Вафин Д.Б. Задания по физике
Подождите немного. Документ загружается.
Здесь g = 9,81 м/с
2
– ускорение свободного падения;
ρπrVm
3
3
4
о
масса капли, где ρ = 1000 кг/м
3
– плотность воды.
Таким образом
F
т
= ρgπr
3
3
4
о
.
Чтобы определить напряженность электростатического
поля земли, ее поверхность будем считать плоской. Тогда
εε
σ
E
o
o
,
где ε
o
= 8,85ּ10
–12
Кл
2
/(Нм
2
) – электрическая постоянная; ε
диэлек-
трическая проницаемость воздуха; практически ε
1.
Так как сила тяжести направлена вниз, сила, действующая
на частицу, со стороны электростатического поля должна быть
направлена вверх. Для этого заряд поверхности земли должен
быть отрицательным, поскольку капля обладает избытком элек-
тронов.
Сила со стороны электростатического поля
εε
eNσ
qEF
0
oE
,
где e =1,6ּ10
-19
Кл заряд электрона; N – число избыточных электро-
нов.
Так как водяная капля находится во взвешенном состоянии, век-
торная сумма этих сил равна нулю F
т
+ F
Е
= 0.
Начало координат совместим с центром капли и ось расстояний
Or направим вертикально вниз. Поэтому в проекции на эту ось урав-
нение равновесия будет иметь вид F
т
F
Е
= 0.
Отсюда ρgπr
3
3
4
о
=
εε
eNσ
о
.
Из этого выражения определяем число избыточных электронов
капли
eσ
εrρgε
N
3
4
3
oo
.
Вблизи капли воды на напряженность электростатического поля
земли накладывается собственное поле капли. Предположим, что из-
быточные электроны распределены только по поверхности капли и
под действием электрического поля земли перераспределение элек-
60
тронов не происходит. Тогда напряженность собственного поля капли
за ее пределами ( r > r
o
)
E΄ =
2
r
qk
o
=
2
r
eNk
o
Собственное поле внутри капли в таком случае равняется нулю.
В результате напряженность суммарного поля за пределами капли
E = E
o
+ E΄ = E
o
2
r
eNk
o
.
Напряженность поля земли E
o
направлена по оси Оr, поэтому ее бу-
дем считать положительной, а E΄ направлена к капле и отрицатель-
на.
Напряженность поля внутри капли (r < r
o
): E = E
o
/ε΄,
где ε΄ = 81 – диэлектрическая проницаемость воды.
Потенциал в промежутке между поверхностью капли и поверх-
ностью земли можно определить путем интегрирования
h
r
h
r
h
r
h
r
hr
eNkrhE
r
dr
eNkdrEdr
r
eNk
EEdrr
11
22
oooo
o
o
Здесь мы учли, что потенциал поверхности земли равняется нулю, т.е.
φ (h) = 0.
Анализ размерностей:
Кл
Н
Клм
мНКл
о
o
22
2
E
1
2
3
2
2
23
3
м
Кл
Кл
м
мН
Кл
с
м
м
кг
o
σe
rεgp
N
Решение:
7
12
10
o
100545,2
110858
1085,8
o
εε
σ
E
7
1019
3
5123
3
o
100545,2
1085,8106,13
1021085,881,9104
3
4
σe
rεεgρπ
N
o
Общий заряд капли g = e∙N = 1,6∙10
-19
∙2,0545∙10
7
= 3,29∙10
–12
Кл.
Для построения графиков необходимо выявить некоторые харак-
терные точки.
61
В непосредственной близости у поверхности капли воды, при
r = r
o
суммарная напряженность поля
2
7
2
5
129
2
1047
102
10293109
100
м
Кл
,
,
o
o
oo
r
qk
ErE .
Таким образом, у поверхности капли преобладает собственное
поле капли.
Определим, на каком расстоянии от центра капли собственное
поле уравновешивается внешним полем, т.е. суммарная напряжен-
ность равна нулю:
0
2
o
o
r
qk
E .
