Тюрев В.В. Гиперзвуковые течения газа

Подождите немного. Документ загружается.

∞

Рис. 29. Отражение молекул от поверхности:

а – диффузное; б – зеркальное

14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНОГО И КАСАТЕЛЬНОГО

НАПРЯЖЕНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА

ПРИ СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНОМ ОБТЕКАНИИ

Так как задачи газовой динамики обычно связаны с движением

газов вблизи твердой поверхности, то при решении этих задач влия-

ние поверхности на поток газа учитывается граничными условиями,

которым должно удовлетворять решение уравнений движения. Эти

граничные условия определяются в результате рассмотрения меха-

низма обмена массой, количеством движения и энергией между мо-

лекулами газа и поверхностью тела. Сложный механизм этих про-

цессов в настоящее время является предметом интенсивных исследо-

ваний.

В теории свободно-молекулярного течения вначале обычно рас-

сматривают два предельных вида взаимодействия молекул газа со

стенкой: так называемые «зеркальное отражение» и «диффузное от-

ражение», принимая, что истинное взаимодействие приближенно мож-

но представить некоторой комбинацией двух указанных выше видов

отражения.

Зеркальное отражение совместимо с изоэнтропическим течени-

ем. Предполагается, что поверхность тела абсолютно гладкая, а мо-

лекулы газа абсолютно упругие. При ударе молекулы о поверхность

абсолютная величина скорости и ее касательная составляющая не

изменяются, а нормальная составляющая меняет знак (рис. 29).

Очевидно, что при таком взаимодействии нормальное давление

есть просто статическое давление потока, а касательное напряжение

вообще отсутствует. Не происходит также энергетического обмена.

Величины, связанные с отраженными молекулами, обозначаются

индексом

, тогда нормальное давление

p , возникающее вследст-

вие воздействия отраженных молекул, будет равно

pp = ,

а касательное напряжение

τ=τ ,

и, следовательно, суммарное нормальное давление

iriзерк

pppp 2=+= ,

а полное касательное напряжение

0=τ+τ=τ

riзерк

В случае диффузного отражения предполагается, что поверх-

ность тела имеет молекулярные шероховатости и щели, в которые

попадают молекулы. Ударяясь о поверхность, молекулы полностью

абсорбируются стенкой, передавая ей свой импульс и энергию. Отра-

женные, или вернее «испускаемые» стенкой, молекулы движутся в на-

правлениях, не зависящих от направления удара. Скорости и энергии

диффузно-отраженных молекул распределяются в соответствии с за-

коном равномерного распределения Максвелла при температуре

стенки. Все направления движения отраженных молекул равнове-

роятны. Отраженные молекулы можно рассматривать как проходящие

через отверстия молекулы фиктивного газа, расположенного с проти-

воположной стороны поверхности. Этот газ покоится относительно по-

верхности, его молекулы обладают только беспорядочным движе-

нием с температурой стенки

. Можно сразу сказать, что, так как от-

раженные молекулы не имеют преобладающего направления движе-

ния, то они не создают касательного напряжения, т. е. в этом слу-

чае 0=τ

. Экспериментальные данные указывают на то, что

обычно возникает отражение более общего типа. Только часть па-

дающих молекул передает поверхности касательную составляющую

импульса. Степень контакта налетающих молекул со стенкой в общем

случае недостаточна для того, чтобы они приобрели среднюю энер-

гию, соответствующую температуре стенки

T .

Из закона сохранения импульса получается следующее значение

для коэффициента нормального давление, передаваемого на обте-

каемую поверхность, налетающими молекулами:

()

[]

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

α+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

πα

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α−

∧

∞

erf

n,Vcos



и касательные напряжения

()

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

α++

πα

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=τ

α−

∧

∞

erf

n,Vsin



Здесь

=α ,

k =

M – число Маха, посчитанное по нор-

мальной к поверхности составляющей скорости

∞

V .

В приведенных выражениях

(

)

erf α – интеграл вероятности, кото-

рый может быть определён численно по формуле

()

∫

−

=δ

dzeerf

или взят из таблицы специальных функций.

