Вафин Д.Б. Задания по физике
Подождите немного. Документ загружается.
Предположим, что воздух состоит на 80% по объему из азота, и
на 20% из кислорода. Обозначим объемную (соответственно и моль-
ную) долю азота через
1
= 0,8; кислорода через
2
= 0,2. Зная моль-
ные доли можно вычислить эффективную молярную массу воздуха:
эф
=
1
1
+
2
2
,
где
1
,
2
соответственно молярные массы азота и кислорода. Чис-
ленные значения этих величин можно найти в приложении данного
пособия.
Массовая доля отдельного компонента определяется как отноше-
ние массы данного компонента m
i
ко всей массе смеси m:
g
i
=
m
m
i
=
эф
ii
mμ
νμυ
=
эф
ii
μ
μυ
,
где
= m/
эф
общее количество вещества (молей).
Общее количество молекул отдельного компонента можно вы-
числить, умножив количество молей данного компонента
i
на число
Авогадро:
N
i
=
i
N
A
=
i
N
A
=
i
эф
μ
m
N
A
.
Концентрации и массовые концентрации зависят от объема. По-
этому эти величины определим при начальных условиях. Объем воз-
духа можно определить из уравнения состояния идеального газа:
pV
1
=
эф
μ
m
RT
1
Отсюда
V
1
=
1
1
р
νRT
.
Концентрация отдельного компонента
n
i
=
1
V
N
i
=
1
Ai
RT
pN
1
=
1
Ai
RT
pN
1
=
1
i
kT
p
1
,
где k = R/N
A
постоянная Больцмана.
Массовая концентрация
c
i
=
1
i
V
m
=
1
ii
V
μ
=
1
i
RT
p
μ
1i
=
1
i
RT
p
μ
1i
.
40
Для определения массы поршня рассмотрим силы, действующие
на поршень. С наружной стороны на поршень действует сила атмо-
сферного давления р
o
:
F
A
= p
o
S
п
= p
o
4
2
d
.
Эта сила направлена вниз. В том же направлении действует сила тя-
жести поршня F
т
= m
п
g .
В противоположном направлении действует сила давления
воздуха: F
p
= p
1
S = p
1
4
2
d
.
Эти три силы уравновешивают друг друга:
F
A
+ F
т
= F
p
,
отсюда p
о
4
2
d
+ m
п
g = p
1
4
2
d
.
Поэтому масса поршня:
m
п
=
g
dpp
4
2
1
о
.
При сообщении теплоты воздух расширяется и поднимает
поршень на некоторую высоту h. При этом газ совершает работу про-
тив сил внешнего давления и на увеличение потенциальной энергии
поршня:
А = p
1
ΔV,
где ΔV – увеличение объема воздуха.
Так как поршень движется без трения, давление воздуха не
изменяется, т.е. происходит изобарическое расширение. По первому
закону термодинамики сообщаемая теплота расходуется на увеличе-
ние внутренней энергии и на совершение внешней работы:
Q = ΔU + p ΔV.
Изменение внутренней энергии идеального газа определяется из-
менением температуры:
ΔU =
C
v
ΔT,
где ΔT = T
2
T
1
увеличение температуры при сообщении теплоты.
Если воздух приближенно считать идеальным газом, изохорическую
молярную теплоемкость можно определить через число степеней сво-
боды:
41
C
v
=
2
i
R .
Азот N
2
и кислород О
2
являются
двухатомными
газами,
поэтому
число степеней свободы для них i = 5.
C
v
=
2
5
R.
ΔU =
2
5
RΔT.
Чтобы связать выражение для работы над внешними телами при
изобарическом процессе с изменением температуры воспользуемся
уравнением состояния идеального газа. При р = соnst из уравнения
состояния
рΔV =
RΔT,
отсюда А =
RΔT.
Подставим выражения для ΔU и А в уравнение первого закона термо-
динамики:
Q =
2
5
RΔT +
RΔT =
2
5
RΔT,
отсюда увеличение температуры воздуха
ΔT =
R
Q
7
2
.
Конечная температура T
2
= T
1
+
R
Q
7
2
.
Выражение для ΔT подставим в формулу для изменения внутренней
энергии
ΔU =
2
5
RΔT =
R
QR
72
25
= Q
7
5
.
Подставив это же выражение в формулу для работы:
А =
RΔT =
R
QR
7
2
= Q
7
2
.
Если из уравнения состояния выразить давление, то получим
р =
эф
Vμ
m
RT =
эф
μ
RT.
Отсюда получается выражение для плотности воздуха:
=
RT
р
эф
.
