Ваулина О.С., Щипицын А.Г. Комплекс для утилизации производственных отходов: математические модели и алгоритмы синтеза системы управления

Подождите немного. Документ загружается.

MbM2

= , (3.3.12)

где i = м, в, v, кс.

Определим зависимость )(P

из уравнений (3.3.8), (3.3.11) и (3.3.12):

()

(

)

(

)

()()()

)(3Аe2Aj1Qj1Qj1Qj

1Qj1Qj1Qj

)(P

2з

vвм

ω+ω+ω+ω+ω

−=ω

ωτ−

(3.3.13)

где

()()

[

(

)

()()

]

()()

.1Qj1QjB1Qj1QjB

1QjB1QjB1Qj)(3À

vâìvâêñ

âvvâì

+ω+ω++ω+ω+

ω=ω

Определим начальное и конечное значение )(P

.)(Plim

;3692)(Plim

∞=ω

−=ω

∞→ω

→ω

Построим на комплексной плоскости зависимость )(P

ω и нанесем штрихов-

ку. На рис. 3.18 изображен график D-разбиения для реактора по параметру P

При увеличении ω от

∞− до

∞

штрихуем левую сторону кривой.

Рис. 3.18. D-разбиение плоскости параметра P

для реактора

Т.е. претендентом на область устойчивости является область внутри кривой D-

разбиения (область 1). Но эта область не удовлетворяет начальным условиям, так

как P

= 120 КПа. Данное значение не попадает в область устойчивости, следова-

тельно система неустойчива при заданных параметрах.

3.3.4. Исследование устойчивости реактора при скорректированных па-

раметрах

Изменение сопротивления по входу воды

Для того чтобы система (реактор) стала устойчивой необходимо передвинуть

дроссельную шайбу в трубопроводе воды непосредственно к входу в реактор. Тем

самым мы повысим сопротивление в трубопроводе воды, т.е. увеличим перепад

давлений. Это сопротивление характеризуется коэффициентом ξ

Сначала выведем систему на колебательную границу устойчивости, при этом

= 1130.

Построим D-разбиение плоскости параметра τ

з2

используя соотношение

(3.3.4). График представлен на рис. 3.19. Для определения

2гр

τ нам необходимо

знать

2гр

ω . Так как аналитически найти

2гр

не представляется возможным из-за

сложности выражения в левой части равенства (3.3.6), то

2гр

ω можно найти гра-

фически (график аналогичен рис.3.15).

Рис. 3.19. D-разбиение плоскости параметра

2з

для реактора:

1 – кривая (3.3.5); 2 – окружность (3.2.8)

В данном случае 95,15

2гр

=ω , 11,0

2гр

. Это означает, что

2гр2з

=τ (0,11 =

0,11), т.е. система находится на колебательной границе устойчивости.Из графика

переходного процесса для системы при ξ

= 1130 (рис. 3.20) также видно, что

система находится на колебательной границе устойчивости, что неприемлемо для

данной системы. Для повышения устойчивости системы необходимо повысить

сопротивление, т.е. увеличить коэффициент ξ

. Для этого можно изменить кон-

фигурацию дроссельной шайбы на входе воды, а именно уменьшить диаметр от-

верстия и передвинуть ее ближе к реактору. Максимально возможный коэффици-

ент сопротивления, который можно получить, изменяя геометрию дроссельной

шайбы, равен ξ

= 7246.

Рис. 3.20. Переходный процесс для реактора (граница устойчивости)

Построим D-разбиение плоскости параметра τ

з2

при ξ

= 7246 используя соот-

ношение (3.3.4). График представлен на рис. 3.21.

Рис. 3.21. D-разбиение плоскости параметра

2з

для реактора

1 – кривая (3.3.5); 2 – окружность (3.2.8)

Для определения

2гр

τ нам необходимо знать

2гр

. Найдем

2гр

ω графически

(график аналогичен рис.3.15). В данном случае 45,10

2гр

, 202,0

2гр

=τ . Это оз-

начает, что

2гр2з

<τ (0,11 < 0,202), т.е. система устойчива при данном сопротив-

лении на входе воды.

Для определения прямых показателей качества системы построим переходные

процессы. Из графика переходного процесса для системы при ξ

= 7246 (рис.

3.22) также видно, что система является устойчивой.

Из переходного процесса (рис. 3.22) определим качественные показатели сис-

темы: t

= 0,22 с, t

= 0,18 с, σ = 3,4%, h

уст

= 0,29. Для работоспособных систем

σ=(0÷30)%. Для нашей системы это условие выполняется. На прямые показатели

качества большое влияние оказывает время запаздывания, поэтому уменьшим

2з

для проверки этого утверждения.

Рис. 3.22. Переходный процесс для реактора

при скорректированных параметрах

На рис. 3.23 представлен график переходного процесса системы при

043,0

2з

=τ с, в данном случае h

уст

= 0,29, t

= 0,12 с, t

= 0,2 с, σ = 0% (монотон-

ный переходный процесс), т.е. качественные показатели системы улучшаются при

уменьшении времени запаздывания.

