Волков В.Я. и др. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования

Подождите немного. Документ загружается.

точке алгебраической кривой существует / соприкасающихся плос-

костей, но одной для каждой ветви, которые являются проецирующи-

ми плоскостями для центра проецирования, совпадающего с / -

кратной точкой. В итоге центральная проекция исходной алгебраиче-

ской кривой с центром проецирования в ее / -кратной точке пред-

ставляет собой на плоскости проекций множество линий, состоящее

из криволинейной составляющей и г" прямых пересечения / соприка-

сающихся плоскостей с плоскостью проекций. Поэтому порядок этой

криволинейной составляющей равен п ~ i.

3. Жанр (род) алгебраической кривой и ее проекции равны.

Это свойство следует из понятия жанра кривой (число, представ-

ляющее собой разность между наибольшим числом двойных точек,

которое может иметь кривая данною порядка, и их фактическим чис-

лом) и взаимно однозначного соответствия, устанавливаемого при

линейном проецировании между множествами точек кривой и мно-

жеством точек се проекций. На основании этого свойства жанр кри-

вой линии может быть определен по ее проекции, и проекцией рацио-

нальной кривой, у которой наибольшее число двойных точек равно их

фактическому числу, является рациональная кривая.

4. Если каждая проецирующая прямая пересекает алгебраиче-

скую кривую порядка п в /' точках, то проекция этой кривой имеет

порядок n:i.

Из свойства 1 следует, что порядок конической поверхности,

проходящей через кривую гс-го порядка, равен п. В рассматриваемом

случае коническая поверхность порядка п с вершиной в центре про-

ецирования распадается на / совпавших конических поверхностей,

каждая из которых имеет порядок п: i. Следовательно, при указанных

условиях порядок проекции исходной кривой порядка п будет равен

п: i.

Приведенные свойства 1-4 имеют место в общем случае также

для параллельного и ортогонального проецирований.

180

ГЛАВА 6. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В данной главе будут рассмотрены вопросы образования кривых

поверхностей, т.е. поверхностей, не являющихся объединением ко-

нечного числа плоских фигур, к которым относятся всевозможные

пирамиды, призмы, призматоиды и другие многогранники. По самому

общему определению поверхность есть непрерывное двумерное мно-

жество точек. Это видно хотя бы из аналитического описания поверх-

ности. Если в пространстве выбрать систему координат OXTZ, то по-

верхность может быть представлена в виде следующих уравнений:

- явного z - f(x, у);

- неявного F(x, у, z) = О;

- параметрического х - х(и, v), у = у(и, v), z - z(u, v).

Исходя из этого, поверхность можно рассматривать как одномер-

ное непрерывное множество линий, неважно, плоских или простран-

ственных. Следует только иметь в виду, что одномерное непрерывное

множество плоских линий, расположенное в одной плоскости, по-

верхностью не является. Такое множество линий называется пучком.

Е1о между поверхностью и пучком есть непосредственная связь: если

параметру пучка придать конструктивный смысл (например, считать

его равным расстоянию кривой линии от плоскости пучка), то пучок

можно "раздуть" в поверхность. Простейшим примером такой связи

можно считать связь между семейством (пучком) концентрических

окружностей х

+ у

= г

в плоскости OXY и конусом с осью OZ, ес-

ли параметр пучка г связать с аппликатой z окружности по правилу:

г = z или z = аг +

Следует иметь в виду, что классификации поверхностей, исчер-

пывающей все их виды, не существует. Существуют различные част-

ные классификации классификации по какому-либо одному при-

знаку. Например, широко распространена классификация но виду ли-

ний, образующих поверхность. Линии, образующие поверхность, на-

зывают образующими. В зависимости от вида образующих могут

быть получены следующие поверхности:

- линейчатые (образующие - прямые линии);

- циклические (образующие окружности);

- эллиптические, параболические, гиперболические (образующи-

ми являются соответственно эллипсы, параболы, гиперболы);

181

- общего вида, не имеющие специального названия (образующи-

ми являются плоские или пространственные кривые, в частности ал-

гебраические, порядок которых больше двух).