Анализ размерностей:
Мольная доля
i
– безразмерная величина, поэтому
[
эф
] =
[
] = кг/моль.
42
[g
i
] =
]
]
эф
i
μ
μ
[
[
= 1 – безразмерная величина.
[n
i
] =
]][ Tk
p
[
]
[
=
ККмН
H/м
-
1
2
=
3
1
м
.
[c
i
] =
TR
p
][
]
][
[
=
КК)]м/(моль[Н
)
H/м
(кг/моль)(
2
=
3
м
кг
.
[m
п
] =
][
]
g
dp
2
[][
=
2
22
м/с
м)(H/м
=
2
2
м/с
м/скг
= кг.
[T
2
] =
][][
][
R
Q
=
)/( КмольДжмоль
Дж
= К (кельвин).
[A] = [Q] = Дж.
[ΔU] = [Q] = Дж.
[
] =
TR
p
][
]
][
[
=
КК)м/(мольН
)
H/м
(кг/моль)(
2
=
3
м
кг
.
Решение:
эф
=
1
1
+
2
2
= 0,80,028 + 0,20,032 = 0,0288 кг/моль.
g
1
=
эф
11
μ
μυ
=
02880
028080
,
,,
= 0,778.
g
2
=
эф
22
μ
μυ
=
02880
032020
,
,,
= 0,222.
n
1
=
1
1
kT
p
1
=
2901038,1
1011,18,0
23
5
= 2,2210
25
3
1
м
.
n
2
=
1
12
kT
p
=
2901038,1
1011,12,0
23
5
= 0,55510
25
.
N
1
=
1
эф
μ
m
N
A
= 0,8
02880
02880
,
,
6,0210
23
= 4,8210
23
.
N
2
=
2
эф
μ
m
N
A
= 0,2
02880
02880
,
,
6,0210
23
= 1,210
23
.
c
1
=
1
11
RT
p
μ
1
=
29031,8
1011,1028080
5
,,
= 1,032
3
м
кг
.
43
c
2
=
1
22
RT
p
μ
2
=
29031,8
1011,1032020
5
,,
= 0,295
3
м
кг
.
В условии задачи величина атмосферного давления не указывает-
ся. Поэтому при вычислении массы поршня атмосферное давление
примем равным нормальному давлению, т.е. р
о
= 1,01310
5
Па.
m
п
=
4g
dpp
1
2
о
=
81,94
05,010013,1111
25
,
= 2 кг.
T
2
= T
1
+
R
Q
7
2
= 290 +
31817
1745
2
,
= 350 К.
ΔU = Q
7
5
= 1745
7
5
= 1246 Дж.
А = Q
7
2
= 1745
7
2
= 499 Дж.
1
=
1
1эф
RT
P
=
290318
10
11
1
0288
0
5
,
,
,
= 1,33
3
м
кг
.
2
=
2
1
RT
P
эф
=
350318
10
11
1
0288
0
5
,
,
,
= 1,099
3
м
кг
.
Ответ:
Эффективная молярная масса воздуха
эф
= 0,0288 кг/моль.
Массовая доля азота в воздухе g
1
= 0,778.
Массовая доля кислорода в воздухе g
2
= 0,222.
Концентрация молекул азота в воздухе n
1
= 2,2210
25
1/м
3
.
Концентрация молекул кислорода в воздухе n
2
= = 0,55510
25
1/м
3
.
Общее число молекул азота в цилиндре N
1
= 4,8210
23
.
Общее число молекул кислорода в цилиндре N
2
= 1,210
23
.
Массовая концентрация молекул азота c
1
= 1,032 кг/м
3
.
Массовая концентрация молекул кислорода c
2
= 0,295 кг/м
3
.
Масса поршня m
п
= 2 кг.
Конечная температура воздуха T
2
= 350 К, t
2
= 77
о
С.
Изменение внутренней энергии воздуха ΔU = 1246 Дж.
Внешняя работа, совершенная при сообщении теплоты А = 499 Дж.
Начальная плотность воздуха
1
= 1,33 кг/м
3
.
Конечная плотность воздуха
2
= 1,099 кг/м
3
.
44
2.3. Задания по молекулярной физике и термодинамике
Задание 4. Варианты: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33
Шина автомобиля объемом V была накачана при температуре
t
1
до избыточного давления р
и
. После того, как автомобиль проехал
некоторый путь, температура в шине повысилась до t
2
. Каким стало
давление внутри шины? Предполагая, что воздух на 80% по объему
состоит из азота, а на 20% из кислорода, определить концентрацию и
общее количество молекул каждого из газов. Насколько изменилась
внутренняя энергия газа внутри шины? Построить график изменения
давления в зависимости от температуры.
