Волков В.Я. и др. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

В геометрии известны следующие методы моделирования абст-

рактных пространств: аналитический, конструктивный и аксиомати-

ческий [16, 24]. При аналитическом моделировании в зависимости от

структуры исходного пространства применяют различные системы

координат. В случае евклидова пространства, характеризующегося

линейной структурой, применяются: декартова, сферическая, цилинд-

рическая системы координат. Для аффинного и проективного про-

странств применяются соответственно косоугольная и проективная

системы координат. Для моделирования линейчатого пространства с

основным объектом - прямой линией, характеризующеюся квадра-

тичной структурой, применяют плкжкеровы координаты, удовлетво-

ряющие однородному квадратному уравнению [17, 28].

В случае конструктивного моделирования исходное пространство

и его модель связаны некоторой проекционной системой, включаю-

щей проецирующие линии и поверхности. Такое моделирования дос-

таточно очевидно и наглядно. Оно является основным методом ис-

следования в классической начертательной геометрии.

При аксиоматическом моделировании отсутствует конструктив-

ная проекционная связь между исходным пространством и его моде-

лью - пространством образов. Важным критерием существования ак-

сиоматической модели исходного пространства является равенство

размерностей основного объекта пространства и его образа на модели

и сохранение структуры пространства на его модели.

2.1. Конструктивные модели пространства Е

В главе 1 было показано, что операция проецирования устанав-

ливает однозначное отображение точек {А е £„)-» (Л'е П

), однако

она не позволяет установить обратное отображение А'-+ А. Поэтому

утверждается, что поле точек 11

не является моделью пространства

. С практической точки зрения чрезвычайно важно, чтобы отобра-

жение Е„ —> П

было взаимно однозначным почти для всего про-

странства Е

. Термин "почти" означает, что отображение Е

<-> П

будет взаимно однозначным кроме конечного числа подпространств

Е„ и конечного числа точек и прямых плоскости П

. Если такое ото-

бражение получено, то говорят, что построена обратимая модель про-

странства £„ на плоскости П

. Смысл обратимости состоит в том,

что по заданному образу точки на П

можно восстановить прообраз

этой точки в Е„. Однако образом не может быть точка, так как двух-

параметрическое множество точек П

не эквивалентно п парамет-

рическому множеству точек Е

: оо

Ф СО". Следовательно, образом

должна быть некая фигура Ф е П

, состоящая из конечного числа то-

чек и прямых, связанных условиями инцидентности в определенном

порядке. Например, это может быть к точек (А:-вершинник, полный

к -угольник) или к прямых (А-сторонник), пригодные для модели-

рования четномсрных пространств Е

2к

, это могут быть кривые (ок-

ружности, параболы, эллипсы и гиперболы для моделирования £

, Е

соответственно), множества кривых и др.

Поскольку в данной главе мы имеем дело с линейным простран-

ством, то использовать в качестве образов кривые линии нет необхо-

димости. Ограничимся только фигурами, состоящими из точек и пря-

мых. Пусть пространство Е

четномерно: п = 2к. Тогда, используя к

операций проецирования из (я-З)-мерных центров 5,',_

, i-\,...,k

на плоскость П

, получим к точек А' е П

в качестве образа точки

А € 5„. Возникает вопрос, как должны быть выбраны центры

{Sl,_

}<zE„, чтобы отображение (А е Е„) О ({А

} с П

) было обра-

тимым? Для ответа на него будем рассуждать следующим образом.

Пусть 5^_

выбраны в Е„ совершенно независимо друг от друга. То-

,i к . Yi

гда /А[ ,S'

) = P

. Можно заметить, что Г\К-2 = Л, где к = . Дей-

СТВИТеЛЬНО, Р^

Г\Рп-2 -

n-4 '

n~S\

n-2

п-Ь

п-бС\Р*-2 =

п-К>

n 2kl2

f)P*-2

п-2к

о =

- Таким образом, условие обрати-

мости модели пространства Е

для точки удовлетворяется. По удов-

летворяется ли условие обратимости для прямой? Прямая задается

двумя точками А е Е

и В е £„, А Ф В. Те же к операций проециро-

вания породят на П

к образов прямых /т"В', для которых будет со-

блюдаться проективное соответствие точечных рядов:

(А,В,С,...)л(А',В',С,...), i = l, к. Следовательно, на П

будут

порождаться проективные соответствия рядов (А ,В ,С ,...)л

л(А

,В

,С

,...)л... л(А

,В

,С

,...). Но эти проективные соответст-

вия будут служить моделью прямой АВ в том случае, если будут из-

вестны по три точки из каждого точечного ряда. А наша конструкция

позволяет иметь на П

только по две точки А' и В', так как

S'„_

f]n

=0- Таким образом, условие обратимости модели для пря-

мой не удовлетворяется. Следовательно, центры проецирования S'

не могут выбираться в Е

произвольно, независимо друг от друга.