Отсюда см72,1м1072,1
10
1029,3109
2
2
129
o
o
E
gk
r
.
Определим, при каком расстоянии Е = 50 Н/Кл.
см43,2м1043,2
50
1029,3109
50
2
129
o
gk
r .
Как видно напряженность поля капли очень быстро убывает.
У поверхности земли суммарная напряженность
Кл
Н
04,97
10
10293109
100
2
129
2
o
o
,
h
qk
EhE .
Так как численные значения напряженности изменяются от
–7,4ּ10
7
до 100 в пределах 10 см при построении для оси Е целесооб-
разно использовать логарифмические координаты.
Для построения графика потенциала, также определим несколь-
ко характерных точек. По условию задачи при r = h
φ(h) = 0.
Вычислим потенциал непосредственно у поверхности капли
В
o
oooo
1470
1,0
1
102
1
1029,31091021,0100
11
5
1295
hr
qkrhEr
62
В той точке, где напряженность Е = 0 потенциал должен иметь
максимальное значение, так как
E = grad φ.
Поэтому вычислим потенциал при r = 1,72 см
В86,6
1,0
1
0172,0
1
1029,31090172,01,0100
129
max
.
Значит, еще в одной точке потенциал должен равняться нулю.
Для определения данной точки выражение для потенциала приравня-
ем к нулю
0
11
hr
eNkrhE
oo
.
63
lg E
2
0
2 4 6 8 10 r,см
-2
-4
-6
- lg|E|
lg φ
1
0
r,см
-1
-2
-3
- lg|φ|
Графики зависимости напряженн
ости и потенциала поля в зав
и-
симости от расстояния от центра капли.
После решения этого уравнения получаются два корня:
r
1
= 0,296 см, r
2
= 10 см.
Построенные по этим характерным точкам графики представле-
ны на рисунке.
Ответ:
Напряженность электростатического поля земли Е
о
= 100 Н/Кл.
Количество избыточных электронов капли воды N = 2,0545ּ10
7
.
Собственное поле капли сказывается только непосредственно око-
ло капли. По мере увеличения расстояния от центра капли напряжен-
ность поля капли очень быстро убывает. Уже на расстояниях r > 10 см
напряженность поля практически равняется напряженности поля зем-
ли.
Пример 2:
Тонкое проволочное кольцо радиуса R = 10 см имеет электриче-
ский заряд q = 60 мкКл. Найти модуль напряженности электрического
поля и его потенциал на оси кольца на расстоянии х = 20 см от центра
кольца.
Дано: Анализ:
q = 60 нКл
R = 10 см
х = 20 см
Е,
Предположим, что заряд кольца распределен равномерно по ее
длине. Тогда можно ввести понятие линейной плотности заряда
=
=q/l = q/2
R. На противоположных концах диаметра кольца возьмем
две элементарные отрезки длины dl
1
= dl
2
. Заряды этих отрезков dq
1
=
= dq
2
=
dl можно считать точечными. Тогда напряженности полей
этих зарядов в рассматриваемой точке можно вычислить по формуле
64
dE
2x
d
E
1x
r
2
r
1
x
d
l
d
l
R
dE
2у
dE
1y
E
dE
2
d
E
1
0
22
21
44 rε π
τdl
rε πε
dq
dEdE
oo
где r расстояние от этих элементарных отрезков до рассматривае-
мой точки. Численные значения напряженностей этих элементарных
отрезков равны, так как равны расстояния r
1
= r
2
= r. Однако направ-
ления векторов напряженностей dЕ
1
,dЕ
2
различны (они направлены
вдоль прямых, соединяющих эти элементарные заряды с рассматри-
ваемой точкой). Поэтому равнодействующая этих двух напряженно-
стей находится как векторная сумма: dE = dE
1
+ dE
2
. Задача обладает
осевой симметрией, следовательно, составляющие dE на ось 0у dE
1y
,
dE
2y
равны по величине и противоположно направлены (dE
1y
= dE
2y
).
