Волков В.Я. и др. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования

Подождите немного. Документ загружается.

соответственно в е Я,; С е /7

; D <= /7

(рис. 3.4). В случае равенства

нулю двух координат точки получаем ее принадлежность оси проек-

ции, например, точка Е(х, О,0) е X .

Точно также можно построить проекции точки А общего положе-

ния на плоскости X хТ, YxT, Z хТ модели четырехмерного про-

странства (рис. 3.5). Здесь А

е X хТ, А

е Y хТ, А

<а Z хТ . Бели

X-

А?

/7;

-Л A

-\j^A

4_L_

Y.T

одна из координат равна

нулю, то точка принад-

лежит гиперплоскости

координат. Если какие-

либо две координаты

равны нулю, то точка

принадлежит плоскости

проекций. Если три ко-

ординаты равны пулю,

то точка принадлежит

оси координат. Напри-

мер, В(х, у, 0, 0 при-

надлежит гиперплоско-

сти XxYxT (рис. 3.6).

Точка С(х, 0, z, 0) принадлежит плоскости XxZ, а точка

D(0, 0, 0, г) принадлежит оси Т. Однако на практике не пользуются

чертежом, содержащим все шесть проекций, т.к. половина из них

Рис, 3.5. Модель точки пространства Е

лишние. Кроме того, для

n\ _п{п-\)

2и>_2)!~ 2

проекций. Поэтому

используют чертеж

с п-\ проекциями.

Из совпадения

простейшей графи-

ческой модели про-

странства Е

, полу-

ченной аксиомати-

ческим путем, с мо-

делью Монжа этого

пространства, полу-

п—мерного пространства получаются

X-

77=Z7

В,

0=0,4

Сь=С

0=0^--

Вт

Рис. 3.6. Модель точек пространства Е

el l4

Y.T

ченной конструктивным путем, следует, что некоторые аксиоматиче-

ские модели абстрактного пространства могут быть реализованы на

основе конструктивной взаимосвязи между пространством прообра-

зов и его моделью.

Из рассмотрения взаимного по-

ложения пары точек относительно

плоскостей проекций следует, что па-

ра точек может принадлежать одной

проецирующей прямой, или одной

проецирующей плоскости и тогда на

одной из плоскостей проекций при-

сутствуют совпавшие одноименные

проекции этих точек. Такие точки на-

зываются конкурирующими. Напри-

мер, точки А и В принадлежат про-

ецирующей Z -плоскости, перпенди-

кулярной плоскости /7,, а точки С , D

принадлежат проецирующей прямой, перпендикулярной гиперпло-

скости X х Z х Т (рис. 3.7).

Кроме основных проекций, полученных проецированием на ос-

новные плоскости проекций //,, //

, /7

, точка может иметь допол-

нительные проекции, полученные ортогональным проецированием на

плоскости, отличающиеся от основных. Дополнительная плоскость

проекций образует с одной из основных плоскостей проекций либо с

другой дополнительной плоскостью проекций пару взаимно перпен-

rii

А А.

А,

Ахг

П1

Рис. 3.8. Дополнительные

проекции точки

пространства £,

дикулярных плоскостей. Па рисун-

ке 3.8 представлен чертеж, содержа-

щий построения дополнительных

проекций А

и А

}

точки А е Е

, за-

данной основными проекциями Л,, А

. Эти построения соответствует из-

вестному в начертательной геометрии

методу замены плоскостей проекций,

при котором основной объект про-

странства - точка, неизменна в своем

положении, а в парах плоскостей про-

екций происходит последовательная

замена одной из плоскостей проекций

на новую, дополнительную:

Я,

хА

Из метрических свойств последовательной замены плоскостей

ортогональных проекций вытекает алгоритм построения дополни-

тельных проекций точки А:

(А

,А

) -> А

(А

= А

ХХ

),(А

,А

) -> A

= А

Х2

}

),...

