Ваулина О.С., Щипицын А.Г. Комплекс для утилизации производственных отходов: математические модели и алгоритмы синтеза системы управления

Подождите немного. Документ загружается.

Так как целью работы является исследование устойчивости процессов проте-

кающих внутри газогенератора, то внешние воздействия на систему (

вхг

вхо

Pδ ) полагаем равными нулю. Следовательно, система уравнений (3.2.1) примет

вид:

()











=δ+δ−δ+θ

=δ+δ+θ

τ−

.0e))s(M)s(M()s(P)1s(

,0C)s(P)s(M1s

1з

огкскс

оксоо

гксгг

(3.2.2)

Если входные воздействия в системе равны нулю, то записать передаточную

функцию данной системы не представляется возможным. Исходя из этого, иссле-

дование на устойчивость будем проводить, основываясь на системе уравнений

(3.2.2).

Запишем характеристическое уравнение системы (3.2.2). Это определитель 3-

го порядка:

()

1sQee

С1sQ0

C01sQ

кс

оо

гг

1з1з

+−−

τ−τ−

(3.2.3)

Если раскрыть этот определитель, то мы получим характеристическое уравне-

ние для камеры сгорания и магистралей:

()()()

(

)

(

)

.0e1sQСe1sQС1sQ1sQ1sQ

1з1з

го

огогкс

=+++++++

τ−τ−

Если в определителе (3.2.3) положить равными единице элементы a11и a22, то

раскрыв его мы получим характеристическое уравнение для камеры сгорания:

()

1sQee

С10

C01

кс

фо

фг

1з1з

+−−

τ−τ−

(3.2.4)

.0e)СС(1sQ

1з

фофгкс

=+++

τ−

3.2.2. Исследование устойчивости системы при реальных

параметрах

Исходные данные для исследования устойчивости газогенератора:

Геометрия (в метрах):

= 3, L

= 3, d

= 0,006, d

= 0,008, Ω

кс

= 0,0005 м

Основные расходные и энергетические параметры:

Массовый расход топлива (кг/с):

М = 0,036.

Показатель процесса расширения:

k = 1,25.

Коэффициент соотношения компонентов топлива:

К = 14,45.

Давление в камере сгорания (Па):

кс

= 400000.

Температура в камере сгорания (К):

кс

= 2315.

Газовая постоянная в камере сгорания (КДж/кг⋅К):

кс

= 298.

Параметры компонентов:

Горючее Окислитель

(пропан-бутан) (воздух)

= 139 КДж/кг⋅К, R

= 287 КДж/кг⋅К,

ксг

= 292 К, Т

ксо

= 262 К.

Магистральные потери:

коэффициенты потерь на трение в трубопроводах

трг

= 0,04, ξ

тро

= 0,02;

коэффициенты потерь на входе

вхг

= 0,5, ξ

вхо

= 0,3;

коэффициент потерь в рубашке охлаждения камеры

ро

= 0,3;

коэффициент потерь на форсунках камеры

фг

= 4, ξ

фо

= 1;

время запаздывания

з1

= 0,002 с;

средняя плотность компонентов топлива

= 10,236 кг/м

= 11,513 кг/м

Исследование устойчивости методом D-разбиения

по параметру

1з

Рассмотрим характеристическое уравнение вида [9, 10]:

.0e)СС(1sQ

1з

фофгкс

=+++

τ−

(3.2.5)

Для устойчивости системы с запаздыванием [9] необходимо и достаточно,

чтобы

1гр1з

τ≤τ . Для определения граничного значения

1з

воспользуемся мето-

дом D-разбиения [26, 51].

Обозначим:

;

кс

1з

α=

θ+

(3.2.6)

)CC(B

фофг

+−= .

