Вайнштейн Р.А. Математические модели элементов электроэнергетических систем в расчетах установившихся режимов и переходных процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Полученное уравнение баланса мощности (1.2.2) в комплексной форме

разобьем на два уравнения в действительной форме

1 2

sin 0

U U b P



 

, (1.2.3)

1 1 2

cos 0

U b U U b Q



  

. (1.2.4)

где δ = δ

– δ

Если генератор в узле 1 задается значением

U P

, как это обычно

рекомендуется, то задача решается элементарно, так как из уравнения

(1.2.3) однозначно определяется угол δ, а по уравнению (1.2.4) рассчи-

тывается

Выполним решение нелинейного уравнения методом Ньютона. Это

позволит также наглядно показать связь между границей условий не-

сходимости итерационного процесса и границей статической апериоди-

ческой устойчивости. Запишем уравнение

(1.2.3) в виде

sin

Г НБ

P P P



 

, (1.2.5)

где

1 2

P U U b



– амплитуда характеристики мощности,

НБ

– текущее значение небаланса активной мощности в узле 1.

Процедура итерационного процесса решения для уравнения (1.2.5

)

заключается в следующем.

1. Принимается начальное (нулевое) приближение для угла

(0)

 



и уравнение (1.2.5) линеаризуется в данной точке

(0)

НБ

 





 



  

 



 

где

(0) (0)

НБ Г

sin

P P



 

(0)

НБ

cos

 





 





 



 

2. Вычисляется приращение угла на начальном шаге

(0)

НБ

 





 

 



 



 

3. Определяется значение угла, которое принимается как следую-

щее приближение

(1) (0) (0)

  

  

. Далее повторяется такая же проце-

дура для

(1)

 



, в результате чего определяется значение

(2)



для сле-

дующего шага и т.д.

4. Расчет ведется до тех пор, пока на очередной итерации не будет

выполнено условие

( )i

НБ НБ зад

P P 

. Представим уравнение (1.2.5) в от-

носительных единицах при

баз m

P P



sin

Г НБ

P P



 

 

и проведем расчет при

0,707





и заданной точности

0,01

НБ зад





Результаты расчета приведены в таблице 1.2.1, а на рис. 1.2.2 графиче-

ское пояснение.

Как видно, на четвертом шаге итерации

НБ НБ зад

P P

 



и расчет

может быть закончен.

(1)



(0)



(2)



sin



(3)



(1)

HБ



(2)

HБ



град

(0)





(1)





(0)

НБ



(2)





Рис. 1.2.2. Графическая иллюстрация сходимости метода Ньютона

Таблица 1.2.1

№

ите

ра-

ци

Значе-

ние угла

на

i-ой

итера-

ции

( )



град

Коэффициент

наклона ли-

неаризован-

ной функции

небаланса

( )

НБ

 





 



 



 

о.е. / рад

Значе-

ние не-

баланса

НБ



о.е.

Приращение

угла

( )





град

Значение угла

для следую-

щей итерации

( 1) ( )

( )

i i

 









град

0 75 0,259 0,259 -57,3 17,7

1 17,7 0,953 -0,403 24,2 41,9

2 41,9 0,746 -0,039 3 44,9

3 44,9 0,708 0,00123

С ростом Р

Г*

и, следовательно, с увеличением загрузки участка 1-2

до предела устойчивости





коэффициент наклона линеаризован-

ной функции небаланса

( )

cos 0

НБ

 





 



 

 



 

и расчетное приращение

угла стремится к бесконечности, что фиксируется, как несходимость

итерационного процесса. В связи с этим из рассматриваемого простого

примера важно обратить внимание на то, что производная

( )

НБ

 





 



 



 

есть свободный член (а

) характеристического уравнения, линеаризо-

ванного дифференциального уравнения относительно движения ротора

агрегата турбина

-генератор для условий, соответствующих схеме на

рис. 1

.2.1. Следовательно, граничные условия сходимости итерационно-

го процесса по методу Ньютона и статической апериодической устой-

чивости по равенству нулю свободного члена характеристического

уравнения (

= 0) линеаризованной системы совпадают.

В системах высокого порядка линеаризация на каждом шаге итера-

ции осуществляется по всем рассчитываемым переменным, что дает

систему линейных алгебраических уравнений, которые решаются ка-

ким

-либо методом.