Рис. 3.23. Переходные процесс для реактора при вариации

времени запаздывания

2з

: 1 – для реактора при 084,0

=τ с;

2 – для реактора при

043,0

На основании структурной схемы рис.2.3 построены переходные процессы для

нелинейной системы. Нелинейная система устойчива и при 084,0

2ç

=τ с имеет

следующие показатели качества: 81,0h

óñò

, 033,0t

с и

52,18=σ

%. Переход-

ные процессы для линейной и нелинейной систем (реактор) представлены на рис.

3.24.

Рис. 3.24. Переходные процесс для реактора:

1 – для линеаризованной модели; 2 – для нелинейной модели

D-разбиение плоскости одного параметра реактора при скорректирован-

ных параметрах

D-разбиение плоскости параметра T

Зависимость )(T

ω :

)(Q

)(T

=ω

где

()()

(

)

()()()

j1Qj1Qj1Qj

)(1Àe

j1Qj1Qj1Qj

1Qj1Qj1Qj

)(Q

vâì

2ç

ω+ω+ω+ω

−

ω+ω+ω+ω

ω+ω

−=ω

ωτ−

()()

[

(

)

()()

]

()()

.1Qj1QjÑ1Qj1QjÑ

1QjÑ1QjÑ1Qj)(1À

vâìvâêñ

âvvâì

+ω+ω++ω+ω+

ω=ω

Определим начальное и конечное значение )(T

.)(Tlim;0)(Tlim

∞=ω=ω

∞→ω→ω

Построим на комплексной плоскости зависимость )(T

ω и нанесем штрихов-

ку. На рис. 3.25 изображен вид D-разбиения для реактора по параметру Т

. При

увеличении ω от

∞

−

до ∞+ штрихуем левую сторону кривой. Претендентом на

область устойчивости является область внутри кривой D-разбиения (область1).

Эта область удовлетворяет начальным условиям, так как Т

= 1273 К. Данное зна-

чение попадает в область устойчивости, следовательно, система устойчива при

скорректированных параметрах.

Рис. 3.25. D-разбиение плоскости параметра Т

для реактора

(область устойчивости)

D-разбиение плоскости параметра P

Зависимость )(P

ω :

()

(

)

(

)

()()()

)(3Аe2Aj1Qj1Qj1Qj

1Qj1Qj1Qj

)(P

2з

vвм

ω+ω+ω+ω+ω

−=ω

ωτ−

где

MTR

2А

ppp

= ,PB

MbM2

= ,

где i = м, в, v, кс.

()()

[

(

)

()()

]

()()

.1Qj1QjB1Qj1QjB

1QjB1QjB1Qj)(3À

vâìvâêñ

âvvâì

+ω+ω++ω+ω+

ω=ω

Определим начальное и конечное значение )(P

.)(Plim

;83030)(Plim

∞=ω

−=ω

∞→ω

→ω

Построим на комплексной плоскости зависимость )(P

ω и нанесем штрихов-

ку. На рис. 3.26 изображен график D-разбиения для реактора по параметру P

При увеличении

от

∞−

до

∞

штрихуем левую сторону кривой. Претенден-

том на область устойчивости является область внутри кривой D-разбиения (об-

ласть 1).

Рис. 3.26. D-разбиение плоскости параметра P

для реактора

Эта область удовлетворяет начальным условиям, так как P

= 120 КПа. Данное

значение попадает в область устойчивости, следовательно, система устойчива при

скорректированных параметрах.

Проверка претендентов на область устойчивости

Для того, чтобы проверить область на устойчивость [26], выбирается точка на

оси абсцисс внутри этой области и проверяется любым из известных методов. Мы

будем исследовать на устойчивость нахождением критического времени запазды-

вания [60].

Проведем проверку претендента на область устойчивости для параметра Т

Возьмем точку внутри претендента на область устойчивости (рис. 3.25), кото-

рая соответствует значению:

= 1100 К.

Подставим данное значения в выражение (3.3.10) и построим D-разбиение по

параметру

2з

τ рис. 3.27.

Для определения

2гр

τ нам необходимо знать

2гр

. Найдем

2гр

ω графически

(график аналогичен рис.3.15). В данном случае 2,9

2гр

, 231,0

2гр

=τ . Это озна-

чает, что

2гр2з

τ<τ (0,11 < 0,231), т.е. область найденная в п .3.3.4.2.1 (рис. 3.25),

по параметру Т

действительно является областью устойчивости.

Рис. 3.27 D-разбиение плоскости параметра

2з

τ :

1 – кривая (3.3.5); 2 – окружность (3.2.8)

Проведем проверку претендента на область устойчивости для параметра Р

Возьмем точку внутри претендента на область устойчивости

(рис. 3.26), которая

соответствует значению:

= 100000 Па.