Сделаем подстановку:

;js ω=

)(1

)eIm(j)eRe(

кс

1з1з

ωθ+

ω−

ωθ+

ττ

(3.2.7)

Левая часть уравнения (3.2.7) представляет собой окружность единичного ра-

диуса, так как:

);(jSin)(Cose

1з1з

1з

ωτ+ωτ=

ωτ

(3.2.8)

;1elim

1з

ωτ

→ω

.j11j11elim

1з

+−−=

ωτ

∞→ω

Приведем правую часть уравнения (3.2.7) к окружности.

Обозначим:

;

)(1

y)Re(

кс

ωθ+

==α

)(1

x)Im(

кс

ωθ+

ωθ

−==α

После преобразований получим:

;

кс

ωθ−=

;

)yx(1

)Re(

=α

)yx(1

)yx(B

)Im(

=α

;

Bxy

;

.yxBy

Тогда:

2yx













−













+−+

























−+ (3.2.9)

.0lim

;784,7lim

=α

−=α

∞→ω

→ω

Уравнение (3.2.7) характеризует пересечение двух окружностей: единичной

(3.2.8) и окружности (3.2.9). Окружность (2.2.9) с центром на вещественной оси на

расстоянии B/2 от начала координат и с радиусом B/2.

Пересечение окружностей показано на рис. 3.5.

При B<0 полуокружность в верхней полуплоскости соответствует положи-

тельным ω, в нижней – отрицательным

. Нанесем штриховку и определим по

ней области с наименьшим числом правых корней.

При изменении ω от

∞− до

∞

штрихуется левая сторона кривой, причем,

штриховка кладется внутри той области, где число правых корней меньше.

Следовательно, в нашем случае претендентом на область устойчивости будет

область вне круга, а неустойчивой, соответственно, в круге.

Точка пересечения графиков 1 и 3 определяет

1гр

Условием наличия общей точки является:

;1)Im()Re(

=α+α

(3.2.10)

);(tg

)Re(

)Im(

ωτ=

(3.2.11)

.)1k2(

)Re(

)Im(

arctg













π++













=τ

Наличие периода π2 у функции arctg объясняется необходимостью выполне-

ния дополнительных условий:

);(Cos)Re(

ωτ=α (3.2.12)

).(Sin)Im(

ωτ=α (3.2.13)

Условия (3.32) и (3.33) не удовлетворяются условиями (3.2.10) и (3.2.11), так

как:

;

)Re(

)Im(

)Re(

)Im(

;))Im(())(Im(

;))Re(())(Re(

α−

α−=α

)(1

)Im(

;

)(1

)Re(

кс

ωθ+

ωθ−

=α

ωθ+

=α

Тогда после преобразований выражение для

1гр

примет вид:

)1k2(

)(arctg

кс1гр

+ωθ

−=τ

Для определения

1гр

τ нам необходимо знать

1гр

ω определим из условия (3.2.10):

))(1(

)(B

))(1(

кс

ωθ+

ωθ

ωθ+

)(1

кс

ωθ+

;B1)(

кс

=+ωθ

.1B

кс

1гр

−

=ω (3.2.14)

Тогда выражение для

гр

примет вид:

)1k2(

)1B(arctg

1гр

гр

1гр

+−

−=τ

(3.2.15)

В нашем случае для камеры сгорания .10596,1

1ãð

−

⋅=τ Следовательно при

данных параметрах камера сгорания устойчива только при условии, что

1з1гр

Рассмотрим характеристическое уравнение вида:

()()()

(

)

(

)

.0e1sQСe1sQС1sQ1sQ1sQ

1з1з

го

огогкс

=+++++++

τ−τ−

(3.2.16)

Для устойчивости системы с запаздыванием необходимо и достаточно, чтобы

1гр1з

τ≤τ . Для определения граничного значения

1з

воспользуемся методом D-

разбиения.

