи определения линии пересече-

ния двух плоскостей. Пусть на графической модели пространства за-

даны две плоскости общего положения ЩААВС) и А(т//п)

(рис. 4.6). Требуется построить их линию пересечения ZnA. Алго-

ритм решения данной задачи основал на алгоритме решения преды-

дущей задачи (п. 4.1) и включает по существу дважды повторенное

решение рассмотренной задачи. Действительно, для определения

прямой линии пересечения In Д необходимы, как и для всякой пря-

мой, две ее точки. Каждая из них определяется как точка пересечения

произвольной прямой, взятой в одной плоскости, с другой плоско-

стью. На основании сказанного последовательность конструктивного

решения поставленной задачи может быть нижеследующей.

1. В качестве одной из

двух прямых, необходимой

для определения одной из

двух точек искомой линии

пересечения, выберем пря-

мую т с Д. На основании

алгоритма определения точ-

ки пересечения прямой и

плоскости (п. 4.1) выполним

соответствующие построе-

ния и определим точку перс-

сечения тглЪ = М(М

,М

2. Выберем в плоскости

Д другую прямую, напри-

мер, п и определим точку пе-

ресечения ип1 = 7V(7V, ,N

3. Проведем линию

l=(M,N), которая и будет искомой линией пересечения /=Е гл Л .

Рис. 4.6. Модель построения пересечения

двух плоскостей общего положения

Если одна из двух пересекаю-

щихся плоскостей занимает относи-

тельно плоскостей проекций частное

положение, решение рассматриваемой

задачи значительно упрощается. Рас-

смотрим этот случай. Пусть на графи-

ческой модели заданы две плоскости

Pfanb) и Т 1 П

(рис. 4.7). Постро-

им их линию пересечения. Поскольку

одна из плоскостей, а именно, плос-

кость Г

является проецирующей, то

= /

, то есть фронтальный след Т

плоскости Т есть одновременно и

фронтальная проекция искомой линии

пересечения /.

Рис. 4.7. Модель построения

пересечения плоскости общего

положения и проецирующей

плоскости

Поэтому ее недостающая проекция /, строится по принадлежно-

сти: /, пдг, = 1,; /, пй,

•1, ей,; 2

-»2, е*,; (1„2,) = /,

Решение предыдущей задачи (рис. 4.6) может быть сведено к ре-

шению рассмотренной задачи, если одну из двух пересекающихся

плоское 1 ей преобразовать в

положение проецирующей

плоскости (рис. 3.27). Для это-

го потребуется всего одно

преобразование системы ос-

новных плоскостей проекций,

например: X—-—»Х--

Если на графической мо-

дели обе пересекающиеся

плоскости заданы родством,

например, Ф(л, А,,А

) и

Ф\^,А\,А'

), то последова-

тельность конструктивного

определения их линии пересе-

чения может быть нижесле- Рис. 4.8. Модель построения

дующей (рис. 4.8). пересечения двух плоскостей,

заданных родством

Г12

1. Проведем в поле "первых" проекций родственных соответст-

вий (s,A\,A

) и (s',A\,A'

) произвольную прямую m, =т\. Исполь-

зуя алгоритм построения проекций точки, принадлежащей плоскости,

заданной родством (рис. 3.16), построим "вторые" проекции т

и т'

прямых т и от', принадлежащих соответственно плоскостям: тсФ,

/и'с Ф'. Для построения этих проекций используются вспомогатель-

ные прямые асФ и а'сФ', проекции которых соответственны в

родстве: а,, а

-вродстве (s,A

{

); а\, а\ -вродстве (s',A\,A'

2. Определим точку К по ее проекциям К

= т

Г\т'

—> К

е /71,, которые являются соответственными в обоих родствах

(s,A

) и (s',A\,A'

3. Определим искомую линию / пересечения плоскостей по ее

проекциям, соответственным в обоих родствах: 1

-(К

,Е

);

/, = (К,, £,), где Е

]

=Е

= sf]s'.

