Вафин Д.Б. Задания по физике
Подождите немного. Документ загружается.
Опытным фактом является закон сохранения электрического за-
ряда, впервые сформулированный английским физиком М. Фарадеем:
алгебраическая сумма зарядов замкнутой системы остается неизмен-
ной при любых физико-химических превращениях:
N
1i
constq
i
.
В системе СИ заряд измеряется в кулонах. Кулон – производная
единица, основной единицей для электрических величин является
единица измерения силы тока ампер. 1Кл = 1А1с Кулон – это коли-
чество электричества, которое проходит через проводник за единицу
времени при силе тока в 1А.
Взаимодействие между двумя точечными зарядами q
1
и q
2
(рис.21)
определяется законом Кулона: сила взаимодействия двух то-
чечных зарядов прямо пропорциональна произведению этих зарядов и
обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними
F =
2
21
r
q
q
ε
k
o
,
где r расстояние между заряда-
ми;
диэлектрическая проницае-
мость среды; k
o
= 1/4
o
= 9
.
10
9
Hм
2
/(Кл
2
) постоянная пропорцио-
нальности;
o
= 8,85
.
10
-12
Ф/м электрическая постоянная.
Сила взаимодействия двух заряженных тел зависит от среды, в
которой они находятся. В любой среде сила взаимодействия между
зарядами F меньше чем в вакууме F
о
, что определяется диэлектриче-
ской проницаемостью среды:
=
F
F
o
.
Вокруг любого заряженного тела образуется электрическое поле.
Посредством своих полей заряженные тела взаимодействует с други-
ми зарядами. Электрическое поле неподвижных в пространстве и не-
изменных во времени зарядов называется электростатическим.
Основной характеристикой электрического поля является на-
пряженность электрического поля – это силовая характеристика по-
ля, равная силе, действующей на единичный, положительный, точеч-
ный заряд q
o
, помещенный в рассматриваемую точку поля
E =
o
q
F
,
Кл
Н
.
50
F
12
q
1
q
2
F
21
r
21
Рис. 21
Напряженность электростатического поля точечного заряда:
E =
2
r
q
ε
k
o
.
Если поле создается системой точечных зарядов, то напряженность
суммарного поля определяется, как векторная сумма напряженностей
всех зарядов:
E = E
i
.
Графически электростатическое поле изображается с помощью
силовых линий напряженности – это кривые, касательные к которым в
каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности в
данном месте. По густоте силовых линий можно судить о величине
напряженности. Силовые линии проводят так, чтобы их количество,
пронизывающее единичную площадку, перпендикулярно к ним, рав-
нялось напряженности поля в данном месте:
S
N
E
, где N – число
силовых линий, пронизывающих площадку S.
У положительного заряда силовые линии направлены вдоль ради-
альных прямых от заряда, а у отрицательных к заряду (рис. 22).
Система из двух одинаковых по ве-
личине, разноименных точечных зарядов
+q и –q , расстояние l между которыми
значительно меньше до рассматриваемых
точек поля называется электрическим
диполем (рис. 23)
Вектор l, направленный от отрица-
тельного заряда к положительному и рав-
ный по модулю расстоянию l называется
плечом диполя.
Вектор р = ql
называется дипольным моментом.
51
Е Е
+
Е
-
М
r
2
r
1
r
p
0 l
l/2 l/2
Рис.
2
3
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Е
Рис. 22
в г
q
q
–
q
2
q
а
б
Напряженность поля диполя в любой точке можно определить
как векторную сумму напряженностей двух точечных зарядов
E =
ε
k
o
3
r
p
cos31 .
Пусть точечный заряд q
o
перемещается
из т.1 в т.2 в поле другого точечного заряда q
(рис. 24). На заряд q
o
в электростатическом
поле действует сила F = q
o
E. Элементарная
работа этой силы: dA = q
o
E cos
dl = q
o
Edr.
Тогда работа перемещения находится как
сумма всех элементарных работ, т.е. путем
интегрирования:
А
1–2
=
o
k
qq
o
2
1
2
r
r
r
dr
=
o
k
qq
o
21
11
rr
.
