Ваулина О.С., Щипицын А.Г. Комплекс для утилизации производственных отходов: математические модели и алгоритмы синтеза системы управления

Подождите немного. Документ загружается.

D-разбиение плоскости параметра

∆

Обозначим:

∆

=µ (3.2.23)

Определим зависимость )(4

из уравнений (3.2.21) и (3.2.23):

1з

j(2B))1

1з

С(j

)

гкс

(

гкс

j(1B

1з

С)

гкс

)(4

ω−

+ωθ++

ω−

ω+ωθ+θ−θθω−

−

ω−

−θ+θω−θθω

=ωµ

где

;

)1K(2S

KML

;

)1K(2

кс

;

∆

=θ

2BC

∆

Определим начальное и конечное значение )(4

.0)(4lim

;10751.5)(4lim

=ωµ

⋅−=ωµ

∞→ω

−

→ω

Построим на комплексной плоскости зависимость )(4

,штриховка наносится

с внутренней стороны кривой (рис. 3.11), на рисунке штриховка не показана.

Рис. 3.11. D-разбиение плоскости параметра

∆

для камеры сгорания

и магистралей: 1 – кривая

)(4

при RT=const;

2 – кривая

)(4

µ при RT=vario (избыток окислителя);

3 – кривая

)(4

при RT=vario (избыток горючего)

При увеличении ω от ∞− до

∞

штрихуем левую сторону кривой.

Из рис. 3.11 видно, что претендентом на область устойчивости является об-

ласть 1.

Для того, чтобы определить влияние на устойчивость камеры сгорания и маги-

стралей одновременно двух параметров

∆

, совместим на одном гра-

фике зависимости )(3 ωµ и )(4

µ . Это не трудно сделать, так как обе эти характе-

ристики построены в комплексной плоскости. Графики этих характеристик пока-

заны на рис. 3.12.

Из рис. 3.12 видно, что претендентом на область устойчивости одновременно

для двух параметров

P1 ∆ и

∆

является претендент на область устойчивости

для параметра

P1 ∆ , так как эта область находится внутри области устойчивости

для параметра

P1 ∆ .

Рис. 3.12. Кривые D-разбиения плоскости параметров

P1 ∆ и

P1 ∆ ,

совмещенные на одном графике: 1 – кривая

)(3

; 2 – кривая )(4

Если в системе (камера сгорания и магистрали) избыток окислителя, то:

– претендент на область устойчивости в плоскости параметра

P1 ∆ уменьшается

(рис. 3.10);

– претендент на область устойчивости в плоскости параметра

P1 ∆ значительно

увеличивается (рис. 3.11).

Если в системе (камера сгорания и магистрали) избыток горючего, то:

– претендент на область устойчивости в плоскости параметра

P1 ∆ увеличивает-

ся (рис. 3.10);

– претендент на область устойчивости в плоскости параметра

P1 ∆

незначитель-

но увеличивается (рис. 3.11).

Большее влияние на устойчивость системы оказывает избыток окислителя, чем избыток

горючего.

3.2.4. Проверка претендентов на область устойчивости

Для того, чтобы проверить область на устойчивость [26], выбирается точка на

оси абсцисс внутри этой области и проверяется любым из известных методов. Мы

будем исследовать на устойчивость нахождением критического времени запазды-

вания [60].

Проведем проверку претендента на область устойчивости для параметров

P1 ∆ и

P1 ∆

Возьмем точки внутри области, найденной в п.3.2.3.2 (рис. 3.12), которые со-

ответствуют значениям:

.102,0P

;102,0P

⋅=∆

.10585,5

;10863,6

−

⋅=θ

.935,0C

;065,0Ñ

002,0

=τ .

Подставим данные значения в выражение:

()

(

)

()()()

1Qj1Qj1Qj

1QjС1QjС

огкс

огго

1з

+ω+ω+ω

−+

−

ωτ

и построим D-разбиение по параметру

1з

рис. 3.13.

При данных параметрах мы получили случай, когда система находится на гра-

нице абсолютной устойчивости, т.е.

