Тюрев В.В. Гиперзвуковые течения газа

21

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

β

+

−

−+β

β= 1

1

22222

2

cosV

k

acosV

V

ctg

нкрн

н

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

β

+

−

β= 1

1

2

222

2

cosV

k

a

V

ctg

нкр

н

.

Введя относительную скорость

λ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=λ

кр

н

a

V

, это выражение

можно записать следующим образом:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

βλ

+

−

λ

β=ϖ 1

1

2

1

22

2

cos

k

ctgtg

н

.

Используя связь между относительной скоростью и числом Маха,

приведенную в работе [3]:

2

1

M

k

−

+

=λ

−

+

−

,

можно окончательно получить такое соотношение между углами

ϖ

и

β

:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β−

+

−β

β=ϖ

2

1

2

1

н

M

sin

k

M

sin

ctgtg

. (35)

Температуру за скачком уплотнения с помощью уравнения со-

стояния определяют по следующей формуле:

н

p

T

ρ

=

.

Воспользовавшись формулами (31) и (32), находим такое равен-

ство:

22

β

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

−β

+

=

22

2222

2

1

2

1

2

sinM

k

sinM

k

sinM

k

T

н

нн

н

.

Для определения скорости звука запишем следующую

формулу:

нн

T

a

=

.

Проекции скорости возмущения

v

на оси

x

и

y

обозначены через

x

v и

y

v

. Указанные проекции определяются в соответствии с данными

рис. 6 и 7:

⎭

⎬

⎫

=

−=

.sin

,cos

ϖ

Vv

VVv

y

нx

(36)

Связь между скоростями

V

и

н

V видна из соотношения

α=β=

τ

cosVcosVV

н

,

откуда следует, что

α

β

=

cos

VV

н

.

Поэтому равенства (36) можно записать следующим образом:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

ϖ

α

β

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

α

ϖβ

=

.sin

cos

Vv

,

cos

coscos

Vv

нy

нx

1

(37)

Принимая во внимание, что справедливо равенство

(

)

ϖ−β=α coscos , для компонентов скорости возмущений получаем

такие значения:

()

ϖβ+ϖβ

ϖβ

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

ϖ−β

ϖβ

=

sinsincoscos

sinsin

V

cos

coscos

Vv

ннx

1

.

Это выражение перепишем следующим образом:

1

+ϖβ

−=

ctgctg

Vv

нx

.

23

Используя формулу (35), полученное выражение преобразуем к

виду:

=

+

−β

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β−

+

−=

1

2

1

2

н

нx

M

sin

M

sin

k

Vv

.

2

1

2

+

−β

−=

k

M

sin

V

н

В результате, для проекции скорости возмущений на ось

x имеем

выражение

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β

+

−=

2

1

2

н

нx

M

sin

k

Vv

.

Проекция скорости возмущений на ось

y

определяется аналогич-

ным образом из второй формулы (37):

()

=

ϖβ+ϖβ

ϖβ

=

ϖ−β

ϖβ

=

sinsincoscos

sincos

V

cos

sincos

Vv

ннy

β+ϖ

=

tgctg

V

н

1

.

Используя формулу

ϖ

tg

ctg

1

=

и учитывая равенство (35), можно

записать:

=

β+

−β

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β−

+

β

=

tg

M

sin

M

sin

k

tg

Vv

н

нy

2

1

2

1

24

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β

+

β=

+−

−β

+

β=

2

1

2

11

1

2

1

н

M

sin

k

сtgV

M

sin

k

сtgV

.

Таким образом, компоненты скорости возмущённого движения,

вызванного обтеканием внутреннего угла, могут быть найдены по

формулам:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β

+

β=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β

+

−=

.

M

sin

k

ctgVv

,

M

sin

k

Vv

н

нy

н

нx

2

1

2

1

2

(38)

Проанализируем уравнение (35) при гиперзвуковых скоростях об-

текания (

5>М ):

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β−

+

−β

β=ϖ

2

1

2

1

н

M

sin

k

M

sin

ctgtg

. (35)

В этом случае член

2

1

н

M

можно отбросить, и если считать, что

выражение

2

1+k

приближённо равно единице, то можно записать:

β=β⋅β=

β−

β

β≈ϖ tgtgctg

sin

ctgtg

2

1

.

