Тюрев В.В. Гиперзвуковые течения газа

Подождите немного. Документ загружается.

На левом рисунке модуль производной

T∂

ϕ∂

меньше 1. На рис. 26

показан график функции

()

Tϕ и для иллюстрации способа решения

задачи приведена прямая

TT = .

Полученное уравнение удобно преобразовать к виду (73) следую-

щим образом:

стrст

ТTТ

εσ

+= . (74)

В данном случае рассматриваемая производная имеет вид

ст

Т α

εσ

∂

∂ϕ

Значит, такой записью уравнения для метода последовательных

приближений можно пользоваться для температур, определяемых не-

равенством

εσ

ст

Т . Если в качестве первого приближения вы-

брать

rст

TT =

(

ст

всегда

), то получим 14

εσ

T . Когда

дос-

таточно велико и предыдущее неравенство не выполняется, то ре-

шаемое уравнение (72) нужно переписать в следующем виде:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

εσ

−−λ+=

стrстстст

TТTTT

(75)

где

λ – параметр, который вводится в уравнение для того, чтобы в по-

лученном уравнении (75) обеспечивалось требование

∂

ϕ∂

Очевидно, что уравнения (74) и (75) эквивалентны при любом вы-

боре параметра

λ , т.к. из уравнения (74) следует, что в уравнении (75)

при верно определённой величине

ст

T выражение в скобках должно

равняться нулю, и уравнение (75) будет удовлетворяться.

Здесь функция

, введенная в рассмотрение по формуле (73),

имеет вид

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

εσ

−−λ+=ϕ

стrстстст

TТTTT

и анализируемая производная зависит от введенного параметра

λ :

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

εσ

−λ+=

∂

∂ϕ

411

ст

Параметр

λ необходимо выбрать таким, чтобы выполнялось не-

равенство

∂

∂ϕ

ст

Желательно, чтобы в дополнение к записанному требованию к

производной величина

ст

T∂

∂ϕ

была меньше нуля, тогда истинное зна-

чение корня лежит между двумя, идущими одно вслед другому при-

ближениями, и просто оценивается погрешность решения, так как она

всегда не больше, чем разница между двумя последними приближе-

ниями.

11. СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

Гипотеза сплошности среды, широко применяемая при исследо-

вании достаточно плотных газов, в условиях разреженных газов непри-

годна.

Воздух в земной атмосфере при нормальных условиях на уровне

моря в

1 см содержит

106872 ⋅. молекул, длина среднего свободно-

го пробега молекулы равна

м,

10636

−

⋅

, среднее расстояние между

центрами молекул –

см

−

⋅ . Каждая молекула в одну секунду ис-

пытывает до 10 млрд (

10 ) столкновений. Если молекулы газа столк-

нутся с движущимся телом, то они почти мгновенно за время, намного

меньшее, чем характерное время процесса

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=τ

хар

, через соуда-

рения с другими молекулами передадут им часть кинетической энер-

гии, и возмущающее действие тела распространится на всю окружаю-

щую тело среду.

С увеличением высоты уменьшается плотность воздуха, и длина

свободного пробега молекул может стать соизмеримой, а затем пре-

взойти размеры обтекаемого тела. В этом случае отразившиеся от те-

ла молекулы, могут столкнуться с другими молекулами только вдали

от тела. Таким образом, возмущающее действие тела не будет рас-

пространяться на непосредственно окружающую его среду и гипотеза

сплошности теряет смысл. Значит, необходимо учитывать молекуляр-

ную структуру газа.

При свободно-молекулярном течении, как уже указывалось, моле-

кулы, отраженные от тела, движущегося в неограниченном потоке, не

оказывают влияния на невозмущенный поток. Следовательно, в окре-

стности обтекаемого тела не должны возникать ударные волны и не

должен образовываться «пограничный слой».

На основании этих соображений при расчете теплопередачи и

аэродинамических характеристик тел, движущихся в свободно-

молекулярном потоке, можно рассматривать независимо два течения:

течение, образованное молекулами, сталкивающимися с телом при

его движении, и течение, образованное молекулами, отраженными от

тела или испускаемыми им.