Поверхность можно представить как траекторию движения обра-

зующей в пространстве по определенному закону. Классификация по-

верхностей по закону движения образующей может быть следующей:

- поверхности вращения (образующая вращается вокруг прямо-

линейной оси);

- поверхности переноса (образующая совершает плоскопарал-

лелы-юе движение);

- поверхности конгруэнтных линий (образующая совершает

движение общего вида).

Эти и всякие другие классификации объединяет одна общая зави-

симость: если размерность множества линий в пространстве равна к,

то размерность множества этих же линий на поверхности (т.е. обра-

зующих) равна единице. Отсюда вытекает нижеследующее правило

образования поверхностей.

Для того чтобы образовать поверхность из заданного в простран-

стве множества линий, необходимо:

1) наложить на это множество какие-либо связи, суммарная раз-

мерность которых равна к-);

2) обеспечить условие совместимости (совместности) этих свя-

зей.

Таким образом, для каждой линии, которую предполагается ис-

пользовать в качестве образующей, необходимо иметь перечень все-

возможных связей с рассчитанными заранее значениями размерно-

стей этих связей.

Следуя сформулированному правилу, рассмотрим образование

некоторых поверхностей.

6.1. Образование линейчатых поверхностей

Как было описано выше, размерность множества прямых в про-

странстве Е

равна четырем. Чтобы получить одномерное множество

прямых, следует связать три параметра из четырех, т.е. выбрать усло-

вия, суммарная размерность которых будет равна трем.

Для этого рассмотрим все условия, которые могут быть наложе-

ны на прямую, и определим их размерность (табл. 6.1).

182

Табл. 6,

10.

12.

13.

Прохождение через данную точку

Пересечение данной прямой

Пересечение данной кривой в одной

точке

Пересечение данной кривой в двух

точках

Параллельность данной прямой

Перпендикулярность данной прямой

Параллельность данной плоскости

Перпендикулярность данной плоско-

сти

Касание данной кривой

Касание данной поверхности

Перпендикулярность данной поверх-

ности

j Параллельность данной поверхности

Пересечение двух линий в соответст-

! венных точках

Размерность

Значение

Обозначение

условия

._ ^

В.

С,

}

с,

С\

Следует иметь в виду, что некоторые условия, сформулирован-

ные по-разному, могут означать одно и то же. Например, если взять

сферу, то условие №11 будет эквивалентно условию №1, так как все

прямые перпендикулярные сфере, проходят через ее центр. Если взять

цилиндр вращения, то условие №11 будет эквивалентно двум одно-

временно наложенным условиям №2 и №6. В этом случае использует-

ся термин - произведение условий №2 и №6.

Что касается совместности двух и более условий (произведение

условий), то, например, условия №10 и №11 несовместны для одной и

той же поверхности. И так далее.

Рассмотрим некоторые поверхности.

1. Поверхность, представляющая собой множество прямых, пе-

ресекающих три прямые а, Ь, с общего положения. Эта поверхность

хорошо известна и описана во многих учебтжах по начертательной

183

геометрии. Она называется однополостным гиперболоидом. Порядок

ее равен двум. Поверхность получена трехкратным условием №2.

2. Обобщением однополостного гиперболоида будет поверх-

ность, порченная при помощи трехкратного условия №3. Если н про-

странстве задать три кривые а, Ь, с порядков, соответственно

, к-,, к,, то образованная поверхность будет иметь порядок 2к

3. Использование условия №7 в сочетании с двукратными усло-

виями №2 или №3 порождает поверхности с плоскостью параллелиз-

ма: с №2 и №2 - косую плоскость; с №2 и №3 - коноид; с №3 и №3 -

цилиндроид.

4. Одновременное наложение условий №1 и №3 приведет к об-

разованию конических поверхностей, порядок которых будет равен

порядку кривой направляющей поверхности.

Одновременное наложение условий №5 и №3 приводит к образо-

ванию цилиндрических поверхностей.

Использование условий №3 и №8 дает образование прямых ци-

линдрических поверхностей.

5. Если в условии №9 будет выбрана пространственная кривая

линия, то образуется торсовая поверхность с ребром возврата.