Работа перемещения не зависит от формы
траектории перемещения, а определяется
лишь положениями начальной и конечной
точек перемещения. Поэтому эту работу можно представить как
уменьшение потенциальной энергии взаимодействия двух точечных
зарядов при увеличении расстояния между ними:
А
1–2
= W
п1
– W
п2
=
1
r
kqq
o
2
r
kqq
o
.
Если потенциальную энергию взаимодействия зарядов считать
равной нулю, когда они находятся на бесконечно большом расстоянии
друг от друга, т.е. при r
2
= , то потенциальная энергия взаимодейст-
вия двух точечных зарядов, находящихся друг от друга на расстоянии
r равна W
п
=
r
qq
ε
k
o
о
.
Эту величину можно представить как потенциальную энергию
пробного заряда q
o
в поле точечного заряда q.
Потенциал электростатического поля
=
o
п
q
W
,
Кл
Дж
= В (вольт),
это энергетическая характеристика электростатического поля, числен-
но равная потенциальной энергии единичного, положительного, то-
чечного заряда, помещенного в рассматриваемую точку поля.
52
F
2
dr{ dl
1
r
1
r
r
2
q
Рис. 24
Потенциал электростатического поля точечного заряда q
=
r
q
ε
k
o
.
Связь между напряженностью и потенциалом электростатического
поля
E = grad
, или Е = (
x
i +
y
j +
z
k),
где i, j, k единичные векторы (орты) координатных осей ;
grad
x
i +
y
j +
z
k –
градиент потенциала – вектор, направленный в сторону наибольшего
увеличения потенциала и численно равный изменению потенциала на
единице длины в данном направлении.
Разность потенциалов между двумя точками поля
= dlE
2
1
cos ,
где
угол между напряженностью Е и перемещением dl.
Работу перемещения заряда q в электростатическом поле из точ-
ки 1 в точку 2 можно определить через разность потенциалов
А
1-2
= q dlE
2
1
cos = q(
1
2
)
Если электрический заряд распределяется по поверхности, то ис-
пользуется понятие поверхностной плотности заряда:
=
dS
dq
,
2
м
Кл
.
Пусть в электростатическом поле на-
ходится произвольная поверхность S
(рис. 25), dS – элемент этой поверхности,
n – нормаль к dS, dS = dS n. Тогда ска-
лярная величина
dФ
Е
= E cos
dS = EdS
называется потоком вектора напряжен-
ности через элементарную площадку dS.
53
S
E
E
E
E
dS
n
Рис. 25
d
S
Полный поток напряженности Е через поверхность S находится
как сумма всех элементарных потоков:
Ф
Е
=
S
dS E
cos .
Поток вектора напряженности через поверхность S численно рав-
няется числу силовых линий вектора Е , пронизывающих эту поверх-
ность. Принято считать, силовые линии напряженности входящие в
замкнутую поверхность отрицательными, выходящие положительны-
ми.
Теорема Остроградского – Гаусса: поток вектора напряженности
электростатического поля через произвольную замкнутую поверх-
ность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверх-
ности зарядов, деленных на
S V
ρdV
εε
1
dS E
o
cos или
S V
ρdVdS D
cos .
Здесь D =
E
электрическое смещение;
= dq/dV объемная
плотность заряда;
угол между E(D) и нормалью n к площадке dS.
Теорема Гаусса используется для вычисления электростатических
полей различных заряженных тел.
Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоско-
сти Е =
о
2
.
Напряженность поля между
двумя параллельными разно-
именно заряженными плоско-
стями (рис. 26)
Е =
о
.
Разность потенциалов меж-
ду этими плоскостями
1
2
= E d =
о
d
.
Рассмотрим применение теоремы Гаусса для расчета электроста-
тического поля равномерно заряженной сферической поверхности S
радиуса R. Поверхностная плотность заряда поверхности
=
S
q
=
2
R
q
4
.
54
+
q
S
+
1
обкладка d
E -
E
2
q
Рис. 26. Плоский конденсатор.