При вычислении потока количества движения или энергии моле-

кул, достигающих поверхности тела, предполагается, что газ нахо-

дится в состоянии местного максвелловского равновесия. Поэтому ре-

зультаты таких вычислений при рассмотрении течений на больших вы-

сотах необходимо использовать с некоторой осторожностью, так как в

настоящее время наши знания о состоянии и составе верхней атмо-

сферы все еще ограничены.

12. РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

При изменении длины свободного пробега молекул изменяется и

характер взаимодействия тела с окружающей средой. Существенным

параметром, влияющим на аэродинамические характеристики летяще-

го тела, является средняя длина свободного пробега частицы

– ста-

тистически средняя величина расстояния, проходимого частицами

среды между последовательными столкновениями.

Изменение величины

в зависимости от высоты над уровнем

земли (для нейтральных частиц) приведено в табл. 1.

Таблица 1

Изменение характерных параметров атмосферы по высоте

Н[км] l[м] Т[град K] p[Н/м

]

[кг/м

]

6.6 10

-8

288

1.013 10

1.22

10 2.0 10

-7

223 25000 0.42

9.1 10

-7

216

5400

0.088

4.4 10

-6

226

1100

0.018

2.0 10

-5

250

314

4.2 10

-3

7.9 10

-5

270

1.15 10

-3

2.6 10

-4

247

3.5 10

-4

9.8 10

-4

220

6.1

1.1 10

-4

4.4 10

-3

198

1.26

1.7 10

-5

2.4 10

-2

187

0.23

4.1 10

-6

100

1.4 10

-2

196

0.054

7.2 10

-7

120

2.9

334

7.9 10

-3

6.6 10

-8

140

15.7

559

2 10

-3

1.3 10

-8

160

53.4

695

7.7 10

-3

3.4 10

-8

180

120

775

3.8 10

-4

1.3 10

-8

200

233

854

2.2 10

-4

6.3 10

-10

Окончание табл. 1

Н[км] l[м] Т[град K] p[Н/м2]

[кг/м3]

220

418

889

1.3 10

-4

3.4 10

-10

240 697 924 3.09 10

-4

7.8 10

-11

260 1115 947 1.98 10

-5

4.73 10

-11

280 1722 959 1.3 10

-5

2.97 10

-11

300 2596 970 8.71 10

-6

1.91 10

-11

320 3936 981 5.81 10

-6

1.2310

-11

340 5903 987 3.9 10

-6

8.04 10

-12

360 8008 990 2.88 10

-6

5.80 10

-12

380 11380 993 2.03 10

-6

4.00 10

-12

400 15990 995 1.45 10

-6

2.79 10

-12

420 22293 996 1.04 10

-6

1.98 10

-12

440 30889 996 7.52 10

-7

1.40 10

-12

460 42175 997 5.51 10

-7

1.01 10

-12

480 57306 997 4.06 10

-7

7.22 10

-13

500 77181 998 3.01 10

-7

5.21 10

-13

550 1.537 10

999 1.51 10

-7

2.38 10

-13

600 2.84 10

1000 8.21 10

-8

1.13 10

-13

650 4.77 10

1000 4.88 10

-8

5.72 10

-14

700 7.31 10

1000 3.19 10

-8

3.08 10

-14

750 1.03 10

1000 2.26 10

-8

1.79 10

-14

800 1.3710

1000 1.70 10

-8

1.14 10

-14

850 1.73 10

1000 1.31 10

-8

7.79 10

-15

900 2.14 10

1000 1.09 10

-8

5.76 10

-15

950 2.59 10

1000 8.98 10

-9

4.43 10

-15

1000 3.11 10

1000 7.51 10

-9

3.56 10

-15

1050 3.56 10

1000 6.55 10

-9

3.04 10

-15

1100 4.08 10

1000 5.72 10

-9

2.60 10

-15

1150 4.65 10

1000 5.01 10

-9

2.24 10

-15

1200 5.26 10

1000 4.43 10

-9

1.95 10

-15

Средняя длина свободного пробега

может быть подсчитана по

формуле, известной из кинетической теории газов:

ρπ

где

– число молекул в см

;

– эффективный радиус молекулы;

nm=ρ – плотность газа; т – масса молекулы.