6. Сочетание условий №2, №3, №6, в которых используется одна

и та же прямая, а кривой линией является винтовая линия, осью кото-

рой является эта же прямая, приводит к образованию прямого закры-

того геликоида.

Заменив в предыдущем предложении условие №2 на условие

№10, поверхностью которого является цилиндр с осью - той же пря-

мой, получим прямой открытый геликоид.

Очевидно, что условие №6 может быть заменено условием скре-

щивания с прямой под данным углом. С помощью такого условия мо-

гут быть получены косые геликоиды.

Кроме того, косые геликоиды могут быть образованы сочетанием

условия №12 с двукратным условием №3. Поверхностью в условии

№12 будет прямой круговой конус, а пространственными кривыми -

винтовые линии с общей осью - осью конуса.

Рассмотрим все это более подробно.

Условие прохождения прямой через заданную точку в символах

исчислительной геометрии можно представить как е\'^.

184

Условие пересечения прямой с заданной прямой или кривой в

символах исчислительной геометрии можно представить как е

^ или

w-ejj , где т -~ порядок алгебраической кривой.

Известна формула размерности инцидентности [5]:

(2п-т)(т + \) £^

2 ;=о '

В соответствии с этой формулой условие

el'°

имеет размерность

(2-3 !)(].1)

(3 + 0) = 2, а размерность условия e

f равна

(2-3-1X1 + 1)

-(3 + 1) = 1.

6.1.1. Линейчатые поверхности общего вида

Для задания одной из линейчатых

поверхностей выберем условия <?!'д и

m-el'j. Эта поверхность является кони-

ческой и ее в трехмерном пространстве

можно представить как на рисунке 6.1.

Если т принять равным единице,

то получим частный случай конической

поверхности - плоскость. Используя

методы исчислительной геометрии,

можно определить порядок конической

поверхности. Так, если направляющая /

имеет порядок т, то порядок конической поверхности будет равен

4:2 •• 4;? • 4:,° = 4:2 • - • (4:2 + 4?) =«• (4:2)

«• 4:2 •

ш квадрат условия е\\ рг

сумму условий ejg +4д» квадрат условия е

'о равен е^, а произведе-

ние условий е

'ц -е

'° равно нулю [4]. т при символьном условии е\'%

определяет порядок конической поверхности. На чертеже Монжа ко-

ническая поверхность может быть задана с помощью вершины 5 и

направляющей /. Задавая горизонтальную и фронтальную проекции

Рис. 6.1. Образование

конической поверхности

+ т - 0 - те\1]. При этом квадрат условия е

"" раскладывается на

185

вершины и направляющей, получим чер-

теж конической поверхности (рис. 6.2).

Все остальные линейчатые поверхно-

сти можно представить в символах исчис-

лительной геометрии как те\\ • nel'°

• ре\

Это означает, что задана линейчатая по-

верхность тремя направляющими линия-

ми, из которых первая кривая имеет поря-

док т, вторая - и, а третья - порядок р.

Определим порядок такой линейчатой по-

верхности. Он будет равен:

melj • nebj • ре\'°

• е'

'° = 2тпр . Эта поверх-

ность называется цилиндром. Если т,п,р

равны единице, то порядок линейчатой

поверхности будет равен двум. Получим однополостный гиперболо-

ид. На чертеже эту поверхность можно задать тройкой попарно скре-

щивающихся прямых (рис. 6.3). Допустим, что заданы попарно скре-

щивающиеся прямые а{а

,а

)\ b(b

) и с(с

,с

), которые задают

однопараметрическое множество образующих - прямых линий. Если

на одной из прямых, например с(с

,с

), выбрать точку N(N\,N

), то

можно определить одну из образую-

щих, которая будет пересекать пря-

мую а(а

,а

) в точке M(M

), а

прямую b(b

) - в точке К(К

,К

Так как на прямой с(с

,с

) существует

однопараметрическое множество то-

чек, то получаем однопараметриче-

Рис. 6.2. Чертеж

конической поверхности

ределетжя образующей, проходящей

через точку N(N

). представим

вначале плоскость с помощью прямой

а(а

,а

) и точки N(N

), затем

найдем пересечение прямой b(b

) с

этой плоскостью. Решая позиционную

задачу, найдем точку К{К

,К

) пере-

сечения прямой b(b

) с выбранной

О?/ ,

/7;