Формулы для коэффициентов нормального давления и каса-

тельного напряжения, отнесенных к единице поверхности, принимают

вид:

∞

Коэффициент лобового сопротивления от налетающих молекул

вычисляем по формуле

()

[]

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

α+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

πα

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∧

∞

α−

∧

∞ i

erf

n,Vcos

n,VcosС



При определении воздействия потока на сторону пластины, про-

тивоположную направлению ее движения относительно потока, иско-

мые коэффициенты напряжений и сил помечают штрихами:

′

Соответствующие выражения для искомых коэффициентов могут

быть получены с помощью преобразований:

(

)

(

)

ipip

СС α−=α

′

(

)

(

)

СС α−=α

′

ττ

(

)

(

)

iRiR

СС α−=α

′

Параметры потока, отраженного от поверхности, обозначают

p и

Обычно чисто зеркального или чисто диффузного отражений не

бывает, а реализуется отражение более общего вида, при котором ис-

пользуют осредненные параметры:

коэффициент аккомодации

−

=α

;

коэффициент нормального отражения

−

=σ

′

;

коэффициент касательного отражения

τ−τ

=σ

Здесь

– энергия, а индекс

соответствует термодинамическим

равновесным условиям при температуре стенки. Следовательно,

0=τ

Некоторые авторы [1] помимо перечисленных коэффициентов

вводят в рассмотрение коэффициент аккомодации

, который пред-

ставляет собой долю диффузно отражённых молекул. В этом случае

доля зеркально отражённых молекул равна

σ−1 .

Для зеркального отражения

0=σ=σ

′

=σ=α

Для диффузного

1=σ=σ

′

=σ=α

Параметр

p можно рассчитать по формуле [13, с. 620]:

()

n,Vcos

p απ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∞

∧

∞



где функцию

(

)

αΨ можно приближенно посчитать по формулам:

(

)

.. α+=α 25160Ψ , 80.

<α ;

(

)

α=α 2Ψ , 80.

≥α .

Коэффициент суммарного давления

, действующего на лобо-

вую часть элементарной площадки в свободно-молекулярном потоке,

определяется по формуле [1]:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∞

+α

σ−

α−

∞

()

[]

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

α+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

πσ

+σ−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α++

∞

erf

. (78)

Коэффициент касательного напряжения определяется по сле-

дующей формуле:

()

[]

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

α+α+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α−

∞

∧

∞

τ ii

erf

n,Vsin



. (79)

В частном случае невозмущенного потока, перпендикулярного к

поверхности тела, когда

0=⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∧

∞

n,V



, касательное напряжение (тре-

ние) равно нулю

0=τ

В частном случае потока, параллельного поверхности тела, когда

=⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∧

∞

n,V



0=α

, коэффициент давления определяется по форму-

ле

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∞

σ+=

∞

а относительное напряжение трения вычисляется следующим обра-

зом:

∞

=τ

При полностью диффузном отражении молекул от стенки, ко-

гда

1=σ , записанные формулы принимают вид

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∞

;

∞

В формулах (78) и (79) скорость набегающего потока считается

положительной, если набегающий поток направлен к обтекаемой по-

верхности, и отрицательной, если этот поток направлен от поверхно-

сти. Иначе говоря, при расчете сил, возникающих на передней стороне

тела (обращенной к набегающему потоку), нужно считать скорость по-

ложительной (

0>α

), а на задней стороне тела – отрицательной

(

0<α

). Поэтому для передней части тела ( 0>α

) формулы (78) и

(79) пригодны без изменений (

= , τ=τ

Для задней стороны тела (

0<α

) формулы (78) и (79) нужно за-

писать в следующем виде

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∞

+α

σ−

−=

α−

∞

ipз

()

[]

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

α−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

πσ

−σ−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α++

∞

erf

. (80)

Коэффициент касательного напряжения определяется по сле-

дующей формуле:

()

[]

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

α−α−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α−

∞

∧

∞

τ iiз

erf

n,Vsin



. (81)

Для облегчения расчетов по формулам (78) – (81) в табл. 2 приведе-

ны значения функций

α−

(

)

erf α для различных значений пара-

метра

Таблица 2

Значения некоторых специальных функций

α−

(

)

erf α

0.1

0.01

0.9900

0.1125

0.2

0.3

0.04

0.09

0.9608

0.9139

0.2227

0.3286

0.4

0.5

0.16

0.25

0.8521

0.7788

0.4284

0.5205

0.6

0.7

0.36

0.49

0.6977

0.6026

0.6039

0.6778

0.8

0.9

0.64

0.81

0.5274

0.4449

0.7421

0.7961

1.0

1.1

1.0

1.21

0.3679

0.2982

0.8427

0.8802

1.2

1.3

1.44

1.69

0.2369

0.1845

0.9103

0.9340

1.4

1.5

1.96

2.25

0.1409

0.1054

0.9523

0.9661

1.6

1.7

2.56

2.89

0.1773

0.0556

0.9763

0.9838

1.8

1.9

3.24

3.61

0.0392

0.0271

0.9891

0.9928

2.0

4.0

0.0183

0.9953

По этим данным построены также кривые на рис. 30.

