Ваулина О.С., Щипицын А.Г. Комплекс для утилизации производственных отходов: математические модели и алгоритмы синтеза системы управления
Подождите немного. Документ загружается.
21
3) параметры стационарного процесса горения в камере сгорания (определены
в ходе термодинамического расчета камеры сгорания) – парциальные дав-
ления продуктов сгорания, показатель процесса расширения, температура в
камере сгорания);
4)
предварительные размеры камеры сгорания (определены в ходе газодина-
мического расчета камеры сгорания) – диаметр цилиндрической части и
критического сечения, длина цилиндрической и конической частей каме-
ры);
5) параметры стационарных процессов в системе подачи компонентов (рас-
считаны ранее).
Основными элементами установки являются: газогенератор, реактор, скруббер
Вентури и каплеуловитель. На вход газогенератора по трубопроводам подаются
компоненты топлива: газ (пропан-бутановая смесь) и воздух. На выходе газогене-
ратора мы имеем высокотемпературную струю, которая в дальнейшем поступает
на вход реактора. В реактор подаются сжигаемые отходы и воздух, а также вода
для охлаждения реактора. Продукты сгорания из раетороа поступают на вход
скруббера Вентури, который в свою очередь также охлаждается водой. Далее ох-
лажденные продукты сгорания поступают в циклонный каплеуловитель, где раз-
деляются на газообразную и жидкую фазы. Газ через трубу попадает в атмосферу,
а жидкость с частичками металла попадает в резервуар. При создании системы
автоматизированного управления необходимо учесть: стабилизаторы соотноше-
ния компонентов и датчики расходов на входе в газогенератор и реактор, датчики
температуры в реакторе и скруббере Вентури, датчики концентрации на выходах
каплеуловителя, а также нейтрализаторы по газу и жидкой фазе.
Функциональная схема автоматизированной системы управления установкой
представлена на рис. 1.5.
горючее
воздух
сжигаемые
отходы
ГАЗОГЕНЕРАТОР РЕАКТОР
СКРУББЕР
ВЕНТУРИ
водавоздух вода газообразные
продукты сгорания
жидкая и твердая фазы
продуктов сгорания
М
вхг
.
М
вхо
.
М
кс
.
М
в
.
М
v
.
М
м
.
М
р
.
М
вод
.
М
вых
.
Рис. 1.5. Функциональная схема установки для обезвреживания жидких
промышленных отходов
22
2. Математические модели процессов функционирования
установки
Для вывода уравнений, описывающих процессы в камере сгорания, реакторе и
скруббере Вентури, использованы основные уравнения гидрогазодинамики. При
выводе уравнений процессов были сделаны допущения [32]:
1.
Плотность компонентов – постоянная.
2.
Коэффициенты потерь в трубопроводах и форсунках – постоянные.
3.
Процессы, протекающие в камере сгорания – равновесные.
4.
Параметры в камере сгорания – постоянные по всему объему.
Так как решение распределенной задачи (т.е. одномерной, двухмерной и трех-
мерной) очень трудоемко, то на этом этапе решается нульмерная модель. При
этом полагается, что все параметры компонентов в трубопроводах и продуктов
сгорания в камере сгорания не зависят от координаты, а только от времени.
Получены следующие уравнения, описывающие процессы в данной техниче-
ской системе [15].
2.1. Математическая модель газогенератора
2.1.1. Уравнения движения в трубопроводах
,
S2
Sd2
L
)t(M
dt
)t(Md
S
L
)t(P)t(P
2
ii
фiвхiроi
iii
iтрi
2
i
i
i
i
ксвхi
ρ
ξ+ξ+ξ
+
ρ
ξ
×+=−
&
(2.1.1)
где индекс i – для магистралей горючего и окислителя;
)t(P
вхi
– давление на входе в трубопровод;
)t(P
кс
– давление в камере сгорания;
i
L – длина трубопровода;
i
S – площадь проходного сечения трубопровода;
i
M
&
– массовый расход компонента;
трi
ξ – коэффициент, характеризующий потери, распределенные по длине тру-
бопровода (потери на трение);
роi
ξ – коэффициент потерь рубашки охлаждения камеры сгорания (для горю-
чего 0
ро
=ξ );
вхi
ξ – коэффициент потерь входа в трубопроводе;
фi
ξ – коэффициент потерь форсунок;
i
d – диаметры проходного сечения трубопровода;
i
ρ – плотность компонента.
Так как потери, плотность и размеры магистралей считаем постоянными, то
выражение в скобках можно также считать постоянным. На стационарном режи-
ме:
23
,0
dt
)t(dM
i
=
,i
2*
i
*
êñ
*
âõi
bMPP
&
=−
где
i
b – выражение в скобках.
