Тюрев В.В. Гиперзвуковые течения газа
Подождите немного. Документ загружается.
11
O
dr
r
V
V
H
δ
rd
θ
d
θ
µ
θ
C
Рис. 4. Схема течения
около выпуклого угла
Как было показано выше, при обтекании внешнего угла, мало от-
личающегося от угла, равного 180
0
, происходит ускорение потока и
уменьшение давления. Поворот потока на конечный угол
ϖ
можно
представить себе в виде бесконечного числа поворотов на бесконечно
малые углы. Следовательно, поворот потока на угол
ϖ
приводит к
увеличению скорости потока в секторе
21
OCC от
1
V на характеристике
1
OC до
2
V на характеристике
2
OC и уменьшению давления от
1
p до
2
p . В связи с этим сектор
21
OCC называют сектором разрежения.
После каждого бесконечно малого поворота потока возмущения,
исходящие из точки
О , ограничены слева своей характеристикой. Та-
ким образом, сектор
21
OCC
представляет собой семейство характери-
стик, исходящих из точки
О . Вдоль каждой характеристики параметры
течения постоянны и непрерывно изменяются при переходе от одной
характеристики к другой. Вершина угла
О является особой точкой и из
рассмотрения исключается.
Очевидно, что величина скорости
2
V вдоль стенки OB зависит
как от величины скорости
1
V вдоль стенки OA , так и от величины угла
поворота вектора потока
ϖ . Необходимо определить эту зависимость.
На рис. 3 из точки
О проведена промежуточная линия возмуще-
ний
OC
, находящаяся в секторе возмущений
21
OCC
. Бесконечно ма-
лые изменения параметров потока при прохождении через линию воз-
мущений
OC
должны удовлетворять соотношениям (6) – (10), которые
позволяют вычислить изменение параметров гиперзвукового потока в
зависимости от изменения числа Маха в рассматриваемом потоке.
На рис. 4 изображены схема течения в
районе характеристики
OC и произволь-
ная линия тока, пересекающая указанную
характеристику. Секундный массовый рас-
ход газа
сек
m между линией тока и полю-
сом течения
О для всех характеристик
есть величина постоянная. Из рисунка
видно, что скорость потока
V
составляет с
характеристикой угол
µ , поэтому нор-
мальная к характеристике составляющая
скорости, обозначенная через
n
V , может
быть вычислена следующим образом:
a
V
Va
M
V
sinVV
n
===µ=
.
Длина радиус-вектора, проведенного из полюса
О
в точку пере-
сечения траектории с характеристикой
OC , обозначена через
r
, и
массовый расход газа
сек
m определяется по формуле
12
constarm
сек
=ρ= .
Если взять дифференциал от обеих частей полученного равенст-
ва, можно записать:
0=ρ+ρ+ρ adrdarard
.
Поделив почленно обе части этого выражения на предыдущее ра-
венство, имеем
0=++
ρ
ρ
r
dr
a
dad
. (13)
Угол Маха в случае гиперзвуковой скорости (
1>>
М
) определяется
следующей приближённой зависимостью:
MM
arcsin
11
==µ
. (14)
Изображённые на рис. 4 угол отклонения потока от первоначаль-
ного направления
δ
и угол между заданной характеристикой и перво-
начальным направлением потока
θ связаны между собой очевидными
равенствами:
δ+=δ+µ=θ
M
1
. (15)
Здесь принимается во внимание, что направление отсчёта углов
µ
и δ противоположны ( 0>µ , 0<δ , так как отсчёт ведётся против ча-
совой стрелки).
Из рис. 4 видно, что выполняются следующие равенства:
Mctg
V
V
rd
dr
r
−=µ−==
θ
θ
, (16)
так как при
1>>
М
, согласно соотношению (14),
M
sin
ctg =
µ
≈µ
1
.
Подставляя равенство (16) в формулу (13), запишем
0=θ−+
ρ
ρ
Md
a
dad
. (17)
Из соотношения (3) можно получить выражение для скорости
звука:
13
V
dV
M
k
a
da
2
2
1−
−= .
