Вафин Д.Б. Задания по физике
Подождите немного. Документ загружается.
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:
W
i
kT
2
,
Здесь i = число степеней свободы молекулы, количество координат,
определяющее положение молекулы в пространстве: i = i
пост
+ i
вр
, где
i
пост
= 3 поступательные степени свободы; i
вр
вращательные степе-
ни свободы ( i
вр
= 2 для двухатомных молекул, i
вр
= 3 для трех- и более
атомных молекул).
Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по
скоростям:
dN =
4
N
u
2
v
m
exp(–u
2
) du ,
где dN количество молекул, скорости которых лежат в пределах от
до
+ d
; N
общее число молекул; u =
/v
m
относительная ско-
рость; v
m
наиболее вероятная скорость (при которой функция рас-
пределения имеет максимум):
v
m
=
2kT
m
o
=
2RT
.
Средняя арифметическая скорость молекул:
i
=
N
i
N
i
1
=
o
m
kT
8
=
8RT
.
Среднеквадратичная скорость молекул:
N
N
i
i
1
=
3kT
m
o
=
3RT
.
Выражение для изменения давления с увеличением высоты, т.е.
барометрическая формула:
p = p
o
exp[–
kT
mg
(h – h
о
)],
где р
о
– давление на высоте h
о
.
Средняя длина свободного пробега молекул газа:
1 2/ ( d
2
n),
где d – эффективный диаметр молекул.
Энергия термодинамической системы, зависящая только от ее
внутреннего состояния, называется внутренней энергией – U. Внут-
ренняя энергия является однозначной функцией термодинамического
состояния системы: U = f (p,V,T).
30
У идеального газа учитывается только энергия хаотического дви-
жения молекул. Поэтому внутренняя энергия одного моля идеального
газа определяется как сумма кинетических энергий молекул:
U
= N
A
kTN
i
W
A
2
=
RT
i
2
.
Внутренняя энергия идеального газа:
U
o
= v
RT
i
2
.
Изменение состояния системы обусловлено передачей энергии от
одного тела системы к другому или обменом энергии с внешними те-
лами. Передача энергии может происходить либо в форме механиче-
ской работы А, либо в форме теплоты Q.
Работа есть мера передачи механической энергии от одного тела
к другому и сопровождается перемещением тел в целом или их макро-
скопических частей.
Теплота есть мера передачи кинетической энергии структурных
элементов более нагретого тела к отдельным частицам менее нагрето-
го тела при соприкосновении этих тел. Передача теплоты может осу-
ществляться, также за счет теплообмена излучением.
Таким образом, работа и теплота являются различными видами
обмена энергии. Они тесно связаны между собой, но качественно раз-
личны и неравноценны. Теплота может переходить в работу и, наобо-
рот, работа в теплоту. Эти преобразования происходят в строго экви-
валентных количествах.
Работа и теплота измеряются в одинаковых единицах:
[Q] = [A] = Дж.
Внесистемная единица теплоты: 1 кал = 4,1868 Дж( калория).
Количество теплоты, которое необходимо сообщить единице мас-
сы вещества для повышения его температуры на 1К, называется
удельной теплоемкостью:
с =
mdT
Q
,
К
кг
Дж
.
Здесь
Q – количество теплоты, при сообщении которого телу массой
m его температура увеличивается на dT.
Количество теплоты, которое необходимо сообщить газу для из-
менения ее температуры на одну и ту же величину зависит от процес-
са, при котором происходит передача теплоты. Поэтому различают: c
v
– изохорическую теплоемкость (при постоянном объеме) и c
p
– изоба-
рическую теплоемкость (при постоянном давлении).
31
Теплоемкость одного моля вещества называется молярной тепло-
емкостью С
. Очевидная связь между молярной и удельной теплоем-
костями: С
=
с.
Молярная изохорическая теплоемкость идеального газа может
быть определена через число степеней свободы молекул: С
v
= i R/2.