№ вар.
1 5 9 13 17 21 25 29 33
V, л 21 25 29 23 27 22 25 29 33
t
1
,
о
С 1 –5 9 13 7 –2 –5 –9 –3
р
и
, кПа 210 185 189 183 187 181 185 189 193
t
2
,
о
С 41 34 37 43 46 32 35 38 41
Задание 4. Варианты: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30
В цилиндрическом резервуаре диаметром d и высотой h нахо-
дится смесь метана и пропана. Объемная доля метана v
1
, начальная
температура смеси t
1
, а давление p
1
. В резервуар накачали смесь тако-
го же состава, и давление довели до p
2
, температура при этом повыси-
лась до t
2
. Определить стоимость накаченного газа, если стоимость 1
кг метана 6 рублей, а стоимость 1 кг пропана 8 рублей. Найти концен-
трации молекул каждого газа, плотность смеси до и после заполнения
резервуара. Какое давление установится после остывания газа в резер-
вуаре до первоначальной температуры? Построить график изменения
давления в зависимости от уменьшения температуры.
№ вар. 2 6 10 14 18 22 26 30
d, м 2 6 4 2,4 1,8 2,2 2,6 3
h, м 2,2 4 3 4 3,8 4,4 5 4
v
1
0,2 0,6 0,1 0,4 0,8 0,22 0,26 0,3
t
1
,
о
С –12 –6 –10 –14 –18 –22 –16 –13
p
1
, ат 2 1,6 1 1,4 1,8 2,2 2,6 1,3
t
2
,
о
С 20 16 10 14 8 12 16 13
p
2
, ат 42 46 50 44 48 52 36 30
45
Задание 4. Варианты: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31
В комнате площадью S и высотой h воздух находится при тем-
пературе t
1
. после включения отопления температура повысилась до t
2
.
Считая, что воздух на 79% по массе состоит из азота и на 21% из ки-
слорода и давление при нагреве не меняется, определить массу вы-
шедшего из комнаты воздуха. Найти плотность воздуха до и после
нагрева, начальное число молекул азота и кислорода. Какое количест-
во теплоты было сообщено оставшемуся воздуху? Построить график
изменения объема воздуха в зависимости от температуры.
№ вар. 3 7 11 15 19 23 27 31
S, м
2
13 17 11 15 19 23 27 31
h, м 1,53 1,57 1,61 1,65 1,59 1,63 1,57 1,61
t
1
,
о
С 13 7 11 15 9 13 7 11
t
2
,
о
С 23 27 21 25 27 23 26 22
Задание 4. Варианты: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 33.
В одном баллоне емкостью V
1
, находится газ G
1
, при темпера-
туре t и давлении р
1
, а в баллоне емкостью V
2
, газ G
2
, при той же тем-
пературе и давлении р
2
. После соединения баллонов образуется смесь
этих газов той же температуры. Определить давление смеси, началь-
ные плотности и концентрации газов, а также плотность газовой сме-
си. Какая работа совершается при изотермическом расширении перво-
го газа из объема V
1
до объема V
1
+ V
2
? Построить график этого про-
цесса.
№ вар.
4 8 12 16 20 24 28 32 33
G
1
H
2
He O
2
N
2
CO NO N
2
O
2
H
2
V
1
, л 4 8 12 16 20 24 28 30 33
t,
о
С 4 8 12 16 20 –4 –8 –3 –6
р
1
, ат 4 8 12 16 20 24 28 30 33
G
2
He CO
2
N
2
Ar NO N
2
H
2
He N
2
V
2
, л 8 3 9 12 18 21 8 27 30
р
2
, ат 6 5 15 6 2 12 15 21 24
46
Задание 5. Варианты: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29.
Определить стоимость электрической энергии, необходимой
для испарения воды массы m, взятой при температуре t. Коэффициент
полезного действия электронагревателя – η, стоимость 1 кВтч элек-
троэнергии –
с
.
№ вар. 1 5 9 13 17 21 25 29
m, кг 110 500 900 130 170 210 250 290
t,
о
С 1 5 9 13 17 21 25 29
η 0,61 0,65 0,69 0,63 0,67 0,71 0,75 0,69
с
, руб/кВтч
1,1 0,95 0,99 0,93 0,97 0,91 0,95 0,99
Задание 5. Варианты: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30.
Бензол массы m, взятой при температуре t в котле доводится
до кипения, а затем испаряется за счет сжигания газа G. Определить
стоимость израсходованного газа, если КПД котла η, а стоимость 1 кг
этого газа –
с
.