Следовательно, при гиперзвуковых скоростях угол наклона фрон-

та скачка

β близок к углу отклонения потока на скачке ϖ , в связи с чем

слой уплотнённого газа, расположенный между фронтом скачка и по-

верхностью тела, оказывается очень тонким.

В достаточно интенсивных скачках уплотнения

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

>> 10

н

p

всегда

имеет место неравенство

2

1

н

M

sin >>β . (39)

25

При любом сколь угодно малом фиксированном значении угла от-

клонения потока

ϖ можно достичь такого значения числа Маха, при

котором условие (39) будет выполнено. Поэтому в соотношениях (30) –

(38) можно пренебречь членами

2

1

н

M

, и тогда оказывается, что без-

размерные скорости возмущения

н

x

V

v

,

н

y

V

v

, безразмерная плотность

н

ρ

и угол наклона фронта скачка β не зависят от числа

н

М , а безраз-

мерные значения давления

н

p

(и температуры

н

T

) пропорциональны

величине

2

н

М

:

β

+

−=

2

1

2

sin

kV

v

н

x

,

ββ

+

= cossin

kV

v

н

y

1

2

; (40)

β

+

=

ρ

−

2

1

2

sin

k

V

pp

н

, или β

+

=

2

1

2

sinM

k

p

н

; (41)

1

−

+

=

ρ

k

н

,

β

+

−

ββ

+

=ϖ

2

1

2

1

2

sin

k

cossin

k

tg

. (42)

Таким образом, при больших гиперзвуковых скоростях в области

за интенсивными скачками уплотнения наблюдается некоторое пре-

дельное состояние газового течения, при котором характеризующие

его безразмерные параметры и аэродинамические коэффициенты не

зависят от значения числа

н

М

. Аналогичные особенности газового те-

чения наблюдаются при очень малых дозвуковых скоростях (

0→

н

М ),

когда свойства потока также не зависят от значения числа

н

М (несжи-

маемая жидкость).

Таким образом, по числам маха существует два режима автомо-

дельности: при малых дозвуковых скоростях и при больших сверхзву-

ковых скоростях.

Опыты показывают, что автомодельность при больших сверхзву-

ковых скоростях (при

∞→

н

М ) практически достигается при сравни-

тельно умеренных значениях числа

н

М . Об этом свидетельствуют, на-

пример, экспериментальные данные о коэффициентах сопротивле-

ния сферы и цилиндра с конической головной частью, изображённые

на рис. 8.

26

x

C

н

M

.80

.40

8

6420

2

1

Рис. 8. Зависимость коэффициентов сопротивления

от числа Маха: 1 – сфера, 2 – цилиндр

с конусом

На данном рисунке показаны графики изменения указанных коэффи-

циентов в зависимости от начального значения числа Маха

н

М . Кри-

вая, помеченная индексом

1, соответствует обтеканию сферы, а кри-

вая с индексом

2

показывает обтекание цилиндра с конической голов-

ной частью. Угол полураствора конуса данной головной части равен

°30

.

Как видно из рис. 8, уже при

43...М

н

=

величины

x

C весьма близки

к асимптотическим значениям, соответствующим

∞→

н

М . Стабиль-

ность значений аэродинамических коэффициентов свидетельствует о

неизменности всей картины течения газа вблизи тела.

Если ударная волна недостаточно интенсивна, т.е. угол отклоне-

ния потока

ϖ

в ней мал, то при гиперзвуковой скорости угол

β

также

мал.

Производя следующие замены:

β≈βsin , ϖ≈ϖsin , 1≈βcos , 1≈ϖcos , (42

1

)

из равенства (35) можно получить:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β−

+

−β

β

=ϖ

2

1

2

1

н

M

k

M

.

Принято вводить следующие обозначения:

27

н

MK β=

β

и

н

MK ϖ=

ϖ

. (42

2

)

Тогда полученное равенство может быть переписано таким обра-

зом:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β−

+

−

β=ϖ

β

2

1

2

1

K

k

K

. (43)

В рассматриваемом случае

1<<β

, поэтому, умножив обе части

равенства (30) на число Маха

н

М , запишем

2

1

2

+

−

=

β

βϖ

k

K

KK

. (44)

Равенство (44)

можно переписать как квадратное уравнение отно-

сительно величины

β

K :

01

2

1

2

=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

βϖβ

KK

k

K .

Решение данного квадратного уравнения имеет следующий вид:

1

4

1

4

1

2

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

±

+

=

ϖϖβ

K

k

K

k

K .