--г

Рис. 6.3. Чертеж

однонолостного гиперболоида

186

плоскостью. Тогда прямая KN(K

), пересекающая прямую

а(а

,а

) в точке М(М

), будет единственной образующей, про-

ходящей через точку N(N

) прямой с(с\,с

Рассмотрим возможные случаи линейчатых поверхностей с тремя

направляющими:

1. Три направляющие - кривые линии;

2. Две направляющие - кривые линии и одна - прямая. Порядок

такой линейчатой поверхности, как было показано выше, равен

(2т • п), где т и п порядки криволинейных направляющих.

3. Одна направляющая - кривая линия и две направляющие -

взаимно скрещивающиеся прямые. Порядок такой линейчатой по-

верхности равен 2т, где т порядок направляющей кривой линии

4. Все три направляющие - попарно скрещивающиеся прямые

линии.

Рассмотрим линейчатые поверхности, которые образуются, если

в качестве геометрических условий выбрать условия инцидентности и

I гараллельности.

Представим, что заданы условия инцидентности: т-e\_\•

Первое условие выражает пересечение прямых пространства Е

произвольно заданной прямой и его размерность равна единице. Вто-

рое условие выражает пересечение прямых пространства Е

с произ-

вольно заданной кривой m-го порядка и его размерность также равна

единице. Введем условия параллельности: параллельность прямой за-

данной прямой. На основании формулы степени параллельности

р,,-- , где т - размерность линей -

Рис. 6.4. Чертеж

цилиндрической поверхности

X-

ного объекта, степень которого опреде-

ляется, к - размерность бесконечно

удаленного линейного объекта пересе-

чения заданного и выбранного линей-

ных объектов. Для нашего случая т = 1

— размерность прямой, а А = 0 - раз-

мерность бесконечно удаленного объ-

екта пересечения двух параллельных

прямых, т.е. точки. Отсюда следует,

что степень параллельности будет рав-

на единице. А размерность этого усло-

вия, исходя из формулы размерности

187

параллельности Q

= p

• m(n-m-q + p^-m), равна двум, поскольку

Qll =1-1(3-1-1 + + 1-1) = 2.

Выбирая из условий инцидентности условие т-е™, а из условий

параллельности - данное рассмотренное условие, получим, что сум-

марная размерность равна трем, и из четырехпараметрического мно-

гообразия прямых выделяется тогда одноиараметрическое многообра-

зие прямых, которое определяет цилиндрическую поверхность

(рис. 6.4). На чертеже эта поверхность может быть задана своим гео-

метрическим определителем, т.е. направляющей кривой /(/

) и

прямой линией а(щ,а

), которой будут параллельны образующие.

Выбирая на направляющей Щ\,1

) некоторую точку В'(В\,В

), мож-

но построить образующую b

(b\,b

) этой цилиндрической поверхно-

сти. Сформулируем условие принадлежности точки заданной поверх-

ности. Точка принадлежит заданной поверхности, если она принад-

лежит некоторой линии этой поверхности. Зададим, например, гори-

зонтальную проекцию М, некоторой точки М. Необходимо постро-

ить ее фронтальную проекцию при условии, что точка принадлежит

поверхности. Через горизонтальную проекцию М, проводим обра-

зующую цилиндрической поверхности, определяем проекцию 1, точ-

ки 1 ее пересечения с направляющей /. Строим фронтальную проек-

цию 1

точки 1 при условии, что она принадлежит направляющей /.

Через точку 1

проводим фронтальную проекцию образующей. На

фронтальной проекции образующей строим фронтальную проекцию

точки М.