/7/

3.2. Моделирование прямой линии

Прямая в евклидовом пространстве

определена парой несовпадающих точек.

Построив модели этих точек и соединив

прямыми линиями пары их одноименных

проекций, получим прямые - проекции /7, /7

прямой линии пространства (рис. 3.9). С

другой стороны, прямая линия простран-

ства Е„, на основании формулы (1.1),

принадлежит 2(и - 1)-параметрическому

множеству прямых этого пространства,

поскольку: D™ = (1 +1) -(n-l) = 2(п -1).

Произвольные пары прямых на плоскости образуют также 2(я-1)-

параметрическое множество, поскольку на плоскости множество

прямых, в соответствии с формулой (1.1), двухпараметрично:

D™ = (1 +1) • (2 -1) = 2. Следовательно, на чертеже, как и на его ак-

сиоматическом аналоге, прямая линия моделируется in -1) прямыми

((п -1) ортогональными проекциями прямой).

В зависимости от расположения прямой линии пространства от-

носительно плоскостей проекций различают прямые общего и частно-

го положений.

Рис. 3.9. Модель прямой

линии пространства Е

3.2А. Прямая общего положения

Если в системе ортогональных плоскостей проекций прямая ли-

ния не параллельна ни одной гиперплоскости, натянутой на оси про-

екций, то она называется прямой общего положения относительно

этой системы плоскостей проекций. Па рисунке 3.9 приведена модель

такой прямой в системе X

,п

Я,

. Исходя из конструктивного пред-

ставления моделей точки и прямой линии пространства на рассмат ри-

ваемой его графической модели, можно сформулировать критерий

принадлежности точки прямой линии: точка принадлежит прямой ли-

нии в пространстве, если модель точки принадлежит модели прямой,

или в терминах чертежа Монжа - если проекции точки принадлежат

одноименным проекциям прямой. Так точка А/принадлежит прямой

АВ, поскольку м

{

е А

В,, М

е А

, М

е А

Если прямая параллельна одной из гиперплоскостей проекций, то

она называется прямой уровня относительно этой гиперплоскости. На

рисунке 3.10 для пространства Е

изображены:

основании известного в школьном курсе стереометрии определения

угла между прямой и плоскостью следует, что угол а А, л X есть

угол а = А л /7, между горизонталью h и плоскостью проекций fl

Проекция C

отрезка CD фронтали / представляет собой длину

отрезка CD, а угол р = /

лХ есть угол р = / л Я, между фронта-

лью и плоскостью проекций я, •

3.2.2. Прямые уровня

1. Горизонтальная пря-

мая уровня h (горизонтать

h II Я,), при ЭТОМ lij IIX .

х-

2. Фронтальная прямая

уровня / (фронталь /,7ЯД

при этом /, ИХ.

Рис. 3.10. Модели прямых уровня

пространства Е

}

Линии уровня обладают

метрическими свойствами.

Проекция л, 5, отрезка АВ

горизонтали h представляет

собой длину отрезка АВ. На

3.2.3. Проецирующие прямые

Рхли прямая перпендикулярна гиперплоскости проекций, то она

называется проецирующей относительно этой плоскости.

На рисунке 3.11 для пространства

изображены: а

1. Горизонтально-проецирующая ^

прямая о1Я

при этом а

± X , а, - Х~^"

точка.

2. Фронтально-проецирующая

прямая ЫП

, при этом Ь

1 X , Ъ

точка.

/7/

.г,

Рис. 3.11. Модели

3. Профильно-проецирующая проецирующих прямых

прямая с!П

„ при этом, с, // X , с, // X , пространства £

г, - точка.

3.2.4. Прямые уровня пространства Е

На рисунке 3.12 изображены прямые, параллельные гиперпло-

скостям XxYxZ,XxYхТ и XxZxT.

Рис. 3.12. Модели прямых уровня

относительно гиперплоскостей проекций пространства Е.