Рассмотрим другой случай. Пусть {^.,}сР„_

с£

. Тогда

Р„_

Г)П

=0. Пусть выбрана точка ЛеЕ„, А^Р

_^. Тогда

(А, Р

\ - Р

и Р

Г\П

=Ь

, ОеЦ. Имеем следующее:

(A, S'„.3) = PJ,

с Р„ .,, Р1_

П Ц = А

. Следовательно, А

е L,,

/ = 1,...,и-1. Моделью точки АеЕ

на 11

будет множество точек

А' б L,. Проверим обратимость модели. Пусть произвольно заданы

точки А' €£,; / = -1. Имеем [A\S'^

) = />

с Р„ ,,

^20^2=^.3^^-1, ^-зП^-2 = ^-4с:Р

.... Я,ПС"2 =

= £<, = /1 е . Таким образом, модель точки АеЕ„, представляю-

щая собой множество A' ei,, L, э0. i = l,,..,n-\, является обратимой

для точки.

Проверим обратимость модели для прямой АВсЕ

ABf}P„ : -0- Будем иметь: (А, В, С,...) л (А

, В',С',...), / = 1, ...,«-1,

(A,B,C,-)A(Lf,Lf,!!{,...).

Поскольку Ц*эО, ifaO, эО, то (Л

,С',...)л

л(А~,В ,С

,...)л...л(А"~

}

,В"~

,С"~

,...). Перспективное соответст-

вие точечных рядов задается двумя парами соответственных точек,

поэтому получаемая модель обратима для прямой АВ. Из этого непо-

средственно следует, что модель обратима для двух пересекающихся

прямых, т.е. - для плоскости, для трех пересекающихся в одной точке

прямых, т.е. - для 3-плоскости и т.д.

Изменим рассмотренную конструкцию таким образом, чтобы мо-

дель точки А представляла собой множество точек

[U'jc/^aOlU \А"-

&И

\, А"-

е1

, i = l, ...,«-3. Это означа-

ет, что центры проецирования S'

cz Р„^

, но S^_

cztP„,

. Тогда для

любой точки А е Е

, А& Р

получим выбранную модель, которую

проверим на обратимость. Для множества точек j^'jczL,, Lj э 0 по-

лучим i подпространств Р„'_

сР

_,, пересечением которых будет

единственное подпространство Е

аР

пА

. Тогда E

f](^A

,S",Z

) =

= Е

= А, Л е Р

п л

. Следовательно, модель обратима для точки.

Чтобы получить обратимость модели для прямой АВ, на

плоскости П

необходимо получить исключенную точку

О = Р„-

Г\П

, которая будет центром пучка прямых (Ц, Lf, L\ , ...) л

л (А, В, С, ...), и исключенную прямую т = P„_.

f\ll

, которая будет

носителем третьих точек проективных рядов {А"'

, В"~

, М"

, ...) л

(А, В, М, ...), где М = АВ f]P„_

. При этом Оет. Прямая АВ с Е„,

AB(Z.P

, будет иметь моделью соответственные точечные ряды

(А, В, С,

..АлЩ',

I», 4',

...),

(А\ В\С

, ...) л

(А

,В

,С\

•••)

X ...л (А"'

, В"~\ С"-

, ...), (А, В, М, ...)л (Л

и_2

, В"'

, М"

, ..,),

(А"~

,В"~

,М

, ...)л {AZ,B\M\ ...), где М' = Л*В'Г\т, i = 1,

п - 3. Это возможно в том случае, если центр S"Zl будет относитель-

но Р„_

не в общем положении, а в частном. Именно,

J\\P„.

S"„-J.

Тогда

(s"

:lP

)

= P

Пусть модель точки А представляет собой множество

эО] IJ К'

-4

еЛ

еЯ

], А"~

, А

ЫЦ, / = 1,

n - 5. Рассуждая аналогично, можно доказать ее обратимость.