диэлектрик
Задача обладает сферической симметрией. Поэтому силовые ли-
нии напряженности должны быть направлены по радиальным пря-
мым. Возьмем вспомогательную сфе-
рическую поверхность S
большего ра-
диуса r R (гауссовую поверхность)
(рис.27). Поток напряженности через S
Ф
Е
= Е
S
dS = Е 4r
2
.
По теореме Гаусса
Ф
Е
=
о
q
=
о
2
4 R
.
Приравнивая правые части этих
выражений, получаем формулу напря-
женности электростатического поля за
пределами сферической поверхности
Е =
о
4
1
2
r
q
.
Данная формула совпадает с фор-
мулой для напряженности поля точеч-
ного заряда.
Потенциал поля вне сферы
=
r
dr E =
о
4
1
r
q
.
Внутри заряженной поверхности зарядов нет: q
i
= 0. Поэтому,
исходя из теоремы Гаусса, внутри сферы при r R , E = 0. Напряжен-
ность поля внутри сферической поверхности равна нулю.
Разность потенциалов между центром сферы и поверхностью
о
R
=
R
0
dr E = 0, так как Е = 0.
Потенциал в любой точке внутри сферической поверхности имеет та-
кое же значение, что и на поверхности сферы:
о
=
R
=
о
4
1
R
q
=
о
R.
Примерные графики напряженности и потенциала поля сфериче-
ской поверхности, в зависимости от расстояния от центра сферы, по-
казаны на рис. 27.
55
S
E
S r
R E
E
E
o
R r
o
R
R r
Рис. 27
Большинство тел по своей электропроводимости можно разде-
лить на проводники и диэлектрики. Проводники имеют свободные,
электрически заряженные частицы, поэтому они хорошо проводят
электрический ток. В диэлектриках все заряды находятся в связанном
состоянии. Дополнительный заряд, помещенный на поверхности или
внутри диэлектрика, остается неподвижным. Диэлектрики не прово-
дят электрический ток и являются изоляторами.
При наличии электрического поля сво-
бодные заряды проводника начинают пере-
мещаться: положительные по полю, отрица-
тельные против поля. Одна из поверхностей
проводника заряжается положительно, другая
отрицательно. Между противоположно заря-
женными поверхностями проводника образуется собственное элек-
трическое поле, с напряженностью Е, направленной против напря-
женности внешнего поля Е
о
(рис. 28). Перемещение свободных заря-
дов происходит до тех пор, пока собственное обратное поле провод-
ника полностью не скомпенсирует внешнее поле. Тогда суммарное
поле внутри проводника Е = Е
о
+ Е = 0. При отсутствии тока, на-
пряженность электрического поля внутри проводника равна нулю.
В диэлектриках внешние(валентные) электроны сильно связаны с
атомами. Если центры «тяжести» поло-
жительных и отрицательных зарядов
несколько смещены друг относительно
друга, то молекулу можно рассматри-
вать как электрический диполь(рис.29).
Такие молекулы называются полярными.
К ним относятся: H
2
O, NH
3
, SO
2
, CO.. У
веществ, молекулы которых имеют симметричное строение «центры»
тяжести положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внеш-
него поля совпадают и дипольный момент молекулы р = 0. Молекулы
таких диэлектриков называются неполярными (N
2
, H
2
, CO
2
, CH
4
, …).
Явление ориентации диполей полярных молекул вдоль силовых
линий внешнего электрического поля или появление дипольных мо-
ментов у неполярных молекул под воздействием электрического поля
называется поляризацией диэлектрика.
56
-
+ Е
о
- - +
- +
- + + Е
о
- +
Е
Рис
. 28
Е
р
р Е
Рис. 29
-
+
-
+
-
+
-
+
За меру поляризации диэлектрика принимают вектор поляризо-
ванности
P =
N
1i
V/
i
p ,
где p
i
электрический дипольный момент i-й молекулы в объеме V.
Для изотропных диэлектриков
P =
о
E ,
,
где
диэлектрическая восприимчивость.