На рисунке 3.13 изображены прямые, параллельные плоскостям

XxY, XxZ, ХхТ.

х-

Сз.

А? А?

П?,Пз

с?

с,

Оз

Ез

Е?

Ез

Е?

Рис. 3.13. Модели прямых уровня относительно

плоскостей проекций пространства Е

3.2.5. Проецирующие прямые пространства Е

На рисунке 3.14 изображены прямые, перпендикулярные гиперп

лоскостям А'хКх/, X xYxT, X xZxT и плоскостям X х Y

XхZ, XхТ.

уПгЛз

а*

С2

с,

Рис. 3.14. Модели проецирующих прямых пространства Е

3.3. Моделирование взаимного расположения

прямых линий в пространстве

В общем случае две прямые в пространстве Е

не пересекаются,

так как в соответствии с формулой размерности пространства пересе-

чения s = m + q-n, выведенной в разделе 1.7.2, получаем

j = 1 +1 - и < 0, и > 3. Но две прямые в плоскости могут пересекаться

как в собственной, так и в несобственной точке, поскольку

s = l + l-2 = 0. Таким образом, в пространстве две прямые линии мо-

гут быть пересекающимися, параллельными и скрещивающимися.

Рассмотрим модели этих прямых.

3.3.1. Пересекающиеся прямые

На рисунке 3.15 представлены изображения на графической мо-

дели пространства £, пересекающихся прямых. Прямые а и Ъ пере-

секаются в точке. Действи-

тельно, ПОСКОЛЬКУ М

£ а

Л/, е в,, то следует, что М е а .

Но М, е Ъ

и м, с 6,, следо-

вательно, М е h . Таким обра-

зом, две различные прямые а и

Ъ имеют общую точку, то есть

они пересекаются. Очевидно,

точка N также является общей

точкой двух различных пря-

мых с и d, то есть N = cf]d .

Прямые с и d называются го-

ризонтально- конкурирующими, потому, что любая пара их точек на

горизонтально-проецирующей прямой является горизонтально-

конкурирующими.

Рис. 3.15. Модели

пересекающихся прямых

пространства Е

3.3.2. Параллельные прямые

Две прямые линии в пространстве Е

могут быть параллельными,

так как в соответствии с формулой (1.5) степень их параллельности

0+1

равна р

II-

= 1. Изображение параллельных прямых представлено

на рисунке 3.16. Так как а

11Ъ

и а,//Ъ

, то прямые а и Ъ в простран-

стве параллельны, при этом моделью несобственной точки пересече-

[

ния параллельных прямых

af]b = Л/

является пара иесоб-

q ственных точек а

Г\Ь

= М

2о

. и

а,П*1=Л/

1оо

, принадлежащих

несобственной прямой плоско-

сти рассматриваемой графиче-

£ ской модели пространства.

Критерий параллельности двух

Рис. 3.16. Модели параллельных прямых в пространстве в тер-

прямых пространства Е

минах ч

ежа Монжа может

быть сформулирован следую-

щим образом: если одноименные проекции прямых общего положе-

ния параллельны, то и сами прямые в пространстве параллельны. Не-

трудно проверить, что прямые АВ и CD не параллельны, несмотря на

то, что А

IIC

и А

IIC

. Для проверки паратлельности необ-

ходима дополнительная проекция этой пары прямых.

3.3.3. Скрещивающиеся прямые

Прямые, образующие в пространстве между собой ненулевое

кратчайшее расстояние и угол, не равный 0" и 180°, называются скре-

щивающимися. Следовательно, это прямые, которые не являются пе-

ресекающимися и параллельными. Изображение скрещивающихся

прямых на модели пространства представлено на рисунке 3.17. Пока-

жем, что а

и Ь

,Ь

~ это модели

(проекции) двух прямых а и Ъ, скре-

щивающихся в пространстве. Предпо-

ложим, что м

- a

f]b

есть фронталь-

ная проекция точки М - af]b . Тогда на

основании свойства проекций пересе-

кающихся прямых горизонтальной про-

екцией должна быть точка М, = а, Г) Ъ

•

Но а,П&] - N

Ф М

• Следовательно,

М, Ф a

f]b

и поэтому М Ф af]b . Ана-

логично доказывается, что Л' Ф а Г) Ъ .