Моделью прямой АВ с Е

, АВ <Х Р

п2

будут па П

соответст-

венные точечные ряды, аналогичные приведенным выше. Однако

центры 5^Г

и 5*^ J должны быть не в общем положении относитель-

но и

относительно друг друга, а - в частном. А именно,

необходимо, чтобы S"Z$ П Р„ г - >

"-l\\

n-2 ~

[S"Z*,Р„-

)

(Зп-1>

-г)

п-\

в этом

сл

чае

модель

будет

обрати-

ма для прямой.

Продолжая этот процесс, мы придем к выводу, что вес центры

проецирования о„_

, i = l, должны принадлежать гиперплоско-

сти Р

{

пространства #

Пусть пространство Е

нечетномерно: « = 3,5,7,.... Тогда усло-

вие расположения центров проецирования {S'

} с Р

с Е

, i = 1,...,

п-1, порождает обратимую модель на плоскости П

• Доказательство

этому будет аналогично доказательству в случае четномерного про-

странства.

Выводя из подпространства Р

центры S'

один за другим,

получим модель, состоящую из точек [{А'\ с L

э 0] (J [А' е //,],

А> г А,, 0=Р

ПЯ

,£, =Р

.,П^2-

Существование гиперплоскости необходимо для выполне-

ния условия проективности точечных рядов при получении модели

прямой пространства Е„. В конечном итоге будут получены точки

п-1

А' еЯ

, j = 1, и прямая сЯ

;

, L, эО. Центры проекций

5,',..

и Р

должны располагаться в одной гиперплоскости Р„_,.

Подробное исследование таких конструкций выходит за рамки

настоящей книги. Поэтому рассмотрим более подробно только одну

из них, а именно ту, у которой [S'

_~} с: Р

с Е

, и независимо от

размерности пространства.

Пусть в пространстве Е

задана декартова система координат

Ох

...х

. Пусть плоскость проекций Я, совпадает с плоскостью

Ох

. Тогда оси 0х

(

, / = 3,...,«, будут перпендикулярны плоскости

= Ох

. Пусть проецирование на Я

будет ортогональным. Тогда

центры проецирований S'

должны быть бесконечно удаленными и

должны принадлежать (я - 2)-плоскостям в следующем порядке:

с:<9л

...х„,

5„'_з с Ох

4 '

^'^ сОь^Х/...!..

Эти центры порождают следующие проекции:

Лр

1,«

(

)

= Л

п-Ъ

Пр

^А) = А

еОх

=П

3/а

(А) = А

е Ох

= II

'V-3

Л/Vi,» (4) = Л-1

<?*л = •

«-3

Поскольку все эти проекции двумерны, то обозначать размер-

ность нижним индексом нет смысла. Поэтому, следуя традиции, ниж-

ний индекс будет обозначать порядковый номер проекций.

Так как у всех проекций есть общая ось Ох,, то плоскости

,....,П„-\ можно развернуть вокруг оси Ох

{

на 90° до совпадения с

плоскостью проекций /У,. Тогда оси Ох

,Ох

,...,Ох„_

совпадут. Та-

ким образом, модель пространства будет иметь две оси: ось Ох, и

перпендикулярную ей ось Ох

= Ох

= ... = Ох„.

2.2. Аксиоматические модели пространства Е

Из того, что было изложено в п.п. 2.1, следует, что в пространст-

ве Е„ должны быть выделены два исключенных подпространства

Р„_

-\ > Л>-2 сР„ ,. Построенные конструкции позволяют моде-

лировать все пространство Е

, кроме этих двух подпространств. Это

пе означает, что на плоскости проекций нет образов, моделирующих

_i и Р„_

. Просто изучение этих образов есть предмет серьезного

научного исследования и не является нашей задачей. Поэтому, в дан-

ном случае, будем считать, что все точки подпространств P

n 2

и Р„_,

являются исключенными.

На плоскости проекций П

будут существовать два исключен-

ных элемента: точка Р = P

С\П

и прямая I = Р

Г)П

, Pel. В

силу приведенных в п.п. 2.1 условий подпространства Р

и Р

{

могут быть выбраны произвольно. Это означает, что исключенные

точка Р е П

и прямая / е II

тоже могут быть выбраны произволь-

ны. Таким образом, модель пространства Е„, построенная без конст- ,

руктивной связи с Е

, будет называться аксиоматической моделью.

Ее общий вид для точки А е Е„, А <£ Р

пЛ

представлен на рисунке 2.1,

где к + 1 + 2т = п. На рисунке 2.2 приведена модель прямой АВ е Е„,

АВаР„

Рис. 2.1. Аксиоматическая модель пространства Е

Рис. 2.2. Модель прямой АВ пространства Е

Модель прямой АВ включает в себя условия перспективного и

проективного соответствия точечных рядов:

(А

,В

...)л(А

,В

,...)л...л(А

,В

,...)

