Волков В.Я. и др. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 7.26. Пример определения точек линии пересечения
поверхности вращения и конической
240
6. Определим точки (А\,В\) = ц/
П1
Г\Щ — горизонтальные
проекции точек А' и В', являющихся образами искомых точек А и
В, принадлежащих линии пересечения поверхностей 0 и Q. Затем
определяем фронтальные проекции А\ и В'
2
точек A' VL В'. Наконец
определяем по образам А' и В' сами прообразы - точки А(А
Х
,А
2
) и
В(В
}
,В
2
). Очевидно, образом поверхности Q в рассматриваемом
отображении будет непрерывное однопараметрическое множество
окружностей с центрами на прямой 5, а
х
.
Если заданные поверхности & и Q поменять "ролями" в
алгоритме 7.2, то есть принять нормальную циклическую
конгруэнцию Ч*
2
^ =\Ji//
1
, индуцируемую поверхностью вращения
2
Q(a,t), в качестве фактормножества пространства E
i
, то получим
неудачный выбор инструмента для решения рассматриваемой задачи,
поскольку каждая образующая (р
1
поверхности 0 будет отображаться
на плоскость отображения П'П П
2
, IFzoa в гиперболу.
Рассмотрим пример применения в алгоритме 7.2 проецирующего
нелинейного фактормножества пространства преставляющего
собой нормальную циклическую конгруэнцию Ф
2{1)
={J<p
]
. Опрсде-
лим несколько точек линии пересечения двух поверхностей вращения
©(bji) и Q(a,m) с параллельными осями а и Ь и образующими -
кривыми линиями тип (рис. 7.27). Последовательность алгоритми-
ческих действий и конструктивных построений может быть
нижеследующей:
1. Поверхность вращения 0{b,ri) представляем как непрерывное
однопараметрическое множество окружностей в плоскостях А А. Ъ:
О = ф
у
А> - (j^,
1
? Г
де <р
1
- окружность этого множества.
2. В качестве фактормножества пространства £3 принимаем
нормальную циклическую конгруэнцию Ф
2({)
-\J<p
x
с исключенным
2
ядром - осью b .
3. В качестве плоскости отображения принимаем следующую
плоскость: IJ'zo Ь,П'IIП
2
. Образом поверхности 0{b,n) в этом
отображении будет ее фронтальный очерк, составляющей линией
которого является линия n(n
u
>h).
241
4. Поверхность вращения Q(a,m) рассматриваем как
непрерывное однопараметрическое множество *P
U1>
=Uv
/
' окружнос-
тей у? в плоскостях Л 1 а с центрами на оси а.
5. Строим на плоскости П отображение одной из линий - ок-
ружности ц/\ц/\,Ц/\)с:Л. Центр 0{О
х
,0
2
) окружности ц/
1
отобра-
зится в точку 0'(0\ ,0\), ее диаметрально противоположные точки
1 и 2 »в точки Г(1',,1'
2
) и 2\2\,2\). В итоге отображения образом
Рис. 7.27. Пример определения точек линии пересечения
двух поверхностей врао1ения
242
окружности у/ в плоскости ГТ будет отрезок
YT(\\2\ ,V
2
2'
2
) = y,'
n
(y,'
m
,y,
x
n2
).
6. Определяем вначале точки (А'
2
-В'
2
) = n
2
f]V
2
2'
2
фронтальные проекции образов А' и В' искомых точек А и В,
принадлежащих линии пересечения поверхностей 0 и Q, а затем
горизонтальные проекции (А\ = В'\) е у/
П1
= Г, 2\. После этого
определяем сами прообразы - точки А(А
{
,А
2
) и В(В
Х
,В
2
),
принадлежащие линии У'
1
(у/\ ,if\). Очевидно, образом поверхности
£)^y
1(,)
=Ut//'
в плоскости IT
будет
фигура - плоская область
Qn ~
=
IjV/7
•>
г
Д
е
V
7
}/
_
отрезок, перпендикулярный линиии
а'(а\,а'
2
) и пересекающий ее в своей срединной точке 0'(0\ ,0'
2
).
При этом а' образ оси а поверхности Q в рассматриваемом
отображении.
