Вайнштейн Р.А. Математические модели элементов электроэнергетических систем в расчетах установившихся режимов и переходных процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Составляющие в (2.1.15) с множителем «cosγ» совпадают по на-

правлению с осью «

d», а с множителем «sinγ» с осью «q». Поэтому вы-

делим в (2.1.15) составляющие по оси «

d» и оси «q»

d q d A

d d

U I r

dt dt

 

      

q d q A

U I r

dt dt





      

Учтем (2.1.14), а также и то, что в общем случае частота вращения

ротора может отличаться от синхронной и быть равной ω

+ ω

, ω

–

час-

тота скольжения

d q q S d A

U I r



        

, (2.1.16)

q d d S q A

U I r

    



   

. (2.1.17)

Уравнения (2.1.16) и (2.1.17) называют уравнениями Парка-Горева.

Составляющие напряжений в (2.1.16) и (2.1.17) порождаются опре-

деленными процессами и в соответствии с этим называются следующим

образом:

dt dt



– ЭДС трансформации,

d q

   

– ЭДС синхронного вращения,

d S q S

   

– ЭДС скольжения.

При использовании математической модели синхронной машины,

основанной на преобразовании Парка

-Горева для исследования элек-

тромеханических переходных процессов уравнения (2.1.16) и (2.1.17

)

упрощают, а именно пренебрегают активным сопротивлением обмотки

статора, ЭДС трансформации и ЭДС скольжения. Следовательно, далее

используются уравнения в виде

d q

  

, (2.1.18)

q d

  

. (2.1.19)

Важно обратить внимание на то, что магнитный поток по оси «q»

наводит ЭДС по оси «d» и на оборот. Это объясняется тем, что индук-

тируемая ЭДС сдвинута на 90



по отношению к соответствующему пе-

ременному магнитному потоку.

Кроме обмоток статора по оси «d» и по оси «q» имеются замкнутые

контуры, которые образованы либо специально выполненными обмот-

ками, либо конструктивными элементами, по которым могут замыкать-

ся токи, наводимые в них изменяющимися магнитными потоками.

В обычных машинах с роторами любой конструкции по продоль-

ной оси расположена обмотка возбуждения. В синхронных машинах с

явновыраженными полюсами имеются специальные короткозамкнутые

демпферные обмотки, которые образуют контуры как по продольной,

так и по поперечной осям. В синхронных машинах с неявновыражен-

ными полюсами специальных демпферных обмоток нет. Как было ска-

зано выше, роль таких контуров выполняет проводящий массив ротора.

Параметры контуров ротора (индуктивность и активное сопротив-

ление) в общем случае не остаются постоянными, а из

-за поверхностно-

го эффекта зависят от скорости изменения токов. Особенно сильно эта

зависимость проявляется в синхронных машинах с неявновыраженными

полюсами.

Влияние реальных демпферных контуров обычно учитывают, по-

мещая по продольной и поперечной осям ограниченное число замкну-

тых контуров с сосредоточенными параметрами.

Во многих случаях демпферную систему замещают одним конту-

ром по оси «

d» и одним контуром по оси «q». Такой модели соответст-

вует следующее расположение контуров (рис. 2.1.14

Рис. 2.1.14. Контуры синхронной машины по продольной и поперечной осям

Уравнения (2.1.18) и (2.1.19) должны быть дополнены дифферен-

циальными уравнениями контуров:

- возбуждения

f f f

r i U



  

, (2.1.20)

демпферного контура по продольной оси

D D

r i



 

, (2.1.21)

демпферного контура по поперечной оси

Q Q

r i



  

(2.1.22)

Все контуры по продольной оси и все контуры по поперечной оси

магнитно связаны между собой. Но между контурами продольной и по-

перечной осей магнитная связь отсутствует, так плоскости их обмоток

расположены под 90

Магнитные потоки обмоток с учетом того, что в реальной электро-

магнитной системе не весь создаваемый обмотками магнитный поток

сцепляется с другими обмотками из

-за явления магнитного рассеяния.



Рис. 2.1.15. Магнитные потоки контуров по продольной и поперечной осям

На рис. 2.1.15 приняты обозначения:

и Ф

– магнитные потоки взаимной индукции по продольной и по-

перечной оси,



, Ф



, Ф



, Ф



– магнитные потоки рассеяния.

Принадлежность потоков к определенной обмотке определена ин-

дексом. Потокам рассеяния обмоток статора по оси

d и q (Ф



) присвоен

общий индекс, так как они одинаковы.

Магнитно-связанные контуры, как известно, можно представить в

виде схемы замещения, в которой полная (или собственная) индуктив-

ность каждой обмотки состоит из двух составляющих взаимной индук-

тивности и индуктивности рассеяния. В соответствии с этим для каждо-

го контура:

- по оси «d»

d ad

L M L



 

, (2.1.23)

D ad D

L M L



 

, (2.1.24)

f ad f

L M L



 

, (2.1.25)

по оси «q»

Q aq Q

L M L



 

(2.1.26)

q aq

L M L



 

. (2.1.27)

где M

и M

– коэффициенты взаимной индуктивности контуров соот-

ветственно по продольной и поперечной осям.