,...)A(A

,...),

(2.1)

i = l,...,k; j = k + \,...,m.

Исходя из этого, можно доказать существование модели плоско-

сти ABC с: Е„, АВС&Р

, модели 3-плоскости ABCD а Е

ABCD от Р

и так далее, вплоть до гиперплоскости пространства Е„.

Все 2-плоскости, 3-плоскости, гиперплоскости будем считать на-

ходящимися в общем положении относительно проекционной систе-

мы, отображающей пространство Е

на плоскость.

Сначала покажем, что представляют собой модели перечислен-

ных подпространств, а потом подтвердим эти модели расчетом пара-

метров.

Пусть требуется построить модель 2-плоскости ABC. Будем

иметь:

В последнем соответствии прямая / соответствует сама себе.

3—плоскость задается четверкой независимых точек

(A, B,C,D,...), моделями которых являются (А

}

, А

,А

,...,B

), (C

,...,C

),(D

,...,D,„). На плоскости модели

существуют

особые точки О

=...-О

- Р, О

к+]

el,

к+2

el,

el, по отношению к которым четверки точек A

лежат

на соответственных лучах.

Если 3-плоскость рассматривать как однопараметрическое мно- »

жество (пучок) 2-плоскостей, то на плоскости модели будут сущест-

вовать однопараметрические множества проективных соответствий

(2.2)

точечных полей. Тогда произвольное множество точек (Е,,...,Е

) бу-

дет моделировать точку Ее Р

, но не принадлежащую гиперплоско-

сти (ABCD). А множество точек (E

)A(E

)A...

л(E

) будет моделью точки Е, принадлежащей гиперп-

лоскости (ABCD).

И так далее.

Размерность множества прямых пространства Е

равна 2(п-\).

Задание элементов модели одной точки требует I + к + 2(т - к) пара-

метров, двух точек - соответственно 2[1 + к + 2(т - к)] параметров.

Следовательно, 2[1 + к + 2(т - к)] = 2и. Проективность прямолиней-

ных рядов задается двумя парами точек (третья лежит на исключен-

ной прямой /). Поэтому имеем 2п - 2 = 2(п -1).

Размерность множества плоскостей пространства Е

равна

3(я-2). Плоскость задается тремя точками, что на модели требует

задания 3[1 + к + 2(т - it)] параметров. Проективное соответствие за-

дается тремя нарами точек, что требует задания 6 параметров, кото-

рые необходимо вычесть из суммы параметров. Имеем

Зи-6 = 3(и-2).

Размерность множества 3—плоскости пространства Е„ равна

4(л-3). 3-плоскость задается четырьмя точками, что потребует

4[1 + к + 2{т - к)] параметров модели. Но модель 3-плоскости требует

задания любых двух проективных соответствий двух плоских полей,

т.е. получим 4[1 + к + 2(т - к)] -12 = 4и -12 = 4(л -3).

И так далее.

Рассмотрим построение точки, принадлежащей заданному под-

пространству, используя для этого только модель пространства.

Предварительно выясним, сколько параметров можно задать

произвольно. Прямая «-мерного пространства задается аналитически

системой линейных уравнений

) = О

J /

(*1

*з) = °

Очевидно, что задание одного любого параметра х,,...,х„ позво-

ляет построить точку данной прямой.

2—плоскость и-мерного пространства аналитически задается сис-

темой линейных уравнений

J](

з)

^fn(

n) ~®>

из которой видно, что произвольно можно задать любые два парамет-

ра.

Продолжая этот процесс, придем к выводу, что для задания точки

к -плоскости произвольно можно задать к любых параметров.

Построение модели точки С, принадлежащей прямой АВ, осу-

ществляется на основе проективных соответствий (2.1). Для построе-

ния необходимо задать произвольно только один параметр, например,

задать прямую пучка (Р). Тогда получим к точек С, ее, С

ее,

ее, а проективные соответствия позволят построить точки C

/t+]

на прямых А

к+1

к+и

Построение модели точки D, принадлежащей плоскости ЛВС,

осуществляется следующим образом. Для построения необходимо за-

дать произвольно два параметра, например, задать прямую d пучка

(Р) и одну точку на ней D

{

€c/. Тогда проективные соответствия

(2.2) позволят построить точки D

, D

k+i

и все остальные точ-

ки D

k+2

, D

полей (A

k+2

kl2

,l),..., (А

,В„„С

,1).