Введем новое условие параллельности: параллельность прямой

некоторой заданной плоскости. Степень параллельности прямой к и

плоскости также будет равна единице: Рц = —— = h так как прямая,

параллельная плоскости, имеет с ней общую бесконечно-удаленную

точку. Размерность этого условия равна единице: 0// = 1-1(3-2-1 +

+ 1-1) = 1. Исходя из условий инцидентности и параллельности пря-

мой заданной плоскости, можно образовать три вида линейчатых по-

верхностей, суммарная размерность условий которых будет равна

трем.

188

6.1.2. Поверхности Катачана

1. Цилиндроид - линейчатая

поверхность, у которой направ-

ляющими являются две линии, не лежащие в одной плоскости, на-

пример, кривые т-го порядка а(а

) и n-го порядка b(b

) и

плоскость параллелизма 27(27,), которой будут параллельны все обра-

зующие - прямые линии (рис. 6.5).

Выберем на одной из проекций на-

правляющей кривой а(а

,а

)точку С[,

и через эту точку проведем горизон-

тальную проекцию т\ образующей т'.

Строим фронтальную проекцию С

выбранной точки С, а затем фронталь-

ную проекцию 1

точки 1 пересечения

образующей т с направляющей Ь.

Of Через точки С'

и 1

проводим фрон-

Рис. 6.5. Чертеж тальную проекцию одной из образую-

поверхности Каталана

щих и

' , ^ ) .

2. Коноид - линейчатая поверхность, у которой направляющими

линиями являются кривая а(а

,а

) порядка т , прямая линия b{b

)

и плоскость параллелизма Л(А

), которой будут параллельны все об-

разующие - прямые линии (рис. 6.6). Построим одну из образующих

данной поверхности. Для этого выберем на проекции а

направляю-

щей а точку N\ по произволу и построим ее горизонтальную проек-

цию TV,. Затем построим фронталь-

ную проекцию т\ образующей па-

раллельно фронтальной проекции Л

плоскости А. Определим проекцию

точки J пересечения образующей

с направляющей Ь. Построим гори-

зонтальную проекцию 1] точки 1.

Через точки N\ и 1, проведем гори-

Рис. 6.6. Чертеж коноида

зонтальную проекцию т[ образую-

189

щей т'. Порядок данной поверхности равен 2т.

3 Однополостный гиперболоид - линейчатая поверхность, у ко-

торой направляющими являются две взаимно скрещивающиеся пря-

мые а{а

), Ь(Ь

,Ь

) и плоскость па-

• '

раллелизма Q{Q\), которой будут па-

раллельны все образующие (Р

ис

6.7). Построим одну из образующих

этой поверхности. Для этого выберем

на одной из направляющих, например,

на а(а

,а

), точку П . Задаем Е\ и

строим фронтальную проекцию L\

точки L . Через 1\ проводим горизон-

тальную проекцию образующей па-

раллельно плоскости

Q(Qi).

Находим точку 1, пересечения этой гори-

зонтальной проекции с /?,. Строим фронтальную проекцию 1

точки

1. Через гочкч L'

и 1

проводим фронтальную проекцию образую-

щей. Рассмотренные три вида линейчатых поверхностей в учебной

литературе называются поверхностями Каталана.

Рис. 6.7. Чертеж

однополостного гиперболоида

6.1.3. Геликоиды

Рассмотрим образование и задание линейчатых поверхностей,

которые определяются условиями инцидентности, параллельности и

перпендикулярности.

Напомним понятие степени перпендикулярности р

. Под степе-

нью перпендикулярности будем понимать отношение р

= , где

г - размерность объекта, инцидентного бесконечно-удаленному объ-

екту, полярному к т - мерному объекту, т - размерность меньшего

по размерности из рассматриваемых перпендикулярных объектов.

Размерность условия перпендикулярности определяется по из-

вестной форму ле Q

- р

• q(m ~ <? + /?х ' <?) • Степень перпендикуляр-

ности прямолинейной образующей к заданной прямой равна единице,

1 + 0

поскольку р

= —— = 1 .

190

Рис. 6.8. Чертеж прямого

геликоида

Определим размерность условия перпендикулярности прямоли-

нейной образующей к заданной прямой. Она равна Q± = \-1(1-1 +

+ Ы) = 1.