7. Анализ выполненных построений показывает, что линии: ок-
ружность
<р
х
{(р\,(р\)
cz 0; прообраз у^(у/\,у/
2
) и образ
vJ/vVln
>У
7
//2
>-
которым принадлежат точки А,В и Л',.В
1
соответственно, - все эти
объекты, благодаря специфике выбранного отображения,
принадлежат одной плоскости АII П
х
. В этой связи задача может быть
решена без предварительного построения образов А',В' и у/),, а
напрямую: (А
х
,5,) = y/lf)tpl , А
{
—> А
2
е А
2
, В
х
—> В
2
е А
2
. Получаем
известный в начертательной геометрии способ вспомогательных
плоскостей (плоскостной посредник) [2, 15, 20, 22], истинное
происхождение которого обосновано логикой алгоритма 7.2,
построенного на основе теоретико-множественного анализа образова-
ния множества пересечения.
Рассмотрим случай пересечения, который отличается от
предыдущего тем, что оси / и j поверхностей вращения Q(i,a) и
0(j,Ь) с образующими линиями а и Ъ пересекаются (рис. 7.28).
Определим несколько точек линии пересечения поверхностей на
основе алгоритма 7.2. Для этих целей примем одну из поверхностей,
например 0, в качестве индуцирующей фактормножество про-
странства £3. В таком случае получаем нижеследующую последо-
вательность построения точек линии пересечения.
243
1. Поверхность вращения 0{J,b) представляем как непрерывное
однопараметрическое множество окружностей <р
х
в плоскостях, пер-
пендикулярных ее оси j : О = Ф
,(|>
= (J^
1
.
2. Принимаем нормальную циклическую конгруэнцию
Ф
ад
= (J<p
]
с осью j в качестве фактормножества пространства
2
3. Плоскость П'Н П
2
,
n'(iC\j)
принимаем в качестве плоскости
отображения. Образом поверхности 0 в принятом отображении будет
ее фронтальный очерк, составляющей линией которого является
заданная образующая линия b(b
u
b
2
).
4. Поверхность вращения Q(i,a) рассматриваем как непрерыв-
ное однопараметрическое множество W
xxx)
-\Jy/
x
окружностей ц? в
плоскостях, перпендикулярных оси /(/,,/
2
).
5. На плоскости ТТ строим отображение w\i(>P~\
n
>Wn7) одной из
линий - окружностей ц/
х
(у/\,y/\) поверхности Q. Образованию об-
раза у/
1
п
линии у/
1
можно дать следующее геометрическое обосно-
вание. Окружность Ц'
Х
при вращении относительно оси /
проецирующей нормальной циклической конгруэнции Ф
2(Х)
~[j<p
x
2
образует сферу с центром в точке 0(О
х
,0
2
) = if] j и радиусом
R = 0
2
1
2
= 0
2
2
2
, где точки 1(1,д
2
) и 2(2, ,2
2
) - диаметрально проти-
воположные точки окружности I//
1
. Эта сфера в пересечении с
плоскостью отображения //, проходящей через точку О, образует
большую окружность у'/(y//7i,<//}/
2
)> которая и является образом
выбранной окружности у/ на поверхности Q.
6. Определяем точки А'
2
и В'
2
- фронтальные проекции
образов А" и В' точек А и В, принадлежащих линии пересечения
поверхностей О и Q. Горизонтальные проекции этих образов
принадлежат следу П\ плоскости отображения 77. Поскольку образы
А' и В' и соответствующие им прообразы А и В, принадлежат одной
окружности (р
х
((р\,(р\) проецирующей нормальной циклической
конгруэнции, то в пересечении линий <р
1
и у/
1
определяем прообразы
244
- точки А(А
)
,А
2
) и В(В
и
В
2
) линии пересечения поверхностей.
Очевидно, образом поверхности Q{i,a) в рассматриваемом
отображении
будет
пучок Q
n
=U^j?
концентрических окружностей с
центром 0(0
{
,0
2
).
Проанализируем выполненные построения. Переход от точек -
образов А' и В' к их прообразам А и В происходит по окружности
Рис. 7.28. Пример определения точек линии пересечения
двух поверхностей вращения
245
q>\(p\,(p\), принадлежащей сфере радиуса R. Этой же сфере принад-
лежат линия - прообраз у/^(ц/\и соответствующий ей образ
У
/
п(Ч
/
п\^пт)- В
этои св
язи описанные построения могут быть упро-
щены, если не выполнять промежуточные построения образов А'.В
1
.
