Вафин Д.Б. Задания по физике
Подождите немного. Документ загружается.
Пример 2:
Простой генератор имеет квадратную обмотку со стороной, а =
10 см, содержащую N = 100 витков. С какой угловой скоростью дол-
жен вращаться якорь генератора в магнитном поле с индукцией B =
0,7 Тл, чтобы амплитуда напряжения на нем составляла
о
= 220 В?
Дано: Анализ:
а = 10 см
N = 100
B = 0,7 Тл
о
= 220 В
ω
Схема генератора переменного тока упрощенно изображена на
рисунке. В генераторе имеется несколько проволочных обмоток на
роторе (на рисунке показана только одна). Ось генератора приводится
во вращение механическим способом с угловой скоростью ω. Поэтому
угол поворота нормали рамки n относительно вектора магнитной ин-
дукции постоянного магнита меняется с течением времени: φ = ωt.
Переменным является и потокосцепление контура обмотки:
= NBScosφ = NB a
2
cosωt
Согласно закону Фарадея во вращающейся обмотке возникает
ЭДС индукции
i
=
sinωωNBa
dt
t dcos
NBa
dt
dΨ
22
t
Обозначим через
o
= NBa
2
ω амплитуду напряжения. Таким
образом, на выходе генератора возникает ЭДС, изменяющаяся по си-
нусоидальному закону: =
o
sin ωt
Это напряжение снимается с помощью щеток, постоянно прижатых
к контактным кольцам.
90
n
B
N S
a
i
Из формулы для амплитуды ЭДС можно определить угловую
скорость вращения ротора генератора:
=
2
о
NBa
Анализ размерностей:
[
] =
с
м
мА
Н
сА
Н
мТл
В
aB
22
о
1
2
2
Решение:
=
2
о
NBa
=
с
1
3,314
1,07,0100
220
2
Ответ:
Угловая скорость вращения ротора генератора переменного тока
ω = 314 Гц. Это соответствует частоте вращения ν = ω/(2π)
50 Гц.
5.3. Задания по электромагнетизму
Задание 8. Нечетные варианты:
Проволочный виток помещен внутри длинного соленоида так,
что его плоскость перпендикулярна оси соленоида. Площадь витка
равна S. Соленоид имеет n витков на единицу длины и по нему течет
ток, изменяющийся по закону I = I
о
cosωt. Чему равняется ЭДС индук-
ции в витке?
№ вар. 1 2 3 4 5 6 7
S, см
2
10 20 30 24 25 26 27
n, 1/см 100 120 130 40 50 60 70
I
о
, A 1 2 3 4 5 0,6 0,7
ω, Гц 62,8 125 130 140 150 160 170
91
Задание 8. Варианты: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Ротор генератора переменного тока вращается в магнитном поле
с индукцией B с частотой ν. Сколько витков должно быть в обмотке
площадью S, чтобы амплитуда напряжения составляла не менее
о
?
Определить закон изменения потокосцепления обмотки.
№ вар. 8 9 10 11 12 13 14
B, Тл 0,18 0,19 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14
ν, Гц 50 59 60 51 52 53 54
S, см
2
208 209 210 110 120 130 140
о
, В
127 120 220 210 220 130 140
Задание 8. Варианты: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21
Трансформатор для питания компьютера понижает напряжение
переменного тока от U
1
до U
2
(в блок питания входит также выпрями-
тель). Во вторичной обмотке N
2
витков потребляемая сила тока со-
ставляет I
2
. Рассчитать: 1)число витков в первичной обмотке; 2)силу
тока в первичной обмотке; 3) мощность трансформатора.
№ вар. 15 16 17 18 19 20 21
U
1
, В 220 160 170 180 190 200 210
U
2
, В 12 16 13 18 14 12 12
N
2
30 32 34 36 38 40 42
I
2
, А 4 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1
Задание 8. Варианты: 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28
Якорь простого генератора имеет квадратную обмотку со сто-
роной а с N витками и вращается с угловой скоростью ω в магнитном
поле с индукцией B. Определить:
92
1. амплитуду напряжения на выходе генератора;
2. максимальное потокосцепление обмотки якоря;
3. частоту переменного напряжения.
№ вар. 22 23 24 25 26 27 28
а, см 12 13 14 15 16 17 18
N 220 230 240 250 260 270 280
ω, с
-1
314 345 377 375 316 377 348
B, Тл 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28
Задание 8. Варианты: 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35
Для питания неоновых трубок световой рекламы требуется на-
пряжение U
2.
Для питания трубок используется напряжение сети U
1
.
Число витков первичной обмотки питающего трансформатора N
1
,
Мощность неоновой трубки W. Определить:
1. число витков вторичной обмотки;
2. силу токов в первичной и вторичной обмотках.
№ вар. 29 30 31 32 33 34 35
U
2
, кВ 12 11 11 12 13 14 12
U
1
, В 120 127 220 210 130 140 150
N
1
60 50 40 32 33 34 35
W, Вт 60 50 75 50 40 54 55
93
6. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
6.1. Основные формулы
Одной из наиболее распространенных форм движения тел в при-
роде является колебательное движение. Если сравнить процессы в
пружинном, математическом маятнике и в колебательном контуре,
колебания атомов в молекуле относительно центра масс, то обнару-
живается поразительная аналогия между этими явлениями, которые на
первый взгляд не имеют между собой ничего общего. Однако физика
колебательного процесса во всех этих системах примерно одинакова,
эти процессы описываются одинаковыми понятиями и одинаковыми
уравнениями. Поэтому целесообразно использование единого подхода
к изучению колебаний различной физической природы. Такой подход
к изучению колебаний позволяет переносить закономерности, полу-
ченные при изучении одного вида колебаний на колебания другой
природы. Поэтому в данном пособии механические и электромагнит-
ные колебания рассматриваются в одном разделе.
Колебательным называется движение, когда система, отклоняясь
от своего устойчивого положения равновесия, вновь многократно воз-
вращается в это положение. Если каждое полное колебание соверша-
ется в течение одного и того же промежутка времени, то колебания
называются периодическими. Многие сложные колебания можно
представить в виде суммы простых гармонических колебаний. Колеба-
ния называются гармоническими, если уравнение движения записыва-
ется с помощью косинусоидальных или синусоидальных формул:
x = A cos(
t +
o
) или x = A sin(
t +
o
),
где х
значение колеблющейся величины в момент времени t –
смещение от положения равновесия; A
амплитуда колебания – мак-
симальное смещение;
= (
t
фаза колебания – аргумент три-
гонометрической функции в уравнении движения, от значения кото-
рого в каждый момент времени зависит значение колеблющейся вели-
чины х;
T
циклическая частота собственных коле-
баний – скорость изменения фазы;
T частота колебания –
94
число колебаний за одну секунду; Т
период колебания, это время
одного полного колебания;
- начальная фаза.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
d x
dt
x
o
2
2
2
0
.
В реальных системах всегда присутствуют силы трения. Поэтому
часть энергии превращается в теплоту и амплитуда колебаний со вре-
менем уменьшается. Такие колебания называются затухающими.
Уравнение затухающих колебаний и его решение:
d x
dt
2
2
2
dx
dt
x
o
2
0 x = A
o
e
t
cos(
t +
),
где
– коэффициент затухания, А = А
о
е
–
t
– амплитуда затухающих
колебаний, А
о
– начальная амплитуда,
– циклическая частота зату-
хающих колебаний:
o
2 2
Логарифмический декремент затухания
и добротность Q:
T, Q =
,
где Т = 2
– период затухающих колебаний.
Электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных
конденсатора С, катушки индуктивности L и сопротивления R называ-
ется колебательным контуром. Если конденсатор предварительно за-
рядить от внешнего источника, то за счет периодических перезарядок
конденсатора в колебательном контуре возникает переменный элек-
трический ток высокой частоты. При этом между обкладками конден-
сатора образуется переменное электрическое поле, а около катушки
индуктивности – переменное магнитное поле. Это явление называется
электромагнитным колебанием.
Дифференциальное уравнение для измене-
ния заряда на обкладках конденсатора в колеба-
тельном контуре
LC
dt
dq
L
R
dt
qd
2
2
1
q = 0.
В рассматриваемом контуре внешние источники ЭДС отсутству-
ют. Колебания, протекающие в таком контуре, будут свободными за-
тухающими колебаниями. Если активное сопротивление контура
95
L C
R
R = 0, то такой контур называется идеальным колебательным конту-
ром. Дифференциальное уравнение для идеального контура
LC
dt
qd
2
2
1
q = 0.
Это уравнение является уравнением гармонических колебаний. В
идеальном контуре заряд совершает гармонические колебания по
уравнению
q = q
m
cos(
o
t +
o
),
где q
m
– амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической час-
тотой
o
, называемой собственной частотой контура:
о
= 1/ LC (формула Томсона).
Период и частота колебаний в идеальном контуре
Т = 2
LC ,
= 1/[2
LC ].
Напряжение на обкладках конденсатора и сила тока в идеальном
контуре также меняются по гармоническим законам
U =
C
q
m
cos(
o
t +
o
) = U
m
cos(
o
t +
o
),
I =
o
q
m
sin(
o
t +
o
) = I
m
cos(
o
t – /2 +
o
),
где U
m
= q
m
/С –амплитуда напряжения, I
m
=
o
q
m
– амплитуда силы то-
ка.
В реальном колебательном контуре колебания будут затухающи-
ми
q = q
m
е
–t
cos(
t +
o
),
U =U
m
е
–t
cos(
t +
o
),
I = I
m
е
–t
cos(
o
t – /2 +
o
),
где
= R/(2L) – коэффициент затухания, а циклическая частота коле-
баний определяется по формуле
=
2
2
L
R
LC
4
1
.
Чтобы колебания были незатухающими, периодически необходи-
мо восполнять потери энергии. Тогда колебания будут вынужденны-
ми.
Уравнение вынужденных колебаний и его установившееся реше-
ние:
d x
dt
2
2
+ 2
dx
dt
x
o
2
m
f
o
cos
t, x = A cos (
t
),
где f
o
,
амплитуда и циклическая частота изменения вынуждаю-
щей
силы, A амплитуда вынужденных колебаний
96
А =
2222
4)(
o
o
m
f
.
Выражение для начальной фазы:
tg
o
=
2
2 2
o
,
Максимум амплитуды достигается при резонансной частоте:
рез
=
22
2
o
.
Чтобы в колебательном контуре колебания были незатухающими
и в установившемся режиме колебания силы тока происходили по за-
кону
I = I
m
cos(t
o
),
в контур необходимо подводить переменную внешнюю ЭДС
=
о
cost,
где
о
,
амплитуда и циклическая частота колебаний внешней
ЭДС.
Амплитуда силы тока при вынужденных колебаниях в контуре
I
m
=
q
m
=
о
/
22
1 )]/([ CLR
.
Сдвиг по фазе
o
между током и приложенным внешним на-
пряжением определяется из формулы
tg
o
=
R
CL )/(
1
.
Процесс распространения колебаний в сплошной среде называет-
ся волновым процессом (или волной). Упругими волнами называются
механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. В
продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распро-
странения волны, в поперечных – в плоскостях, перпендикулярных
направлению распространения волны. Упругая волна называется гар-
монической, если соответствующие ей колебания частиц среды явля-
ются гармоническими.
Уравнение плоской волны определяет зависимость между смеще-
нием
частиц среды, распространяющимся со скоростью u вдоль на-
правления х и расстоянием х этих частиц от источника колебаний в
момент времени t
(x,t) = A cos(
(t – x/u) +
o
) = A cos(
t – k x +
o
),
97
где А – амплитуда;
циклическая частота волны; (
t – k x +
o
)
фаза плоской волны;
o
– начальная фаза колебаний.
Для характеристики волн используется волновое число
k =
λ
2π
=
Tu
π
2
=
u
ω
,
где = uT – длина волны, расстояние, между частицами, колеблющи-
мися в одинаковой фазе; Т – период колебаний; v = 1/T – частота коле-
баний.
Фазовая скорость продольных волн в упругой среде(u
II
) и попе-
речных волн в струне(u
)
u
II
= Е/ρ , u
=
стст
/ρТ ,
где Е – модуль упругости,
– плотность среды, Т
ст
– натяжение стру-
ны,
ст
– ее линейная плотность.
Звуковыми волнами называются распространяющиеся в среде уп-
ругие волны, частоты которых изменяются в пределах 16 – 200000Гц.
Скорость звука в газах
u = γRT/μ ,
где
показатель адиабаты; R – универсальная газовая постоянная; Т
– температура;
молярная масса.
Объемная плотность энергии упругой волны
w =
А
2
2
sin
2
(
t – kx), w =
А
2
2
/2.
Плотность потока энергии ( вектор Умова) для бегущей гармо-
нической волны
q = wu, q =
2
1
А
2
2
u .
При наложении двух волн, распространяющихся навстречу друг
другу с одинаковыми частотами и амплитудами, возникают стоячие
волны. Уравнение стоячей гармонической волны
= A cos kx
cos
t.
Выражение для частоты колебаний v, воспринимаемых источни-
ком при движении источника этих колебаний с частотой v
o
и прием-
ника друг относительно друга со скоростями
ист
и
пр
( знак + при
сближении, при удалении)
v =
ист
пр
ν)(
о
.
98
6.2. Пример решения задач
Пример 1:
Некоторая точка массой m = 5 г движется вдоль оси х по закону
x = 0,05 sin(
t
. Найти амплитуду, частоту и период колебания.
Определить скорость, ускорение, кинетическую и потенциальную
энергии частицы в момент времени t = T/2 .
Дано: Анализ:
Стандартная форма записи уравнения
гармонических колебаний имеет вид:
x = A cos (
t
о
. Сравнивая с заданным
уравнением колебаний можно определить,
что амплитуда колебаний A = 0,05 м, цик-
лическая частота
Частота колеба-
ния :
c
–1
.Период колебания: T
=1/
. Для уравнения колебания в исходном виде начальная фаза:
I
o
=
. Так как cos
sin(
если уравнение колебаний записать
в косинусоидальной форме, то начальная фаза
о
и уравне-
ние колебаний приобретает вид: x = 0,05 cos(4
t
.
Скорость точки определяется как производная от cмещения по
времени:
=
dx
dt
= 0,2
cos(4
t
Ускорение определяем как производную от скорости материаль-
ной точки по времени:
a =
dt
d
=
0,8
sin(4
t
0,8
cos
t
Кинетическая энергия материальной точки:
W
к
=
2
2
m
= 0,02
m cos
2
(
t
.
Потенциальная энергия:
W
п
=
kx
2
2
=
2
22
xm
o
= 0,02
m sin
2
(4
t
,
где k = m
o
2
коэффициент квазиупругости.
99
x = 0,05 sin(
t
m = 5 г = 0,005 кг
t = T/2
A ,
о
T
, a , W
к
, W
п