Рассмотрим конструирование линей-

чатых поверхностей, определяемых усло-

виями инцидентности, параллельности и

перпендикулярности. Линейчатые по-

верхности, которые определяются этими

условиями, называются геликоидами.

1. Прямой закрытый геликоид обра-

зуется сложным движением прямой ли-

нии - образующей, которая перпендику-

лярно пересекает ось и пересекает винто-

вую линию (рис. 6.8). Определитель пря-

мого закрытого геликоида состоит из оси

i(i

), винтовой линии /(/,,/

) и геомет-

рических условий: образующая пересека-

ет ось /(/|,/

), винтовую линию /(/,./-.) и

перпендикулярна оси i(i

'). Каждое из

этих условий имеет размерность, равную единице. Суммарная раз-

мерность геометрических условий равна трем. Остается свободным

один параметр, который и определит

однопараметрическое семейство обра-

зующих или прямой закрытый гели-

коид. Построим одну из его образую-

щих. Укажем на винтовой линии про-

извольную точку М(М],М

). Прове-

дем фронтальную проекцию обра-

зующей, которая перпендикулярна к

оси г(ц,г

)

пересекает последнюю в

точке N(N

). Затем через точки 7У,

и М, проведем горизонтальную про-

екцию этой образующей.

2. Прямой открытый геликоид

задается осью, двумя направляющими

винтовыми линиями /(/[, /

Рис. 6.9. Чертеж прямого

лч

т(т.,т

) (рис. 6.9). Размерность

открытого геликоида

v lJ r

Лх

191

суммарного условия равна трем, так как размерности пересечения

прямолинейной образующей с / и т равны каждая единице, а раз-

мерность условия перпендикулярности образующей к оси / также

равно единице. Построим одну из образующих геликоида. Пусть на

направляющей /(/

) выбрана точка А(А

}

,А

). Через фронтальную

проекцию А

точки А проводим фронтальную проекцию образую-

щей. Находим точку В

пересечения ее с проекцией щ направляю-

щей т. Строим горизонтальную проекцию В

точки В. Через точки

и В

проводим горизонтальную проекцию образующей. Как видно

из чертежа, образующая является перпендикулярной к оси / и с ней

скрещивается. Это говорит о том, что геликоид прямой и открытый.

3. Косой или наклонный закрытый геликоид задается осью

/'(/,,;

), направляющей винтовой линией /(/,,/

) и конической поверх-

ностью 27(2,, 2

), которой будут параллельны образующие

(рис. 6.10). Суммарная размерность заданных условий будет равна

трем. Размерности условий пересечения образующей с осью / и с

направляющей / каждая будет равна единице. Размерность условия

X-

Рис. 6.10. Чертеж наклонного

закрытого геликоида

Рис. 6.11. Чертеж косого

открытого геликоида

192

параллельности образующих конической поверхности и геликоида

также будет равна единице. Построим одну из образующих геликои-

да. Для этого выберем на направляющей /(/,,/

) по произволу точку

А(А

,А

). Соединим горизонтальную проекцию А

точки А с вырож-

денной проекцией i, оси i. Построим фронтальную проекцию B

образующей конической проекции, горизонтальная проекция B

]

ко-

торой совпадает с проекцией ДС, образующей геликоида. Затем по-

строим фронтальную проекцию А

образующей геликоида парал-

лельно фронтальной проекции B

образующей конической поверх-

ности.

4. Косой открытый геликоид задается направляющей винтовой

линией /(/],/

) и однополостным гиперболоидом, образующим кото-

рого параллельны соответствующие образующие геликоида

(рис. 6.11). Однополостный гиперболоид задается направляющей ок-

ружностью а(а

,а

) и горловой окружностью Ь(Ь

,Ь

), которой каса-

ются прямолинейные образующие гиперболоида. Построим одну из

образующих геликоида. Выберем на направляющей /(/

];

) точку

А(А

{

,А

). Через проекцию А

точки А проведем горизонтальную

проекцию образующей, которая касательна к горловой линии b(b

{

)

и пересекает

направляющую окружность а(а

,а

) гиперболоида в

точке В(В

{

,В

). Затем построим проекцию В

образующей гипер-

болоида. Через точку А

проведем линию параллельно В

. Эта ли-

ния и проекция А

представляет собой две проекции образующей

рассматриваемого геликоида.