Построение модели точки Е, принадлежащей 3-плоскостп

ABCD, можно выполнить по следующему алгоритму. Для построения

необходимо задать произвольно три параметра, например, задать

прямую е пучка (Р), две точки на ней £, ее, Е

ее

- Тогда проек-

тивные соответствия (с, d,е,/,...) л (C

k+l

, D

k+)

, Ек+i,М

кл

,,...) позво-

ляют выделить в иоле (A

^,D

l) подполе

(А

к+1

,В

к+1

, Ек+\,1)- После этого можно перейти к задаче построения

точки E

k+l

z(A

k+2

,l), E

e(A

,l), т.е. к задаче

на принадлежность точки плоскости.

И так далее.

В качестве примера рассмотрим модель 3-плоскости ABCD пя-

тимерного пространства и построение принадлежащей ей точки Е.

Пусть модель 3 -плоскости ABCD имеет вид (рис. 2.3):

0(а, Ь, с, d) - пучок прямых с центром О,

} - четыре точки 1-го поля,

} - четыре точки 2-го поля.

Проективные отношения между этими множествами следующие:

(1,А

,В

,С

,..УМ1,А

,В

,С

,...),

(1,A

,^..)A(1,A

,...),

0(1, а,Ь,...)л (М

,А

,В

,...), М

=А

[)1,

0(1,а,с,...) л (N

, А

,С,,...), N

= А

С,Г]/,

0(1,Ь,

с,...)

, В

, С,,...),

=В

С,П/.

С \

Рис. 2.3. Модель 3-плоскости ABCD

Произвольно задаются: луч Ое и точка Е

. Па прямой / найдется

такая точка 0\, для которой четверка лучей О

, 0\В

, 0\С

, 0\Е

четверка лучей Оа, Ob, Ос, Ое будут образовывать одно и то же

сложное отношение Я. На прямой / найдется и такая точка 0\, для

которой четверка лучей 0\А

, 0\В

, 0\D

, 0\Е

и четверка лучей Оа,

Ob, Od, Ое будут образовывать одно и то же, но другое, сложное

отношение Я. По сложным отношениям Я и Л на прямой / находятся

точки Oi и Oi, и, соответственно, лучи ОгЕ

, ОгЕ

, пересечение ко-

торых есть точка Е

. Следует заметить, что этот общий алгоритм не

единственный. Могут быть и другие способы построения модели точ-

ки Е(е,Е

,Е

Из всего сказанного можно сделать важные выводы:

1) если моделируемое пространство обладает линейной структу-

рой (пересечение любых линейных подпространств есть линейное

подпространство, и линейное расширение любых линейных подпро-

странств есть линейное подпространство), то модель этого простран-

ства тоже обладает линейной структурой (все соотношения между

элементами модели перспективные и проективные, т.е. линейные);

2) если размерность моделируемого пространства больше раз-

мерности пространства модели, то в пространстве модели должны

существовать исключенные элементы (точки, прямые, плоскости, ...).

Дадим важные для дальнейшего изложения определения струк-

туры пространства и структуры модели.

1. Структурой /7-мерного пространства называется упорядо-

ченный набор (а

,а

,...,а

п Х

,В), где a

- множества, элементами ко-

торых являются /'-плоскости; В - множество бинарных отношений,

В £ ы,- ха

Если А е a

и а ея-, i< j, то бинарное отношение есть

отношение инцидентности: "А принадлежит а" или "с/ проходит че-

рез А ".

2. Если a

(

f|a- = a

, то структура пространства называется ли-

нейной. В противном случае структура пространства нелинейная.

Например, все точечные линейные пространства обладают ли-

нейной структурой. Любое подпространство таких пространств ана-

литически описывается системой линейных уравнений.

Если в качестве основного элемента пространства выбрана пря-

мая, то такое пространство будет обладать нелинейной структурой.

3. Структурой модели «-мерного пространства на плоскости

называется упорядоченный набор ({/„},\у

\,.-,{у„.

},8), где {/-} -

множества, элементами которых являются плоские фигуры у у, S -

множество бинарных отношений, ^с{/,}х {у.).

Если

{ftHKi'-'fi,"}

если

Yij*Yi,k>

то

структура

модели называется линейной.

