Вафин Д.Б. Задания по физике
Подождите немного. Документ загружается.
количеству электричества, проходящего через единицу поперечного
сечения проводника за единицу времени.
Плотность тока в металлах
j = –neu,
где n концентрация свободных электронов; –e
заряд электрона;
u скорость направленного движения электронов.
Для возникновения электрического тока
необходимо поддерживать электрическое по-
ле внутри проводника. Устройство, поддер-
живающее поле внутри проводника называет-
ся источником тока.
Внутри источника тока происходит не-
прерывное разделение разноименных зарядов
и их перенос к соответствующим электродам.
За счет электрических сил разноименные за-
ряды притягиваются. Для их разделения необ-
ходимы силы неэлектрического происхожде-
ния. Поэтому их называют сторонними силами. Сторонними электро-
движущими силами (ЭДС) могут быть механические, электрохимиче-
ские, электромагнитные силы.
За счет создаваемого поля сторонних сил Е
ст
заряды движутся
внутри источника тока против сил электрического поля, благодаря
чему на концах внешней цепи поддерживается разность потенциалов
1
–
2
и в цепи течет постоянный ток I (рис. 33).
Физическая величина, определяемая работой, совершаемой сто-
ронними силами при перемещении единичного, положительного, то-
чечного заряда, называется электродвижущей силой, действующей в
цепи
=
l
ст
d
q
А
ст
E
о
, В(вольт)
где А
ст
работа сторонних сил по перемещению положительного
точечного заряда q
o
вдоль замкнутой цепи; Е
ст
напряженность поля
сторонних сил.
Напряжением на неоднородном участке цепи 1 – 2 называется
скалярная величина, определяемая работой, совершаемой электриче-
скими и сторонними силами при перемещении единичного, положи-
тельного, точечного заряда на данном участке цепи
70
Источник тока
- +
Е
ст
2
1
1 Е 2
I
I
R
E
Рис. 33
2
1
2
1
21
ll dd
q
АА
U
ст
элст
o
EE =
1–2
+ (
1
2
) ,
где А
ст
, А
эл
работа сторонних и электрических сил по перемещению
заряда q
o
на участке цепи, соответственно, Е напряженность элек-
трического поля.
В металлах носителем электричества являются валентные элек-
троны, которые не связаны со своими атомами и хаотически движутся
между узлами кристаллической решетки. В узлах кристаллической
решетки расположены положительные ионы металла. Электрическое
сопротивление металлов в классической электронной теории объясня-
ется столкновениями свободных электронов с узлами решетки.
Участок цепи, содержащий источник тока и другие элементы на-
зывается неоднородным участком. Закон Ома для неоднородного уча-
стка цепи
I =
rR
)(
R+r
U
12
2112
,
где R сопротивление внешней цепи; r внутреннее сопротивление
источника тока.
Закон Ома для однородного участка и для замкнутой цепи
I = U/R, I =
/(R+r).
Закон Ома в дифференциальной форме
j =
E = E /
,
где
удельная проводимость и удельное сопротивление.
Сопротивление металлических проводников можно определить
по формуле
R =
S
l
, Ом,
где l
длина проводника, S – площадь поперечного сечения.
Свободные электроны в металлах, ускоряясь под действием элек-
трического поля, увеличивают свою кинетическую энергию. При
столкновении с узлами кристаллической решетки электрон теряет
скорость направленного движения. Энергия упорядоченного движе-
ния электронов преобразуется во внутреннюю энергию кристалличе-
ской решетки (проводника). Это приводит к увеличению температуры
71
проводника при прохождении по нему электрического тока и выделе-
нию теплоты (джоулевой теплоты).
Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме
E
2
,
где удельная тепловая мощность тока.
Теплота, выделяемая в проводнике за время t (закон Джоуля – Лен-
ца в интегральной форме)
Q = I U t = I
2
R t = U
2
t /R .
Удельная проводимость металлов по классической электронной
теории проводимости
=
e
m
ne
2
2
,
где n
концентрация свободных электронов; е заряд электрона; m
e
масса электрона;
средняя длина свободного пробега электронов;
среднеарифметическая скорость теплового движения электронов.