()

erf

α−

.80

.60

.40

.20

α−

()

erf

()

erf

α−

.80

.60

.40

.20

α−

()

erf

Рис. 30. Вспомогательные функции

α−

(

)

15. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ

ПРИ СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНОМ ОБТЕКАНИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Выше были указаны методы определения нормальных и танген-

циальных напряжений, возникающих на элементарной площадке по-

верхности тела при свободно-молекулярном обтекании.

Необходимо определить аэродинамические силы, действующие

на тело в целом.

Пусть вектор скорости невозмущенного потока

∞



составляет угол

′

с элементом поверхности тела (местный угол атаки), тогда угол

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∧

∞

n,V



между вектором

∞



и нормалью к поверхности равен

′

−

=⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∧

∞

n,V



Следовательно, проекции скорости на нормаль и касательную к

поверхности составляют соответственно:

′

∞

sinVV

′

∞τ

cosVV .

dSp

∞

Рис. 31. Определение аэродинамических сил на

пластине при молекулярном течении газа

15.1. Определение сил, действующих на плоскую пластину

при свободно-молекулярном обтекании

Изложенную в данном разделе методику можно применить к рас-

чёту обтекания плоской пластины гиперзвуковым потоком газа

(рис. 31).

Пластина, изображённая на рис. 31, обтекается потоком газа под

углом атаки

На приведенном рисунке показаны элементарные силы давления

и трения, действующие на передней и задней сторонах пластины на

элементарную площадку

. Для определения искомых сил можно

воспользоваться формулами (78) – (81).

Проекция всех аэродинамических сил на нормальную к пластине

ось

(см. рис. 31), которая называется нормальной силой Y , равна

произведению площади пластины на разность давлений, приложенных

к передней и задней её сторонам:

(

)

SppY

зп

⋅−= ,

где

S – площадь пластины.

Аэродинамический коэффициент нормальной силы на плоской

пластине определяется следующим образом:

pзpп

зп

С −=

−

С учётом равенств (78) и (80) можно записать:

⎢

⎣

⎡

+α

σ−

α−

∞

()

⎥

⎦

⎤

ασ−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α++α

πσ

∞

erf

. (82)

Продольная сила

X на пластине, определяемая как проекция

всех сил на ось

x , равна произведению площади пластины на сумму

напряжений сил трения, приложенных к передней и задней сторонам

пластины:

(

)

зп

τ−τ= .

Коэффициент продольной силы на плоской пластине определяет-

ся по формуле

зпx

CCC

ττ

+= .

Используя равенства (79) и (81), можно записать:

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

αα+

ασ

α−

∞

iix

erf

cos

. (83)

Проекции равнодействующей аэродинамических сил на оси скоро-

стной системы координат

y,x (см. рис. 31) называются силой со-

противления

X и подъёмной силой

Y . Безразмерные коэффициен-

ты этих сил обозначены через

С и

С . Данные коэффициенты вы-

числяются через введенные ранее коэффициент продольной силы

и коэффициент нормальной силы

C по следующим формулам:

.sinCcosCC

;sinCcosCC

yxx

xyy

αα

−=

(84)

Полученные результаты несколько упрощаются, если рассматри-

вать диффузное обтекание (

1=σ ) и для простоты принять

∞

= TT

В этом случае аэродинамические коэффициенты пластины при

свободно-молекулярном обтекании определяются по формулам:

654

321

∞

Рис. 32. Зависимость коэффициента подъёмной

силы пластины от числа Маха при

свободно-молекулярном течении газа

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

αα=

erfsincosC

;

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++α

∞

απ

α=

∞

α−

erf

sin

esinC

222

На рис. 32 приведена зависимость коэффициента подъёмной си-

лы плоской пластины от комплекса параметров

∞

. Расчёты вы-

полнены для различных углов атаки – от 10 до 60 градусов.

На рис. 33 показаны графики зависимости коэффициента сопро-

тивления рассматриваемой пластины. В данном случае расчёты вы-

полнялись до углов атаки, равных 90 градусам.