Из физических соображений второе решение со знаком «-» не

имеет смысла, т.к. выполняется неравенство

1

4

1

4

1

2

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

<

+

ϖϖ

K

k

K

k

,

и, следовательно, величина

β

K

получается отрицательной, что невоз-

можно.

Таким образом, на гиперзвуковых скоростях обтекания при малом

угле отклонения потока

ϖ

угол наклона скачка уплотнения можно оп-

ределить по формуле

28

1

4

1

4

1

2

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

ϖϖβ

K

k

K

k

K . (45)

Остальные параметры течения при малом угле отклонения потока

получаем аналогичным образом.

Соответственно, из равенства (30) вытекает формула для опреде-

ления отношения плотностей на скачке уплотнения:

2

1

2

1

н

K

k

−

+

−

+

=

ρ

. (46)

Из равенства (22) можно получить отношение давлений в рас-

сматриваемом течении:

1

2

+

−

+

=

β

k

K

k

p

н

. (47)

Используя очевидное соотношение

1

2

1

+

−=

+

−

k

,

формулу для отношения давлений часто записывают в другом, более

удобном, виде:

(

)

1

2

1

2

−

+

+=

β

K

k

p

н

. (48)

Скорости возмущений могут быть найдены из равенств (38). С

учётом равенств (42

1

) проекция искомой скорости на ось x определя-

ется следующим образом:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

β

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β

−

+

β

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β

+

−=

β

2

1

21

1

21

1

2

K

k

M

k

M

kV

v

нн

н

x

.

Полученную формулу принято записывать в таком виде:

2

1

2

β

−

+

−=

β

K

k

V

v

н

x

. (49)

Из формулы (44) следует равенство

29

2

22

1

2

1

β

ββ

−

+

β=

+

−

β=ϖ

K

k

K

.

Полученное равенство может быть переписано в виде

2

1

211

β

−

+ϖ

=

β

K

k

. (50)

Тогда из формулы (34) следует такое соотношение:

2

1

2

1

2

β

−

+

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

ϖ

K

k

K

k

V

v

н

x

,

и окончательный результат для скорости

x

v

записывается следующим

образом:

1

2

1

2

−

+

−=

ϖ

β

K

k

V

v

н

x

. (51)

Для скорости

y

v выполняются аналогичные преобразования:

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β

+

β=

2

1

2

н

y

M

sin

k

ctg

V

v

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β

−β

+

=

β

2

1

21

1

2

K

k

M

k

н

.

Отсюда следует такой результат:

2

1

2

β

−

+

=

β

K

kV

v

н

y

.

Учитывая соотношение (50), можно записать:

2

1

2

1

2

β

−

+

=

−

+ϖ

K

k

K

kV

v

н

y

,

поэтому скорость возмущений

y

v в данном случае вычисляется по

формуле

30

1=

ϖ

н

y

V

v

. (51

1

)

Найдём теперь число Маха за скачком уплотнения. Для этого с

учётом равенства

a

V

M =

запишем тождественное выражение:

1

22

2

≡

Ma

V

.

Скорость звука определяется по формуле

ρ

=

p

ka

2

, поэтому пре-

дыдущее тождество принимает следующий вид:

1

2

≡

ρ

kpM

V

.

Приравняем два записанных комплекса параметров для начально-

го и текущего состояний:

1

2

≡

ρ

≡

ρ

н

нн

Mkp

V

kpM

V

.

Отсюда определяется число Маха после скачка уплотнения:

н

p

V

MM

ρ

=

2

. (52)

Как следует из равенств (49) и (51

1

), в случае гиперзвукового те-

чения скорость возмущений газа на скачке при малом угле пренебре-

жимо мала по сравнению со скоростью невозмущённого потока. Сле-

довательно, скорость на скачке почти не изменяется (

н

VV ≈ ). Тогда из

равенства (52) с помощью соотношений (46) и (47) получается сле-

дующая формула:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

β

+

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

−β

+

≈

2

1

2

1

2

н

M

kk

k

M

k

M

. (53)

В предельном случае, когда

∞→

2

н

M , можно записать:

1

2

+

−

β

+

≈

k

M

k

M

н

,

и для числа

M

вытекает следующее выражение:

Тюрев В.В. Гиперзвуковые течения газа

Подождите немного. Документ загружается.