∞

гр

. Следовательно, исследуемая область

устойчива, так как выполняется условие

згр

Если перепады давлений в магистралях в 2-а раза меньше, чем давление в ка-

мере сгорания, то система находится на границе абсолютной устойчивости. Т.е.

если

ог

102PP ⋅<∆=∆

, то система имеет граничное значение времени запаздыва-

ния, в обратном случае – система абсолютно устойчива при любых значения вре-

мени запаздывания.

Чем больше значения

P∆ и

∆

, тем устойчивее система. Т.е. при стремлении

P∆ и

P∆ к

∞

устойчивость системы повышается.

Выводы: в результате исследования процессов газогенератора выработаны

следующие рекомендации по обеспечению устойчивости при эксплуатации уста-

новки:

необходимо увеличивать гидравлическое сопротивление магистралей, пу-

тем уменьшения диаметров и увеличения длинны трубопроводов (при этом нужно

одновременно увеличивать давление подачи для компенсации падения давления в

камере сгорания);

можно увеличивать перепад на форсунках камеры сгорания (изменением

характерных размеров форсунок), также одновременно увеличивая давления по-

дачи компонентов, или уменьшать сечения трубопроводов для увеличения ∆P

;

при необходимости можно уменьшить давление в камере сгорания, однако

следует учесть изменения выходных параметров камеры сгорания (температуру и

давления на выходе через сопла). Если уменьшать Р

кс

, нужно одновременно уве-

личивать площадь критического сечения камеры сгорания, для того, чтобы массо-

вые расходы оставить постоянными, или ставить дополнительные сопротивления

в магистралях, тем самым, увеличивая ∆P

Рис. 3.13. D-разбиение плоскости параметра

τ :

1 – кривая для камеры сгорания и магистралей (3.2.18);

2 – единичная окружность (3.2.8)

3.3. Исследование устойчивости реактора

3.3.1. Построение областей устойчивости

Система уравнений для реактора и магистралей имеет вид:

()











=δ+δ+δ+δ−δ+θ

=δ

=δ−δ−δ+θ

τ−

.0e)s(M)s(M)s(M)s(M)s(P1s

,Ñ)s(M

,0Ñ)s(P)s(P)s(M1s

2ç

vâìêñpp

êñêñ

vpvvv

âpâââ

ìpììì

&&&&

(3.3.1)

Так как целью работы является исследование устойчивости процессов проте-

кающих внутри реактора, то внешние воздействия на систему (

Pδ ,

кс

Pδ ) полагаем равными нулю. Следовательно, система уравнений (3.3.1) примет

вид:

()











=δ+δ+δ+δ−δ+θ

=+δ

=δ+δ+θ

τ−

.0e)s(M)s(M)s(M)s(M)s(P1s

,0Ñ)s(M

,0Ñ)s(P)s(M1s

2ç

vâìêñpp

êñêñ

vpvv

âpââ

ìpìì

&&&&

(3.3.2)

Если входные воздействия в системе равны нулю, то записать передаточную

функцию данной системы не представляется возможным. Исходя из этого, иссле-

дование на устойчивость будем проводить, основываясь на системе уравнений

(3.3.2). Запишем характеристическое уравнение системы (3.3.2). Это определи-

тель 5-го порядка:

)1s(eeee

С1000

С0)1s(00

С00)1s(0

C000)1s(

ssss

кс

вв

мм

2з2з2з2з

+θ−−−−

+θ

τ−τ−τ−τ−

Если раскрыть этот определитель, то мы получим характеристическое уравне-

ние для камеры сгорания и магистралей:

()()()

()

(

)

(

)

[

{

()()()

]

()()}

.01sQ1sQС1sQ1sQС1sQС

1sQС1sQe1sQ1sQ1sQ1sQ

vвмvвксвv

vвм

pvвм

2з

=++++++++

++++++++

τ−

(3.3.3)

3.3.2. Исследование устойчивости системы при

реальных параметрах

Исходные данные для исследования устойчивости реактора:

Геометрия (в метрах):

Lм = 1,5, Lв = 2, Lv = 4,

= 0,006, d

= 0,016, d

= 0,006, d

кс

= 0,001,

Ω

= 0,019 м

Основные расходные и энергетические параметры:

Массовые расходы (кг/с):

кс

= 0,036, M

= 0,006, M

= 0,093, M

= 0,013, M

= 0,148.