Поэтому эти составляющие взаимно компенсируются. Таким же об-
разом попарно взаимно компенсируются вертикальные составляющие
напряженностей всех остальных элементарных отрезков. Сумма двух
векторов определяется только суммой осевых составляющих dE
x
=
dEcos
. В результате суммарный вектор направлен по оси кольца. С
учетом того, что r
2
= x
2
+ R
2
,
cos
=
22
Rx
x
r
x
,
dE
x
=
23
22
4
/
o
Rxεπε
dl х τ
.
Чтобы определить напряженность поля кольца, необходимо про-
суммировать осевые составляющие напряжённостей всех элементар-
ных отрезков по длине кольца
Е =
l Rl
dl
Rxεπ
х
τ
Rxεπ
dl
х
τ
E
x
2
322
22
2
2/3
)4
)4
/
(
(
d
o
o
=
2322
4
/
o
)Rε(xπ
qx
.
Потенциал поля элементарного отрезка кольца можно вычислить
по формуле для точечного заряда
d
=
2122
4
4
/
)(
o
o
Rxεπ
τdl
εrπ
τdl
.
Потенциал поля всего кольца можно определить алгебраическим сум-
мированием потенциалов всех элементарных отрезков кольца
=
l
d
=
2/122
4 )Rε(xπε
q
o
.
65
Зная выражение для потенциала поля, напряженность поля
можно определить, также, используя связь между напряженностью и
потенциалом Е = grad:
Е =
I
x
Rx
επε
q
dx
d
22
1
4
o
=
2322
4
/
o
)( Rxεπε
qx
.
Из формул для напряженности и потенциала поля на оси заряжен-
ного тонкого кольца можно заметить, что когда радиус кольца намно-
го меньше, чем расстояние от центра кольца до рассматриваемой точ-
ки – R x, то эти формулы превращаются в формулы поля точечно-
го заряда.
Анализ размерностей:
[E] =
м
В
мФ
Кл
ммФ
мКл
]
o
33
/
][][
]
[
[
x
x
q
,
[] = В
ммФ
Кл
o
)/(
][][
]
[
x
q
.
Решение:
Так как в условии задачи не даются свойства среды, то будем
считать, что кольцо находится в вакууме:
= 1.
Е =
2322
4
/
o
)R(x
qx
=
2/32212
8
)1,02,0(1085,84
2,0106
= 9,66 кВ/м.
=
2/122
4 )Rε(xπ
q
o
=
2/12212
8
)1,02,0(1085,84
106
= 2,41 кВ.
Ответ:
Напряженность электростатического поля на оси заряженного
кольца на расстоянии 20 см от его центра Е = 9,66 кВ/м; а потенци-
ал поля в той же точке
= 2,41 кВ.
66
3.3. Задания по электростатике
Задание 6. Варианты: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31.
Частица имеет заряд q. Определите число избыточных (недос-
тающих) электронов. Построить графики напряженности электроста-
тического поля частицы и потенциала в зависимости от изменения
расстояния от r = 0 до r = r
1
. Какая работа совершается, при переме-
щении заряда q
о
в поле частицы, если расстояние между ними меняет-
ся от r
1
до r
2
? Вычислите потенциальную энергию взаимодействия
этих зарядов при таких расстояниях между ними.
№ вар.
1 6 11 16 21 26 31
q, нКл 1 6 –1,1 1,6 –2,1 2,6 –3,1
r
1
, см 10 6 11 16 12 13 8
r
2
, см 5 3 5 6 6 3 4
q
о
, пКл 1 –6 1,1 1,6 2,1 –2,6 3,1
Задание 6. Варианты: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32.
Два одинаково заряженных шарика, имеющие массу m каждый
и подвешенные на нитях длиной l, разошлись на расстояние r друг от
друга. Найти число избыточных (недостающих) электронов каждого
шарика. Построить графики изменения напряженности и потенциала
суммарного поля вдоль прямой, соединяющей заряды. Вычислить по-
тенциальную энергию взаимодействия зарядов.