4.3. Параллельность прямой линии и плоскости

В соответствии с формулой (1.5) определения степени парал-

лельности, прямая и плоскость в пространстве Е

вполне параллель-

ны, поскольку рц

~Л

^' ^

УР

се

стереометрии [7] известен при-

знак параллельности прямой и плоскости, формулированный в виде

следующей теоремы: если прямая, не лежащая в данной плоско-

сти, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоско-

сти, то она параллельна данной плоскости. Из признака параллель-

ности следует практическое указание для ее реализации на графиче-

ской модели пространства: построение прямой, параллельной данной

плоскости, требует предварительного проведения какой-нибудь пря-

мой в этой плоскости. Логическая неопределенность "какая-нибудь" в

признаке параллельности позволяет заданием дополнительных усло-

вий выделить однопараметрическое множество (пучок) прямых или

единственную прямую из двухпараметрического множества прямых в

плоскости, удовлетворяющих условию параллельности. В подтвер-

ждение сказанного рассмотрим пример. Пусть на графической модели

(рис. 4.9) заданы: плоскость общего положения Ъ(а//Ь), точка

C(C,,C

)£l и проекция т

прямой т. Требуется построить полную

модель прямой mim^nh) по условиям: Сет, т II2 . Очевидно, этими

условиями определена един-

ственная прямая т простран-

ства. Действительно, парамет-

рическое число прямой про-

странства Е

, на основании

формулы (1.1), равно D™=4.

Определим размерность усло-

вия прохождения прямой про-

странства через точку. По

формуле (1.4) размерность

этого условия <4л) вычисляет-

ся следующим образом:

Рис. 4.9. Модель построения прямой

линии, параллельной плоскости

(2-3-1И1 + 1)

•(3

Признак (условие) параллельности прямой и плоскости про-

странства Е

имеет размерность, вычисляемую по формуле (1.6):

Q,, = 1 • 1 -(3-1 -2 + 1 • I)- 1. Условие задания одной проекции т

ис-

„ 1,0

комой прямой

имеет символическое представление:

и его

раз-

мерность может быть вычислена по формуле (1.4) следующим обра-

зом:

Таким образом, сумма размерностей указанных условий задачи

равна Q

{^) + Qii+Q

{exo) =

n = 4,

что

говорит о корректности

поставленной задачи и единственности ее решения. На основании

признака рассматриваемой параллельности и проведенного анализа

условия задачи выполним ее конструктивное решение в следующей

последовательности:

1. т

п а

= 1

, nb

;

2. 1

->1,

еа,, 2

->2, е/>,;

0„2

) = /

;

4. щП\

, С, еот,.

Построенная прямая т^пц,)?^) является искомой. Вспомогатель-

ная прямая Щ

-щ) является, в соответствии с отмеченной выше

логической неопределенностью "какая-нибудь", прямой пучка парал-

лельных прямых в плоскости X, выделенного из двухпараметрическо-

го множества прямых этой плоскости условием задания проекции

= т

прямой /. Это условие, как было показано выше, имеет раз-

мерность Q

) = }.

4.4. Параллельность двух плоскостей

В соответствии с формулой (1.5) степени параллельности две

плоскости

в пространстве Е

вполне параллельны, поскольку

Р/1

= 1. В стереометрии [7] известен признак параллельности

двух плоскостей, выраженный следующей теоремой: если две пере-

секающиеся прямые одной плоскости соответственно параллель-

ны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллель-

ны. Из признака параллельности следует практическая рекомендация

по определению плоскости, параллельной данной: необходимо про-

вести две пересекающиеся прямые в данной плоскости, а искомая

плоскость определится парой пересекающихся прямых, соответствен-

но параллельных проведенным пересекающимся прямым. Рассмотрим

решение задачи. Пусть

на графической моде-

ли заданы плоскость

Ъ(А, а) и точка М <£ £

(рис. 4.10). Требуется

построить плоскость Л

по следующим усло-

виям: Me А, А//Е.