Показатель процесса расширения:

k = 1,28.

Давление в реакторе (Па):

= 100508.

Температура в реакторе (К):

= 1273.

Газовая постоянная в реакторе (КДж/кг⋅К)

= 286.

Магистральные потери:

– коэффициент потерь на трение в трубопроводах

трм

= 4,5, ξ

трв

= 0,02, ξ

трv

= 0,05, ξ

кс

= 0,92.

– коэффициент потерь на входе:

м1

= 0,25, ξ

в1

= 3755, ξ

= 0.

– коэффициент потерь на выходе:

м2

= 0,05, ξ

в2

= 0, ξ

= 0.

Время запаздывания (с):

з2

= 0,11.

Средняя плотность компонентов (кг/м

= 850, ρ

= 5, ρ

= 1000, ρ

кс

= 0,4.

Исследование устойчивости методом D-разбиения

по параметру

2з

Рассмотрим характеристическое уравнение вида:

()()()

()

(

)

(

)

[

{

()()()

]

()()}

.01sQ1sQС1sQ1sQС1sQС

1sQС1sQe1sQ1sQ1sQ1sQ

vвмvвксвv

vвм

pvвм

2з

=++++++++

++++++++

τ−

Для устойчивости системы с запаздыванием [26] необходимо и достаточно,

чтобы

2гр2з

τ≤τ . Для определения граничного значения

2з

воспользуемся мето-

дом D-разбиения [26, 51].

()()

[

(

)

(

)

(

)

]

()

(

)

()()

()

;

1sQ1sQ1sQ1sQ

1sQ1sQС1sQ1sQС1sQС1sQС1sQ

вpvм

vвмvвксвvvвм

2з

++++

+++

−=

;js ω=

()()

[

(

)

()()

()

()()

]

()()

()

;

1Qj1Qj1Qj1Qj

1Qj1QjС1Qj1QjС

1Qj1Qj1Qj1Qj

1QjС1QjС1Qj

вpvм

vвмvвкс

вpvм

вvvвм

2з

+ω+ω+ω+ω

+ω+ω++ω+ω

+ω+ω+ω+ω

ω+ω

=−

ωτ

(3.3.4)

()()

[

(

)

()()

()

()()

]

()()

()

;

1Qj1Qj1Qj1Qj

1Qj1QjС1Qj1QjС

1Qj1Qj1Qj1Qj

1QjС1QjС1Qj

вpvм

vвмvвкс

вpvм

вvvвм

+ω+ω+ω+ω

+ω+ω++ω+ω

+ω+ω+ω+ω

ω+ω

=χ−

. (3.3.5)

;5,32lim

−=χ

→ω

.0lim =χ

∞→ω

Уравнение (3.3.4) характеризует пересечение единичной окружности (3.2.8) и

кривой (3.3.5). Пересечение этих кривых показано на рис. 3.14.

Рис. 3.14. D-разбиение плоскости параметра

2з

для реактора:

1 – кривая (3.3.5); 2 – окружность (3.2.8)

Кривая в верхней полуплоскости соответствует положительным ω, в нижней –

отрицательным ω. Нанесем штриховку и определим по ней области с наимень-

шим числом правых корней.

При изменении ω от

∞− до

∞

штрихуется левая сторона кривой, причем,

штриховка кладется внутри той области, где число правых корней меньше.

Следовательно, в нашем случае претендентом на область устойчивости будет

область вне кривой 1, а неустойчивой, соответственно, внутри кривой.