Индуктивность рассеяния имеют индекс «



» и индекс принадлеж-

ности к определенному контуру.

Потокосцепления каждого из магнитно

-связанных контуров зави-

сит от токов всех контуров и определяются следующим образом

по оси «d»

d d d D ad f ad

I L i M i M

   



, (2.1.28)

D D D f ad d ad

i L i M I M

  



, (2.1.29)

f f f D ad d ad

i L i M I M

      

, (2.1.30)

по оси «q»

q q q Q aq

I L i M

     

, (2.1.31)

Q Q Q q aq

i L I M

    

. (2.1.32)

В формулах (2.1.28) – (2.1.32) составляющие с токами I

и I

при-

няты отрицательными для удобства вывода последующих соотношений.

Полученные уравнения в принципе могут использоваться в составе

расчетных моделей энергосистем. Если в ходе расчета определяются

значения

, U

, I

, то активная и реактивная мощности генератора

могут быть определены следующим образом

Г d d q q

P U I U I

 

, (2.1.33)

Г d q q d

Q U I U I

 

. (2.1.34)

Вращающий электромагнитный момент с учетом (2.1.18) и (2.1.19)

Г q d d q

M I I

 



   

. (2.1.35)

2.1.5. Сводка уравнений модели синхронной машины через

внутренние параметры

Ниже приведены уравнения модели синхронной машины через

внутренние параметры, которые будут необходимы для вывода после-

дующих уравнений. Нумерация уравнений соответствует нумерации,

принятой в п. 2.1.4.

d q

  

(2.1.18)

q d

  

(2.1.19)

f f f

U r i



  

(2.1.20)

D D

r i



  

(2.1.21)

Q Q

r i



  

(2.1.22)

d ad d

L M L



 

(2.1.23)

D ad D

L M L



 

(2.1.24)

f ad f

L M L



 

(2.1.25)

Q aq Q

L M L



 

(2.1.26)

q aq q

L M L



 

(2.1.27)

d d d D ad f ad

I L i M i M

   



(2.1.28)

D D D f ad d ad

i L i M I M

  



(2.1.29)

f f f D ad d ad

i L i M I M

      

(2.1.30)

q Q aq q q

i M I L

    

(2.1.31)

Q Q Q q aq

i L I M

    

(2.1.32)

d d q q

P U I U I

 

(2.1.33)

d q q d

Q U I U I

 

(2.1.34)

d q q d

M I I

 

 

(2.1.35)

2.1.6. Постоянные времени синхронной машины

по продольной и поперечной осям

В систему уравнений синхронной машины входят постоянные вре-

мени для различных стадий процесса при разомкнутой и замкнутой об-

мотке статора.

Постоянные времени по продольной оси. При разомкнутой об-

мотке статора постоянные времени должны определяться с учетом вза-

имной индукции между обмоткой возбуждения и эквивалентным демп-

ферным контуром. Так как постоянные времени определяются только

параметрами схемы, то место приложения внешнего воздействия, вызы-

вающего переходный процесс, при рассмотрении данного вопроса не

имеет значения. Примем, что переходный процесс вызывается измене-

нием напряжения на обмотке возбуждения, чему соответствует схема на

рис. 2.1.16.





Рис. 2.1.16. Схема замещения для определения постоянных времени

при разомкнутой обмотке статора

Собственные индуктивности контура возбуждения и демпферного кон-

тура соответственно равны

;

f ad f D ad D

L M L L M L

 

   

Дифференциальные уравнения контуров

f f f ad f

L i r M U

dt dt

  

, (2.1.36)

D D D ad

L i r M

dt dt

  

. (2.1.37)

Представим (2.1.36), (2.1.37) в операторной форме

















f f f f ad D f

L pi p r i p M pi p U p

   , (2.1.38)













D D D D ad f

L pi p r i p M pi p

  

. (2.1.39)

Выразим из (2.1.39) ток i

(p) и подставив в (2.1.38) получим

 





 

2 2

ad f

f f f f

D D

M i p p

i p r L p U p

r L p

  



. (2.1.40)

Характеристическое уравнение по (2.1.40)









2 2

f D ad D f f D f D

L L M p L r L r p r r

       

. (2.1.41)

Коэффициент при p

преобразуем следующим образом

f D ad f D f D fD

f D

L L M L L L L

L L

 

    

 



 

, (2.1.42)

где 

– коэффициент рассеивания между контуром возбуждения и

демпферным контуром.

Разделим уравнение (2.1.41) на

f D

r r

и с учетом (2.1.42) получим





1 0

fD f D f D

T T p T T p

    

, (2.1.43)

где

f D

T T

r r

 

– постоянные времени соответственно контура

возбуждения и демпферного контура в отсутствии взаимного влияния.