()()

()()()

;

1sQ1sQ1sQ

1sQС1sQС

огкс

огго

1з

+++

−+−

;js

()

(

)

()()()

1Qj1Qj1Qj

1QjС1QjС

огкс

огго

1з

+ω+ω+ω

−+

−

ωτ

(3.2.17)

()()

()()()

1Qj1Qj1Qj

1QjС1QjС

огкс

огго

+ω+ω+ω

ω−

=β . (3.2.18)

;731.0lim

−=β

→ω

.0lim =β

∞→ω

Уравнение (3.2.17) характеризует пересечение единичной окружности (3.2.8) и

кривой (3.2.18). Пересечение этих кривых показано на рис. 3.5.

Кривая в верхней полуплоскости соответствует положительным ω, в нижней –

отрицательным ω. Нанесем штриховку и определим по ней области с наимень-

шим числом правых корней.

При изменении ω от

∞− до

∞

штрихуется левая сторона кривой, причем,

штриховка кладется внутри той области, где число правых корней меньше.

Следовательно, в нашем случае претендентом на область устойчивости будет

область вне кривой 1, а неустойчивой, соответственно, внутри кривой.

Условием наличия общей точки является:

;1)Im()Re(

=β+β (3.2.19)

);(tg

)Re(

)Im(

ωτ=

(3.2.20)

.)1k2(

)Re(

)Im(

arctg













π++













=τ

Для определения

1гр

τ нам необходимо знать

1гр

. Так как аналитически найти

1гр

ω не представляется возможным из-за сложности выражения в левой части ра-

венства (3.2.19), то

1гр

ω можно найти графически (рис. 3.6).

Рис. 3.5. D-разбиение плоскости параметра τ

з1

1 –

кривая для камеры сгорания кривая (3.2.9);

2 – кривая для камеры сгорания и магистралей (3.2.18);

3 – единичная окружность (3.2.8)

В данном случае (при данных параметрах), кривые (3.2.8) и (3.2.18) не пересе-

каются. Это означает, что диапазон изменения

1з

неограниченный, т.е. система

(камера сгорания и магистрали) абсолютно устойчива при любом

1з

τ .

Рис. 3.6. График для нахождения

1гр

: 1 – левая часть уравнения (3.2.19);

– прямая на уровне 1

Вывод: для камеры сгорания можно определить

1з

, т.е. камера сгорания ус-

тойчива до тех пор, пока

1ãð1ç

10411,1

−

⋅=τ≤τ . Если рассматривать камеру сгорания

вместе с магистралями система становится абсолютно устойчивой, т.е.

∞

1ãð

Следовательно, введение магистралей повышает устойчивость. Это подтвержда-

ют и графики (рис. 3.5). Кривая для камера сгорания пересекает единичную ок-

ружность в двух точках при изменении частоты

∞

−

, поэтому для камеры

сгорания существует ограничение по времени запаздывания. Кривая для камеры

сгорания и магистралей не имеет точек пересечения с единичной окружности,

следовательно, по графику сразу можно сделать вывод о том, что системы абсо-

лютна устойчива при любом времени запаздывания.

Построение переходных процессов

Реакцию системы при нулевых начальных условиях на входную величину [26],

являющуюся единичной ступенчатой функцией времени, называют переходной

характеристикой (переходной функцией) h(t) системы.

Если на входы системы (камера сгорания) подать единичный ступенчатый

сигнал 1(t), то мы получим переходную характеристику данной системы, которая

изображена на рис. 3.7 (кривая 1). Данная система устойчива при

ñ10411,1

−

⋅<τ .

Если 001,0

=τ с, то качественные показатели системы имеют следующие значе-

ния 906,0h

óñò

= , ñ016,0t

= и

75,70

Если на входы системы (камера сгорания и магистрали) подать единичный

ступенчатый сигнал, то мы получим переходную характеристику данной системы,

которая изображена на рис. 3.7 (кривая 2).