Так как эффективный радиус не может быть определён непосред-

ственным измерением, то более целесообразно выразить длину

свободного пробега

через количественно измеряемые величины, на-

пример через вязкость газа. В соответствии с данными кинетической

теории газа динамический коэффициент вязкости может быть записан

следующим образом:

lV.

ср

ρ=µ 4990 ,

где

ср

V – средняя скорость молекул, связанная со скоростью звука a

соотношением

ср

Следовательно, длину свободного пробега можно вычислить по

формуле

k.l

= 2551

. (76)

При очень больших разрежениях реализуется свободно-

молекулярный режим. В этом случае длина свободного пробега моле-

кул в несколько раз больше размеров тела.

С уменьшением разрежения, когда длина свободного пробега мо-

лекул соизмерима с размерами тела, реализуется переходный режим.

При умеренном разрежении, когда длина свободного пробега мо-

лекул мала по сравнению с характерным размером тела, имеет место

течение со скольжением.

В качестве параметра, характеризующего режимы течения, при-

нимают число Кнудсена

Kn =

где

– длина свободного пробега;

– характерный размер тела.

Величину

можно взять из приведенной выше таблицы.

При наличии пограничного слоя число Кнудсена определяется по

толщине пограничного слоя

δ :

Число

Kn можно выразить через известные критерии подобия.

С использованием определений для введённых выше чисел Кнуд-

сена получаем соотношение

KnKn

. (77)

Число Кнудсена, согласно формуле (76) и с учетом равенства

=ν

где

ν – кинематический коэффициент вязкости, можно записать сле-

дующим образом:

aLV

== 25512551

Окончательно, выражение для числа Кнудсена через известные

критерии подобия преобразуется к виду

k.Kn 2551= ,

где в выражения для чисел

Kn и Re входит одна и та же харак-

терная длина.

С учётом равенства (77) можно записать:

k.Kn 2551

Так как толщина пограничного слоя

δ зависит от чисел Маха и

Рейнольдса, то границы течений также должны определяться ком-

плексом параметров из чисел

и Re .

Разделение газовой динамики на различные режимы течения, ос-

новывающееся на характерных значениях соответствующего числа

Кнудсена, является весьма условным. Наиболее часто принимают, что

влияние разреженности газа следует учитывать, если длина свободно-

го пробега превышает 1 % от толщины пограничного слоя. Это значе-

ние соответствует границе между течением сплошной среды и «тече-

нием со скольжением».

Следовательно, газовая динамика континуума соответствует зна-

чениям

010.

Так как, согласно теории ламинарного пограничного слоя, при дос-

таточно больших числах Рейнольдса

ReL

≈

то, с учётом записанных выше равенств, получаем следующие соот-

ношения:

01025512551 .

Rek

Таким образом, приближённо границу целесообразности приме-

нения гипотезы сплошности среды можно записать в виде

010.

< .

Эпюра скоростей в пограничном слое для течения сплошной сре-

ды показана на рис. 27, а.

Рис. 27. Течение газа вблизи твёрдой границы:

а – течение б – течение в – свободно-

сплошной среды; со скольжением; молекулярное течение

При очень малых числах Рейнольдса в качестве характерного

размера следует принять не толщину пограничного слоя, а некоторый

линейный размер (например, диаметр

канала). В этом случае число

Кнудсена равно

и в качестве границы течения континуума можно

принять:

010.

< при

1<Re

За областью течения сплошной среды находится область «тече-

ния со скольжением». Для «течения со скольжением» не справедлива

гипотеза прилипания. Такое течение характеризуется, в частности,

тем, что слой газа, примыкающий к поверхности тела, имеет конечную

составляющую скорости, касательную к телу.

Течение со скольжением возникает в том случае, когда свободный

пробег молекул

не пренебрежимо мал по сравнению с толщиной по-

граничного слоя

,но значительно меньше последней:

δ<l

, то про-

филь скорости направленного движения газа имеет форму, изобра-

жённую на рис. 27, б.

При расчёте «течения со скольжением» также можно использо-

вать уравнения газовой динамики сплошной среды. Однако при иссле-

довании таких течений следует в граничные условия на твёрдой по-

верхности вводить поправку на так называемое «скольжение» и «ска-

чок температуры».