Для примера рассмотрим систему из двух уравнений

1 1 2

2 1 2

( , ) 0,

( , ) 0.

y x x



Уравнения, линеаризованные относительно функций

1 2

y y

на i-ой

итерации

1 1 2 2

1 1

1 1 2 1 2

1 2

2 2

2 1 2 1 2

1 2

( , ) 0,

( , ) 0.

i i

x x x x

i i

x x x x

y y

y x x x x

x x

y y

y x x x x

x x

 

   

 

    

   

 

   

   

 

    

   

 

   

Определителем этой системы линейных уравнений является матри-

ца, составленная из коэффициентов вида

x x





 

 



 

, называемая матрицей

Якоби

1 1

1 2

2 2

1 2

y y

x x

y y

x x

 

   

 

 

   

 

   

 

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

Если значение определителя Δ становится равным нулю, то реше-

ние невозможно, и итерационный процесс не сходится. В ряде работ по-

казано, что при выполнении ряда условий выражение для свободного

члена характеристического уравнения совпадает с определителем, со-

ставленным из элементов матрицы Якоби. Следовательно, и для систем

высокого порядка равенство нулю свободного члена характеристиче-

ского уравнения, как критерия границы статической апериодической

устойчивости, и нарушение сходимости итерационного процесса по ме-

тоду Ньютона при определенных ограничениях совпадают

Условия, которые должны выполняться для такого совпадения за-

ключаются в следующем:

1) в расчетной системе должен быть узел, рассматриваемый как

шины бесконечной мощности, причем этот узел должен быть

принят балансирующим;

2) при определении апериодической устойчивости нужно пре-

небрегать статизмом АРВ, то есть считать, что АРВ поддер-

живает напряжение в генераторном узле в точности неизмен-

ным;

генераторы в расчете режима должны быть заданы значения-

ми

, U

, но не Р

, Q

;

в расчете режима и при проверке его апериодической устой-

чивости должны фигурировать одни и те же статические ха-

рактеристики нагрузки.

Если в процессе утяжеления режима, проводимого с целью определения

предела статической апериодической устойчивости, в некоторых узлах

достигается ограничение по реактивной мощности (

max

Г Г

Q Q



или

min

Г Г

Q Q



), то в этих узлах PU– модель автоматически заменяется на

PQ – модель, и условие 3 нарушается.

1.3. Модели линий электропередачи

Линии электропередачи длиной не более 300 км при расчете пред-

ставляют

П-образной схемой замещения (рис. 1.3.1).

Рис. 1.3.1. Схема замещения линии электропередачи длиной до 300 км

При расчете симметричных установившихся режимов ЭЭС схему

замещения линии составляют для одной фазы, то есть ее параметры, со-

противление

Z = r + jx (Ом), изображают и вычисляют для одного фаз-

ного провода (жилы).

Активное сопротивление r определяется материалом проводов

(медь, алюминий, сталь) и площадью поперечного сечения проводов.

Индуктивное сопротивлении х определяется магнитным полем

вокруг и внутри проводов. Индуктивное сопротивление единицы длины

линии зависит от взаимного расположения проводов и диаметра прово-

да. Если каждый из трех проводов находится в одинаковых условиях

(например, при расположении треугольником Δ), то индуктивные со-

противления фазных проводов одинаковы.

Во многих случаях это не соблюдается (расположение проводов в

ряд • • •) и поэтому индуктивные сопротивления фазных проводов раз-

личны. Чтобы избежать несимметрии применяют транспозицию [

3] и

принимают удельное индуктивное сопротивление проводов одинако-

вым, независимо от конструкции линии.

Емкостная проводимость b

учитывает проводимости (емкости)

между фазами, между фазами и землей и отражает генерацию зарядной

мощности всей трехфазной линии

1 1

C C

Q b U



2 2

C C

Q b U



Активная проводимость линий g, изображаемая в виде шунта

между фазой (жилой) и точкой нулевого потенциала (землей), учитыва-

ет суммарные потери активной мощности на корону трех фаз

1 1

P gU

 

2 2

P gU

 

Активная проводимость в нормальных условиях эксплуатации

очень мала и в расчетах, как правило, не учитывается, поэтому

g = 0.

Для линий указанной длины (до 300 км)

r = r

l, x = x

l, b = b

l. (1.3.1)

где l – длина линии (км),

(Ом/км), x

(Ом/км), b

(мкСм/км) – погонные параметры линии.

Если длина линии больше 300км в (1.3.1) вводят поправочные ко-

эффициенты, которые позволяют учесть распределенность параметров

линии,

r = k

l, x =k

l, b =k

где

1 bx

















000

rbx

5,0





(1.3.2)

Заметное уточнение параметров (более 1%) посредством поправоч-

ных коэффициентов (1.3.2) проявляется для воздушных линий длиной

более 300 км и для кабельных линий

– более 50 км.

Более точно распределенность параметров вдоль линии можно

учесть, представляя протяженную ЛЭП цепочечной схемой замещения

(рис.1.3.2

1 2 3

n+1

Рис. 1.3.2. Цепочечная схема замещения линии

Каждое звено представляет собой участок линии длиной от 100 до

300 км с П

-образной схемой замещения (рис. 1.3.1).

1.4. Модели трансформаторов и автотрансформаторов

В данной работе для всех трансформаторов принято, что сопротив-

ления обмоток трансформаторов приведены к высокому напряжению.

Принципиально они могут быть приведены к любой ступени напряже-

ния.

