Вайнштейн Р.А. Математические модели элементов электроэнергетических систем в расчетах установившихся режимов и переходных процессов

Подождите немного. Документ загружается.

во-вторых, при принятых (рис. 2.1.4) характеристиках состояние равно-

весия устойчиво. Это следует из простого качественного анализа:

- при отклонении от точки равновесия в сторону увеличения час-

тоты

0, 0

T Э

P P





 

  

, то есть происходит торможение ротора аг-

регата и частота возвращается к прежнему значению;

- при отклонении частоты в сторону уменьшения

0, 0

T Э

P P





 

  

и имеет место ускорение ротора и возврат к ис-

ходному режиму.

При рассмотрении установившихся режимов и переходных процес-

сов изменения частоты при общем синхронном движении генераторов

системы мощность турбин, как генерирующую часть обозначают

, а

электромагнитную мощность генератора, которая в таких режимах оп-

ределяется нагрузкой и потерями, обозначается

2.1.2. Вспомогательные понятия к математической модели

электромагнитного момента синхронной машины

Индуктивность.

При протекании тока i по обмотке создается на-

магничивающая сила (магнитодвижущая сила МДС

)

F = iw,

где w – число витков (рис. 2.1.5).

МДС создает магнитный поток, который определяется магнитным

сопротивлением

на его пути

Рис. 2.1.5. Магнитная цепь



. (2.1.3)

В общем случае магнитное сопротивление равно





. (2.1.4)

где μ – магнитная проницаемость,

l – средняя длина магнитной линии,

S – площадь поперечного сечения магнитопровода.

Магнитная проницаемость

μ – это характеристика среды. Магнит-

ная проницаемость электротехнической стали много больше магнитной

проницаемости воздуха (и вообще неферромагнитных материалов).

Подставим (2.1.4) в (2.1.3

)

iwS





. (2.1.5)

Умножим левую и правую часть (2.1.5) на w

iw S

Фw





Учтем, что потокосцепление

Фw





. Тогда

w S



 

Как известно, коэффициент пропорциональности между потокос-

цеплением и током есть индуктивность цепи





Таким образом,

w S





Собственная индуктивность, взаимная индуктивность, индук-

тивность рассеяния

. Рассмотрим два индуктивно-связанных контура

(рис. 2.1.6

), один из которых разомкнут. Магнитный поток, создаваемый

током

, в реальных электромагнитных системах состоит из двух со-

ставляющих:

- поток взаимной индукции, который полностью сцепляется с витками

первого и второго контуров,

- поток рассеивания, который сцепляется только с витками одного кон-

тура.

Дифференциальное уравнение для первого контура

1 12 1

1 1 1 1

( )

S S

d Ф Ф dФ

u w w w

dt dt dt



  

, (2.1.6)

где

1 1 1 12 1 12

S S

Ф wФ

 

 

Рис. 2.1.6. Индуктивно-связанные контуры

Сопоставим с потокосцеплениями соответственно индуктивность

рассеяния

и взаимную индуктивность М

. Тогда

= i

, ψ

= i

Таким образом, уравнение (2.1.6) примет вид

1 1 1

1 1 12 1S

di di di

u L M L

dt dt dt

  

где

1 1 12

L L M

 

– собственная индуктивность.

Таким образом, полную (собственную) индуктивность контура

можно представить как сумму индуктивности рассеивания и взаимной

индуктивности.



Рис. 2.1.7. Схема замещения индуктивно-связанных контуров

Если к зажимам второго контура подключить нагрузку (рис. 2.1.7),

то данной схеме будет соответствовать система уравнений

1 1 2

1 1 12 12

2 2 1

2 2 12 12

di di di

u L M M

dt dt dt

di di di

u L M M

dt dt dt

  

   

После некоторых преобразований получим

1 1 12 1 2

2 2 12 1 2

( ),

( ) 0.

u L M i i

dt dt

di d

u L M i i

dt dt

  

   

(2.1.7)

Уравнениям (2.1.7) соответствует схема замещения рис.2.1.8.