Получаем:
,const
M
PP
b
2*
i
*
кс
*
вхi
i
=
−
=
&
где * – параметры на стационарном режиме.
Подставляя в уравнение (2.1.1) значение b
i
и расставив индексы магистралей,
получим два уравнения, описывающие процессы в магистралях горючего и окис-
лителя:
+=−
+=−
,b)t(M
dt
)t(Md
S
L
)t(P)t(P
,b)t(M
dt
)t(Md
S
L
)t(P)t(P
î
2
î
î
î
î
êñâõî
ã
2
ã
ã
ã
ã
êñâõã
&
&
&
&
(2.1.2) и (2.1.3)
где
;
S2
Sd2
L
b
2
гг
фгвхгрог
ггг
гтрг
г
ρ
ξ
+ξ+
ξ
+
ρ
ξ
=
.
S2
Sd2
L
b
2
оо
фовхороо
ооо
отро
о
ρ
ξ
+
ξ+ξ
+
ρ
ξ
=
2.1.2. Уравнение процессов, протекающих в камере сгорания
Время необходимое для распыла, смешения, воспламенения и сгорания ком-
понентов топлива, характеризуется временем запаздывания
1з
τ
. Из-за наличия
времени запаздывания будет изменяться и масса поступающих в камеру компо-
нентов.
Изменение массы в камере сгорания:
),t(M)t(M
dt
dM
пр1зт
&&
−τ−=
(2.1.4)
где
M – масса компонентов;
т
M
&
– массовый расход топлива;
тр
M
&
– массовый расход через критическое сечение.
;MMM
огт
&&&
+=
).t(M)t(M)t(M
1зо1зг1зт
τ−+τ−=τ−
&&&
24
Так как параметры процессов в камере сгорания считаем постоянными (кроме
давления), то можно записать уравнение для массы продуктов сгорания в объеме
камеры (следует из уравнения состояния для абсолютного газа):
,
RÒ
)t(P
)t(M
êñêñ
êñêñ
Ω
= (2.1.5)
где
кс
Ω – объем камеры сгорания;
кс
R
– газовая постоянная продуктов сгорания;
кс
Т – температура продуктов сгорания.
Возьмем производную по времени данного уравнения:
.
dt
)t(dP
RТdt
)t(dM
кс
кскс
кс
Ω
=
Массовый расход через критическое сечение камеры сгорания [32]:
,
RT
)t(P
SA)t(M
кскс
кс
крккр
=
&
(2.1.6)
где
2
1
1k
1k
к
1k
2
kА
+
=
−
+
– коэффициент;
k
– показатель процесса;
кр
S – площадь критического сечения.
Подставив в уравнение (2.1.4) значения M,
т
M
&
и
кр
M
&
, получаем:
.
RT
)t(P
SA)t(M)t(M
dt
)t(dP
RТ
кскс
кс
крк1зо1зг
кс
кскс
кс
−τ−+τ−=
Ω
&&
(2.1.7)
Таким образом, система уравнений (2.1.2), (2.1.3) и (2.1.7) описывает процессы
в технической системе, состоящей из камеры сгорания и двух трубопроводов го-
рючего и окислителя:
−τ−+τ−=
Ω
+=−
+=−
.
RT
)t(P
SA)t(M)t(M
dt
)t(dP
RÒ
,b)t(M
dt
)t(Md
S
L
)t(P)t(P
,b)t(M
dt
)t(Md
S
L
)t(P)t(P
êñêñ
êñ
êðê1çî1çã
êñ
êñêñ
êñ
î
2
î
î
î
î
êñâõî
ã
2
ã
ã
ã
ã
êñâõã
&&
&
&
&
&
(2.1.8)
Для моделирования переходных процессов полученную систему (2.1.8) необ-
ходимо преобразовать.
Преобразуем основные параметры в их безразмерные аналоги:
25
2*
2*
ã
2
ã
*
*
ã
ã
ã
*
êñ
*
êñ
êñ
*
êñ
*
êñ
âõã
Ì
Ì
b)t(M
Ì
Ì
dt
)t(Md
S
L
P
P
)t(P
P
P
)t(P
&
&
&
&
&
&
+=− ,
здесь: * – параметры на стационарном режиме (не зависят от времени).
,
P
Ì
b)t(M
dt
)t(Md
P
Ì
S
L
))t(P)t(P(
*
êñ
2*
ã
2
ã
ã
*
êñ
*
ã
ã
êñâõã
&
&
&
&
+=−
;
P
)t(P
)t(P
*
êñ
âõã
âõã
=
.