6.2. Образование поверхностей,

несущих семейство кривых второго порядка

Частными видами поверхностей, несущих семейство кривых вто-

рого порядка, являются циклические поверхности. Циклическая по-

верхность несет семейство окружностей постоянного или переменно-

го радиуса, центры которых располагаются на плоской или простран-

ственной кривой. Если при этом плоскости окружностей перпендику-

лярны линии центров, го поверхность называется трубчатой.

Образующими поверхности будем считать следующие кривые

второго порядка:

193

- окружности, размерность множества которых в пространстве

£, равна 6;

- параболы, размерность множества которых в пространстве £,

равна 7;

- эллипсы и гиперболы, размерность множества каждого из кото-

рых в пространстве Е

равна 8.

Условиями, комбинации которых образуют поверхность, будут

следующие (табл. 6.2).

Табл. 6.2.

Размер-

Обозна-

№

Условие на образующую

ность чение

условия условия

Пересечение с прямой или кривой.

Касание плоскости или поверхности.

Прохождение плоскости образующей через

в,

данную прямую.

• 4.

Параллельность плоскости образующей 2

данной плоскости или поверхности.

Перпендикулярность плоскости образую-

в,

щей данной прямой.

Перпендикулярность плоскости образую-

щей данной плоскости.

Касание плоскости образующей данной по-

верхности по прямой.

(

Касание плоскости образующей данной по-

(

верхности в точке.

Пересечение с прямой или кривой в данной

точке.

Комбинируя различные условия, некоторые из которых могут

быть кратными, получаем все варианты образования поверхностей.

При этом суммарная размерность условий должна быть равна пяти

для окружности, шести - для параболы и семи для остальных кривых

второго порядка. Но этого требования недостаточно. Дело в том, что

необходимо учитывать, что все эти кривые - плоские. Поэтому сум-

марная размерность условий группы А не может превышать трех для

194

(жружности, четырех - для параболы и пяти - для эллипса и гипербо-

лы.

Суммарная размерность условий группы В не может превышать

двух для всех кривых.

Таким образом, имеем следующие зависимости для образования

поверхностей: (ЕЛ)" где а = 3, р = 2 - для циклических по-

верхностей; а = 4, р = 2 - для параболических поверхностей; а = 5,

В = 2 - для эллиптических и гиперболических поверхностей.

Рассмотрим их образование в общем виде.

1) Сочетание условий А

-В

А]

дает циклические поверхно-

сти общего вида.

Частными видами таких поверхностей являются торы, число ви-

дов которых бесконечно велико. Они образуются в случае, если все

три кривые в условиях А? представляют собой центральные кривые с

центрами, расположенными на прямой, через которую проходят

плоскости по условию By .

Если кривые будут, например, винтовыми линиями, то образуют-

ся винтовые торы.

Условие Л, • B

аналогично.

Условие А^-Ву или Ау

-В

позволяет образовать эллиптические

торы (образующая есть эллипс).

3 3

2) Условие А, • В

, А(-Щ позволяет построить циклические по-

верхности с плоскостью параллелизма. Условие А

-В

, Д

-В

по-

верхности с плоскостью параллелизма, несущие множество эллипсов

или гипербол.

3) Условия, приведенные в п. Г) и 2) могут быть преобразованы

в условия А\-Ву, А

-В

, А\-В

, А

-В

, А\-В

, А

-В

, А\-В

Получающиеся поверхности будут того же вида.

И так далее.

В частном случае, когда образующая имеет центр или вершину,

условие Ау или А

может быть заменено условием инцидентности

центра или вершины какой—либо данной кривой.

Рассмотрим пример. Построить цилиндрическую поверхность,

заданную условием Ау- А

-В

, радиус образующей окружности по-

стоянный.

195

В качестве кривой, фигу-

рирующей в условии А

, выбе-

рем параболу. В качестве

плоскости условия А

выберем

плоскость этой параболы.