1 2

i i



Рис. 2.1.8. Схема замещения, соответствующая уравнениям (2.1.7)

2.1.3. Индуктивные сопротивления синхронной машины

Индуктивные сопротивления синхронной машины, значения кото-

рых входят как коэффициенты в уравнения математической модели, оп-

ределяются при следующих условиях.

Сверхпереходное индуктивное сопротивление

(



) определяется в

первый момент внезапного (скачкообразного) изменения режима с уче-

том влияния демпферного контура и контура возбуждения.

Переходное сопротивление

(



) определяется расчетными усло-

виями, соответствующими первому моменту внезапного изменения ре-

жима без учета влияния демпферного контура.

Использование таких условий возможно в связи с тем, что свобод-

ные токи в демпферных контурах затухают значительно быстрее, чем в

обмотке возбуждения.

Для определения сопротивлений





;



используется теорема

о постоянстве потокосцепления с замкнутым контуром, активное сопро-

тивление которого равно нулю (сверхпроводящий контур).

Суммарное потокосцепление контура с собственной индуктивно-

стью

L, имеющего магнитную связь с другим контуром равно

K L M M

       

где 

– потокосцепление взаимоиндукции.

Дифференциальное уравнение такого контура





d L i

  



Следовательно

const

L i

   

Последнее соотношение означает, что любое изменение потокос-

цепления взаимной индукции со сверхпроводящим контуром



вызы-

вает протекание тока в контуре такой величины и такого направления,

что поле этих токов компенсирует изменение



. Иными словами, ток

в сверхпроводящем короткозамкнутом контуре определяется из условия

сохранения потокосцепления с контуром неизменным.

Реальные контуры синхронной машины обладают, хотя и малыми,

но конечными активными сопротивлениями. Все же на некотором от-

резке времени, значительно меньшим постоянной времени контура,

можно последний рассматривать как сверхпроводящий и использовать

теорему о постоянстве потокосцепления.

Применим теорему о постоянстве потокосцепления для магнитной

системы по рис.

2.1.9. Контур II является сверхпроводящим.







Рис.2.1.9. Магнитная система с двумя контурами

Уравнения для изменений потокосцеплений при изменении тока в

контуре

1 1 2 1

i L i M

    

, (2.1.8)

2 2 1 2

i L i M

    

(2.1.9)

Согласно теореме о постоянстве потокосцепления

 

. Выра-

зим при этих условиях



из уравнения (2.1.9), подставим в (2.1.8) и

выделим отношение







, которое определяет результирующую

индуктивность контура

L L

  .

С учетом магнитного рассеивания контуров

1 1 2 2

L M L L M L

 

   

Тогда

2 1 1 2 2

2 2

ML ML L L ML

L L

M L M L

    



 

 

  

 

Так как практически

M L





, то

1 2

L L L

 

 

и это означает, что

все изменения тока



вызывают только изменения потока на пути рас-

сеивания. Магнитное сопротивление на пути рассеивания значительно

больше, поэтому индуктивность, а следовательно и индуктивное сопро-

тивление в первый момент изменения режима меньше.

Подобная же картина имеет место в контурах синхронной машины,

что иллюстрируется на рис.2.1.10



а б в

Рис. 2.1.10. Магнитные поля периодических токов обмотки статора

а – в начальный момент внезапного КЗ, сверхпереходная стадия (



б – после затухания токов демпферной обмотки или при ее отсутствии (



в – при установившемся КЗ (

)

После затухания свободных токов в обмотке возбуждения и в

демпферных контурах магнитные потоки, создаваемые током обмотки

статора беспрепятственно замыкаются по наименьшему магнитному со-

противлению, которому соответствуют синхронные индуктивные со-

противления по продольной оси

– x

и по поперечной оси – x

. В син-

хронных машинах с явновыраженными полюсами на роторе магнитное

сопротивление по продольной оси значительно меньше, чем по попе-

речной и поэтому у таких машин

> x

2.1.4. Переход от трехфазной системы координат к прямоуголь-

ной системе

d-q координат, жестко связанной с ротором

(уравнения Парка

-Горева)

Переходный процесс в электрической машине любого типа может

быть описан системой дифференциальных уравнений в той или иной

системе координат. Выбор системы координат определяется конкрет-

ными условиями решаемой задачи.