Закон Видемана – Франца:
T
e
k
γ
κ
2
)3( ,
где
κ
коэффициент теплопроводности,
удельная электропрово-
димость, k – постоянная Больцмана, е – элементарный заряд.
Зависимость удельного сопротивления металлов от температуры
=
о
( 1 + t),
где
о
– удельное сопротивление при t = 0
o
C,
температурный ко-
эффициент сопротивления.
При последовательном со-
единении проводников (рези-
сторов) (рис. 34) через все ре-
зисторы течет один и тот же
ток
I = I
1
= I
2
= = I
n
.
Напряжение между конца-
ми цепи равняется сумме напряжений на отдельных резисторах
U = U
1
+ U
2
+ + U
n
.
Суммарное сопротивление батареи резисторов равняется сумме
сопротивлений отдельных резисторов
72
R
1
R
2
R
n
I
o
1
2
n
U
1
U
2
U
n
U
Рис. 34
R = R
1
+ R
2
+ + R
n
.
При параллельном соединении рези-
сторов (рис. 35) напряжение на всех ре-
зисторах одинаково
U = U
1
= U
2
= = U
n
.
Общий ток равняется сумме сил токов
через отдельные резисторы
I = I
1
+ I
2
+ + I
n
.
Суммарное сопротивление определя-
ется из соотношения
R
1
=
1
1
R
+
2
1
R
+ +
n
R
1
.
Расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых
контуров, обычно производят на основе двух правил Кирхгофа. В
цепь любой сложности входят элементы простейших видов: 1) узлов, в
которых сходятся более двух проводников; 2) участков цепи. Ток,
входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий – от-
рицательным. Участком цепи называется часть цепи между двумя уз-
лами. Направление и сила тока на участке не меняются.
I правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся
в узле, равна нулю:
0
1
N
i
i
I .
II правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре разветв-
ленной цепи алгебраическая сумма произведений сил токов на сопро-
тивления соответствующих участков этого контура равна алгебраиче-
ской сумме ЭДС источников тока, входящих в данный контур:
M
j
N
i
ii j
RI
11
.
Произведение I
i
R
i
берется с положительным знаком, если произ-
вольно выбранное направление тока на данном участке совпадает с
направлением обхода контура. ЭДС
j
берется положительной, если
при обходе контура первым встречается отрицательный полюс источ-
ника тока.
73
R
1
I
1
R
2
I I
2
{ }
I
n
R
n
U
Рис. 35
Если два различных металла привести в тесное соприкосновение,
то на их границе возникает разность потенциалов, называемая кон-
тактной разностью потенциалов:
=
2
112
n
n
ln
e
kT
e
А
А
,
где А
1
, А
2
работы выходов свободных электронов; k
постоянная
Больцмана.
В замкнутой цепи, состоящей из последовательно соединенных
двух разнородных металлов, контакты которых имеют разные темпе-
ратуры, возникает термоэлектродвижущая сила (термо – ЭДС), про-
порциональная разности температур в контактах:
=
о
(Т
1
– Т
2
),
где
о
– удельная термо ЭДС; (Т
1
– Т
2
) – разность температур спаев
контактирующих металлов.
Испускание электронов нагретыми металлами называется термо-
электронной эмиссией. Это явление используется в электронно-
вакуумных лампах и в электронно-лучевых трубках, например, при-
меняемых в мониторах компьютеров.
Формула Ричардсона – Дэшмена для плотности тока насыщения
термоэлектронной эмиссии
j
н
= ВТ
2
ехр(–А/kT),
где В – постоянная, теоретически одинаковая для всех металлов (при
решении задач
В
= 6
10
5
А/(м
2
К
2
) для чистых металлов,
В =
3
10
4
А/(м
2
К
2
)
для металлов с покрытием), А – работа выхода электрона из металла,
k – постоянная Больцмана, Т – температура.