№ вар. 2 6 10 14 18 22 26 30
m, кг 20 60 100 140 180 220 260 300
t,
о
С 2 6 10 14 8 2 6 3
G CH
4
C
2
H
6
C
3
H
8
C
4
H
10
C
2
H
2
CH
4
C
2
H
6
C
3
H
8
η 0,52 0,56 0,6 0,64 0,58 0,62 0,56 0,53
с
, руб/кг
5,5 16 8 9 10 5,5 16 8
Задание 5. Варианты: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31.
Теплоту, необходимую для поддержания температуры t
2
в квар-
тире, приближенно можно вычислить по формуле Q =K·V(t
2
t
1
)·τ, где
t
1
температура окружающей среды; V объем квартиры; τ время;
К – коэффициент пропорциональности. Сколько стоит газ G, исполь-
47
зуемый для отопления в течение месяца квартиры с общей площадью
S и высотой h, если КПД котельной η, а стоимость 1 кг этого газа –
с
?
№ вар. 3 7 11 15 19 23 27 31
t
2
,
о
С 23 17 21 25 19 23 17 21
t
1
,
о
С –3 –7 –11 –15 –19 –23 –17 –21
K, Вт/м
3
0,023
0,027
0,021
0,025
0,029
0,023
0,027
0,021
S, м
2
53 67 71 75 69 63 57 81
h, м 2,53 2,57 2,61 2,55 2,59 2,63 2,67 2,51
с
, руб/кг 6,5 7 9 9 6,5 8 9 10
G CH
4
C
3
H
8
C
4
H
10
C
2
H
2
CH
4
C
3
H
8
C
4
H
10
C
2
H
2
η 0,63 0,67 0,61 0,65 0,69 0,63 0,67 0,71
Задание 5. Варианты: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32.
Основным источником тепловых потерь в доме являются окна.
Вычислите стоимость электроэнергии, необходимой для восполнения
тепловых потерь через стеклянное окно размерами a×h, толщиной
стекла d в течение одной недели. Температура внутренней поверхно-
сти окна t
2
, внешней t
1
. Стоимость 1 кВт∙ч электроэнергии
с
.
№ вар. 4 8 12 16 20 24 28 32
а
, м 1,4 1,8 1,2 1,6 2,0 2,4 1,8 2,2
h, м 1,5 1,58 1,6 1,5 1,65 1,4 1,5 1,62
d, мм 4 3,8 4,2 3,6 5,2 4,4 3,8 4,2
t
2
,
о
С 8 3 2 6 2 4 8 12
t
1
,
о
С 4 –2 –2 2 –2 –1 2 8
с
, руб/кВтч
0,94 0,98 0,92 1,06 1,02 1,04 1,08 1,02
48
3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
3.1. Основные законы и формулы
В природе существует два вида электрических зарядов: положи-
тельные и отрицательные. Одноименные заряды отталкиваются друг
от друга, разноименные притягиваются.
Носителями отрицательных зарядов являются электроны, носите-
лями положительных – протоны. По абсолютной величине заряды
электронов и протонов равны и равняются элементарному заряду
е = 1,610
–9
Кл.
q
e
= –e – заряд электрона. q
p
= +е – заряд протона.
Электрический заряд является неотъемлемым свойством некото-
рых элементарных частиц. В природе не существует заряда меньше
элементарного, элементарный заряд является наименьшей порцией
электрического заряда. Заряд любого тела кратен элементарному за-
ряду: q = ±N e, где N – число электрических зарядов.
Если какая-то величина меняется дискретными порциями, то го-
ворят, что данная величина квантована, и электрический заряд кван-
тован.
Так как элементарный заряд мал, в электричестве дискретность
заряда обычно не учитывается и предполагается, что заряд меняется
непрерывно.
Атом состоит из положительного ядра, вокруг
которого по эллиптическим орбитам вращаются
электроны. Ядро состоит из протонов и электриче-
ски нейтральных нейтронов. Количество протонов
ядра и количество электронов атома одинаково и
равняется порядковому номеру Z элемента в перио-
дической системе. N
пр
= N
e
= Z. Поэтому, если атом
теряет один или несколько электронов, то превращается в положи-
тельный ион. Когда атом присоединяет лишние электроны, то пре-
вращается в отрицательный ион. Количество протонов ядра при всех
физико-химических превращениях остается неизменным (кроме ядер-
ных реакций). Поэтому, если тело обладает избытком электронов, то у
него отрицательный заряд, при недостатке электронов положительный
заряд.
49
Рис. 20
+
-
е
-
е