Рассмотрим модель четырехмерного пространства, основным

элементом которого является точка. Пространство будет линейным,

что подтверждается системой аксиом принадлежности. Докажем, что

модель

A-+(A

);

АВ -> [(Л, Я,),(А

,В

)],(Д,В

{

, М,,...) л (А

,В

,М

,...);

ляс -> [(4 д,с,), (4, в

, с

)], (4, в,, с,, /,,...) л (А

, в

, с

, /

,...);

ABCD -> [(/1,В,С,Д \(A

,С

)},

(А, Д,,С,,/„...) л ,£

,С

,...), (Л,,В,, Д,/,,...) А (Л

, Я

,...)

линейна и структура пространства изоморфна структуре модели. Дей-

ствительно. Выполняются следующие условия:

1. Две плоскости пересекаются в точке ABCC\DEF = G.

Тогда на модели получим

(А

,В

,С

]

,...)л(А

,В

,С

,...),

(D„ £

F„/„...) л (D

,£

,...).

Если G e ABC и G e DEF, то (G,, G

) должна быть и нвариант-

ной парой в этих проективных соответствиях. Пусть /, = /

, по /, Ф1

Тогда /j = 1

есть инвариантная прямая, и, следовательно, проектив-

ные соответствия имеют' одну инвариантную точку, которой и будет

пара (G|,G

2. Прямая и гиперплоскость пересекаются в точке ABf\DEF = G.

В проективном соответствии (C

,£

,/,...)->(C

,A.£

,/,...)

ряду (Л

,В

,М

,...) будет соответствовать ряд (А\ ,В\ ,М\ ,...), а в со-

ответствии (C

]

}

,/,...)—>-(C

,l,...) этому же ряду будет со-

ответствовать ряд (А'\,В'\,М'\,...). Ряды (А\,В\,М\,...) и

(Л",, В", ,...) перспективны, так как M'

el, М"

е1, точка пе-

ресечения рядов (C

]

)f] (А

,В

) соответствует точкам на рядах

(А'

,В'

) и (А"

,В"

), и соединяющая их прямая пересекает / в

центре перспективности. Поэтому существует точка G

пересечения

рядов (А'

,В'

,М'

,...) и (А"

,В"

, М"

,...), которая будет соответ-

ствовать сама себе и будет искомой моделью точки G. Точка

G, е (Л,,В

}

) строится по условию проективности рядов.

3. Плоскость ABC и гиперплоскость DEFG пересекаются по

прямой: ABC(~]DEFG = ML. Для доказательства достаточно дважды

повторить рассуждения предыдущего пункта.

2.3. Простейшие аксиоматические модели пространства

Очевидно, что все модели линейной структуры различны по

сложности их графической реализации. Также очевидно, что про-

с гейшей моделью будет та, у которой проективные соотношения за-

менены перспективными. То, что при этом увеличивается число эле-

ментов модели, не сказывается на сложности модели. Поэтому про-

стейшей моделью «-мерного пространства на двумерной плоскости

будет: исключенная точка О, множество прямых, проходящих через

О и несущих (п-1) точек.

Таким образом, модель точки А есть {Л,} с: а, О е a, i = 2, п.

Модель прямой АВ ecxb{A

]cia,{B

}czb,0&a, Osb,i = 2,n,

l. !../>'.) А

(,!..«,).

i*j,j

= 2^i. _

Модель 2-илоскости А ВС есть {A

}аа, \B

} <= Ь, {С,- }сс,/'=2,я;

Оеа,ОеЬ,Оес; (А

,В

)л(А

]

,В

), (A

)A(A

), (Я„С,)л

л (В,, Сj), i* j, и так далее.

Рассмотрим простейшие графические модели трехмерного проек-

тивного пространства R.. Основным объектом пространства Я, выби-

раем точку. В качестве ее образа выберем пару точек на прямой пучка

прямых с собственной вершиной. Проверим выполнение условия ра-

венства размерностей исходного пространства и его модели. В

соответствии с формулой Грассмана (1.1) размерность множества

точек пространства Р

определится следующим образом:

D"' =(3-0)(0 + 1) = 3. Размерность множества пар точек, принадле-

жащих прямым линиям пучка, на основании формулы размерности

многообразия т - плоскостей [5]:

Q=lLa

-\m(m + \), (2.3)

/.=о 2

удовлетворяющего обобщенному условию инцидентности

'ч'"ч\' «1ао'

0П

елится в

символическом представлении следую-

щим образом: Q = Q(e

\l) + Q(2e°), где Q(e

)- размерность пучка

прямых, определяемая как <2(<4'о)

2-~1-(1 + 1) = 1; Q(2e

]

°)~ раз-

мерность пары точек на прямой пучка, определяемая как

Е(2е,°) = 2[1---0-(0 + 1)] = 2. Таким образом Q = 1 + 2 = 3 и условие

равенства размерностей выполнимо.

