Тюрев В.В. Гиперзвуковые течения газа
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Национальный аэрокосмический университет
им. Н.Е. Жуковского
«Харьковский авиационный институт»
В.В. Тюрев
ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
Учебное пособие
Харьков «ХАИ» 2006
УДК 533.6.01
Гиперзвуковые течения газа / В.В. Тюрев. – Учеб. пособие. – Харьков:
Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2006. – 98 с.
Пособие составлено из разделов, содержащих сведения об аэ-
родинамических характеристиках летательных аппаратов при гипер-
звуковых скоростях обтекания. Изложены современные методы расчё-
та обтекания тел в рассматриваемом диапазоне скоростей.
Для студентов, изучающих курсы «Аэрогидродинамика, ч. I» и
«Аэрогидродинамика, ч. II», при курсовом и дипломном проектирова-
нии.
Ил. 36. Табл. 3. Библиогр. : 25 назв.
Рецензенты: канд. техн. наук, доц. С.А. Калкаманов,
канд. техн. наук С.Ф. Петренко
С
Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского
«Харьковский авиационный институт», 2006 г.
3
Рис. 1. Коридор возможных полётов
ВВЕДЕНИЕ
Развитие авиации и ракетной техники привело к резкому увеличе-
нию скоростей летательных аппаратов. Течения газа со скоростью,
значительно превышающей скорость звука, обладают рядом отличи-
тельных особенностей. Рассмотрение области, в которой возможен
длительный полёт, расположенной между зоной полёта современных
самолётов и областью полёта спутников, показывает, что полёт с
большими сверхзвуковыми скоростями может быть осуществлён толь-
ко на больших высотах.
Действительно, как следует из результатов исследований, при
данной высоте полёта скорость, с одной стороны, должна быть доста-
точно большой для того, чтобы создать требуемую подъёмную силу,
но, с другой стороны, достаточно малой для того, чтобы не возникли
чрезвычайно высокие температуры. Если принять, что существующие
материалы выдерживают температуру до
С
°1000 , а скоростной на-
пор, потребный для создания необходимой подъёмной силы, имеет
порядок
4000
2
м
Н
, то получится «коридор возможных полётов», пока-
занный на рис. 1.
С увеличением высоты полёта изменяется молекулярная структу-
ра атмосферного воздуха, возрастает средний путь свободного пробе-
га молекул воздуха между последовательными столкновениями. В
4
связи с этим при решении ряда аэродинамических задач при-
ходится отказаться от основной гипотезы, которая использу-
ется в других разделах аэродинамики – гипотезы сплошности
среды, и при расчётах учитывать молекулярную структуру га-
за.
Теория течений разреженного газа привлекает внимание
исследователей уже в течение длительного времени благода-
ря бурному развитию авиации и ракетостроения, а также в
связи с требованиями вакуумной техники. Известно большое
и всё увеличивающееся количество работ по кинетической
теории газов и статистической физике. В последние годы ре-
шён ряд практически важных задач в области аэродинамики
разреженных газов. Несмотря на полученные достижения рас-
сматриваемая область аэродинамики ни в теоретическом, ни
в экспериментальном аспекте не может считаться завершён-
ной и является предметом весьма интенсивных исследова-
ний.
1. РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ ГАЗА В ИЗОЭНТРОПИЧЕСКОМ
ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Течения газа со скоростью, значительно превосходящей скорость
звука, обладают рядом отличительных особенностей, которые сущест-
венно влияют на структуру течения и требуют особых подходов к изу-
чению таких течений.
Для проведения дальнейших исследований необходимо выразить
в явном виде влияние изменения скорости течения на основные пара-
метры газа.
В единичной струйке газа при отсутствии потерь и внешней рабо-
ты, согласно уравнению Бернулли в дифференциальной форме, мож-
но записать:
VdVdp ρ−= .
Из известного выражения для скорости звука
ρ
=
p
ka
2
имеем
2
a
kp
=ρ
.
С учётом полученного равенства выражение для дифференциала
давления принимает вид
V
dV
a
V
kVdV
a
kp
dp
2
2
2
−=−=
.
Таким образом, соотношение, связывающее изменение давления
с изменением скорости, можно записать в виде
5
V
dV
kM
p
dp
2
−= . (1)
Вводим понятие энтальпии (теплосодержания)
TC
p
Vi
p
=
ρ
+= .
Уравнение сохранения энергии струйки при адиабатическом тече-
нии можно представить в виде
0
2
21
i
V
RT
k
k
=+
−
,
где
0
i
– теплосодержание торможения.
