Ваулина О.С., Щипицын А.Г. Комплекс для утилизации производственных отходов: математические модели и алгоритмы синтеза системы управления

Подождите немного. Документ загружается.

2.3.4. Линеаризация математической модели скруббера

Сначала проводится линеаризация системы. Для этого основные параметры

системы записываются в отклонениях:

);t(PP)t(P

скр

скрскр

δ+=

);t(PP)t(P

вод

водвод

δ+=

);t(PP)t(P

δ+=

);t(МM)t(M

вых

выхвых

&&&

δ+=

);t(МM)t(M

вод

водвод

&&&

δ+=

).t(МM)t(M

рр

&&&

δ+=

Здесь: * – параметры на стационарном режиме (не зависят от времени).

Для магистрали преобразование уравнений проводится следующим образом.

(

)

()

;b)t(ММ

)t(ММd

)t(PP)t(PP

вод

скp

скpвод

вод

δ++

δ+

=δ−−δ+

(

)

()

;

)t(Мd

)t(ММd

водвод

вод

&&&

δ+

()

.0)t(М

вод

→δ

Так как

()

вод

скp

вод

bМPP

=− – на стационарном режиме, то получаем:

()

(

)

()

;b)t(ММ2М

)t(Мd

)t(P)t(PbМ

водвод

вод

скpводвод

вод

&&&

δ++

=δ−δ+

(

)

.b)t(ММ2

)t(Мd

)t(P)t(P

водвод

вод

скрвод

δ+

=δ−δ (2.3.11)

Преобразуем основные параметры в их безразмерные аналоги:

(

)

b)t(ÌÌ2

)t(Ìd

)t(P

âûõ

âîäâîä

âîä

âûõ

âîä

ñêp

ñêð

âîä

δ+

=δ−δ

()

(

)

,Mb)t(MM2

)t(Md

P)t(P)t(P

âûõâîäâîä

âîä

âûõ

âîä

ñêpñêpâîä

&&&

δ+

=δ−δ

где

)t(P

скp

вод

=δ

)t(P

скp

=δ

)t(M

вых

вод

=δ

Преобразуем:

()

(

)

)t(MM2

)t(Md

)t(P)t(P

вых

скp

вод

вых

вод

скpвод

вод

скpвод

&&&

δ+

=δ−δ

(2.3.12)

Далее преобразуем по Лапласу:

()

)s(MM2

M)s(M

s)s(P)s(P

âûõ

ñêp

âîä

âûõâîä

ñêpâîä

âîä

ñêpâîä

&&&

δ+

+δ=δ−δ

()

M2M

s)s(M)s(P)s(P

вых

скp

вод

вых

скpвод

вод

водскpвод













+δ=δ−δ

&&&&

()

bMS2

s)s(M

MbM2

)s(P)s(P

вод

водвод

вод

выхвод

вод

скp

скpвод













+δ=δ−δ

()

(

)

,1s)s(MС)s(P)s(P

водводводскpвод

+θδ=δ−δ

()

,0С)s(P)s(P)s(M1s

водскpводводвод

=δ−δ−δ+θ

(2.3.13)

где

MbM2

выхвод

вод

скp

вод

bMS2

вод

водвод

вод

=θ

Аналогичные преобразования произведем для выхода из реактора. В резуль-

тате чего получим систему уравнений:

()











=δ−δ−δ

=δ−δ−δ+θ

.0С)s(P)s(P)s(M

,0С)s(P)s(P)s(M1s

рскpрр

водскpводводвод

(2.3.14)

Для скруббера:

)(q)t(P

SA)t(M)t(M

)t(Pd

скpскp

скp

выхскр3звод3зр

скp

скpскp

скp

−τ−δ+τ−δ=

δΩ

(2.3.15)

RTM

)t(P

P)(q

)t(M

)t(P

MTR

скpскp

вых

скp

выхскр

вых

3звод

вых

3зр

скp

выхскpскp

скpскp













−

τ−δ













Ω

;