Этими условиями оп-

ределяется единствен-

Рис. 4.10. Модель построения параллельных

ная

плоскость. Дейст-

плоскостей вительно. Параметри-

ческое число плоскости пространства Е

, согласно формуле (1.1),

равно D™ - (3 - 2) • (2 +1) = 3. Условие прохождения плоскости через

точку имеет символическое представление е^о»

и его

размерность

определяется в соответствии с формулой (1.4) следующим образом:

/\ , 2.1ЛК

(2-3-2)-(2 + 1)

(3 +

Учитывая, что две плоскости в пространстве Е

вполне парал-

лельны, поскольку их степень параллельности по формуле (1.5) равна

^Г~

0П

елим по

формуле (1.6) размерность этой парал-

лельности: Q

=1-2 -(3-2-2 + 1-2) = 2. Таким образом, получаем

равенство параметрического числа плоскости пространства и суммы

размерностей условий задачи:

Следовательно, условия рассматриваемой задачи корректны и

она имеет единственное решение.

Алгоритм решения задачи в соответствии с признаком парал-

лельности может быть нижеследующим

1. В плоскости проекций 77

проведем линию А

е /

;

2. /

ел а

= 1

'•>

3. 1

—» 1, ЁЙ,;

4. (1„4) = V.

5. т

II а

, М

е от

. т

II а

, М

е гп

;

6. п

II /

, М

е и

, л, /7 /[, Л/, е /г,.

Искомая плоскость А определена двумя пересекающимися пря-

мыми т(т

,т

) и «(«,, л

), при этом mil и, п/11.

Решение данной задачи можно представить как дважды повто-

ренное решение предыдущей задачи (п. 4.3). Действительно, из при-

знака параллельности двух плоскостей следует, что если каждая из

двух пересекающихся прямых параллельна плоскости, то плоскость

этих прямых параллельна этой плоскости. Поэтому вышеприведен-

ный алгоритм можно представить в следующем кратком виде:

1. тИИ, М ет;

2. nllzZ, М е п.

4.5. Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая и плоскость в пространстве £

вполне перпендикулярны,

так как согласно формуле (1.8) степень их перпендикулярности равна

0 + 1

1 г,

= —— = 1. В стереометрии известен признак перпендикулярности

прямой и плоскости [7], выраженный следующей теоремой: если

прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежа-

1цим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. В со-

ответствии с признаком, для построения прямой, перпендикулярной

данной плоскости, необходимо в этой плоскости предварительно про-

вести две пересекающиеся прямые, а затем добиваться перпендику-

лярности искомой прямой каждой из проведенных пересекающихся

прямых. Таким образом, решение задачи о перпендикулярности пря-

мой и плоскости основано на решении задачи о перпендикулярности

двух прямых (пересекающихся или скрещивающихся). Рассмотрение

перпендикулярности двух прямых на графической модели основыва-

ется на теореме о проекции прямого утла: если одна сторона прямо-

го угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпен-

дикулярна, то на эту плоскость проекций прямой угол проециру-

ется без искажения. Рассмотрим доказательство этой теоремы. 11усть

ZABC = 90°, стороны прямого угла удовлетворяют условиям: сторо-

на А В параллельна плоскости проекций П; сторона ВС не перпен-

дикулярна и не параллельна плоскости проекций П (рис. 4.11). До-

кажем, что /.А' В' С=90°. По-

скольку АВ I! П и А' В' есть ор-

тогональная проекция стороны

АВ, то АВИ А'В'. Прямая А В

перпендикулярна плоскости

Ф(ВСГ\ВВ'), где В В' - проеци-

рующая прямая (ВВ'1 Л). Дей-

ствительно. АВ ± ВС но усло-

вию теоремы и ABLBB', так

как ВВЧП и АВ//П. На осно-

вании признака перпендикуляр-

ности прямой и плоскости сле-

дует, что АВ ± Ф. Из известно-

го в стереометрии определения прямой, перпендикулярной плоскости

[7]: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она

перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости - из

этого определения следует, что перпендикулярная прямая перпенди-

кулярна любой прямой в этой плоскости. Поэтому из перпендикуляр-

ности АВ _1_ Ф следует А В X В'С, поскольку Д'С'сФ как линия пе-

ресечения ФпП = В'С. А поскольку АВИА'В', то А'В'1В'С, то

есть Z.A' В'С— 90°. Если ВС//Л, то утверждение теоремы очевидно.

Рис. 4.11. Интерпретация теоремы о

проекции прямого угла