В электролитах электрический ток это направленное движение
ионов. Положительные ионы металла движутся в сторону отрицатель-
ного электрода – катода и выделяются в виде металла. Первый закон
электролиза ( первый закон Фарадея)
М = kq,
где М – масса вещества, выделившегося на электроде, k – электрохи-
мический эквивалент вещества, q – протекшее количество электриче-
ства.
Второй закон электролиза ( второй закон Фарадея)
k =
Fz
А
,
74
где A – атомная масса, z – валентность выделяемого вещества,
F = 9,6510
4
Кл/моль – число Фарадея.
4.2. Примеры решения и оформления задач
Пример 1:
Для технологических нужд предприятия необходимо заполнить
водой цилиндрический резервуар диаметром d
р
= 6,18 м и высотой
h
р
= 10 м. Для этого используется электронасос, с тремя обмотками,
которые можно считать соединенными параллельно. Полное сопро-
тивление каждой обмотки R = 32,77 Ом. Номинальное напряжение
электродвигателя насоса U
н
= 220 В. Электродвигатель питается от
подстанции, расположенной на расстоянии l = 2000 м по двухпровод-
ной линии из алюминиевых проводов диаметром d = 5 мм. Резервуар
расположен на h = 100 м выше от уровня водозабора. Коэффициент
полезного действия установки η = 0,757.
Необходимо определить: 1) стоимость электроэнергии, необхо-
димой для питания электродвигателя; 2)время заполнения резервуара;
3)напряжение на подстанции, необходимое для обеспечения номи-
нального напряжения электродвигателя.
Стоимость 1 кВтч электроэнергии принять равной
с
= 1,2 руб/ кВтч.
Дано: Анализ:
d
р
= 6,18 м
h
р
= 10 м
R = 32,77 Ом
U
н
= 220 В
l = 2000 м
d = 5 мм
h = 100 м
η = 0,757
с
= 1,2 руб/ кВтч
С; t; U.
75
h
p
V
d
р
h
l R
U U
н
Определим полезную работу, необходимую для заполнения ре-
зервуара водой. Когда в резервуар, находящийся на высоте h от уров-
ня водозабора, по трубе качают воду, массой m, увеличивается её по-
тенциальная энергия:
A
п
= mgh = ρVg h.
Здесь ρ = 1000 кг/м
3
плотность воды,
V = h
p
S =
4
2
pp
dh
объём резервуара.
В результате, полезная работа: A
п
= πgρ h
p
2
р
d
.
Часть энергии электродвигателя затрачивается на преодоление
гидравлического сопротивления трубы и теряется в самом насосе. По-
этому фактическая работа
A = A
п
/η = πg ρ h
p
2
р
d
h/4η , (1)
где η – коэффициент полезного действия установки.
Мощность одной обмотки электродвигателя можно определить по
закону Джоуля – Ленца:
W
1
=
R
U
2
.
При параллельном соединении мощности суммируются. Поэтому,
полная мощность электродвигателя
W =
R
U
2
3
н
.
Работа электродвигателя насоса, затрачиваемая на подъём воды
до резервуара:
A = W t =
R
U
2
3
н
t. (2)
Здесь t – время работы насоса.
Приравниваем правые части выражений (2) и (1)
R
tU
2
3
н
=
2
2
4
н
pp
U
hdhπg
.
Отсюда можем определить время работы насоса:
t =
2
2
12
н
pp
U
hRdhπg
.
76
Определим силу тока в цепи. Мощность электродвигателя можно
определить по другому варианту закона Джоуля – Ленца W = U
н
I.
Отсюда
I = .
R
U
RU
U
U
W
н
н
н
н
33
2
По закону Ома для однородного участка цепи можем определить
падение напряжения на проводах: U
пр
= IR
пр
,
где R
пр
=
2
82
п
п
πd
l
S
l
п
сопротивление линии, где ρ
п
удельное
сопротивление материала проводника, 2l общая длина проводника.
Таким образом, U
пр
= IR
пр
=
2
24
п
пн
Rd π
lρU
.