P)(q

SAMM

скpскp

скp

выхскр

вых

MTR

выхскpскp

скpскp

скp

Ω

=θ

).t(P

)t(M)t(M

)t(Pd

скp

вых

3звод3зр

скp

δ−τ−δ+τ−δ=

).t(P)t(M)t(M

)t(Pd

скp3звод3зр

скp

δ−τ−δ+τ−δ=

(2.3.16)

Преобразуем (2.3.16) по Лапласу:

(

)

),s(Pe)s(M)s(M)s(Ps

скp

водрскpскp

3з

δ−δ+δ=δθ

τ−

()

(

)

.e)s(M)s(M)s(P1s

3з

водрскpскp

τ−

δ+δ=δ+θ

Окончательно для исследования устойчивости получаем систему уравнений:

()











=δ+δ−δ+θ

=δ−δ−δ

=δ−δ−δ+θ

τ−

.0e)s(M)s(M)s(P1s

,0Ñ)s(P)s(P)s(M

,0Ñ)s(P)s(P)s(M1s

3ç

âîäðñêpñêp

ðñêpðð

âîäñêpâîäâîäâîä

(2.3.17)

Построим структурную схему для скруббера, используя систему уравнений

(2.3.17). Структурная схема представлена на рис. 2.6

вод

з3

вод

1 +

вод

1 +

скр

вых

скр

вод

Рис. 2.6. Структурная схема системы (скруббер Вентури)

3. Параметрический синтез установки по критерию устойчивости

рабочих процессов

3.1. Анализ методов исследования устойчивости

Системы автоматического управления [51] могут содержать звенья, у которых

зависимость между входной U(t) и выходной y(t) величинами имеет вид:

(U)

(y τ−=

(3.1.1)

где τ

– постоянная величина, называемая временем запаздывания. Такие звенья

называют запаздывающими, так как они воспроизводят изменения входной вели-

чины без искажения, но с некоторым постоянным запаздыванием τ .

Передаточная функция запаздывающего звена:

.e)s(W

зап

τ−

(3.1.2)

Системы автоматического управления, содержащие хотя бы одно звено запаз-

дывания, называют системами с запаздыванием

. Процессы в системах с запазды-

ванием описываются дифференциально-разностными уравнениями.

Независимо от места включения запаздывающего звена характеристическое

уравнение системы с запаздыванием имеет вид:

.0e)s(R)s(Q)s(D

=+=

τ−

(3.1.3)

Это характеристическое уравнение из-за наличия множителя

τ−s

e является не

полиномом, а трансцендентной функцией оператора s и в отличие от обыкновен-

ного алгебраического уравнения имеет бесконечное множество корней. Так как:

...,

s1e

3322

−

+τ−=

τ−

то (3.1.3) можно рассматривать как уравнение «бесконечной степени».

Необходимое и достаточное условие устойчивости: все корни уравнения

(3.1.3) должны быть левыми. Нахождение корней уравнения (3.1.3) затруднитель-

но, поэтому для исследования устойчивости систем с запаздыванием используют

критерии устойчивости.

Следует иметь в виду, что алгебраические критерии устойчивости Рауса и

Гурвица в их обычной форме для исследования систем с запаздыванием непри-

годны, причем для устойчивости линейных систем первого и второго порядков с

запаздыванием только положительности коэффициентов характеристического

уравнения уже становится недостаточно. Существуют различные алгебраические

критерии устойчивости для систем с запаздыванием, которые являются аналогами

критериев Рауса и Гурвица, однако в инженерной практике они широкого приме-

нения не нашли из-за их относительной сложности.

Для исследования устойчивости систем с запаздыванием можно применять ос-

нованные на принципе аргумента частотные критерии устойчивости Михайлова и

Найквиста либо метод D-разбиения.

Уравнение кривой (годографа) Михайлова системы с запаздыванием получают

после подстановки ω= js в характеристическое уравнение (3.1.3), т.е.