M
)t(M
)t(M
*
ã
ã
&
&
&
=
Для магистрали окислителя процедура нормирования основных параметров
аналогична. Для процессов в камере сгорания:
,
P
P
RT
)t(P
SA
М
М
)t(M
М
М
)t(M
P
P
dt
)t(dP
RТ
*
кс
*
кс
кскс
кс
крк
*
*
1зо
*
*
1зг
*
кс
*
кскс
кскс
кс
−τ−+τ−=
Ω
&
&
&
&
&
&
,
Ì
P
RT
)t(P
SA)t(M)t(M
dt
)t(Pd
ÌRÒ
P
*
*
êñ
êñêñ
êñ
êðê1çî1çã
êñ
*
êñêñ
*
êñêñ
&
&&
&
−τ−+τ−=
Ω
.
RT
P
SAÌÌ
êñêñ
*
êñ
êðê
*
êð
*
==
&&
).t(P)t(M)t(M
dt
)t(Pd
ÌRÒ
P
êñ1çî1çã
êñ
*
êñêñ
*
êñêñ
−τ−+τ−=
Ω
&&
&
В символической форме записи:
()
−+=
Ω
+=−
+=−
τ−
).s(Pe)s(M)s(M)s(Ps
ÌRÒ
P
,
P
Ì
b)s(M)s(Ms
P
Ì
S
L
)s(P)s(P
,
P
Ì
b)s(M)s(Ms
P
Ì
S
L
)s(P)s(P
êñ
ç1s
îãêñ
*
êñêñ
*
êñêñ
*
êñ
2*
î
2
îî
*
êñ
*
î
î
êñâõî
*
êñ
2*
ã
2
ãã
*
êñ
*
ã
ã
êñâõã
&&
&
&
&&
&
&
&&
&
Приведем систему к нормальной форме записи:
()
Ω
−+
Ω
=
−−=
−−=
τ−
).s(P
Ð
ÌRÒ
e)s(M)s(M
Ð
ÌRÒ
)s(Ps
),s(M
P
Ì
L
bS
))s(P)s(P(
P
Ì
L
S
)s(Ms
),s(M
P
Ì
L
bS
))s(P)s(P(
P
Ì
L
S
)s(Ms
êñ
*
êñêñ
*
êñêñ
ç1s
îã
*
êñêñ
*
êñêñ
êñ
2
î
*
êñ
2*
î
îî
êñâõî
*
êñ
*
î
î
î
2
ã
*
êñ
2*
ã
ãã
êñâõã
*
êñ
*
ã
ã
ã
&
&&
&
&
&&
&
&
&&
&
26
В итоге получим систему уравнений для моделирования переходных процес-
сов:
()
+=+
−−=
−−=
τ−
,e)s(M)s(M)s(P1)sÀ(
),s(MÂ))s(P)s(P(À)s(Ms
),s(MÂ))s(P)s(P(A)s(Ms
ç1s
îãêñêñ
2
îîêñâõîîî
2
ããêñâõããã
&&
&&
&&
(2.1.9)
где
,
P
Ì
L
S
À
*
êñ
*
ã
ã
ã
&
=
,
P
Ì
L
S
À
*
êñ
*
î
î
î
&
=
,
ÌRÒ
Ð
À
*
êñêñ
*
êñêñ
êñ
&
Ω
=
,
P
Ì
L
bS
Â
*
êñ
2*
ã
ãã
ã
&
=
.
P
Ì
L
bS
Â
*
êñ
2*
î
îî
î
&
=
Построим структурную схему нелинейной системы (камеры сгорания и маги-
страли), используя систему уравнений (2.1.9).
Структурная схема представлена на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Структурная схема нелинейной системы
(камеры сгорания и магистралей)
2.1.3. Линеаризация математической модели газогенератора
Для проведения исследований данной технической системы на предмет устой-
чивой работы необходимо привести систему уравнений (2.1.9) к удобной для это-
го форме.
Сначала проводится линеаризация системы. Для этого основные параметры
системы записываются в отклонениях:
);t(PP)t(P
кс
*
кскс
δ+=
);t(PP)t(P
вхг
*
вхгвхг
δ+=
);t(PP)t(P
вхо
*
вховхо
δ+=
);t(MM)t(M
г
*
гг
&&&
δ+=
27
).t(MM)t(M
о
*
оо
&&&
δ+=
Здесь: * – параметры на стационарном режиме (не зависят от времени).