В формулах для расчета сопротивлений обмоток трансформатора

приняты следующие обозначения и размерности:

ΔР

– потери мощности в трех фазах (кВт),



– общие потери холостого хода (кВт),

ном

– линейное номинальное напряжение обмотки (кВ),

ном

– номинальная мощность трансформатора (МВА),

X %

– ток холостого хода ( %),

– напряжение короткого замыкания (%),

T T

Z,r , х

– соответственно полное, активное и реактивное сопротивления

трансформатора (Ом),

T T

g ,b

– соответственно активная и реактивная проводимости транс-

форматора (См)

Двухобмоточный трансформатор. Параметры схемы замещения двух-

обмоточных трансформаторов определяются по каталожным данным,

составленным по результатам опытов холостого хода и короткого замы-

кания.

Активное сопротивление обмоток двухобмоточного трансформато-

ра (рис. 1.4.1

) определяется в виде

ном

1000

P U





Полное сопротивление трансформатора определяется напряжением

короткого замыкания. Полное сопротивление трансформатора

ном

100

u U



Реактивное сопротивление обмоток трансформатора

2 2

T Т T

x Z r

 

Для трансформаторов большой мощности (выше 1000 кВА)

T T

x r



. Поэтому для мощных трансформаторов с достаточной степе-

нью точности можно принять

x Z



В схему замещения трансформаторов включается идеальный транс-

форматор (ИТ), моделирующий коэффициент трансформации, то есть

преобразование (понижение или повышение) напряжения переменного

тока одного класса напряжения в другой.



ИТ

Рис. 1.4.1. Схема замещения двухобмоточного трансформатора

Трансформаторы выпускаются с различными системами регулиро-

вания напряжения

[3]:

–

без регулирования напряжения,

– с регулированием напряжения путем переключения числа витков

обмоток без возбуждения (система ПБВ),

– регулирование напряжения под нагрузкой (система РПН).

Для трансформаторов без регулирования напряжения комплексный

коэффициент трансформации равен

T Т

K K е







где T

ВН

НН



– модуль коэффициента трансформации, характеризую-

щий отношение напряжений на зажимах трансформатора.



– угол комплексного коэффициента трансформации. Учитывается

только в случае, если используется поперечное регулирование по на-

пряжению, обеспечивающее изменение напряжения по фазе

Для трансформаторов, оснащенных системами ПБВ или РПН

СТ

1 )

U ( n U



 



где n – число ступеней регулирования,

СТ





– относительное изменение напряжения на одну ступень при хо-

лостом ходе трансформатора, отнесенное к высшему номинальному на-

пряжению

Проводимости схемы замещения трансформатора определяют по

результатам опыта холостого хода.

Активная проводимость трансформатора

ном

1000





, (1.4.1)

где



– общие потери холостого хода.

Реактивную проводимость ветви намагничивания определяют в ви-

де

ном

100



. (1.4.2)

где

X %

– ток холостого хода, %.

Как правило, значения активной и реактивной проводимостей

трансформатора весьма незначительны, поэтому при расчете устано-

вившихся и переходных режимов обычно принимают

0 0

T T

g , b

 

Трансформатор с расщепленной обмоткой. Трансформаторы с

расщепленной обмоткой являются разновидностью двухобмоточного

трансформатора. В таком трансформаторе обмотка НН выполнена из

двух обмоток, расположенных симметрично по отношению к обмотке

ВН. Схема замещения трансформатора с расщепленной обмоткой имеет

вид трехлучевой звезды (рис.1.4.2), где

H1 H2 H1 H2

r , r , x , x

– активные и

индуктивные сопротивления расщепленных обмоток.

Сопротивления трансформатора между выводами обмотки ВН вы-

водами НН

-1, НН-2 будут равны так называемым общим (сквозным) со-

противлениям трансформатора

ном

общ

1000

P U





ном

общ

ном

100

u U



Т ВН



ИТ

Т ВH



ИТ





Рис. 1.4.2. Схема замещения трансформатора с расщепленной обмоткой

Мощность каждой обмотки НН равна половине мощности обмотки

ВН, то есть половине номинальной мощности трансформатора, следова-

тельно, сопротивления

H1 H2 B

r r r

 

С учетом данного соотношения сопротивлений имеем

общ

0,5

r r



H1 H2 общ

r r r

 

Распределение реактивных сопротивлений между лучами схемы

замещения (обмотками) рекомендуется принимать следующим

[3]

B общ

0,125

x x



H1 H2 общ

1,75

x x х

 

Система регулирования напряжения (ПБВ или РПН) для трансфор-

маторов с расщепленной обмоткой располагается на стороне ВН. Моду-

ли коэффициентов трансформации в этом случае определяются анало-

гично коэффициенту трансформации двухобмоточного трансформатора

СТ СТ

Т ВН1 Т ВН2

BH BH

HH1 HH2

1 ) 1 )

U ( n U U ( n U

K , K

U U

 

   

 