Теплоемкости смеси вычисляются из условия их аддитивности
:
С
=
N
i
ii
C
1
; c =
N
i
ii
c
1
g ,
где
i,
, g
i
– мольная и массовая доля i-го компонента смеси.
Закон сохранения энергии называется первым законом или пер-
вым началом термодинамики:
Q = U + A,
теплота Q, переданная системе в процессе изменения ее состояния,
расходуется на изменение ее внутренней энергии U и на совершение
работы против внешних сил А.
Для элементарного процесса:
Q = dU +
A,
где для обозначения элементарной теплоты и работы использован
оператор , т.к. изменения этих величин не являются полным диффе-
ренциалом.
Рассмотрим изохорический процесс. Так как V = const, dV = 0.
Работа над внешними телами не совершается:
A = pdV = 0. Отсюда
Q = dU,
т.е. вся подводимая к системе теплота затрачивается на увеличение ее
внутренней энергии.
Подводимая к газу теплота при изохорическом процессе:
Q = mc
v
dT.
Отсюда получается формула для изменения внутренней энергии:
dU = mc
v
dT.
Изменение внутренней энергии системы прямо пропорционально
изменению ее температуры.
При постоянном давлении работа расширения газа против сил
внешнего давления
A = pdV.
Для одного моля идеального газа уравнение первого начала тер-
модинамики примет вид:
Q = C
v
dT + pdV.
Теплота, сообщаемая одному молю при p = const:
Q = C
р
dT,
поэтому C
р
dT = C
v
dT + p dV.
Из уравнения состояния для одного моля: p dV = RdT, отсюда
C
р
dT = C
v
dT + RdT.
32
После сокращения на dT, получим связь между изобарической и
изохорической теплоемкостями:
C
р
= C
v
+ R.
Данное соотношение называется уравнением Майера.
При T = const dU = mc
v
dT = 0, так как температура не изменя-
ется. Поэтому:
Q =
A, т.е. теплота, передаваемая газу, полностью
затрачивается на совершение работы над внешними телами.
Q
1–2
= А
1–2
=
2
1
2
1
V
V
V
V
V
dV
RT
m
pdV
=
1
V
V
RT
m
2
ln
.
Таким образом, работа изотермического расширения газа:
А
1–2
=
1
2
V
V
RT
μ
m
ln .
Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует
теплообмен с окружающей средой.
При адиабатическом процессе
Q = 0, поэтому
dU +
A = 0 и
A = dU.
Отсюда pdV =
mc
v
dT, т.е. внешняя работа может производиться
за счет уменьшения внутренней энергии газа.
Уравнения адиабатического процесса:
V
–1
T =const или pV
= const.
Здесь
= с
р
/с
v
– показатель адиабаты.
Сравнительные графики адиабатического
и изотермического процессов показаны на
рис. 15. Адиабата более крута, чем изотерма.
Это объясняется тем, что при адиабатическом
сжатии увеличение давления газа происходит
не только за счет уменьшения объема, но и
из-за повышения температуры.
Выражение для работы при адиабатическом процессе получается
из первого закона термодинамики: A
1–2
= C
v
(T
1
– T
2
).
Исключая молярную теплоемкость:
A
1–2
=
1
2
111
1
1
γ
γ
V
VVp
=
1
2
11
1
)1(
V
VmRT
γ
.
Опыты ирландского ученого Т. Эндрюса, изучавшего изотерми-
ческое сжатие углекислого газа показали, что изотермы реального газа
значительно отличаются от изотерм идеального газа (рис. 12).
33
р
Q = 0
Т = const
0 V
Рис. 15. График р = f(V)
Вначале по мере уменьшения объема
давление газа растет(участок 1–2). По дос-
тижении объема V
г
(т.2) газ начинает кон-
денсироваться в жидкость. Переход газа в
жидкую фазу происходит при постоянном
давлении р
н
(давлении насыщенного пара).