Условием наличия общей точки является:

;1)Im()Re(

=χ+χ (3.3.6)

);(tg

)Re(

)Im(

2з

ωτ=

(3.3.7)

.)1k2(

)Re(

)Im(

arctg

2з













π++













=τ

Для определения

2гр

τ нам необходимо знать

2гр

. Так как аналитически найти

2гр

ω не представляется возможным из-за сложности выражения в левой части ра-

венства (3.3.6), то

2гр

можно найти графически (рис. 3.15).

Рис. 3.15. График для нахождения

2гр

1 – левая часть уравнения (3.3.6); 2 – прямая на уровне 1

В нашем случае 055,19

2гр

=ω , 085,0

2гр

. Это означает, что

2гр2з

>τ (0,11 >

0,085), т.е. система неустойчива при данных параметрах.

Вывод: Система неустойчива из-за низкого сопротивления в магистрали воды,

так как дроссельная шайба в этой магистрали находится в некотором отдалении

от реактора. Это видно из коэффициентов соответствующего апериодического

звена. Для того, чтобы система стала устойчивой необходимо передвинуть дрос-

сельную шайбу в магистрали непосредственно к реактору, тем самым увеличить

сопротивление, и обеспечить высокий перепад давлений по входу воды.

Построение переходных процессов

Если на входы системы (реактор) подать единичные ступенчатые сигналы, то

мы получим переходную характеристику данной системы, которая изображена на

рис. 3.16.

Из рис. 3.16 видно, что система при данных параметрах структурно неустой-

чива, поэтому необходимо изменить параметры и повторить исследование.

3.3.3. D-разбиение плоскости одного параметра реактора

Рассмотрим характеристическое уравнение вида:

()()()

()

(

)

(

)

[

{

()()()

]

()()}

.01sQ1sQС1sQ1sQС1sQС

1sQС1sQe1sQ1sQ1sQ1sQ

vвмvвксвv

vвм

pvвм

2з

=++++++++

++++++++

τ−

Произведем замену:

ω= js

()()()

(

)

()()

[

{

()()()

]

()()}

.01Qj1QjÑ

1Qj1QjÑ1QjÑ

1QjÑ1Qje

1Qj1Qj1Qj1Qj

vâì

vâêñâv

vâì

pvâì

2ç

=+ω+ω+

++ω+ω++ω+

++ω+ω+

ω+ω+ω

ωτ−

(3.3.8)

Рис. 3.16. Переходный процесс для реактора

D-разбиение плоскости параметра T

MTR

ppp

Обозначим:

= (3.3.9)

Определим зависимость )(T

из уравнений (3.3.8) и (3.3.9):

()()

(

)

()()()

j1Qj1Qj1Qj

)(1Àe

j1Qj1Qj1Qj

1Qj1Qj1Qj

)(Q

vâì

2ç

ω+ω+ω+ω

−

ω+ω+ω+ω

ω+ω

−=ω

ωτ−

где

()()

[

(

)

()()

]

()()

.1Qj1QjÑ1Qj1QjÑ

1QjÑ1QjÑ1Qj)(1À

vâìvâêñ

âvvâì

+ω+ω++ω+ω+

ω=ω

)(Q

)(T

=ω

(3.3.10)

Определим начальное и конечное значение )(T

.)(Tlim;0)(Tlim

∞=ω=ω

∞→ω→ω

Построим на комплексной плоскости зависимость )(T

ω и нанесем штрихов-

ку. На рис. 3.17 изображена кривая D-разбиения для реактора по параметру Т

При увеличении

от ∞− до

∞

штрихуем левую сторону кривой. Претенден-

том на область устойчивости является область внутри кривой D-разбиения (об-

ласть1). Но эта область не удовлетворяет начальным условиям, так как Т

= 1273

К. Данное значение не попадает в область устойчивости, следовательно система

неустойчива при заданных параметрах.

Рис. 3.17. D-разбиение плоскости параметра Т

для реактора

(область устойчивости)

D-разбиение плоскости параметра P

.P2A

MTR

ppp

⋅==

Обозначим:

MTR

2А

ppp

= (3.3.11)

.PB

MbM2