Выражение для дифференциала температуры принимает сле-
дующий вид:
VdV
k
R
k
dT
1−
−=
.
Из выражения для скорости звука
kRTa =
2
получим равенство
k
R
a
T
2
= . (2)
Если предыдущее выражение для дифференциала
dT почленно
поделить на равенство (2), то
()
V
dV
Mk
T
dT
2
1−−=
.
Взяв полные дифференциалы от обеих частей равенства (2),
можно записать следующее соотношение:
k
R
ada
dT
2
=
.
Поделив почленно обе части последнего соотношения на равен-
ство (2), получим связь между относительными изменениями темпера-
туры, скорости звука и скорости течения газа:
()
V
dV
Mk
a
da
T
dT
2
12 −−== . (3)
Записав выражение для дифференциала от обеих частей уравне-
ния состояния идеального газа
RT
p
=
ρ
и используя соотношения (1) и (3), имеем аналогичную зависимость
для изменения плотности:
6
V
dV
M
T
dT
p
dpd
2
−=−=
ρ
ρ
. (4)
Вычисляем полный дифференциал от обеих частей равенства
aMV = :
MdaadMdV +=
.
Скорость звука выразим через температуру газа. Соотношение для
чисел Маха запишем в виде
V
dV
M
k
M
dM
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=
2
2
1
1
. (5)
Соотношения (1) – (5) показывают, что при дозвуковых скоростях
(
1<
M
) происходит незначительное изменение давления, плотности и
температуры газа с изменением скорости, а число Маха зависит от
скорости линейно. Наоборот, при гиперзвуковых скоростях (
1>>
M
)
даже небольшое изменение скорости течения ведёт к заметному из-
менению состояния газа и числа Маха.
При
1>>
M
в правой части выражения (5) можно пренебречь еди-
ницей, тогда это выражение принимает следующий вид:
V
dV
M
k
M
dM
2
2
1−
≈
. (6)
Отношение
V
dV
определяем из выражения (1). Подставив его в
равенство (5), имеем
p
dp
k
k
M
dM
2
2
1−
−=
.
Проинтегрировав обе части полученного соотношения, запишем
его в виде
p
p
M
M
H
H
plnMln
k
k
=
−
−
2
1
.
Выполнив потенцирование записанного соотношения, получаем
характерную для гиперзвуковых течений зависимость давления от
числа Маха:
1
2
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
k
k
H
H
M
M
p
p
. (7)
Из выражений (3) и (6) аналогичным путём исключаем отношение
V
dV
и получаем следующий результат:
7
M
dM
T
dT
2−=
.
Проинтегрировав это выражение, имеем
M
M
T
T
HH
MlnTln 2−=
.
Здесь и в дальнейшем величины без индексов соответствуют те-
кущим значениям параметров, а величины с индексом «
н» – их на-
чальным значениям.
После подстановки пределов получаем зависимость изменения
температуры от изменения числа Маха:
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
M
M
T
T
H
H
. .(8)
Учитывая, что температура пропорциональна квадрату скорости
звука, зависимость температуры от числа Маха представляем в виде
M
M
a
a
H
H
= . (9)
В изоэнтропическом течении справедливо следующее соотноше-
ние:
k
HH
p
p
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
ρ
=
.
Поэтому с учетом равенства (7) отношение соответствующих
плотностей можно определять по формуле
1
2
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
ρ
ρ
k
H
H
M
M
. (10)
Выражения, в которые входят показатели степени, содержащие
показатель адиабаты
k
, можно вычислить с помощью таблицы газо-
динамических функций (табл. 3), приведенной в конце пособия.
Чтобы установить связь между скоростью потока и числом Маха,
выражение (6) переписываем в такой форме:
V
dVk
M
dM
2
1
3
−
=
.
Интегрирование полученного дифференциального уравнения даёт
следующий результат:
8
V
V
M
M
H
H
Vln
M
k
=
−
−
2
1
1
1
.
После подстановки пределов можно записать:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
MMkV
V
ln
HH
11
1
1
. (11)
Функцию
H
V
V
ln
представим в виде
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
HH
V
V
ln
V
V
ln 11
.
Целесообразно ввести обозначение
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
H
V
V
x 1
.