Подставим данное значения в выражение (3.3.13) и построим D-разбиение по

параметру

2з

τ рис. 3.28.

Рис. 3.28. D-разбиение плоскости параметра

2з

1 – кривая (3.3.5); 2 – окружность (3.2.8)

Для определения

2гр

τ нам необходимо знать

2гр

. Найдем

2гр

ω графически

(график аналогичен рис.3.15).

В данном случае 8

2гр

=ω , 298,0

2гр

. Это означает, что

2гр2з

<τ (0,11 <

0,298), т.е. область 1 (рис. 3.26), по параметру Р

действительно является обла-

стью устойчивости.

Вывод: проведенное исследование на устойчивости реактора показало, что:

Необходимо изменить конфигурацию трубопровода по каналу воды, а

именно изменить место положения и геометрию дроссельной шайбы, тем самым,

увеличив сопротивление и перепад давлений по входу воды, что значительно по-

вышает устойчивость системы. Оптимальный коэффициент сопротивления на

входе воды ξ

= 7246. Прямые показатели качества при скорректированных па-

раметрах: h

уст

=0,29, t

= 0,22 с, t

= 0,18 с, σ = 3,4%

Построение D-разбиений по параметрам Р

и Т

при ξ

= 7246 показало, что

заданные температура и давление в реакторе удовлетворяют условиям устойчиво-

сти, т.е. попадают в область устойчивости, следовательно, при данных параметрах

система является устойчивой.

Основное влияние на устойчивость и качество процессов влияет время за-

паздывания. Для того чтобы улучшить качественные показатели системы необхо-

димо уменьшить время запаздывания: при

043,0

2з

с, то h

уст

= 0,29, t

= 0,12 с,

= 0,2 с, σ = 0% , т.е. система имеет монотонно затухающий переходный процесс.

3.4. Исследование устойчивости скруббера Вентури

3.4.1. Построение областей устойчивости

Система уравнений для скруббера Вентури и магистрали имеет вид:

()











=δ+δ−δ+θ

=δ−δ−δ

=δ−δ−δ+θ

τ−

.0e)s(M)s(M)s(P1s

,0С)s(P)s(P)s(M

,0С)s(P)s(P)s(M1s

3з

водрскpскp

рскpрр

водскpводводвод

(3.4.1)

Так как целью работы является исследование устойчивости процессов проте-

кающих внутри скруббера, то внешние воздействия на систему (

вод

Pδ и

) по-

лагаем равными нулю. Следовательно, система уравнений (3.4.1) примет вид:

()











=δ+δ−δ+θ

=δ+δ

=δ+δ+θ

τ−

.0e)s(M)s(M)s(P1s

,0С)s(P)s(M

,0С)s(P)s(M1s

3з

водрскpскp

рскpр

водскpводвод

(3.4.2)

Если входные воздействия в системе равны нулю, то записать передаточную

функцию данной системы не представляется возможным.

Исходя из этого, исследование на устойчивость будем проводить, основываясь

на системе уравнений (3.4.2).

Запишем характеристическое уравнение системы (3.4.2). Это определитель 3-

го порядка:

()

1sQee

С10

C01sQ

скр

водвод

3з3з

+−−

τ−τ−

(3.4.3)

Если раскрыть этот определитель, то мы получим характеристическое уравне-

ние для камеры сгорания и магистралей:

()

(

)

.0e1sQСeС1sQ1sQ

3з3з

водр

водводскр

=+++++

τ−τ−

3.4.2. Исследование устойчивости системы при заданных

параметрах

Исходные данные для исследования устойчивости скруббера Вентури:

Геометрия (в метрах):

вод

= 2,

вод

= 0,014, d

= 0,055, Ω

скр

= 0,03 м

Основные расходные и энергетические параметры:

Массовые расходы (кг/с):

= 0,148, M

вод

= 0,42, M

вых

= 0,568.

Показатель процесса расширения:

k = 1,28.

Давление в скруббере (Па):

= 100463.

Температура в скруббере (К):

= 363.

Газовая постоянная в реакторе (КДж/кг⋅К)

= 462.

Магистральные потери:

коэффициент потерь на трение в трубопроводе воды:

трвод

= 0,3,

коэффициент потерь на входе:

вод1

= 0,3, ξ

= 0,606,

коэффициент потерь на выходе:

вод2

= 11,

время запаздывания (с):

з3

= 0,035,

средняя плотность компонентов (кг/м

вод

= 1000, ρ

скр

= 0,6.

Исследование устойчивости методом D-разбиения

по параметру

3з

Рассмотрим характеристическое уравнение вида:

()

(

)

[

]

.01sQССe1sQ1sQ

водрвод

водскр

3з

=+++++

τ−

Для устойчивости системы с запаздыванием [26] необходимо и достаточно,

чтобы

3гр3з

τ≤τ . Для определения граничного значения

3з

воспользуемся мето-

дом D-разбиения [26, 51].