;
1
K
)t(M
)t(M
г
+
=
&
&
,
1
K
K)t(M
)t(M
о
+
=
&
&
где
)t(M
&
– массовый расход топлива;
K – коэффициент соотношения компонентов.
Для магистралей преобразование уравнений проводится следующим образом
(запишем только для магистрали горючего, для окислителя – аналогично).
()
;b)t(MM
dt
))t(MM(d
S
L
)t(PP)t(PP
г
2
г
*
г
г
*
г
г
г
кс
*
ксвхг
*
вхг
&&
&&
δ++
δ+
=δ−−δ+
;
dt
))t(M(d
dt
))t(MM(d
гг
*
г
&&&
δ
=
δ+
()
;0)t(M
2
г
→δ
&
()
.гг
*
гг
2
*
г
г
г
г
кс
*
ксвхг
*
вхг
b)t(MM2bM
dt
))t(M(d
S
L
)t(PP)t(PP
&&&
&
δ++
δ
=δ−−δ+
Так как
г
2*
г
*
кс
*
вхг
bMPP
&
=−
– на стационарном режиме, то получаем:
.b)t(MM2
dt
))t(M(d
S
L
)t(P)t(P
.гг
*
г
г
г
г
ксвхг
&&
&
δ+
δ
=δ−δ
Преобразуем основные параметры в их безразмерные аналоги:
,
M
M
b)t(MM2
M
M
dt
))t(M(d
S
L
P
P
)t(P
P
P
)t(P
*
*
ãã
*
ã
*
*
ã
ã
ã
*
êñ
*
êñ
êñ
*
êñ
*
êñ
âõã
&&
&
δ+
δ
=δ−δ
,Mb)t(MM2M
dt
))t(M(d
S
L
P))t(P)t(P(
*
ãã
*
ã
*
ã
ã
ã
*
êñêñâõã
&&&&
&
δ+
δ
=δ−δ
где
;
P
)t(P
)t(P
*
кс
вхг
вхг
δ
=δ
;
P
)t(P
)t(P
*
кс
кс
кс
δ
=δ
.
M
)t(M
)t(M
*
г
г
&
&
&
δ
=δ
Преобразуем:
28
.
P
b
)t(M
1K
M
2
dt
))t(M(d
PS
ML
)t(P)t(P
*
кс
г
г
2*
г
*
ксг
*
г
ксвхг
&
&
&&
δ
+
+
δ
=δ−δ (2.1.10)
Для магистрали окислителя – аналогично:
.
P
b
)t(M
1K
KM
2
dt
))t(M(d
PS
ML
)t(P)t(P
*
кс
о
о
2*
о
*
ксо
*
о
ксвхо
&
&
&&
δ
+
+
δ
=δ−δ (2.1.11)
Далее преобразуем (2.1.10) и (2.1.11) по Лапласу:
δ
+
+δ=δ−δ
δ
+
+δ=δ−δ
;
P
b
)s(M
1K
KM
2)s(M
PS
ML
s)s(P)s(P
,
P
b
)s(M
1K
M
2)s(M
PS
ML
s)s(P)s(P
*
кс
о
о
2*
о
*
ксо
*
о
ксвхо
*
кс
г
г
2*
г
*
ксг
*
г
ксвхг
&
&
&
&
&
&
&
&
=δ−δ−δ
+
+
=δ−δ−δ
+
+
;0))s(P)s(P()s(M
P
b
1K
KM
2s
PS
ML
,0))s(P)s(P()s(M
P
b
1K
M
2s
PS
ML
ксвхоо
*
кс
о
2*
*
ксо
*
о
ксвхгг
*
кс
г
2*
*
ксг
*
г
&
&
&
&
&
&
=
+
δ−δ−δ
+
+
=
+
δ−δ−δ
+
+
.0P
KbM2
1K
))s(P)s(P()s(M1
KbM2
1K
s
S
ML
,0P
bM2
1K
))s(P)s(P()s(M1
bM2
1K
s
S
ML
*
кс
о
2*
ксвхоо
о
2*
о
*
о
*
кс
г
2*
ксвхгг
г
2*
г
*
г
&
&
&
&
&
&
&
&
Преобразуем:
()
()
=δ−δ−δ+θ
=δ−δ−δ+θ
,0C))s(P)s(P()s(M1s
,0C))s(P)s(P()s(M1s
îêñâõîîî
ãêñâõããã
&
&
(2.1.12)
где:
;
bM2
1K
S
ML
г
2*
г
*
г
г
&
&
+
=θ
;
KbM2
1K
s
S
ML
о
2*
о
*
о
о
&
&
+
=θ
;P
bM2
1K
C
*
кс
г
2*
г
&
+
=
.P
KbM2
1K
C
*
кс
о
2*
о
&
+
=
Для камеры сгорания:
;
RT
)t(P
SA)t(M)t(M
dt
)t(Pd
RТ
кскс
кс
крк1зо1зг
кс
кскс
кс
δ
−τ−δ+τ−δ=
δΩ
&&
29
.