.0e)j(R)j(Q)e,j(D

=ω+ω=ω

ωτ−ωτ−

(3.1.4)

Наличие в (3.1.4) множителя

ωτ− j

e делает очертания кривой Михайлова доста-

точно сложным, и формулировка этого критерия для систем с запаздыванием ста-

новится не такой простой, как для обычных систем. Как показал Я.З. Цыпкин, для

исследования устойчивости систем с запаздыванием очень удобно применять

критерий устойчивости Найквиста.

Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости ре-

шений стационарных линейных уравнений [60] является отрицательность дейст-

вительных частей всех корней характеристического квазиполинома.

Так как приближенное вычисление всех корней квазиполинома является зада-

чей весьма трудоемкой, то большое значение при исследовании на устойчивость

приобретают различные признаки отрицательности действительных частей всех

корней квазиполинома. Среди таких признаков чаще всего применяются следую-

щие:

амплитудно-фазовый метод и его видоизменения;

метод D-разбиений.

Ниже мы изложим основные идеи амплитудно-фазового метода, подробно раз-

работанного Я.З. Цыпкиным и метод D-разбиений.

3.1.1. Амплитудно-фазовый метод

Если функция f(z), аналитическая и отличная от нуля в точках некоторого про-

стого замкнутого контура С, внутри контура имеет лишь конечное множество

особых точек типа полюса [60], то

,PNds

)s(f

−=

∫

(3.1.5)

где

N – сумма кратностей нулей функции f(s), расположенных внутри контура С,

P – сумма кратностей там же расположенных полюсов. Геометрическое истол-

кование этой теоремы о логарифмическом вычете приводит к «принципу аргу-

мента»:

.PN)s(Argf

ccc

−=∆

(3.1.6)

)s(Argf

∆ является полным приращением аргумента функции f(s) при одно-

кратном обходе точкой s в положительном направлении контура С. Другими сло-

вами, разность

PN − равна числу полных оборотов, которые совершает в плос-

кости ω вектор, идущий из точки 0

в точку )s(f

. Когда точка s описывает

в положительном направлении контур С (число оборотов считается положитель-

ным, если вектор вращается против часовой стрелки, и считается отрицательным

при вращении по часовой стрелке).

Для получения условия отсутствия у характеристического квазиполинома )s(

корней с положительными действительными частями применим принцип аргу-

мента к контуру

состоящему из отрезка мнимой оси [–iR, iR] и полуокружно-

сти радиуса R с центром в начале координат, лежащей в полуплоскости Re s > 0

(рис. 3.1), предварительно убедившись, что квазиполином не имеет нулей на мни-

мой оси.

Рис. 3.1. Условие отсутствия у характеристического квазиполинома )s(ϕ корней

с положительными действительными частями

Заметим, что в рассматриваемом случае Pc = 0. Воспользовавшись принципом

аргумента, находим из (3.1.6)

и, если 0Nlim

∞→

, то все корни s квазиполи-

нома удовлетворяют условию Re s < 0.

При применении этого общего метода к квазиполиному:

,e)s(Q)s(P)s(

1nn

τ−

−

+=ϕ

соответствующему уравнению n-го порядка (а также некоторым системам n-

уравнений первого порядка) с запаздыванием, где )s(P

и )s(Q

1n−

– полиномы со-

ответственно степени n и не выше n

–1, а можно несколько упростить исследова-

ние. Вместо функции )s(ϕ рассматривать функцию:

)s(P

)s(Q

)s(P

)s(

τ−

−

−=

нули которой совпадают с нулями функции )s(

(если )s(P

и )s(Q

1n−

не имеют

общих нулей) и имеющую полюсы в нулях многочлена

)s(P

Обозначим

)s(P

)s(Q

)s(

τ−

−

−=ω Предельное положение при

∞

→R образа

контура

C при отображении )s(

называется амплитудно-фазовой характери-

стикой.