В точке 6 процесс конденсации вещества
заканчивается. На рис. 16 V
ж
– объем веще-
ства в жидком состоянии при давлении р
н
,
а V
г
– объем при газообразном состоянии
при том же давлении. При любом проме-
жуточном значении объема V часть веще-
ства с массой m
ж
будет находиться в жид-
ком состоянии, а часть с массой m
п
– в парообразном состоянии. При
этом отношение масс удовлетворяет условию:
VV
V
V
m
m
ж
г
п
ж
.
Состоянию равновесия между жидкостью и ее насыщенным па-
ром на p-V диаграмме соответствует горизонтальный участок 2 – 6.
Жидкость практически несжимаема. Поэтому дальнейшее
уменьшение объема жидкости приводит к резкому увеличению давле-
ния. Участок 6–7 изотермы почти вертикален.
С повышением температуры горизонтальный участок изотермы
сокращается, стягиваясь в точку К, называемую критической точкой.
Состояние вещества в данной точке называется критическим состоя-
нием. Объем V
к
, давление р
к
, температура T
к
, соответствующие крити-
ческому состоянию, называются критическими параметрами .
Если провести плавную линию через крайние точки 2 и 6 гори-
зонтальных участков всех изотерм, получается колоколообразная кри-
вая. Под этой кривой насыщенный пар и жидкость находятся в равно-
весном состоянии. Ниже критической изотермы и правее колоколооб-
разной кривой вещество находится в состоянии ненасыщенного пара.
Выше критической изотермы вещество находится в состоянии газа.
При изотермическом сжатии пар претерпевает процесс сжижения. Газ
не может превратиться в жидкость только за счет сжатия. Ниже кри-
тической температуры и левее колоколообразной кривой вещество
находится в жидком или твердом состояниях.
Переходы вещества из одного агрегатного состояния в другое на-
зываются фазовыми превращениями. Переход из одной фазы в другую
34
р
7
Т
1
Т
К
Т
2
Т
3
Газ
р
к
К
Ж
Т
К
р
н
6 2
1
6 2 Пар
0 Ж+П V
V
ж
V
к
V
г
Рис. 16
обычно сопровождается поглощением или выделением некоторого
количества тепла, которое называется теплотой перехода. Такие пе-
реходы называются фазовыми переходами первого рода. Переходы из
одной кристаллической модификации в другую без поглощения или
выделения тепла называются фазовыми переходами второго рода. К
ним же относится также, переход в сверхпроводящее состояние, со-
вершаемый в отсутствии магнитного поля и др.
Переход жидкости в газообразное состояние называется испаре-
нием, переход в газообразное состояние твердого тела называется суб-
лимацией. Тепло q
r
, которое необходимо сообщить единице массы
вещества, чтобы превратить ее в пар при той же температуре, называ-
ется удельной теплотой испарения или сублимации:
q
r
= Q
r
/m,
где Q
r
– теплота испарения вещества массой m.
Переход кристаллического тела в жидкое состояние происходить
при определенной для каждого вещества температуре плавления и
требует затраты некоторого количества тепла, называемого теплотой
плавления:
Q
п
= q
п
m ,
где q
п
– удельная теплота плавления.
Пусть q
i
– удельная теплота сгорания i-го компонента газообраз-
ного топлива. Тогда удельная теплота сгорания смеси: q =g
i
q
i
.
Если в объеме термодинамической системы имеется неоднород-
ное распределение концентрации отдельных компонент, температуры,
скоростей движения макроскопических частей среды, то за счет бес-
порядочного теплового движения молекул с течением времени эти
неоднородности будут ликвидироваться. При этом по объему тела
происходит перенос вещества, тепловой энергии и импульса струк-
турных элементов. Эти явления называются явлениями переноса. К
ним относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение.
Под диффузией обычно понимают взаимопроникновение веществ
в различных смесях. Специфическим случаем диффузии является са-
модиффузия, т.е. перемешивание молекул одно-
го сорта при наличии неоднородности плотно-
сти.