Пусть эта плоскость будет па-

раллельна плоскости 0X7. В

качестве плоскости паралле-

лизма условия В

выберем

плоскость OXY. Получается

поверхность, изображенная на

рисунке 6.12. Эта циклическая

поверхность имеет название

поверхности переноса. Изо-

бражены некоторые образую-

щие этой поверхности - ок-

ружности а, Ь, с, d.

X-

х~

Рис. 6.12. Циклическая

поверхность переноса

Следующим примером будет циклическая поверхность, опреде-

ленная условиями касания образующей окружности переменного ра-

диуса заданного прямого кругового конуса 2" (рис. 6.13). Изменение

радиуса от минимального (окружностьа(а

,а

,а-.)) до максимального

(окружность е(е

,е

)) происходит пропорционально высоте точки

касания от основания конуса. Образующая окружность изменяет угол

наклона своей плоскости к плоскости основания конуса пропорцио-

нально высоте точке касаттия от 0° до 90°. Касание конуса окружно-

стью происходит но конической винтовой линии f(fx,f

) • Линией

центров образующих окружностей служит спиралеподобная линия

п(п

,п

,щ).

Поэтому условие, задающие поверхность, могут быть записаны в

виде Ау А

-В

. Не смотря на то, что суммарная размерность этих ус-

ловий равна четырем, еще одно одномерное условие заключено в за-

коне пропорционального изменения радиуса образующей.

Другим примером может служить поверхность, образованная од-

нопараметрическим множеством парабол, плоскости которых прохо-

дят через ось OY, вершины принадлежат заданной параболе

р(Р], р

,/?

); оси парабол лежат в плоскости 0X7 (рис. 6.14). На ри-

сунке показаны образующие параболы а, Ь, с, d.

196

Рис. 6.13. Циклическая поверхность, определенная условиями А\ • А

-В,

197

Рис. 6.14. Поверхность однопараметрическо! о множества парабол

6.3. Аналитические модели поверхностей

Интересной и достаточно сложной задачей является получение

уравнений поверхностей в явном, неявном или параметрическом ви-

де. Как уже было отмечено, поверхность есть однопараметрическое

множество линий. Поэтому такое множество можно описать аналити-

чески. Начнем с простых множеств.

В общем случае однопараметрическое множество линий описы-

вается уравнениями

\y = y(x,t),

\z = z(x,t),

представляющими собой уравнения семейств проекций линий на

плоскости OXY и OXZ. Например, легко можно убедиться, что урав-

нения у = ах, z = bx описывают пучки прямых в плоскости OXY и

OXZ. Если а и b, произвольны, то оба уравнения опишут связку

плоскостей с центром в начале координат. Если a-- f{b), то уравне-

ния опишут пучок таких плоскостей. Если а = Ь, то это будет пучок

плоскостей, равнонаклоненных к плоскостям OXY и OXZ.

Однопараметрическое множество прямых с центром А(х

,у

т.е. пучок прямых, описывается уравнением y-y

=t(x-x

). Если

t - z, то уравнение у-у

= z(x-x

) опишет прямую линейчатую по-

верхность - прямой закрытый геликоид, ось которого параллельна

оси OZ и проходит через точку А. Если z - f(t), то получим прямой

коноид общего вида.

Однопараметрическое множество окружностей с центром в точке

В(х

,у

) описывается уравнением (x-x

)

+(у-у

)

-t

Если t - z, то будет образован прямой круговой конус с осью в

точке В и с вертикальной осью. Если t = г

, то будет образован пара-

болоид с той же осью. И так далее.

Двухпараметрическое множество линий может быть описано

системой уравнений

где и и v - параметры. Например, связка прямых с центром в точке

A(x

) описывается системой

Связка параллельных прямых, т.е. прямых параллельных направ-

лению OA, может быть задана уравнениями

Однопараметрическое множество пучков прямых, параллельных

плоскости OXY, центры которых лежат на пространственной кривой

/: у = у(х), z = Z(JC) , может быть записано в виде

\у - у{х) = u(z - z(x)),

X + V.

и,

199

198