Рассмотрим выполнение условия соответствия линейности ис-

ходного пространства и его модели. Пространство Р

, как точечное

пространство, может быть рассмотрено в качестве грассманова мно-

гообразия. Порядок грассманова многообразия представляет собой

структурную характеристику пространства Р

и может быть опреде-

лен на основании формулы [5]:

_ 2\...т${т + $(п-т))\

т ко

n,...,n-m + l,n-m-l) ~ ,

ч|/

1Ч

, ,'

m,...A,U

(п-т)\уп — т + \)\..м\

следующим образом (при п-3,т-0): (е^У =е*о- Справедливость по-

следнего равенства следует также из его геометрического представ-

ления: е

-е

2 "'

плоскости пространства Р

пересекаются в од-

ной точке. Коэффициент при е% равен 1, что говорит о линейности

пространства Р

. Определим структурную характеристику рассматри-

ваемой модели пространства Р

. Проведем анализ размерности пар

точек в пучке прямых. Па прямой линии существует двухпараметри-

ческое множество пар точек. В пучке прямых существует трехпара-

метрическое множество пар точек. В центре пучка существует 0 пар

точек. Таким образом, получаем следующее обобщенное условие ин-

цидентности для множества пар точек пучка прямых: е

'4"о • Очевидно,

это условие инцидентности, имеющее место для пучка прямых, экви-

валентно обобщенному условию инцидентности для связки плоско-

стей пространства Р

. Поскольку пара точек на прямой линии пучка и

точка пространства Р

имеют одно и то же параметрическое число,

равное 3, то на основании формулы (2.4) получаем структурную ха-

рактеристику модели пространства Р

,2,1,0 ,(2+1)(3-2) _ ,2,1,0 ,3 _ 2,1,0 . 2,1,0 _ 2,1,0

3,2,0/

—

1^3,2,0^

—

^3,1,0

3,2,0

—

^2,1,0 '

при этом коэффициент в последнем символическом выражении равен

единице, то есть рассматриваемая модель также является линейной.

Отметим, что полученные структурные условия е\ и е\'\\ являются

единичными. Действительно, в соответствии с формулой (1.4) для

каждого из них получаем:

,_(2-3-0).(0+1)

-2

6^.0)

2X0

(2-3-2).(2 + 1)

3,2,0-* ~

Рассмотрим на простейшей модели пространства Р

решения по-

зициотшых задач, например, задач на принадлежность. На рассматри-

ваемой модели (рис. 2.4) заданы пересекающиеся в точке М(М

,М

)

две прямые линии АВ(А

,А

) и CD(C

]

). Точка

М(М

,М

) принадлежит этой модели, поскольку ее проекции М

принадлежат одной прямой пучка (5) прямых. На рисунке 2.5

приведено решение задачи определения точки пересечения прямой

DE и плоскости, заданной треугольником AABC(AA

,АА

Для этих целей применена конкурирующая прямая 1,2(1|,2,; 1

) и

соответствующий алгоритм построений. Точка М(М

,М

) является

решением задачи.

Выберем в качестве моделируемого аффинное трехмерное про-

странство. Из выбора следует, что возможная графическая модель

пространства должна быть определена как относительно позицион-

ных, так и относительно аффинных задач, то есть задач на параллель-

ность. В таком случае на модели должна быть указана несобственная

прямая, точки которой будут соответствовать несобственным точкам -

С,

Рис. 2.4. Модель пересекающихся

прямых

и плоскости

трехмерного аффинного пространства. На рисунке 2.6 приведено ре-

шение двух задач - позиционной и аффинной.

Прямые АВ(А

,А

) и EF(E

) пересекаются в точке

N(N

). Прямые АВ и CD(C

) параллельны, так как их

точка пересечения М(М

,М

) принадлежит несобственной прямой -

образу несобственной плоскости аффинного пространства.

Частным отучаем рассматриваемой графической модели является

модель трехмерного евклидова пространства, в котором выполняются

решения задач трех типов: позиционных, аффинных и метрических.

На рисунке 2.7 представлены задачи трех типов.

Прямые а(а

,а

) и b(b

) пересекаются в точкеК(К

,К

). Пря-

мые с(с

,с

) и Ъ параллельны. Прямые а и b в пространстве обра-

зуют прямой угол с вершиной в точке К .

задачи метрическая задачи

Обобщим эти модели на «мерное пространство и докажем их

линейность. Для этого представим модель частного вида с исключен-

ной прямой /°°, удаленной в бесконечность и точкой S

ef°. Тогда

образ точки АеР" будет множеством A

е ал = \,...,п — \,а ZD 5"°.