Пусть вдоль направления х (рис. 17) массовая
концентрация c
i
некоторого компонента смеси
уменьшается. Тогда через площадку S , распо-
ложенную перпендикулярно к направлению
35
S
C
1
C
2
x
x
Рис. 17
х, за время t переносится масса вещества m
i
:
m
i
= D
dс
dx
i
S t ,
где
dс
dx
i
=
x
c
c
lim
x
1
2
0
производная от концентрации i-го компонента
смеси по направлению х, показывает степень неравномерности рас-
пределения концентрации в данном направлении; D
коэффициент
пропорциональности – коэффициент диффузии. Знак «» показывает,
что перенос массы происходит в направлении убывания массовой
концентрации.
По молекулярно кинетической теории можно получить выраже-
ние:
D =
/3, м
2
/с.
где
среднеарифметическая скорость,
средняя длина свобод-
ного пробега молекул.
Если в одной области тела средняя кинетическая энергия молекул
больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных
столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних
кинетических энергий молекул, т.е. выравнивание температур.
Процесс передачи энергии в форме теплоты подчиняется закону
теплопроводности Фурье: количество теплоты Q
x
, которое перено-
сится в направлении х прямо пропорционально градиенту температу-
ры в данном направлении, площади поверхности S и промежутку
времени t
Q
х
=
tS
dx
dT
Δ
где
коэффициент теплопроводности:
=
v
3
1
c
,
К
м
Вт
.
Здесь с
v
удельная теплоемкость при постоянном объеме;
плот-
ность газа.
Когда жидкость или газ течет по
трубе (по каналу), то возникает
неравномерность скорости течения
поперек канала. У стенки канала
скорость течения u
o
= 0, у оси канала
она максимальна (рис. 18). Поэтому
разные слои движутся с разными
скоростями. Из-за хоатического дви-
жения происходит обмен молекул
между слоями. Это приводит к
36
y
ось канала
u
F
тр
y F
тр
u
u
Рис. 18
торможению слоя, движущегося быстрее и ускорению слоя, движуще-
гося медленнее.
Возникновение силы внутреннего трения между слоями жидко-
сти, движущимися с разными скоростями, называется внутренним
трением или явлением вязкости.
Сила внутреннего трения подчиняется закону Ньютона:
F
тр
=
S
dy
du
,
где F
тр
сила внутреннего трения между движущимися слоями жид-
кости площадью S; u скорость течения ; du/dy
поперечный гради-
ент скорости течения; y
поперечная координата, отсчитываемая от
стенки канала;
коэффициент динамической вязкости:
=
3
1
, Пас.
У некоторых жидкостей динамическая вязкость настолько боль-
шая, что они похожи на твердое тело, хотя и не имеют кристалличе-
скую структуру. (Например: битум, стекло и т.п. аморфные тела).
Процесс, при котором система, пройдя ряд промежуточных со-
стояний, возвращается в исходное состояние, называется круговым
процессом или циклом.
Если за цикл совершается положительная работа
А =
pdV 0,
то он называется прямым циклом(цикл протекает по часовой стрелке).
Если за цикл совершается отрицательная работа, то он называется
обратным(протекает против часовой стрелки.
Прямой цикл используется в тепловых двигателях, Обратный
цикл используется в холодильных машинах.
При круговом процессе начальное и конечное состояния совпа-
дают. Поэтому полное изменение внутренней энергии рабочего тела
равняется нулю: U = 0. В результате первый закон термодинамики
для кругового процесса запишется в виде: Q = A.
Работа, совершаемая за цикл, равняется полученной извне тепло-
те. В течение цикла теплота рабочему телу может, как подводиться
(Q
1
> 0) так и отводиться(Q
2
< 0). Поэтому полученная теплота опре-
деляется алгебраической суммой подводимой и отводимой теплоты:
Q = Q
1
+ Q
2
.
Отношение полезной работы цикла А к подводимой к системе те-
плоте Q
1
называется термическим коэффициентом полезного дейст-
вия цикла (КПД):
37
=
1
Q
А
=
1
Q
Q
=
1
21
Q
QQ
= 1 +
1
2
Q
Q
.