Рис. 3.17. Модели

скрещивающихся прямых

пространства Е

Таким образом, прямые, заданные на графической модели, не являют-

ся пересекающимися и не являются параллельными, то есть они

скрещиваются. Проекции скрещивающиеся прямых характеризуются

наличием проекций двух пар конкурирующих точек 1(1,, 1

), 2(2,, 2

)

3(3,, 3

), 4(4,, 4,).

3.3.4. Дополнительные проекции прямой

Как в случае точки, для прямой линии можно построить допол-

нительные проекции. Пусть на

графической модели задана

прямая АВ общего положения

(рис. 3.18). Используя алгорит-

мы построений дополнитель-

ных проекций точки (п. 3.1),

построим несколько дополни-

тельных проекций прямой ли-

нии АВ. В системе плоскостей

проекции Л,—-, где доиолни-

Рис. 3.18. Модель дополнительных

проекций прямой линии

пространства Е,

тельная плоскость я,, удовле-

творяет условиям: Я

±Л|,

// АВ , прямая АВ имеет проекции A,B

, А

, причем, на основа-

нии метрических свойств прямой линии уровня (п. 3.2.2), /шина от-

резка А

есть длина отрезка АВ прямой линии. В системе плоско-

стой проекции Л

, где плоскость я

удовлетворяет условия

П.

м:

1 п

11,

АВ , прямая АВ имеет проекции: А

и А

= В

, то

есть является проецирующей. Из логики геометрических построений

на рисунке 3.13 можно сделать следующие выводы:

1. Построениям первой дополнительной проекции А

соответ-

ствуют преобразования прямой линии из общего положения в поло-

жение линии уровня, причем преобразованиям подвергается система

основных плоскостей проекций Х~

, преобразующаяся в систему

положение же прямой линии АВ в пространстве остается не-

изменным. Выполненные построения соответствуют решению метри-

ческой задачи на определение длины отрезка прямой линии.

2. Построениям второй дополнительной проекции (-)А

- (•)#,

соответствуют преобразования прямой линии из общего положения в

проецирующее, при этом имеют место преобразования систем плос-

„ Я,

Я, „ Я

костей проекции л —- —> л

> л

— при неизменном в про-

Я] Я

Я5

странстве положении прямой АВ.

3. Преобразование прямой линии из общего положения в про-

ецирующее возможно только посредством выполнения промежуточ-

ного этапа преобразования этой прямой в положение линии уровня.

3.3.5. Дополнительные проекции прямой линии пространства Е„

Пусть на графической модели пространства Е

задана прямая

общего положения (рис. 3.19) АВ{А

. Л

) •

Вычислить длину отрезка АВ в пространстве £

аналитически не

представляет труда:

Рис. 3.19. Модель дополнительных проекций прямой пространства E

На чертеже вводятся новые гиперплоскости проекций, парал-

лельные отрезку АВ. На рисунке 3.19 такой гиперплоскостью являет-

ся O

ZT , при этом 0

II А

. Отрезки А

и А

являются мо-

делью отрезка АВ в пространстве Е

с системой координат O

ZT .

Далее поступаем аналогично предыдущему пункту, т.е. выбираем

плоскости проекций параллельно какой-либо проекции отрезка -

проекции А

или А

. На рисунке 3.19, а) выбрана плоскость

Т, параллельная отрезку АВ: О

IIА

Для большей наглядности на рисунке 3.19, б) показаны эти же

процедуры, но предварительно выполнен поворот плоскости проек-

ций o

Z на 180° вокруг оси О

. После этого аналогия с черте-

жом пространства Е

очевидна.