Для вычисления полученного выражения можно воспользоваться
формулой для разложения функции
()
xln −1 в ряд Тейлора:
()()()
()
...x
!
xnl
xxnllnxln +
−
′′
+−
′
+=−
2
0
0
2
1
111
,
где
()
01 =ln ,
()
1
1
1
1
0
0
−=
−
−=−
′
x
xnl
,
()
()
2
1
12
1
2
1
0
2
0
−=
−
−=
−
′′
x
!
xnl
,
и так далее. Рассматриваемый ряд Тейлора запишем в следующем
виде:
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−=− ...
x
xxln
2
1
2
.
Учитывая, что отношение
H
V
V
близко к единице и параметр x яв-
ляется малой величиной, все нелинейные члены ряда можно отбро-
сить. Тогда можно записать:
()
xxln −=−1 .
Таким образом, логарифм отношения искомых скоростей записы-
вается в следующем виде:
9
ϖ
y
v
x
v
V
y
x
O
C
B
A
∞
V
∞
V
ϖ
Рис. 2. Поворот сверхзвукового потока на малый внешний угол
1−≈
HH
V
V
V
V
ln
.
После подстановки полученного равенства в соотношение (11) ус-
танавливаем связь между скоростью потока и числом Маха:
1
111
1
22
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+≈
k
MM
V
V
H
H
. (12)
Выражения (7) – (12), полученные выше, позволяют определить
изменение параметров гиперзвукового потока в зависимости от изме-
нения числа Маха в рассматриваемом потоке.
1. ГИПЕРЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ОКОЛО ВЫПУКЛОГО
ТУПОГО УГЛА
Рассмотрим особенности течения газа с очень большой сверхзву-
ковой скоростью около выпуклого угла – гиперзвуковое течение Пран-
дтля – Майера. На первом этапе необходимо рассмотреть поворот по-
тока на малый угол. На рис. 2 показано обтекание сверхзвуковым по-
током угла, близкого к 180
0
.
Угол
AOB принято называть внешним, если он больше 180
0
, в
противном случае угол называется внутренним. На рис. 2 ось
x
рас-
положена в плоскости
OA перпендикулярно линии пересечения плос-
костей
OA и OB .Начало координат расположено в вершине угла O .
Пусть вектор скорости невозмущённого потока параллелен оси
x .
Угол
ϖ предполагаем настолько маленьким, что допустимо примене-
ние линеаризованной теории.
Отклонение стенки
OB на угол ϖ по отношению к стенке OA
должно вызвать поворот всего потока. На поверхности угла
AOB этот
поворот совершается в вершине угла. Таким образом, вершина угла
10
O
A
ϖ
B
2
C
1
C
C
2
M
1
M
2
µ
1
µ
Рис. 3. Поворот сверхзвукового потока на
большой внешний угол
является источником возмущения. Из точки
O проведена характери-
стика
OС под углом
M
arcsin
1
=µ
к вектору скорости невозмущённого
потока. Возмущения, вызванные в точке
O , распространяются вдоль
линии возмущения
OС . До линии OС поток остаётся невозмущённым,
на линии
OС
происходит поворот потока на угол
ϖ
, и за этой линией
поток становится возмущённым. В этом случае изменение полной ско-
рости можно представить как возмущение, характеризуемое появле-
нием двух дополнительных составляющих скорости
x
v и
y
v , которые
представляют собой скорости возмущений на оси
x и
y
.
Полная скорость возмущений
v
определяется по формуле
yx
vvv
+= .
Компоненты скорости возмущений
x
v ,
y
v и суммарную скорость
возмущений
v принято обозначать малыми буквами в отличие от ско-
рости потока, которая обозначается через
V
.
Равнодействующая скорости возмущений направлена вдоль ли-
нии, перпендикулярной линии
OС . Линия возмущений OС является
волной разрежения, и на ней давление в потоке газа убывает.
На рис. 3 показана
схема обтекания потоком
газа большого внешнего
угла. В этом случае
считается, что поворот
потока происходит на
конечный угол
ϖ
.
Угловая точка
O
является источником
возмущений. Поток вдоль
стенки
OA
не возмущён
до характеристики (линии
возмущений)
1
OC
,
исходящей из точки
O под углом
1
1
1
M
arcsin=µ
. Вдоль этой характе-
ристики параметры течения постоянны и равны параметрам невозму-
щённого потока. Возмущения, распространяющиеся из точки
O
в пото-
ке, движущемся вдоль стенки
OB , ограничены слева характеристикой
2
OC , наклонённой к стенке OB под углом
2
2
1
M
arcsin=µ
. Вдоль этой
характеристики параметры течения также постоянны и равны пара-
метрам невозмущённого потока, движущегося вдоль стенки
OB .