При расчете переходного процесса может быть использована сис-

тема координат

d, q, 0, где оси d и q жестко связаны с ротором, причем

ось

d совмещена с продольной осью ротора и опережает ось q.

Мгновенные значения можно определить через векторы трехфазной

системы (рис. 2.1.11

Ось отсчета углов







Рис. 2.1.11. Определение мгновенных значений через векторы трехфазной системы

Из рис.2.1.11 очевидно

cos ,

cos( 120 ),

cos( 240 ).

A A

B B

C C

f F



 



Если принять для каждой фазы свои оси времени, сдвинутые отно-

сительно друг друга на 120

, то трехфазную симметричную систему

можно представить одним вектором

F, который называется обобщен-

ным вектором. Из рис. 2.1.12 очевидно, что проекция обобщенного век-

тора

F, вращающегося с угловой скоростью ω, на три оси времени даст

мгновенные значения трехфазных величин

cos ,

cos( 120 ),

cos( 240 ).

f F



 









Рис. 2.1.12. Определение мгновенных значений через обобщенный вектор

Необходимо отметить, что чередование фаз для осей времени об-

ратно чередованию фаз, так как вращение осей времени противополож-

но вращению векторов.

Обобщенный вектор можно разложить на составляющие: продоль-

ную

, совпадающую с осью полюсов, и поперечную F

(рис. 2.1.13).

Тогда мгновенные значения равны

   

0 0

cos sin ,

cos 120 sin 120 ,

cos 240 sin 240 .

a d q

b d q

c d q

f F F

     

       

(2.1.10)

где γ – угол между магнитной осью фазы А и осью d.

Из полученных уравнений можно выразить в явном виде F

и F

   

0 0

cos cos 120 cos 240 ,

sin sin 120 sin 240 .

d a b c

q a b c

F f f f

 

          

 

 

          

 

(2.1.11)

cos( )





sin( )



Рис. 2.1.13. Обобщенный вектор F в системе координиат d-q

Для иллюстрации некоторых свойств преобразования координат

(2.1.11) рассмотрим два примера.

Пусть исходная трехфазная система токов симметрична и частота

их изменения равна частоте вращения ротора, то есть





cos

A m

i I t

    





cos 120

B m

i I t     





cos 240

C m

i I t     

Угол  изменяется по закону γ = ωt+ γ

. При таких условиях по

(2.1.11) получаем





cos

d m

I I

    





sin

q m

I I

    

Как видно в данном случае составляющие I

и I

являются постоян-

ными во времени величинами. Токи

и I

создают соответствующие

намагничивающие силы (реакцию якоря), которые вместе с намагничи-

вающей силой, создаваемой током возбуждения, определяют результи-

рующий магнитный поток машины.

Угол (γ

– α) зависит от характера нагрузки генератора (рассматри-

вается далее с помощью векторных диаграмм).

Далее рассмотрим также симметричную трехфазную систему то-

ков, но будем считать, что частота их изменения не равна частоте вра-

щения ротора. Примем γ =

t + γ

, причем ω

≠ ω.

В этом случае









1 0

cos

d m

I I t

 

        

 









1 0

sin

q m

I I t

 

        

 

Разность

    

есть частота скольжения. Таким образом, ре-

акция якоря по оси

d и q изменяется с частотой скольжения, во всех

замкнутых контурах по оси

d и по оси q наводятся токи с частотой

скольжения.

Напряжение на обмотке статора, например

, фазы А, равно

A A A

U r i



   

где ψ

– полное потокосцепление обмотки фазы А,

, r

– соответственно ток фазы А и активное сопротивление обмотки.

Применим для тока и потокосцепления преобразование (2.1.10

)

cos sin

A d q

        

, (2.1.11)

cos sin

A d q

i I I

     

(2.1.12)

С учетом (2.1.11) и (2.1.12) получим

 

cos sin cos sin

A d q d A q A

U I r I r

     

    

(2.1.13)

Преобразуем (2.1.13) с учетом того, что угол γ является функцией

времени

    

. (2.1.14)

cos sin sin

cos cos sin .

A d

q d A q A

dt dt dt

I r I r

    

  





   



   

(2.1.15)