Так как

)s(1

)s(P

)s(

ω−=

, то нулями функции

)s(P

)s(

соответствуют точки, в

которых

.1)s( =ω

Поэтому, применяя принцип аргумента к функции

)s(

, надо

подсчитать число обходов амплитудно-фазовой характеристикой не точки s=0, а

точки s=1. Число обходов амплитудно-фазовой характеристикой точки s=1 равно

разности

PN − и. Следовательно, для того чтобы 0N

, надо чтобы число об-

ходов амплитудно-фазовой характеристикой точки s=1 равнялось

P− . Еще раз

напомним, что при этом предполагается, что на мнимой оси нет нулей функции

)s(ϕ и что )s(P

и )s(Q

1n−

не имеют общих нулей, причем оба эти условия срав-

нительно легко проверяемы.

Заметим, что при отображении )s(

образ полуокружности, входящей в со-

став контура

C при ∞→R, стягивается в точку (так как степень )s(P

выше

степени

)s(Q

1n−

), и, следовательно, надо строить лишь образ мнимой оси, прохо-

димой в отрицательном направлении.

При построении амплитудно-фазовой характеристики удобно вначале найти

так называемую предельную характеристику, являющуюся предельным положе-

нием образа контура

C при отображении:

)s(P

)s(Q

)s(

−

−=ω

Для построения образа мнимой оси при отображении:

τ−τ−

−

ω=−=ω

e)s(e

)s(P

)s(Q

)s(

или

τ−

ω=ω

e)iy()iy(,

зная уже предельную характеристику, достаточно учесть влияние множителя

τ−iy

e, поворачивающего, без изменения модуля, радиус-вектор точки предельной

характеристики, соответствующей значению y, на угол y

−

При построении амплитудно-фазовой характеристики особое внимание сле-

дует уделить точкам предельной характеристики, лежащим на окружности

так как именно эти точки при повороте на угол y

−

могут попасть в точку s=1.

В качестве примера найдем область асимптотической устойчивости в про-

странстве коэффициентов a и b тривиального решения уравнения:

,0)t(b)t(ax)t(x =τ−++

(3.1.7)

где a, b и τ

– постоянные, 0>τ .

В рассматриваемом случае характеристическое уравнение имеет вид:

,0beas

=++

τ−

)s(

−=ω

τ−

(3.1.8)

)s(

−=ω (3.1.9)

Предельной характеристикой является образ мнимой оси при дробно-

линейном отображении (3.1.9). При этом отображении мнимая ось переходит в

окружность радиуса )a2(b с центром в точке

)a2(bs

−

, уравнение которой

имеет вид:

s =+ (3.1.10)

Пусть 0

> , тогда функция )s(

не имеет полюсов в полуплоскости 0sRe >

и, если

ab < , то при любом повороте точек окружности (3.1.10) (рис. 3.2), вы-

званном наличием множителя

τ−iy

e в (3.1.8), амплитудно-фазовая характеристика

не будет охватывать точки s=1 и, следовательно, все нули квазиполинома

τ−

eas расположены в левой полуплоскости .0sRe <

Рис. 3.2. Образ мнимой оси при дробно-линейном отображении

Итак, при 0

> и ab < решения уравнения (3.1.7) асимптотически устойчивы

при любом 0≥τ .

При

0ab >> (рис. 3.3) для некоторых значений

точки предельной характе-

ристики, лежащей одновременно и на окружности

, изображенной на рисун-

ке пунктиром, могут перейти в точку s1=1. Наименьшее из этих значений

при

заданных a и b будет значением, при переходе через которое решения уравнения

(3.1.7) теряют устойчивость, так как при переходе через это значение амплитудно-

фазовая характеристика начинает охватывать точку s=1.