Приведем еще несколько частных случаев расположения отрезка

АВ относительно плоскостей и гиперплоскостей проекций. На рисун-

ке 3.20, а) отрезок

АВ параллелен ги-

перплоскости проек-

ций OXYZ . Поэтому

для определения его

натуральной величи-

ны достаточно одно-

го преобразования

плоскости проекций.

На рисунке 3.20,

б) отрезок АВ па-

раллелен плоскости

проекций OXY . По-

этому \л

I = \ АВ\ .

Аз

,Пз

lli

А;

Вз

\в

в;

а) 61

Рис. 3.20. Частные случаи параллельности прямой

пространства Е

Обобщение на w-мерное пространство не составляет труда:

111" 2

A2Z(

A,i

B,i) • Нахождение длины отрезка АВ графически

можно предложить в виде упражнения.

3.4. Моделирование плоскости

На рассматриваемой графической модели точка М пространства

моделируется парой точек м, я М

на прямой пучка с несобст-

венным центром. Следовательно, всему множеству точек пространст-

ва соответствует в плоскости модели два совмещенных поля точек -

поле точек "М

" и поле точек "М

"• Установление некоторого соот-

ветствия между полями точек "Л/," и "М

" приводит к моделирова-

нию этим соответствием определенных множеств точек пространства

: плоскостей, поверхностей.

В соответствии с аксиомой стереометрии, через любые три точки,

не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.

Следовательно, задание моделей указанных трех точек означает зада-

ние модели плоскости пространства. Нетрудно подсчитать парамет-

рическое число этой модели. В соответствии с формулой (1.1) для

плоскости трехмерного евклидова пространства получаем:

Пусть на графической модели заданы три пары соответственных

точек А

,А

; В

,В

; С,,С

(рис. 3.21). Эти пары определяют модель

конкретной плоскости пространства. Пар соответственных точек на

каждой прямой пучка с несобственным центром - однопараметриче-

ское множество. На трех фиксированных прямых пучка А

А->, В

С,С

получаем трехпараметрическос множество пар соответственных

точек. Таким образом, параметрическое число модели плоскости про-

D™ = (3-2)-(2 + 1) = 3.

/7/

п,

М,=М

странства также равно трем.

Три пары соответственных

прямых А

, А

; А

, А

;

, В

пересекаются в трех

точках одной прямой 5, кото-

рая является двойной, то есть

состоит из самосоответствен-

ных точек, таких как, напри-

мер, М

=М

, N

= N

- F

• Соответствие, которым

моделируется на рассматри-

ваемой графической модели

плоскость пространства, назы-

вается родством или перспек-

тивно-аффинным соответстви-

ем [6, 16, 24]. Прямая s двой-

ных точек называется осью

Рис. 3.21. Родство-модель плоскости

пространства Е

родства, а направление параллельных прямых А

, В

, С

- на-

правлением родства. Исходя из параметрического числа модели плос-

кости-родства, следует, что оно может быть задано осью s родства и

нарой соответственных точек, например, А

,А

. Родство сохраняет

принадлежность, например, Г), е d

<-> D

«= d

и простое отношение

ставляет собой линию пересечения моделируемой плоскости про-

странства и биссекторной плоскости четных четвертей, образуемых

плоскостями проекций #, и я

. Исходя из параметрического числа

родства, равного трем, оно может быть задано (кроме рассмотренных

выше заданий тремя парами соответственных точек, а также осью

родства и парой соответственных точек): двумя парами соответствен-

ных прямых; парой соответственных точек и парой соответственных

прямых. Способам задания родства на графической модели простран-

ства соответствуют известные способы задания плоскости в про-

странстве (кроме отмеченного способа задания тремя точками): точ-

кой и прямой, двумя пересекающимися прямыми, двумя параллель-

ными прямыми. Для удобства решения различных позиционных, аф-

финных и метрических задач на графической модели часто применя-

ется задание плоскости треугольником, вытекающим из основного

способа задания плоскости тройкой точек, не принадлежащих одной

прямой.