В рассматриваемой схеме может иметь место только затухающие

апериодически свободные токи, то есть корни будут вещественные от-

рицательные. Постоянные времени связаны с корнями, как известно,

соотношением

 

Уравнение (2.1.43) относительно постоянных времени





f D fD f D

T T T T T T

      

. (2.1.44)

Решение (2.1.44)

1,2

2 2

f D f D

fD f D

T T T T

T T T

 

 

     

 

 

. (2.1.45)

Коэффициент рассеяния 

у генераторов различных типов лежит

в переделах 0,050,15, поэтому

f D

fD f D

T T



 

   

 

 

Это дает возможность разложением второй составляющей в (2.1.45)

в степенной ряд использовать приближенное выражение

1,2

2 2

f D f D fD f D

f D

T T T T T T

T T

 

    

  

 



 

. (2.1.46)

Меньшая из двух постоянных времени называется сверхпереход-

ной постоянной времени по продольной оси при разомкнутой обмотке

статора

fD f D

f D

T T

  







. (2.1.47)

Большая постоянная времени – переходная постоянная времени по

продольной оси при разомкнутой обмотке статора

0 0

d f D d

T T T T

 

  

. (2.1.48)

Для определения постоянных времени при замкнутой накоротко

обмотке статора можно контур обмотки статора считать сверхпроводя-

щим, так как потери в активном сопротивлении этого контура полно-

стью покрываются за счет механической энергии, подводимой к ротору

генератора от турбины. Поэтому схема для определения постоянных

времени в этом случае имеет вид



Рис. 2.1.14. Схема замещения для определения постоянных времени

при замкнутой обмотке статора

Коэффициент взаимоиндукции между всеми контурами, как приня-

то выше, одинаков и равен

Уравнения двух взаимосвязанных контуров возбуждения и демп-

ферной обмотки дополним уравнением короткозамкнутого контура об-

мотки статора, принимая активное сопротивление этой обмотки равным

нулю

D d

f f f ad ad f

di dI

L i r M M U

dt dt dt

   

, (2.1.49)

D d

D D D ad ad

di dI

L i r M M

dt dt dt

   

, (2.1.50)

 

d ad f D

dI d

L M i i

dt dt

  

. (2.1.51)

Из (2.1.51) выразим

, подставим в (2.1.49) и (2.1.50) и после

преобразований получим

Э Э f f f

L M i r U

dt dt

  

, (2.1.52)

Э Э D D

L M i r

dt dt

  

, (2.1.53)

где

, , 1

fЭ fd f DЭ Dd D Э ad

L L L L M M

 

     

 

 

– соответственно

эквивалентная индуктивность контура возбуждения, эквивалентная ин-

дуктивность демпферного контура обмотки статора, эквивалентная

взаимная индуктивность,

2 2

1 , 1

Э Э

fd Dd

f d D d

M M

L L L L

     

– коэффициенты рассеяния соответственно

между контурами возбуждения и демпферным контуром и контуром

обмотки статора.

Можно строго показать, что эквивалентный индуктивности

dэ

Dэ

соответствуют схемы замещения, приведенные на рис. 2.1.15.



а б

Рис. 2.1.15. Схемы замещения соответствующие

а – эквивалентной индуктивности контура возбуждения,

б – эквивалентной индуктивности демпферного контура

Так как структура уравнений (2.1.52) и (2.1.53) не отличается от

структуры уравнений (2.1.36) и (2.1.37), то для определения постоянных

времени справедливо соотношение, подобное (2.1.45), в котором исход-

ные постоянные времени будут равны

fЭ

 и

DЭ

 . Эти посто-

янные времени меньше, чем соответственно

, так как

Э f

L L



Э D

T L



. Таким образом, постоянные времени при замкнутой накоротко

обмотке статора:

сверхпереходная постоянная времени по продольной оси при замкну-

той обмотке статора

fD fЭ DЭ

fЭ DЭ

T T









- переходная постоянная времени по продольной оси при замкнутой об-

мотке статора

d f

Э DЭ d

T T T T

 

  

Можно также показать, что между постоянными времени имеет место

следующая связь

0 0

;

d d

d d d d

d d

x x

T T T T

x x

 

   

 



Постоянные времени по поперечной оси. По поперечной оси

аналогичным образом могут быть определены постоянные времени со-

ответственно при разомкнутой замкнутой обмотке статора



. Эти

постоянные времени связаны соотношением

q q

T T



 



2.1.7. Система уравнений генератора в форме ЭДС

(без учета влияния демпферных контуров)

Для вывода данных уравнений необходимы следующие уравнения:

(2.1.18), (2.1.19), (2.1.28), (2.1.30), (2.1.31).

Преобразования по оси «d». Подставим (2.1.28) в (2.1.19)

( )

q f ad d d

U i M I L



 

. (2.1.54)

В выражении (2.1.54) множитель при I

есть синхронное реактив-

ное сопротивление.

d d

x L





Первый член в (2.1.54) – ЭДС за синхронным реактивным сопро-

тивлением

q f ad f ad

E i M i x



 

, (2.1.55)

где

ad ad

x M





– сопротивление взаимной индукции.