Рис. 3.3. Амплитудно-фазовая характеристика и образ мнимой оси при дробно-линейном

отображении

Записав точку

(

)

aiyb)iy(

−=

предельной характеристики в показатель-

ной форме, получим:

()

)iy(

ayarctgi

−⋅

⋅

=ω (3.1.11)

Если эта точка лежит на окружности

, то:

(3.1.12)

а для того, чтобы после умножения на

τ−iy

e точка перешла в точку s=1, аргумент

τ−

e)iy( должен быть кратен

.k2y

arctg π=τ−













− (3.1.13)

Наименьшее положительное значение

, определяемое из (3.1.13), и является

тем критическим значением

, начиная с которого теряется устойчивость.

Используя (3.1.13) и (3.1.12) получаем:

arccos

−













−

=τ

Если считать

фиксированным, то, исключая из (3.1.12) и (3.1.13) параметр y,

получаем уравнение граничной кривой области устойчивости.

Аналогично проводится исследование и при 0

, надо лишь иметь в виду,

что при этом

и поэтому, например, при ab

, когда амплитудно-фазовая

характеристика заведомо не может охватывать точки s=1, получаем неустойчи-

вость при любом

, так как 0PN

−

, откуда 1N

3.1.2. D-разбиение плоскости одного параметра [26]

Пусть требуется выяснить, в каких пределах можно изменять параметр

, не

нарушая при этом устойчивости. Предположим, что

входит в характеристиче-

ское уравнение замкнутой системы линейно и уравнение может быть приведено к

виду:

,02N1N =+⋅µ (3.1.14)

где N1 и N2 – полиномы от s.

Разрешим уравнение (3.1.14) относительно

.1N2N−=µ (3.1.15)

Это равенство определяет зависимость параметра

от значения корней харак-

теристического уравнения. Прежде всего, интересно выяснить, при каких значе-

ниях

µ система находится на границе устойчивости, т.е. какие значения

соот-

ветствуют чисто мнимому корню

j. Сделаем подстановку ω= js и построим на

комплексной плоскости (рис. 3.4) график функции:

,)(jY)(X)j(1N)j(2N)j(

=ω

−=ωµ

(3.1.16)

при изменении

от

∞−

до

∞

+ .

Функция )(X ω – четная функция

, а )(Y

– нечетная, поэтому искомая кри-

вая симметрична относительно вещественной оси и достаточно построить одну

ветвь кривой, изменяя

от 0 до

∞

, а затем построить ее зеркальное отображение

относительно вещественной оси.

Рис. 3.4. Кривая D-разбиения в плоскости одного параметра

Полученную таким образом кривую называют кривой D-разбиения, она пред-

ставляет собой отображение мнимой оси плоскости корней характеристического

уравнения на плоскость параметра

. Если, двигаясь по кривой от

−

∞→

+∞→

, наносить штриховку слева, то эта штриховка будет направлена в ту

часть плоскости параметра µ, которая соответствует левой полуплоскости кор-

ней.

Кривая D-разбиения разделяет плоскость параметра

на несколько областей

(области 1, 2, 3 и 4 на рис. 3.4). Та из них, внутрь которой направлены штриховка

кривой, может быть областью устойчивости (область 4 на рис. 3.4). Теперь нужно

взять какую-либо точку

µ на оси абсцисс из этой области и, пользуясь любым

критерием устойчивости, построить устойчивость системы при

µ=µ . Если кри-

терий удовлетворяется, то рассматриваемая область есть область устойчивости.

Равенство (3.1.16) условно определяет параметр

как комплексную величину,

На самом деле это вещественная величина и на плоскости

µ следует рассматри-

вать только точки, лежащие на вещественной оси. Поэтому значения параметра

µ, при которых система остается устойчивой, определяются отрезком положи-

тельной полуоси абсцисс, лежащим внутри области устойчивости.

3.2. Исследование устойчивости газогенератора

3.2.1. Построение областей устойчивости

Система уравнений для камеры сгорания и магистралей имеет вид:

()











=δ+δ−δ+θ

=δ−δ−δ+θ

τ−

.0e))s(M)s(M()s(P)1s(

,0C))s(P)s(P()s(M1s

1з

огкскс

оксвхооо

гксвхггг

(3.2.1)