Символически это можно записать в виде условий:

Умножив это условие на единичное п кратное условие, получим

линейное условие нулевой размерности. Единичных «-кратных усло-

вий существует два вида: ((?,')" и el'lief)""

Получим:

4>2°), •.•••(е°

)п->х{е?Г=е

№)

•...-(,">., ,.(*oV. или

^2), ••..•(e°

)

хе^Г

-...-(ebV.-

И в том и в другом случае получена модель точки, которая явля-

ется пересечением п гиперплоскостей.

Например, пусть п = 4. Имеем модель точки (рис. 2.8, с/) в виде

1.0 / ,0ч /0

/ 0ч

<?2,o(e

)i -(«2)2 '(е

)з-

Рис. 2.8. Модель точки пространства^

Если наложить одно линейное условие, т.е. условие принадлеж-

ности точки гиперплоскости, то получим (рис. 2.8, б):

•

(4)2

•

(4h или

>°

(е

(е°

)

•

(е

°)

При наложении двух условий, т.е. условий принадлежности двум

гиперплоскостям, получим (рис. 2.8, в): е\^(е

)

[

-(е

)

-(е

]

)

или

^о(^).

Mh М)ъ и™

е\1(е

.(е°

)

-{е°

)

И так далее.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ,

ПЛОСКОСТИ И ГИПЕРПЛОСКОСТИ НА ПРОСТЕЙШЕЙ

ГРАФИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Вышерассмотренная простейшая графическая модель «—мерного

евклидова пространства, полученная аксиоматическим путем, по су-

ществу представляет собой обобщение известной в начертательной

геометрии модели Г. Монжа, которая была получена им конструктив-

ным путем. В проективной схеме метода двух изображений модель

Монжа рассматривается как его частный случай [6, 16J.

3.1. Моделирование точки

X-

ЛгЛз

/7/

Точка А на простейшей графической модели представлена своим

образом - «-1 точками А

, ...,А

принадлежащих одной прямой пучка с

несобственным центром (рис. 3.1). В /л

терминах модели Монжа точки ^

А], ...,А

, и прямая А

называются

соответственно проекциями точки А и

линией проекционной связи. Для мет-

ризации графической модели (то есть

возможности решения метрических за- /А

дач) и ее аналитического описания,

введем в плоскости модели оси коор- I у

динат X, Y,Z,T, где X 1 YZT и

}

, // YZ, и единичный отрезок на

осях, например, 1 мм. В таком случае

появляется возможность задания на рассматриваемой графической

модели декартовых координат точки А и ее проекций:

A(x

), A,(x

,0J)), A

,0.z

,0), А

(х

. О, 0,t

). Отме-

тим, что в соответствии с конструктивным методом основным объек-

том пространства Е, является точка, основными плоскостями проек-

ции служат координатные плоскости: XxZ-lI

, X х Y - Я,,

X х z = Я j, а направление проецирования - ортогональное к плоско-

стям проекции (рис. 3.2). Если мысленно убрать основной объект -

точку А и линии проецирования АА

, АА

и повернуть горизонталь-

Рис. 3.1. Модель точки

пространства Е

ную плоскость проекции я, относительно оси X до совмещения с

X-

'Пз

„

УА

/7,

Л/

'/А

Рис. 3.3. Модель точки

пространства Е

Рис. 3.2. Модель Монжа

пространства Е

фронтальной плоскостью проекции п

, то получим чертеж, пред-

ставленный на рисунке 3.1 (без учета П

, A

nT).

Если ввести профильную плоскость проекции П

= Ух'/,, кото-

рой принадлежит ортогональная проекция А. точки А, то получим

дополнительно профильную проекцию A

(Q,y

). После поворота

плоскости // j относительно оси Z до совмещения с плоскостью п

образуется чертеж, представ-

Х-

п,

=Ei

Пз

Рис. 3.4. Модели точек

пространства Е

, принадлежащих

плоскостям проекций

ленный на рисунке 3.3. Оче-

видно, точка А(х

изображенная на чертеже, за-

нимает общее положение в

пространстве относительно

плоскостей проекции п\, Л,

и П

, так как ни одна из ее

координат не равна нулю. Ес-

ли же одна из ее координат

равна нулю, то точка принад-

лежит плоскости проекции,

например, точки В(х, у, 0);

С(х, 0,z); D(0,y,z), принад-

лежат плоскостям проекции