В методе Монжа существует понятие плоскости общего и част-

ного положений. Если плоскость не перпендикулярна ни одной из

плоскостей проекций

я, и

,то

она

называется плоскостью общего

положения относительно этой системы плоскостей проекций. Крите-

рий задания плоскости на чертеже Монжа может быть сформулиро-

ван следующим образом: плоскость считается заданной на чертеже,

если модель плоскости на нем позволяет определить принадлежность

любой точки пространства этой плоскости. Для конструктивного оп-

ределения принадлежности точки к плоскости применяется следую-

щее условие: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит

линии этой плоскости. Из построений на рисунке 3.22 следует, что

точка М принадлежит плоскости (alib), заданной параллельными

трех точек, например,

. В методе Монжа прямая s пред-

3.4.1. Плоскость общего положения

Рис. 3.22.1 1ринадлсжность

Рис. 3.23. Принадлежность

точки к плоскости точки к плоскости простран-

нроетранства К

ства

> заданной родством

прямыми а и Ь, поскольку принадлежит линии АВ этой плоскости, а

точка N не принадлежит плоскости. На рисунке 3.23 приведено по-

строение модели точки В пространства, принадлежащей плоскости,

заданной осью родства .<? и парой соответственных точек Л,, А

. Мо-

дель точки В построена по условию задания точки В

- одной из

двух точек, моделирующих точку В (искомой является точка в,).

3.4.2. Плоскости уровня

Если плоскость пространства параллельна плоскости проекций,

то она называется плоскостью уровня относительно этой плоскости

проекций. На рисунке 3.24 изображены горизонтальная L//77, и

фронтальная д// II

плоскости уровня, при этом t

llX и А

!/Х, Z

д, - соответственно фронтальный след плоскости £ и горизонталь-

ный след плоскости Д.

Любая плоская фшура в плос-

кости уровня отображается на соот-

ветствующую плоскость проекций

без искажений. Например, дл^с,

представляет собой истинное изо-

бражение ДЛВС ; угол а = а

л Ъ

есть угол а = а лЬ двух пересе-

кающихся прямых а и Ь в про-

странстве.

Х-

-у

/7/ А, /7/ А,

\ /

=а

=Ь

Рис. 3.24. Плоскости уровня

пространства £,

3.4.3. Проецирующие плоскости

Если плоскость пространства перпендикулярна плоскости проек-

ций, то она называется проецирующей относительно этой плоскости

проекций. На рисунке 3.25 изо-

бражены горизонтально - и фрон-

тально-проецирующие плоскости

соответственно Ф ± /7, и ч/ 1 П

при этом Ф, и - наклонные в

общем случае прямые - следы

плоскостей. Угол в = Ф

ЛХ = ФЛП

есть угол между плоскостями Ф и

//,, а угол

= Ч , л X = Ч/

/7,

есть угол между плоскостями ЧУ и

ПI

•

Рис. 3.25. Проецирующие плоскости

пространства £

3.4.4. Прямые уровня в плоскости

В любой плоскости Ф пространства существует двухиарамет-

рическое множество прямых линий. На основании формулы (1.5)

прямая и плоскость в этом пространстве вполне параллельны, по-

скольку степень параллельности для них

равна: рц = —-— = 1. Укажем в простран-

стве еще одну плоскость ЧУ такую, что Ф

и Y не параллельны. Тогда в плоскости

Ф можно выделить единственный пучок

прямых с несобственным центром, па-

раллельных линий пересечения ФпЧ' и,

следовательно, параллельных плоскости

ЧУ. Если в качестве плоскости ЧУ рас-

сматривается некоторая плоскость про-

екций, причем Ф и ЧУ не параллельны, то

прямые указанного пучка представляют

собой прямые уровня относительно этой плоскости проекций. По-

скольку линия уровня обладает метрическими свойствами (п. 3.2.2),

то принадлежность линии уровня некоторой плоскости пространства

может быть использована для решения множества метрических задач,

Рис. 3.26. Модель прямых

уровней в плоскости

пространства Е

}

относящихся к этой плоскости. На рисунке 3.26 приведены построе-

ния

двух

линий уровня

/(/,,/

)//Я

h(h

Я,, принадлежащих

плоскости Ф(АЛВС).