Выбор промежуточной сферы R сразу приводит к ее окружностям ср
х
и у/
1
пересечения с поверхностями 0 и Q соответственно, а точки пе-
ресечения А и В определяются как общие точки этих окружностей:
(Л,В) = <р
1
С)у/
]
. Это соответствует известному в начертательной гео-
метрии способ концентрических сфер [2, 15, 20, 22], происхождение и
обоснование которого также следует из логики алгоритма 7.2.
Рассмотрим еще один пример применения алгоритма 7.2, кото-
рый дает объяснение происхождению еще одного известного в начер-
тательной геометрии способа построения линии пересечения двух по-
верхностей. Определим несколько точек линии пересечения поверх-
ностей вращения 0(i,а) и циклической Q(j,b,A), у которых а(а
х
,а
2
)
и b(b
t
,b-,) - образующие линии, / - ось вращения, j - линия центров
образующих окружностей, А - плоскость параишлизма (рис. 7.29). В
соответствии с логикой алгоритма 7.2 может быть предложена ниже-
следующая последовательность определения точек линии пересече-
ния заданных поверхностей.
1. Поверхность вращения 0{i,a) представляем как множество
окружностей <р
{
в плоскостях, перпендикулярных оси / поверхности:
2. Нормальную циклическую конгруэнцию Ф
2(|)
-\J<p
l
с осью /
2
принимаем в качестве фактормножества пространства Е$.
3. Плоскость ПЧ1П
2
, Я'эа принимаем в качестве плоскости
отображения. Образом поверхности 0 в принятом отображении будет
ее фронтальный очерк, в состав которого входит заданная
образующая линия а(а
х
,а
2
).
4. Циклическая поверхность Q(j,b,A) рассматривается как мно-
жество 5^
1(1)
= U^
1
окружностей ц? в плоскостях, параллельных
плоскости параллелизма А, с центром на оси j.
246
5. Строим на плоскости И образ Wn^m^ni)^ полученный
отображением одной из окружностей Ц/
1
(у/\,Ч/\) поверхности Q. По-
лучение образа (окружности) у/
х
п
имеет следующее геометрическое
обоснование. Окружность при вращении относительно оси i по-
верхности
0
образует сферу радиуса
R =
0
2
l
2
= 0
2
2
2
, где
0(О
х
,0
2
) = nf]i, и - перпендикуляр к плоскости окружности ц/,
Рис. 7.29. Пример определения точек линии пересечения
поверхности вращения и циклической
247
проведенный из ее центра F(F
Y
, F
2
), 1 и 2 - диаметрально противо-
положные точки окружности у/
1
. Эта сфера пересекает плоскость от-
ображения /7, которой принадлежит центр сферы, по большой ок-
ружности УлО/ш^лг)' которая и является образом выбранной
окружности у/
х
на поверхности Q.
6. Определяем точки (А'
2
- В'
2
) = а
2
Г\Ул2 ~ фронтальные
проекции образов А' и В' точек А и В линии пересечения
поверхностей 0 и Q, а затем горизонтальные проекции
(А\-В\ )€//',. Так как образы Л' и В' и прообразы А я В
принадлежат одной окружности <р
1
((р\,ф\), то в пересечении линий
<р
х
и у? получаем прообразы - точки А{А
1
,А
2
) и В(В
Х
,В
2
) линии пе-
ресечения. Очевидно, образом поверхности Q\j',b,A) в рассмат-
риваемом отображении будет непрерывное однопараметрическое
множество окружностей y/
x
n
(ys
l
m
с
Центрами на оси /' по-
верхности 0.
Из анализа выполненных построений следует, что переход от об-
разов А',В' к прообразам А,В происходит по одной окружности Ф
Х
,
принадлежащей сфере радиуса R. Этой же сфере принадлежат линии
- прообраз у/
]
(у/},ц/
2
) и образ ^я^лт^лг)- Поэтому построение
точек А, В могут быть упрощены за счет прямого построения этих то-
чек при помощи сферы R: (А, В)-у/
х
Г]ф
Х
. Получаем известный в на-
чертательной геометрии способ эксцентрических сфер [2, 15, 20, 22],
происхождение и обоснование которого следует из логики алгоритма
7.2.