Анализируя работу тепловых двигателей, французский инженер
А.Карно в 1824 году пришел к выводу, что наивыгоднейшим круго-
вым процессом является обратимый цикл,
состоящий из двух изотермических и двух
адиабатических процессов (рис. 19).
На участке 1–2 газ изотермически рас-
ширяется при температуре Т
1
= Т
2
= Т
н
. По-
стоянство температуры поддерживается за
счет подвода теплоты Q
1
из нагревателя с
температурой Т
н
. Подводимая теплота рав-
няется работе расширения газа:
Q
1
= A
1–2
=
1
2
ln
V
V
RT
m
На участке 2–3 газ расширяется адиа-
батически, Q
2–3
= 0. Работа расширения со-
вершается за счет уменьшения внутренней энергии газа:
A
2–3
=
m
C
v
(T
3
– T
2
) =
m
C
v
(T
н
– T
х
).
На участке 3–4 газ изотермически сжимается при Т
3
= Т
4
= Т
х
=
const. Чтобы поддерживать постоянную температуру от рабочего тела
(газа) отводится теплота Q
2
в холодильник с температурой Т
х
. Работа
сжатия:
A
3–4
= Q
2
=
m
T
2
3
4
ln
V
V
.
На участке 4–1 газ в исходное состояние возвращается за счет
адиабатического сжатия:
A
4–1
=
m
C
v
(T
1
– T
4
) =
m
C
v
(T
х
– T
н
) = А
2–3
.
Работа, совершаемая в результате кругового процесса: определя-
ется как алгебраическая сумма работ отдельных процессов:
А
ц
= А
1–2
+ А
2–3
+А
3–4
+А
4–1
=
m
R
1
2
ln
V
V
(Т
н
– Т
х
).
Термический КПД цикла
1
21
1
Q
QQ
Q
А
ц
.
Подставив в формулу для
выражения для А
ц
и Q
1
, получим:
38
p
p
1
1 Q
1
T
н
= const
Q=0 2
4
Q=0
Q
2
Т
х
p
3
3
0 V
V
1
V
3
Рис. 19. Цикл Карно
н
хн
о
T
TT
,
т.е. КПД идеального цикла определяется только температурой нагре-
вателя Т
н
и холодильника Т
х
.
= 1 при Т
х
= 0, так как Т
х
> 0, то даже в идеальной машине
о
< 1.
Из-за наличия потери энергии КПД реальных машин ниже, чем
КПД цикла Карно:
н
хн
T
TT
Q
QQ
1
21
.
Энтропией называется функция состояния системы S = S(p,V,T),
дифференциалом которой является выражение
dS =
T
Q
.
Второе начало термодинамики определяет направление естест-
венных процессов: естественные процессы протекают в сторону уве-
личения энтропии:
S 0 – неравенство Клаузиуса.
2.2. Пример решения задачи
В цилиндре под поршнем, который может двигаться без тре-
ния, находится 28,8 г воздуха при давлении р
1
= 1,1 атм и температу-
ре t
1
= 17
о
С. Диаметр цилиндра d = 5 см. Воздуху сообщается теплота
Q = 416 кал. Определить: 1) эффективную молярную массу воздуха;
2) массовые доли азота и кислорода; 3) концентрации и массовые кон-
центрации молекул азота; 4) общее количество молекул воздуха и ки-
слорода; 5) работу, совершаемую газом; 6) изменение внутренней
энергии; 7) конечную температуру; 8) начальную и конечную плотно-
сти воздуха; 9) массу поршня.
Дано: Анализ:
m = 28,8 г = 0,0288 кг
t
1
= 17
о
С => Т
1
= 290 К
р
1
= 1,1 атм = 1,1110
5
Па
Q = 416 кал = 1745 Дж
эф
; g
1
; g
2
; n
1
; n
2
; c
1
; c
2
;
N
1
; N
2
; A; ΔU; t
2
;
1
;
2
; m
п
39
p
о
F
A
F
т
h
Q d F
p
p
1