RT
P
)t(P
M
P
SA
M
)t(M
M
)t(M
dt
P
)t(P
d
MRÒ
P
êñêñ
*
êñ
êñ
*
*
êñ
êðê
*
1çî
*
1çã
*
êñ
êñ
*
êñêñ
*
êñêñ
δ
−
−
τ−δ
+
τ−δ
=
δ
Ω
&
&
&
&
&
&
;
RT
P
SAMM
кскс
*
кс
крк
*
кр
*
==
&&
;
MRТ
P
*
кскс
*
кскс
кс
&
Ω
=θ
);t(P
M
M
)t(M)t(M
dt
)t(Pd
кс
*
*
1зо1зг
кс
кс
δ−τ−δ+τ−δ=
δ
θ
&
&
&&
).t(P)t(M)t(M
dt
)t(Pd
кс1зо1зг
кс
кс
δ−τ−δ+τ−δ=
δ
θ
&&
Преобразуем по Лапласу:
),s(Pe))s(M)s(M()s(Ps
кс
s
огкскс
1з
δ−δ+δ=δθ
τ−
&&
.e))s(M)s(M()s(P)1s(
1з
s
огкскс
τ−
δ+δ=δ+θ
&&
(2.1.13)
Окончательно для исследования устойчивости получаем систему уравнений:
()
()
=δ+δ−δ+θ
=δ−δ−δ+θ
=δ−δ−δ+θ
τ−
.0e))s(M)s(M()s(P)1s(
,0C))s(P)s(P()s(M1s
,0C))s(P)s(P()s(M1s
1з
s
огкскс
оксвхооо
гксвхггг
&&
&
&
(2.1.14)
Построим структурную схему для камеры сгорания и магистралей, используя
систему уравнений (2.1.14). Структурная схема представлена на рис. 2.2.
δ
М
г
.
-
τ
з1
s
e
С
г
1 +
θ
г
s
1
1 +
θ
кс
s
δ
P
вхо
δ
М
о
.
δ
М
гг
.
δ
P
кс
δ
P
вхг
С
о
1 +
θ
о
s
Рис. 2.2. Структурная схема линеаризованной системы (камеры сгорания и магистрали)
30
2.2. Математическая модель реактора
2.2.1. Уравнения движения в магистралях
Уравнение для магистрали масла:
,
S2
2
Sd2
L
)t(M
dt
)t(Md
S
L
)t(P)t(P
2
мм
2м1м
2
ммм
мтрм
2
м
м
м
м
pм
ρ
ξ+ξ+
+
ρ
ξ
+=−
&
&
(2.2.1)
обозначим:
.
S2
2
Sd2
L
b
2
мм
2м1м
2
ммм
мтрм
м
ρ
ξ+ξ+
+
ρ
ξ
=
На стационарном режиме:
.
M
PP
b
2*
м
*
p
*
м
м
&
−
=
Аналогичные уравнения запишем для магистралей воды и воздуха.
Для магистрали воздуха:
,
S2
2
Sd2
L
)t(M
dt
)t(Md
S
L
)t(P)t(P
2
вв
2в1в
2
ввв
втрв
2
в
в
в
в
pв
ρ
ξ+ξ+
+
ρ
ξ
+=−
&
&
(2.2.2)
обозначим:
.
S2
2
Sd2
L
b
2
вв
2в1в
2
ввв
втрв
в
ρ
ξ+ξ+
+
ρ
ξ
=
На стационарном режиме:
.
M
PP
b
2*
в
*
p
*
в
в
&
−
=
Для магистрали воды:
,
S2
2
Sd2
L
)t(M
dt
)t(Md
S
L
)t(P)t(P
2
vv
2v1v
2
vvv
vтрv
2
v
v
v
v
pv
ρ
ξ+ξ+
+
ρ
ξ
+=−
&
&
(2.2.3)
обозначим:
.
S2
2
Sd2
L
b
2
vv
2v1v
2
vvv
vтрv
v
ρ
ξ+ξ+
+
ρ
ξ
=
На стационарном режиме:
.
M
PP
b
2*
v
*
p
*
v
v
&
−
=
Получим три уравнения, описывающие процессы в магистралях масла, воды и
воздуха: