Вафин Д.Б. Задания по физике
Подождите немного. Документ загружается.
Решение:
Период колебаний: Т = 1/
= 1/ 2 = 0,5 c.
Момент времени, для которого по условиям задачи необходимо
вычислить искомые величины: t = T/ 2 = 0,5/ 2 = 0,25 c.
= 0,2
cos(
t
= 0,2
cos(4
= 0,44429 м/c.
a = 0,8
2
cos(
t
cos(4
5,5831 м/c
2
.
W
к
= 0,02
0,005cos
2
(
t
= 0,02
0,005cos
2
(4
=
= 4,9348
.
10
-4
Дж.
W
п
= 0,02
0,005sin
2
(
t
= 0,02
0,005sin
2
(4
=
= 4,9348
.
10
-4
Дж.
Ответ:
Амплитуда колебаний: A = 0,05 м.
Циклическая частота:
о
4
c
-1
(Гц). Частота колебаний:
2 Гц .
Период колебаний: T = 0,5 c.
Скорость материальной точки:
= 0,44429 м/с .
Ускорение материальной точки: a = 5,5831 м/c
2 .
Кинетическая энергия: W
к
= 4,9348
.
10
-4
Дж .
Потенциальная энергия: W
п
= 4,9348
.
10
-4
Дж.
Пример 2:
В колебательный контур с активным сопротивлением R = 3 Ом,
индуктивностью L = 1 мГ включен источник переменной ЭДС
=
о
cos
t , где
о
= 2 В. Определить емкость конденсатора, а также
резонансные амплитуды напряжений на сопротивлении, конденсаторе
и на катушке индуктивности, если резонансная частота
р
=10
5
Гц. Ка-
кая максимальная энергия накапливается в конденсаторе и в катушке?
На какую частоту настроен контур?
Анализ:
При наличии внеш-
него переменного ис-
точника тока колебания
в контуре будут выну-
жденными. Так как вы-
нуждающая ЭДС изме-
няется по гармониче-
100
~
L C
R
Дано
:
R = 3 Ом
L = 1 мГ
о
= 2 В
р
=10
5
Гц
C, U
Rm
, U
Cm
,,U
Lm
,
W
Cm
,,W
Lm
,
скому закону =
о
cos
t, то при установившихся вынужденных ко-
лебаниях заряд конденсатора изменяется по такому же закону с цик-
лической частотой источника тока
:
q = q
m
cos(
t +
o
).
Амплитуда изменения заряда q
m
и сдвиг фазы
o
находятся по
формулам:
q
m
=
о
/{L
22222
4)( ωδωω
o
} =
о
/{
22
)](1[ ωC/-ωLR }.
tg
o
=
)(1
2
22
ωC/ωL
R
ωω
δω
o
.
При преобразовании этих формул учли, что собственная частота
колебаний контура
2
о
ω = 1/(LC) и коэффициент затухания
= R/(2L).
Сила установившегося тока равняется скорости изменения заряда:
I =
dt
dq
= q
m
sin(
t +
o
) = I
m
cos(
t
).
Амплитуда тока:
I
m
= q
m
=
о
/
22
)](1[ ωC/-ωLR ;
tg
= ctg
o
=
R
ωC/ωL )(1
.
Величина Х
L
=
L называется индуктивным сопротивлением,
Х
С
= 1/(
С) – емкостным сопротивлением, а Х =Х
L
– X
C
=
L – 1/(
С)
– реактивным сопротивлением. Как видно из полученной формулы
для I
m
, амплитуда тока в контуре достигает максимального значения,
когда реактивное сопротивление равняется нулю
Х =
L – 1/(
С) =
р
L – 1/(
р
С) = 0.
Поэтому резонансная циклическая частота в контуре не зависит
от активного сопротивления R:
р
= 1/ LC и равняется собственной
частоте колебательного контура
о
.
Из равенства нулю реактивного сопротивления при резонансе
р
L = 1/(
р
С).
Отсюда емкость конденсатора
С = 1/(
р
2
L) = 1/(4
2
p
2
L).
Амплитуда силы тока в контуре при резонансе:
I
mp
=
о
/R .
101
Сдвиг фаз между током и ЭДС:
(
р
) = 0 .
Напряжение на обкладках конденсатора:
U
C
= q/C = U
Cm
cos(
t
/2) = U
Cm
cos(
p
t
/2).
Напряжение на активном сопротивлении:
U
R
= IR = U
Rm
cos(
t
) = U
Rm
cos
p
t .
Напряжение на катушке определяется величиной ЭДС самоиндук-
ции
U
L
= L
dt
dI
= U
Lm
cos(
t
+
/2) = U
Lm
cos(
p
t +
/2).
Можно заметить, что напряжение на катушке опережает по фазе
напряжение на сопротивлении на
/2, а напряжение на конденсаторе
отстает на
/2. Амплитудные значения напряжений U
Cm
, U
Rm
, U
Lm
со-
ответственно равны:
U
Cm
= q
m
/C = I
m
/(
С), U
Rm
= I
m
R, U
Lm
=
I
m
L.
При резонансе
U
Rm
=
о
, U
Cm
= U
Lm
=
о
C
L
/R.
Можно показать, что при резонансе отношение амплитуды на-
пряжения на конденсаторе(катушке) к ЭДС внешнего источника рав-
няется отношению емкостного(индуктивного) сопротивления к актив-
ному сопротивлению:
U
Cm
/
o
= I
mp
/(
o
С) =
o
/(
o
СR) = X
C
/R .
Максимальная энергия конденсатора и катушки индуктивности:
W
Cm
=
2
2
Cm
CU
; W
Lm
=
2
2
pm
LI
.
Длина волны, на которую настроен контур
= с/
,
где с = 310
8
м/с – скорость распространения электромагнитных волн в
вакууме.
Анализ размерности:
[C] = 1/([
]
2
[L]) = Ф
мН
Ас
м
Тл
Ас
А
Вб
с
Гн
с
22
2
2
2
2
/
.
[U
Cm
] = [q] / [C] = Кл/Ф = КлВ/Кл = Кл.
[U
Cm
] = [ U
Lm
] = []
][
][
C
L
/ [R] = В
Ф
Гн
/Ом =
Ас
мН
= В.
102
Для энергии используются стандартные формулы. Поэтому
[W
C
] = [W
L
] = Дж.
Решение:
С = 1 /(4
2
p
2
L) = 1/(4
2
10
10
10
-3
) = 2,53 нФ.
U
Rm
=
о
= 2 В.
U
Cm
= U
Lm
=
о
C
L
/R = 2
9
3
1053,2
10
/ 3 = 419 В.
W
Cm
=
2
2
Cm
CU
=
2
1
2,5310
-9
419
2
= 2,2210
-4
Дж.
W
Lm
=
2
2
pm
LI
= L
o
2
/(2 R
2
) = 10
-3
2
2
/(23
2
) = 0,22210
-3
Дж.
= с/
= 310
8
/ 10
5
= 310
3
м.
Ответ:
Емкость конденсатора: С = 2,53 нФ.
Амплитуда напряжения на сопротивлении: U
Rm
=
о
= 2 В.
Амплитуда напряжения на конденсаторе и катушке:
U
Cm
= U
Lm
= 419В.
Обратите внимание во сколько раз это значение больше ЭДС
внешнего источника.
Максимальные значения энергии конденсатора и катушки индук-
тивности равны между собой: W
Cm
= W
Lm
= 0,222 мДж.
Длина волны, на которую настроен колебательный контур,
= 310
3
м.
103
6.3. Задания по колебаниям и волнам
Задание 9. Варианты: 1, 7, 13, 19, 25,31
Материальная точка массой m совершает гармонические коле-
бания, описываемые уравнением x = A cos(2
t +
о
). Найти воз-
вращающую силу, кинетическую и потенциальную энергии в мо-
мент времени t = T/n. Построить графики смещения, скорости и ус-
корения точки в зависимости от времени.
№ вар. 1 7 13 19 25 31
m, г
А, см
, Гц
o
n
1
1
2
3/2
7
7
6
2
13
13
3
3
1,9
19
5
3
2,5
25
5
5
3,1
31
3
3
Задание 9. Варианты: 2, 8,14, 20, 26, 32
Определить массу материальной точки, совершающей гармони-
ческие колебания с амплитудой А, периодом Т и начальной фазой
o
, если полная энергия колебаний W. Через какой промежуток вре-
мени от начала отсчета кинетическая энергия будет равна потенци-
альной энергии? Построить графики смещения, кинетической и по-
тенциальной энергий в зависимости от времени.
№ вар. 2 8 14 20 26 32
А, см
Т, с
o
W, мДж
2
0,2
2
2
8
0,8
4
8
14
0,4
4
14
20
0,2
2
20
26
0,6
6
26
32
0,3
3
32
104
Задание 9. Варианты: 3, 9, 15, 21, 27, 33
Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х. Цик-
лическая частота
. В момент времени t = T/n координата частицы
x
t
и ее скороcть
t
. Составить уравнение колебаний. Определить ки-
нетическую и потенциальную энергии в момент времени t = 3T/n,
если масса частицы m . Построить графики смещения частицы, ско-
рости и ускорения в зависимости от времени.
№ вар. 3 9 15 21 27 33
Гц
х, см
, см/с
m, г
n
3
3
-3,73
3
8
9
9
-81
9
16
5
5
-14,4
15
16
2
21
-17,4
21
8
7
7
-49
27
16
3
3
-3,73
33
8
Задание 9. Варианты: 4, 10, 16, 22, 28, 34
Записать уравнение гармонических колебаний материальной точ-
ки массы m при заданных значениях амплитуды А, начальной фазы
о
, периода колебаний Т. Определить циклическую частоту и частоту
колебаний. Построить графики смещения, скорости и ускорения в
зависимости от времени. За какое время от начала движения точка
проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?
Найти максимальную силу, действующую на материальную точку и ее
полную энергию.
№ вар. 4 10 16 22 28 34
А, см
Т, с
o
m, г
4
0,4
4
2
10
1
8
16
0,6
6
14
22
0,2
2
20
28
0,8
3
26
34
0,4
4
34
105
Задание 9. Варианты: 5, 11, 17, 23, 29
Материальная точка массой m совершает гармонические колеба-
ния согласно уравнению х = A cos[n
(t +
)].
1) Определить частоту, циклическую частоту, период колебаний
и начальную фазу; 2) построить графики смещения, кинетической и
потенциальной энергии точки в зависимости от времени; 3) за какое
время от начала движения точка будет иметь смещение от положения
равновесия, равное половине амплитуды? Скорость, равную половине
максимальной скорости? 4) При каком смещении от положения рав-
новесия на колеблющуюся точку действует сила, равная половине
максимальной? Определите значение этой силы.
№ вар. 5 11 17 23 29
А, см
n
m, г
5
5
5
5
11
1
11
17
7
7
23
3
3
9
2
9
Задание 9. Варианты: 6, 12, 18, 24, 30
Полная энергия материальной точки, совершающей гармониче-
ские колебания, равна W. Максимальная сила, действующая на мате-
риальную точку, равна F
m
. 1) Написать уравнение движения этой точ-
ки, если период колебаний Т и начальная фаза
о
; 2) построить графи-
ки смещения, кинетической и потенциальной энергии в зависимости
от времени; 3) определить максимальные значения скорости и ускоре-
ния; 4) за какое время от начала движения точка будет иметь смеще-
ние от положения равновесия, равное A/n ?
№ вар.
6
12
18
24
30
W,мкДж 60 120 180 24 30
F, мН
Т, с
о
n
6
0,6
2
12
1,2
2
18
0,8
4
2,4
0,4
4
3
0,2
3
106
7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
7.1. Основные законы и формулы
Излучение, испускаемое каким-либо источником, несет в себе
богатую информацию о химическом составе вещества, его агрегатном
состоянии, температуре, о физических и химических процессах, про-
текающих в нем. Эта информация закодирована в сравнительно легко
измеряемых параметрах – мощности излучения в отдельных участках
спектра, а также в ширине и форме наблюдаемых спектральных ли-
ний. Эти вопросы, а также многие другие, связанные с оптическим
излучением, рассматриваются в разделе «Оптика.
Оптика есть раздел физики, изучающий свойства и физическую
природу света, а также его взаимодействие с веществом. Под светом
понимают не только видимый свет, но и примыкающие к нему широ-
кие области спектра электромагнитного излучения – инфракрасную и
ультрафиолетовую. Различные участки спектра электромагнитного
излучения отличаются друг от друга длиной волны и частотой
величинами, характеризующими не только волновые, но и квантовые
свойства электромагнитного излучения.
Простейшие оптические явления, например получение изображе-
ний в оптических приборах, могут быть поняты в рамках так называе-
мой геометрической оптики. Для понимания более сложных явлений
нужна уже физическая оптика, рассматривающая эти явления в связи
с физической природой света. В современной волновой теории гово-
рят, что свет это распространение в пространстве взаимно-
перпендикулярных колебаний напряженностей электрического и маг-
нитного полей. Однако классическая физика оказалась не достаточной
для истолкования явлений атомного масштаба. Потребовалось введе-
ние квантовых представлений. По корпускулярной теории свет пред-
ставляет собой поток мельчайших частиц – фотонов. К световым кор-
пускулам классические представления о движении не применимы. Для
того, чтобы дать правильную картину строения вещества, атома, ядра
требуется квантовая физика. Интерференция и дифракция света дока-
зывает, что в этих явлениях свет ведет себя как волны. Фотоэффект,
комтоновское рассеяние рентгеновских лучей доказывают, что здесь
свет ведет себя как поток частиц. Вообще, явления распространения
света правильно описываются в рамках волновых теорий, а для описа-
107
ния взаимодействия света и вещества необходимы корпускулярные
представления.
На плоской границе раздела
двух прозрачных сред(рис.39) луч
света частично зеркально отражается
(
), частично преломляется.
Падающий луч, нормаль n к границе
раздела двух сред, восстановленная
из точки падения О и преломленный
луч лежат в одной плоскости,
называемой плоскостью падения. При
этом, отношение синуса угла падения
к синусу угла преломления не
зависит от угла падения и для данной
пары веществ есть величина постоянная, называемая относительным
показателем преломления второй среды относительно первой:
21
n
sinψ
sin
.
Показатель преломления среды относительно вакуума называет-
ся абсолютным показателем преломления: n =
u
с
,
где
, с – скорость света в среде и вакууме, соответственно.
Имеются соотношения:
2
1
1
2
21
u
u
n
n
n
.
Здесь u
1
, u
2
и n
1
, n
2
– скорости света и абсолютные показатели прелом-
ления в первой и во второй средах, соответственно.
Если n
1
n
2
, то говорят, что первая среда оптически более
плотная, чем вторая. В этом случае
и при некотором угле паде-
ния
o
, удовлетворяющем условию
sin
o
= n
21
,
преломленный луч скользит по границе раздела двух сред.
o
– пре-
дельный угол полного внутреннего отражения. При углах падения
o
луч не преломляется, а полностью отражается от границы раз-
дела сред.
Плоское зеркало представляет собой гладкую поверхность, при
отражении от которой параллельный пучок света остается
параллельным.
108
n
O
Рис. 39. Отражение и пре-
ломление на пло-
ской границе
Плоское зеркало создает мнимое (кажущееся) изображение.
Предмет S и его изображение S расположены симметрично по отно-
шению к поверхности зеркала (рис. 40).
При этом, расстояния от предмета до
зеркала и от зеркала до его изображения:
a = b . Наблюдателю кажется, что лучи
исходят из точки S за зеркалом.
Лучи, падающие на поверхность
вогнутого зеркала параллельно оптиче-
ской оси, после отражения собираются в
фокусе зеркала – F (рис. 41).
Расстояние от фокуса F до вершины
зеркала S называется фокусным рас-
стоянием f.
Фокальная плоскость делит пополам
отрезок, соединяющий центр кривизны О и вершину зеркала S:
2
R
f .
Здесь R радиус кривизны поверхности
зеркала.
Оптическая сила сферического зерка-
ла
D =
f
1
a
1
+
b
1
,
где a, b – расстояния от предмета и от его
изображения до вершины зеркала.
Расстояния, отсчитываемые от зерка-
ла по лучу, считаются положительными, а
против луча – отрицательными.
Лучи (1), падающие на выпуклое
зеркало параллельно оптической оси, от-
ражаются таким образом, как если бы они излучались в точке F
(рис.42, луч 1). Радиус кривизны R выпуклого зеркала, фокусное рас-
стояние f, а также расстояние до изображения b считаются отрица-
тельными.
109
S
a
b
S
Рис. 40. Изображение на
плоском зеркале
А
R
О F S
ось
А
f
b
a
Рис. 41. Изображение на
вогнутом зеркале