3.4.5. Дополнительные проекции плоскости

Рис. 3.27. Дополнительные проекции

плоскости пространства Е

Пусть на графиче-

ской модели простран-

ства задана плоскость

Ф(ААВС) общего поло-

жения (рис. 3.27). По-

строим в этой плоскости

ЛИНИЮ

УРОВНЯ

//(/;,.

Поскольку прямая и

плоскость в пространст-

ве £, вполне перпенди-

кулярны (п. 1.7.3), то

можно провести допол-

нительную плоскость

проекций П

±п, что

соответствует построе-

ниям на чертеже оси проекций Х

±.h

. В образующейся системе

плоскостей проекций Х

^- прямая h(h

,(-)h

) является проецирую-

щей относительно дополнительной плоскости проекций п

. По-

скольку плоскости Ф принадлежит линия h, перпендикулярная плос-

кости п

, то получаем перпендикулярность плоскостей Ф I п

(п. 1.7.3) и, следовательно, плоскость Ф является проецирующей в

^ П\

системе плоскостей проекций Х

—. Введение второй дополнитель-

ной плоскости проекций п

по условиям Л„ // Ф, /7

_1_ Я,, приводит

к образованию системы плоскостей проекций, в которой исходная

плоскость Ф является плоскостью уровня относительно я

. Из логи-

ки выполнения построений, приведенных на рисунке 3.27, следуют

выводы:

1. Построениям первой дополнительной проекции Ф

заданной

плоскости Ф(ААВС) соответствуют преобразования плоскости из

общего положения в проецирующее. Преобразованиям подвергается

система основных плоскостей проекций ^^~> преобразующаяся в

систему Л] - • - , положение же плоскости Ф остается неизменным.

2. Построениям второй дополнительной проекции (дл

)

соответствуют преобразования плоскости Ф из общего положения в

положение плоскости уровня. При этом имеют место преобразования

" Г

2 ^ у

\ _^ у П

систем плоскостей проекции л >л

—>л

при неизмен-

ном положении исходной плоскости Ф. Этим преобразованиям соот-

ветствует решение задачи определения действительного изображения

плоской фигуры, расположенной в плоскости общего положения. Ре-

зультатом решения этой задачи в рассматриваемом случае является

AA,B

= А ABC .

3. Преобразования плоскости из общего положения в положение

плоскости уровня возможно только при условии выполнения проме-

жуточного этапа - преобразования этой плоскости в проецирующее

положение.

3.5. Моделирование плоскости пространства Е

В соответствии с аксиомами принадлежности плоскость задается

тремя точками вне зависимости от размерности пространства. Для ее

задания требуется 3(«-2) параметров. На рисунке 3.28 приведена

модель плоскости ABC пространства £

. Общее число параметров,

подсчитанное по модели, равно 12, но одна из проекций, например,

, допускает изменение положений точек А

, В

, С

в двух на-

правлениях. 11ри этом сама плоскость ABC не меняет своего положе-

ния в пространстве £

. Поэтому остается 12 - 6 = 6 независимых па-

раметров. Проекции А

и А

связаны родством с осью s

, и

проекции А

и А

- родством с осью .?

. Направление род-

ства - одно для обоих соответствий. Прямые s

и s,

есть прямые пе-

ресечения данной плоскости ABC с биссекторной гиперплоскостью,

образованной биссектор-

ными плоскостями первых

четвертей пространств

(X,Y

Z) и E

(X,z,T).