В качестве верхней границы области «течения со скольжением»

(т.е. течений, характеризующихся, в частности, тем, что слой газа,

примыкающий к поверхности тела, имеет конечную, касательную к те-

лу, составляющую скорости) принимают значение

порядка 10 %.

Следовательно, область течения со скольжением ограничена преде-

лами

10010 .

. << при 1>Re ;

10010 .

. << при 1<Re .

При очень больших значениях числа Кнудсена (

1>>Kn ) погранич-

ный слой у поверхности тела не образуется, так как реэмитированные

(отражённые) поверхностью тела молекулы сталкиваются с молекула-

ми внешнего потока на далёком от тела расстоянии. Таким образом,

тело не вносит искажений в поле скоростей внешнего потока. Эта об-

ласть течения называется областью «свободно-молекулярного тече-

ния газа».

По имеющимся данным такое течение наблюдается при

Профиль скоростей свободно-молекулярного течения показан на

рис. 27, в. В рассматриваемой области трение и теплообмен на по-

верхности обтекаемого тела рассчитываются из условия однократного

столкновения молекул газа с поверхностью.

Переходная область между режимом со скольжением и свободно-

молекулярным режимом представляет собой большую сложность для

изучения, так как в ней приходится учитывать как столкновение моле-

кул между собой, так и неоднократные столкновения их с телом, а это

создаёт большие теоретические трудности.

Каждый режим течения газа реализуется в определенном диапа-

зоне изменения чисел Кнудсена. Строгих границ между течениями

провести нельзя. Полученные выше границы носят условный характер,

но точность результатов расчётов по изложенной выше методике

удовлетворяет требованиям, предъявляемым в настоящее время к

подобным исследованиям.

Ниже приведена сводка границ описанных областей:

010.

< – течение сплошной среды;

10010 .

. <≤ – течение со скольжением;

310 <≤

;

. – переходный режим;

3≥

– свободно-молекулярное течение.

Это разграничение удобно тем, что нет необходимости вычислять

толщину пограничного слоя. Коэффициент

, входящий в число

e ,

можно вычислить из формулы

k.l

= 2551

в результате получается следующее выражение:

Свободно-молекуляр-

ное течение

Переходный

режим

Скольже-

ние

Течение

сплошной

среды

10.

010.

Рис. 28. Границы различных режимов течения разреженного газа

2551

=ν

Длину свободного пробега

находим из табл. 1, скорость звука

определяем по формуле

kRTa = .

Газовая постоянная имеет следующее значение:

градкг

дж

⋅

= 287

На рис. 28 показаны описанные выше области различных режимов

течения газа и границы приведенных режимов.

Сопоставляя данные рис. 28 с длиной свободного пробега из табл.

1, можно получить представление о связи между высотой полёта и

границами различных режимов. Для ракеты длиной 3 м влияние

скольжения начинается с высоты 50 км при

и 30 км при 4=

Свободно-молекулярное течение устанавливается при любой скорости

полёта, начиная с высоты 140 км.

Из кинетической теории газов следует, что средняя скорость бес-

порядочного движения молекул определяется по формуле

∞

= a

а наиболее вероятная скорость

c по формуле

∞

= a

13. МАКСИМАЛЬНАЯ РАДИАЦИОННАЯ ТЕМПЕРАТУРА

Пусть на рассматриваемую стенку, перпендикулярно ей, набегает

поток со скоростью

∞

V . На стенке выделяется элемент площади s

на

который

опирается цилиндрическая поверхность высотой

. Объём га-

за, находящегося внутри данной поверхности, определяется по фор-

муле

slW ⋅= .

Масса газа в выделенном объёме находится следующим образом:

ρ⋅⋅=ρ⋅= slWm

Кинетическая энергия газа в выделенном объеме вычисляется в

соответствии с равенством

∞∞

sVlmV

Эта энергия передается площадке за время

∞

=τ

. За единицу

времени площадке сообщается энергия

∞

, а на единицу

площади поставляется поток энергии, равный

∞

пост

. В резуль-

тате стенка нагревается до температуры

T и излучает поток энергии,

равный

wизл

Tq εσ= .

В равновесном состоянии температура стенки принимает такое

значение, что

излпост

qq = , тогда

εσ=

∞

εσ

∞

Величина

называется максимальной радиационной темпера-

турой.