№ вар. 2 7 12 17 22 27 32
m, г 0,2 0,7 1,2 0,7 0,22 0,27 0,32
l, см 82 70 120 77 92 87 63
r, см 2 3 5 4 5 4 3
Задание 6. Варианты: 3, 8, 13, 18, 23, 28.
По теории Бора в атоме водорода вокруг протона по круговой
орбите радиуса r
i
вращается один электрон. Чему равняется сила
67
притяжения, действующая на электрон со стороны протона? Учиты-
вая, что сила, действующая на электрон со стороны протона, является
центростремительной силой, определите скорость электрона и его ки-
нетическую энергию. Вычислите потенциальную энергию взаимодей-
ствия электрона с протоном. Построить графики напряженности поля
протона и его потенциала при изменении расстояния от r = 0 до r = r
i
.
(Ả = 10
–
10
м).
№ вар. 3 8 12 18 23 28
r
i
, Ả 0,529 2,11 4,74 8,46 13,2 19,0
Задание 6. Варианты 4, 9, 14, 19, 24, 29.
Заряды q
1
и q
2
находятся на расстоянии l друг от друга. Где
можно поместить третий заряд, чтобы действующая на него сила рав-
нялась нулю? Сколько лишних (недостающих) электронов у каждого
заряда? Построить график изменения напряженности суммарного по-
ля у потенциала вдоль прямой, соединяющей заряды.
№ вар. 4 9 14 19 24 29
q
1
, нКл 4 –9 14 –19 24 29
q
2
, нКл –9 14 –19 24 –29 34
l, мм 4 9 14 19 24 29
Задание 6. Варианты: 5, 10, 15, 20, 25, 30
Стальной шарик радиусом R, погруженный в керосин, нахо-
дится в однородном электростатическом поле напряженностью Е, на-
правленной вертикально вверх во взвешенном состоянии. Определите
количество недостающих электронов шарика и его электрическую ем-
кость. Построить графики напряженности поля шарика и его потен-
циала в зависимости от изменения расстояния от r=R до r = 5R.
№ вар. 5 10 15 20 25 30
R, мм 5 1 1,5 2 2,5 3
Е, кВ/см 35 7 10 15 20 30
68
4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
4.1. Основные законы и формулы
Движение электронов и ионов обусловливают движение их заря-
дов. Элементарный заряд весьма мал. В большинстве макроскопиче-
ских явлений участвует громадное число электрических зарядов и их
дискретность никакого проявления не имеет. Можно считать, что за-
ряд непрерывно распределен в пространстве.
Если в проводнике поддерживать электрическое поле E, то в нем
свободные электрические заряды начнут перемещаться направленно:
положительные по полю, отрицательные – против поля (рис. 32).
Упорядоченное движение электрических зарядов называется
электрическим током.
За положительное направление тока принято направление движе-
ния положительных зарядов. В металлах носителями электричества
являются валентные электроны. В электролитах и в плазме в переносе
электричества участвуют поло-
жительные и отрицательные ио-
ны.
Количественной мерой элек-
трического тока служит сила то-
ка
I =
dt
dq
, А(ампер) –
скалярная величина, определяе-
мая электрическим зарядом, проходящим через проводник за единицу
времени. Здесь dq = I dt – количество электричества, проходящее че-
рез проводник за элементарный промежуток времени dt.
В системе СИ единица измерения силы тока – ампер (А) являет-
ся основной величиной, определяется из рассмотрения магнитного
взаимодействия двух параллельных токов.
Распределение тока по поперечному сечению проводника опре-
деляется плотностью тока:
j =
S
I
, А/м
2
,
где S – площадь поперечного сечения проводника.
Плотность тока – вектор, направленный в сторону скорости направ-
ленного движения положительных зарядов и численно равный
69
Е
S
1
2
j
l
Рис
. 32