Напряжение на подстанции
U = U
пр
+ U
н
= (1 +
2
24
п
п
πRd
l
).
Следовательно, определённое количество электрической энергии
теряется непосредственно на подводящих проводах. По закону Джо-
уля-Ленца, теплота, выделяемая на проводах,
Q = I
2
R
пр
t.
Полное количество затраченной электрической энергии опреде-
ляется как сумма работы на поднятие воды и потери энергии на про-
водах Q = A + Q
пр
= I U t .
Стоимость электрической энергии
C =
с
Q =
с
I U t .
Анализ размерностей:
;
3
2
2
2
2
2
2
2
2
32
2
2
с
с
мкг
с
кгм
Втс
кгм
АВ
кг
с
м
В
Омммм
м
кг
с
м
U
Rhdhρg
t
p
77
В
мОм
ммОм
В
22
п
н
dR
lρ
UU ;
рубчВА
ч
кВт
руб
tUАсС .
Решение:
t =
2
2
12
н
pp
U
hRdhπg
= чс 2486400
220757,012
77,321018,6101081,9
2
223
I = A14,20
77,32
2203
3
R
U
н
.
U = U
н
(1+
2
24
п
п
πRd
l
) = 220(1+
62
38
10577,32
102107,224
) = 330В = 0,33кВ.
Здесь ρ
п
= 2,7ּ10
–8
Омּм – удельное сопротивление алюминия взяли из
приложения.
Как видно, напряжение на подстанции должно быть 1,5 раза
больше номинального напряжения электродвигателя. Таким образом,
1/3 часть электроэнергии теряется непосредственно на подводящих
проводах. Для уменьшения потерь необходимо применять провод
большего диаметра.
C =
с
ּIּUּt = 1,2ּ20,14ּ0,33ּ24 = 191,4 руб.
В формуле для стоимости электроэнергии напряжение подстави-
ли в киловольтах, а время в часах. Тогда энергия получается в кВтּч.
Ответ:
Время заполнения резервуара водой t = 86400 с = 24 ч.
Напряжение на подстанции, необходимое для поддержания но-
минального напряжения U
н
= 220 В: U = 330В. Это напряжение на
50% больше номинального напряжения. Таким образом, 1/3 часть
электроэнергии выделяется в виде джоулевой теплоты на проводах и
теряется без пользы.
Стоимость электроэнергии, необходимой для заполнения резер-
вуара водой: С = 191,4 рубля.
78
Пример 2:
Для определения ЭДС источников применяют метод компенса-
ции. При включенном известном источнике
n
= 1,2 В положение
движка реохорда, при котором ток через гальванометр равен нулю:
l
1
= 20 см. При неизвестном источнике
х
положение движка l
2
=
60 см. Чему равняется ЭДС неизвестного источника?
Дано: Анализ:
n
= 1,2 В I
G
l
1
= 20 см
х
n
l
2
= 60 см
х
A I
n
;I
x
l
1
; l
2
D B
I
1
I
2
I R
Напишем уравнение по второму правилу Кирхгофа для верхнего
замкнутого контура цепи при включенном известном источнике:
I
1
R
1
+ I
G
(R
G
+ r
n
) =
n
.
Здесь R
1
сопротивление плеча реохорда длиной l
1
.
Так как по условию задачи ток через гальванометр не течет, то
I
1
R
1
=
n
. (1)
При включенном неизвестном источнике это уравнение приобре-
тает вид
11
RI
х
. (2)
Из первого правила Кирхгофа для узла D:
I
1
+ I
G
– I
2
= 0 .
Однако I
G
= 0 . Поэтому I
1
= I
2
для уравновешенной схемы. Из перво-
го правила Кирхгофа для узла, А с учетом I
G
= 0, вытекает I
1
= I. От-
сюда I
1
=
1
I
. Поэтому если уравнение (1) разделить на уравнение (2)
получаем
x
n
R
R
1
1
.
Для проволочного реохорда отношение сопротивлений плеча рео-
хорда можно заменить отношением длин провода реохорда
79
G