248
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Начертательная геометрия должна рассматриваться в первую
очередь как раздел математики, изучающий теорию и методы конст-
руктивных отображений пространств различных размерностей и
структур друг на друга. В частности пространств высших размерно-
стей с нелинейными структурами на пространства низших размерно-
стей с линейной структурой. Только во вторую очередь она может
быть трактована узко специализированно как теоретическая основа
построения чертежей пространственных фигур на плоскости.
Основываясь на этой точке зрения, начертательную геометрию не
имеет смысла делить на геометрию трехмерного пространства и гео-
метрию многомерного пространства, упуская из вида начертательную
геометрию двумерного пространства (теорию графических построе-
ний на плоскости или поверхности). Ьолее перспективным в научном
плане будет деление начертательной геометрии на геометрию линей-
ных конечномерных пространств и нелинейную начертательную гео-
метрию, начертательную геометрию евклидова пространства и неевк-
лидову начертательную геометрию. Основы создания таких разделов
уже заложены: нелинейная начертательная геометрия может начи-
наться с конструктивной теории инверсии, квадратичных преобразо-
ваний, конструктивной теории проективного формообразования кри-
вы, поверхностей и алгебраических многообразий высших размерно-
стей, изучением их свойств посредством отображения на другие мно-
гообразия.
На этом пути развития начертательной геометрии, как математи-
ческой науки, могут проявиться её связи не только с линейной алгеб-
рой и алгебраической геометрией, но и с другими важными разделами
математики, такими как теория функций комплексных переменных,
дифференциальная геометрия, интегральная геометрия, топология.
Настоящий учебник не преследует таких целей - это дело буду-
щего. Однако в нем сделана попытка ввести элементы многомерной
начертательной геометрии, элементы исчислительной геометрии и
показать тесную связь с дифференциальной геометрией кривых. Этот
учебник не предназначен для первого чтения. Чтобы усвоить предла-
гаемый материал, требуется знакомство с традиционным курсом на-
чертательной геометрии, аналитической и дифференциальной геомет-
рии в объеме курсов высшей школы.
249
Библиографический список
1. Базылев ВТ, Дуничев К.И. Геометрия. - М.: Просвещение, 1974. -
Кн.1.-352 с.
2. Бубенчиков А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия. - М.: Высш.
школа, 1973. -416 с.
3. Вальков К.И. Лекции по теории геометрического моделирования. - Л.:
Изд. ЛГУ, 1975.- 180 с.
4. Волков В.Я. Теория параметризации и моделирования геометрических
объектов многомерных пространства и ее приложения: автореф. дис. ... д-ра
техн. наук: 05.01.01. - М: МАИ, 1983. - 27 с.
5. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Многомерная исчислительная геометрия:
монография. Омск: Изд. ОмГПУ, 2008. - 244 с.
6. Вольберг OA. Лекции по начертательной геометрии. - М.; Л.: Учпед-
гиз. 1947.
-
348
с.
7. 1 еометрня: учебник для 10 11 кл. сред. гак. / Л. С. Атанасян u др. - М:
Просвещение, 1993. -207 с.
8. Геронимус Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских ме-
ханизмов. - М.: Гос. изд-во физ.-маг. литер., 1962. - 400 с.
9. Гильберт Д.. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. - М.: Наука. 1981.
1981. 331 с.
10. Глаголев НА. Проективная геометрия. М.: Высш. шк., 1963. 344 с.
11. Гордевский Д.З., Лейбин А.С. Популярное введение в многомерную
геометрию. Харьков, 1964. 191 с.
12. Джапаридзе И.С. Начертательная геометрия в свете геометрического
моделирования. - Тбилиси: Ганатдеба, 1983. - 298 с.
13. Ермаков А.В. Применение етереопроецирования квадрики к решению
позиционных задач // Начертательная геометрия и инженерная графика. - М.
1987. - Вып. 14.-С. 69-72.
14. Иванов ГС. Конструирование технических поверхностей (математи-
ческое моделирование на основе нелинейных преобразований). - М.: Машино-
строение, 1987. - 192 с.
15. Иванов ГС. Начертательная геометрия: учебник для ВУЗов. - М.:
Машиностроение, 1995. - 224 с.
16. Иванов ГС. Теоретические основы начертательной геометрии. - М.:
Машиностроение, 1998. 158 с.
17. Клейн Ф. Высшая геометрия. - М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1939.
400
с.
18. Котов ИИ., Якунин В.И., Иванов ГС Учебное пособие по начерта-
тельной геометрии на базе ЭВМ. - 4.2. Обводы точек на плоскости. - М.: Изд.
МАИ, 1977.-53 с.
19. Куликов СМ. Введение в начертательную геометрию многомерных
пространств. - М., 1970. - 84 с.
250
20. Курс начертательной геометрии (на базе ЭВМ): учебник для инж
техн. вузов I A.M. Тевлин, Г. С. Иванов, Л.Г. Hapmoea. B.C. Полозов, В.И. Якунин:
11од ред. A.M. Тевлина. - М.: Высш. шк., 1983. - 175 с.
21. Начертательная геометрия: учебник / СМ. Колотое и др. - Киев: Вшца
школа, 1975. 264 с.
22. Начертательная геометрия: учебник / Н.Ф. Четверухгт, B.C. Левиц-
кий, З.И. Прянишникова, и др. - М.: Высш. шк., 1963. - 420 с.
23. Панчук К.Л. Алгоритмы конструктивного определения множества пе-
ресечения: учеб. пособие. - Омск: Изд.ОмПИ, 1993. 68 с.
24. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия: монография. М.:
ЛСВ, 2000. 344 с.
25. Переикова ВН. Основы многомерной начертательной геометрии. - М.:
Изд. МАИ, 1976.-4.1, 2-34 с.
26. Рашееский U.K. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Гос. изд-во
техн.-теор. литер., 1956. - 644 с.
27. Гозенфельд Б.А. Многомерные пространства. - М.: Наука, 1966. -
648
с.
28. Гозенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М.: Гос. изд-во техн.-теор.
лит.. 1955.
-
744
с.
29. Савелов А.А. Плоские кривые. -М.: Физмаггиз, 1960. - 293 с.
3(1. Синюков Н.С., Матвиенко Т.Н. Топология: учеб. пособие. - Киен: Ви-
та школа. 1984. 264 с.
3 !. Согомонян К.А. Линейно-конструктивные методы формообразования.
Ереван: Лйастаи. 1990. - 216 с.
32. Сухгта И.А. Начертательная геометрия. Метод, указания к 6-й лекции
для студентов. - Краснодар: Ротаприн ЮТИ., 1973. - 58 с.
33. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства
и ее приложение. - Л.: Изд. ЛГУ, 1979. - 280 с.
34. Фиников СП. Курс дифференциальной геометрии: учебник. - М.:
URSS: Комкнига, 2005. - 343 с.
35. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проек-
тировании и на производстве. - М.: Мир, 1982. 304 с.
36. Фролов С А. Методы преобразования ортогональных проекций. - М.:
Машиностроение, 1970. - 152 с.
37. Четверухин И.Ф Просктивпая геометрия. - М.: Просвещение, 1969. -
368
с.
38. Юрков В.Ю., Волков В.Я., Куликова О.М. Инженерная геометрия и ос-
новы геометрического моделирования: моно!рафия. - Омск: Изд. ОГИС, 2005. -
117
с.
251
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . 3
Глава 1. Элементы геометрии евклидова пространства 6
Глава 2. Геометрическое моделирование евклидова ^
пространства .
Глава 3. Моделирование точки, прямой, плоскости
и гиперплоскости на простейшей геометрической ^
модели евклидова пространства
Глава 4. Взаимное положение линейных подпространств 89
Глава 5. Кривые линии 119
Глава 6. Образование поверхностей 181
Глава 7. Конструктивное определение множества
пересечения
Заключение 249
Библиографический список 250
252
Владимир Яковлевич Волков,
Виктор Юрьевич Юрков,
Константин Леонидович Панчук,
Наталья Викторовна Кайгородцева
КУРС НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
НА ОСНОВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Учебник
Редактор - Константин Леонидович Папчу к
Подписано к печати 29.10.2010
Формат 60x90 1/16. Бумага офсет пая 80 гр/м
2
Оперативный способ печати
Гарнитура Times New Roman
Усл. п. л. 15.8
Тираж 300 экз. Заказ № 2512
11ена договорная
Издательство СибАДИ
644099, г. Омск, ул.П.Некрасова, 10
Отпечатано в издательстве ООО «Полиграфист»
644116, г. Омск, ул. Герцена, 268