Рис. 3.7. Переходные процессы для газогенератора:

1 – для камеры сгорания; 2 – для камеры сгорания и магистралей

Данная система устойчива при любом времени запаздывания, т. е. она абсо-

лютно устойчива. Если 002,0

τ с, то для данной системы 033,0t

с,

724,0h

óñò

= , и 25

σ %.

Если

001,0

=τ с, то для данной системы 724,0h

óñò

, 025,0t

= с и

02,16=σ %. Следовательно, для улучшения качественных показателей переходно-

го процесса необходимо уменьшать время запаздывания. Графики переходных

процессов при вариации времени запаздывания представлены на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Переходные процессы для газогенератора при вариации

времени запаздывания: 1 – для камеры сгорания и магистралей при

002,0

=τ

с;

2 – для камеры сгорания и магистралей при

001,0

На основании структурной схемы рис.2.1 построены переходные процессы для

нелинейной системы. Нелинейная система устойчива и при

002,0

=τ с имеет

следующие показатели качества: 81,0h

óñò

, 033,0t

с и 52,18=σ %.

Переходные процессы для линейной и нелинейной систем (камера сгорания и

магистрали) представлены на рис. 3.9.

Выводы: Основное влияние на устойчивость оказывает время запаздывания.

Для улучшения качественных показателей системы необходимо уменьшить время

запаздывания. При увеличении перепадов давления

∆

P∆ увеличиваются за-

пасы устойчивости и уменьшается время переходного процесса

t. Аналогичная

ситуация наблюдается при увеличении параметров

Рис. 3.9. Переходные процессы для газогенератора:

1 – линеаризованная система; 2 – нелинейная система

3.2.3. D-разбиение плоскости одного параметра камеры сгорания и маги-

стралей

Рассмотрим характеристическое уравнение вида:

()()()

(

)

(

)

.0e1sQСe1sQС1sQ1sQ1sQ

1з1з

го

огогкс

=+++++++

τ−τ−

Произведем замену:

ω= js

()()()

() ()

.0e1QjСe1QjС

1Qj1Qj1Qj

1з1з

го

ог

огкс

=+ω++ω+

ω+ω+ω

ωτ−ωτ−

(3.2.21)

D-разбиение плоскости параметра

∆

Обозначим:

∆

=µ (3.2.22)

Определим зависимость )(3

µ из уравнений (3.2.21) и (3.2.22):

1з

j(2A))1

1з

С(j

)

окс

(

окс

j(1A

1з

С)

окс

)(3

ω−

+ωθ++

ω−

ω+ωθ+θ−θθω−

−

−θ+θω−θθω

=ωµ

где

;

)1K(2S

;

)1K(2

кс

;

∆

=θ

2AC

∆

Определим начальное и конечное значение )(3

;10279.1)(3lim

−

→ω

⋅−=ωµ

.0)(3lim

∞→ω

Построим на комплексной плоскости зависимость )(3 ω

, штриховка наносит-

ся с внешней стороны кривой (рис. 3.10), на рисунке штриховка не показана. При

увеличении ω от

∞

−

до ∞+ штрихуем левую сторону кривой.

В процессе функционирования двигателя возможно изменение соотношения

компонентов топлива K. Из-за этого изменяются параметры процессов в камере

сгорания (газовая постоянная R, температура Т). Вследствие этого может изме-

ниться область устойчивости работы. Ниже представлены кривые D-разбиения в

случае отклонения коэффициента соотношения компонентов K от номинального

(избыток горючего или избыток окислителя) (рис. 3.10 и рис. 3.9).

Как следует из рис. 3.10 претендентом на область устойчивости является об-

ласть вне кривой )(3 ω

, а неустойчивой – область внутри кривой.

Рис. 3.10. D-разбиение плоскости параметра

∆

для камеры сгорания и магистралей: 1 –

кривая

)(3 ωµ при RT=const; 2 – кривая )(3

при RT=vario (избыток окислителя);

3 – кривая

)(3

при RT=vario (избыток горючего)