Легко можно построить

ось .г,, родства, связы-

вающего проекции Л, Я, С,

и А

. Плоскость ARC

есть плоскость общего гю-

. - ложения. Плоскостей ча-

стного положения может

быть несколько различных

видов:

- плоскости, перпендику-

лярные гиперплоскости

проекций;

Рис. 3.28. Моделирование плоскости ~ плоскости, перпендику-

прострапства Е, родством

ЛЯ

НЫе

~™ проек-

ции;

- плоскости, параллельные гиперплоскости проекций;

- плоскости, параллельные плоскости проекций.

Рассмотрим их модели для пространства Е

На рисунке 3.29 изображена плоскость ABC, параллельная плос-

\ZT

Рис. 3.29. Плоскость пространства Е

, Рис. 3.30. Плоскость пространства,

параллельная плоскости OXY параллельная гиперплоскости OXYZ

кости проекций OXY . Ее уравнение есть z-const, t = const, если

считать, что проекции точек с индексом 3 имеют координаты (х, t), а

проекции с индексом 2 - координаты (x,z) (см. рис. 3.1).

Очевидно, что проек-

ция A

треугольника

ABC, как и любой другой

фигуры, лежащей в плоско-

сти ABC, не искажена. То

есть А

- есть нату-

ральная величина треуголь-

ника ABC. М е ABC .

На рисунке 3.30 изо-

бражена плоскость ABC,

параллельная гиперплоско-

сти проекций OXYZ . Ни

, ни А

]

не явля-

ются натуральными изо-

бражениями треугольника

ABC. М е ABC , N £ ABC .

На рисунке 3.31 изображена плоскость ABC, перпендикулярная

гиперплоскости проекций OXZT . Другими словами, плоскость ABC

параллельна оси OY. Поэтому ее пересечение с гиперплоскостью

OXZT есть прямая, проекции которой А

и А

. М е ABC .

\ZJ

Рис. 3.31. Плоскость пространства £

перпендикулярная гиперплоскости OXZT

Рис. 3.32. Плоскость пространства £

перпендикулярна плоскости ОХТ

Рис. 3.33. Плоскость, принадлежащая

гиперплоскости частных положений

в пространстве £

На рисунке 3.32 изображена плоскость ABC, перпендикулярная

плоскости ОХТ . Точнее сказать, что ЛВС принадлежит гиперплоско-

сти, перпендикулярной плоскости ОХТ . М е ABC , N г ABC .

На рисунке 3.33 плоскость ABC расположена в гиперплоскости,

параллельной гиперплоскости OXYZ , перпендикулярно плоскости

проекций OXZ .

3.5.1. Прямые уровня в плоскости пространства £

В плоскости общего положения пространства Е

можно выбрать

прямые уровня относительно гиперплоскостей проекций. Например,

на рисунке 3.34. изображена плоскость ABC общего положения, в ко-

торой выбраны три прямые уровня: h II OXYZ , / // OXYT , q II OXZT .

Естественно, что названия горизонтали и фронтали для этого случая

неприменимы.

Выбрать в плоскости общего положения прямые уровня относи-

тельно плоскостей проекций OXY , OXZ и ОХТ невозможно.

По расположению проек-

ций прямых уровня /?, / и q

можно делать выводы о распо-

ложении плоскости ABC отно-

сительно гиперплоскости

OYZT . Дело в том, что по трем

проекциям А

, А

Л,5

некоторой плоскости

ЛВС нельзя сказать, будет ли

плоскость ABC общего поло-

жения или частного положения

относительно гиперплоскости

OYZT . Положение плоскости

ABC относительно OYZT вы-

ясняется только после по-

строения ее линий уровня. Так,

если после проведения

II ОХ окажется, что

II ОХ , h

lt ОХ , то можно

утверждать, что А ВС ± OZT .

Если же окажется, что и /г, // ОХ , то ABC 1 OYZT . И так дапее.

Рис. 3.34. Линии уровня в плоскости

общего положения пространства Е