Суммарное электрическое поле поляризованных молекул образу-
ет обратное поле Е, что приводит к уменьшению суммарной напря-
женности поля:
Е = Е
о
Е
= Е
о
/
о
,
где
= р – поверхностная плотность связанных зарядов на поверхно-
стях диэлектрика, возникающих за счет поляризации.
Связь между D, E и Р
D =
o
E + P.
Электрической ёмкостью уединенного проводника называется
количество электричества, при сообщении которого проводнику его
потенциал увеличивается на 1 вольт:
С = q/
Кл/В = Ф (фарад),
где q заряд;
потенциал проводника.
Взаимной ёмкостью проводников называется количество элек-
тричества, которое необходимо сообщить одному из проводников,
чтобы разность потенциалов между ними увеличить на один вольт:
C = q/(
где (
разность потенциалов между двумя проводниками.
Для кратковременного накопления зарядов используются конден-
саторы. Конденсатор состоит из двух проводников(обкладок), разде-
ленных тонким слоем диэлектрика(рис.26). Общая электрическая ем-
кость такой системы намного больше, чем емкость каждого из них по
отношению к другим проводникам.
Емкость плоского конденсатора
С =
S /d,
57
где S – площадь обкладок;
диэлектрическая проницаемость; d –
толщина диэлектрика.
Емкость цилиндрического конденсатора
C =
)/
2
12
rrln
l
(
o
,
где r
1
и r
2
радиусы внутреннего и внешнего цилиндров, l длина
цилиндра.
Емкость сферического конденсатора
С =
12
21
4
rr
rr
о
.
При параллельном соединении
конденсаторов (рис. 30) разность по-
тенциалов (напряжение) между об-
кладками каждого конденсатора
одинакова
U
1
= U
2
= = U
n
=
1
2
.
Суммарный заряд равняется сумме зарядов отдельных конденсаторов
q = q
1
+ q
2
+ + q
n
.
Общая емкость параллельно соединенных конденсаторов
С =
n
1i
iС .
При последовательном соедине-
нии (рис. 31) все конденсаторы заря-
жаются одинаковыми зарядами, рав-
ными заряду всей батареи:
q
1
= q
2
= = q
n
= q
.
Общая разность потенциалов распределяется между отдельными
конденсаторами
1
2
= U = U
1
+ U
2
+ + U
n
.
Общая емкость последовательно соединенных конденсаторов
n
i
i
СС
1
11
.
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов
W =
ii
q
2
1
,
где
i
– потенциал i-го
заряда в поле всех остальных зарядов.
58
1
+
С
1
С
2
С
3
–
2
Рис.
30
C
1
C
2
C
n
1
+ - + - + -
2
U
1
U
2
U
n
U
Рис. 31
Энергия заряженного конденсатора
W = qU/2 = q
2
/2C = CU
2
/2 .
Энергия электрического поля, заключенная в единице объема про-
странства, называется объемной плотностью энергии электрического
поля
= ED/2 =
E
2
/2 .
3.2. Примеры решения задач
Пример1:
Капля воды радиусом r
o
= 0,02 мм неподвижно взвешена в воз-
духе на расстоянии h = 10 см от поверхности земли. Поверхностная
плотность заряда земли σ = 8,85ּ10
–10
Кл/м
2
. Определить: 1) число из-
быточных электронов капли воды; 2) напряженность электростатиче-
ского поля у поверхности земли. Построить график изменения сум-
марной напряженности поля и потенциала в промежутке между цен-
тром капли и поверхностью земли. Потенциал поверхности земли
считать равным нулю.
Анализ:
Будем считать, что на каплю воды действуют только сила тяже-
сти и сила со стороны электростатического поля поверхности земли.
Не учитываем силу ветра и выталкивающую силу.
Сила тяжести определяется по формуле
F
T
= mg.
59
F
E
E
o
E
o
-q r
o
m
h F
т
F
E
E
o
E
o
-q r
o
m
h F
т
r
Дано
:
r
o
= 0,02 мм= 2ּ10
-5
м
σ = 8,85ּ10
-10
2
м
Кл
h = 10 см = 0,1 м
E
o
; N;
E = E(r); φ = φ(r)