Равенство (4) даёт соотношение для плотностей
ρ
ρd
изучаемого
течения. Сумму первых двух слагаемых в равенстве (17) перепишем
таким образом:
=
−
−−=+
ρ
ρ
V
dV
M
k
V
dV
M
a
dad
22
2
1
.
2
1
2
1
1
22
+
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+−=
k
V
dV
M
k
V
dV
M
Отношение
V
dV
получается из равенства (6):
3
1
2
M
dM
kV
dV
−
=
.
Поэтому можно записать:
M
dM
k
k
M
dM
k
k
M
a
dad
1
1
1
2
2
1
3
2
−
+
−=
−
+
−=+
ρ
ρ
.
Подставив данное выражение для искомой суммы в равенство
(17), получим дифференциальное уравнение
2
1
1
M
dM
k
k
d
−
+
−=θ
.
Проинтегрировав это уравнение, имеем
C
Mk
k
+
−
+
=θ
1
1
1
После подстановки пределов записанное равенство преобразу-
ется таким образом:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
=θ−θ
H
н
MMk
k 11
1
1
.
Учитывая, что
δ+µ=θ , и при условии, что начальному значению
н
µ=µ отвечает 0=δ
н
, можно записать:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
=µ−δ+µ
H
н
MMk
k 11
1
1
. (17
1
)
Поскольку справедливы равенства
14
M
1
=µ и
H
н
M
1
=µ
,
выражение (17
1
) переписываем в виде
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=δ 1
1
111
k
k
MM
H
.
Окончательно для гиперзвукового течения получается следующая
связь между числом Маха и углом отклонения потока:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=δ
H
MMk
11
1
2
, (18)
где
M
и
H
M – текущее и начальное значения числа Маха.
Необходимо разрешить уравнение (18) относительно текущего
значения числа Маха. Рассматриваемое уравнение запишется в виде
1
2
1
−=δ
−
M
M
M
k
H
H
.
Записанное равенство можно преобразовать таким образом:
H
H
M
k
M
M
δ
−
+=
2
1
1 . (19)
После подстановки этого значения в выражения (7) – (12) получа-
ют формулы для определения текущих значений параметров течения
при гиперзвуковом обтекании выпуклого тупого угла.
В частности, формула для давления имеет вид
1
2
2
1
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ
−
+=
k
k
H
H
M
k
p
p
. (20)
Зависимость температуры газа от начального значения числа Ма-
ха и угла поворота потока может быть найдена по следующей форму-
ле:
2
2
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ
−
+=
H
H
M
k
T
T
. (21)
Аналогичным образом определяют зависимость скорости звука в
газе от чисел
H
M и δ :
H
H
M
k
a
a
δ
−
+=
2
1
1 . (22)
15
V
V
H
δ
y
v
x
v
Рис. 5. Схема векторов
скорости
Соответствующее значение для плотности газа определяется та-
ким образом:
1
2
2
1
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ
−
+=
ρ
ρ
k
H
H
M
k
. (23)
Расчёты показывают, что все полученные формулы точны при
5>>
H
M .
Предельный угол отклонения потока
пр
δ соответствует расшире-
нию газа до полного вакуума (
0=p ). Тогда из формулы (20) имеем
()
H
пр
Mk 1
2
−
−=δ
. (24)
Во всех полученных формулах положительными считаются углы,
которые показывают вращение против часовой стрелки. В соответст-
вии с данным правилом отсчёта углов при отклонении потока по часо-
вой стрелке угол считается отрицательным (
0<δ
).
Анализ записанных формул показывает, что произведение угла
отклонения потока на начальное значение числа Маха
δ
H
M
, которое
входит во все расчётные формулы как слитная величина, является ос-
новным параметром, определяющим данное течение.
Если ограничиться случаем
малого отклонения потока около вы-
пуклого тупого угла, то получится
схема векторов скорости течения и
скорости возмущений, показанная
на рис. 5. Из рисунка следуют такие
соотношения между скоростями
возмущений и полной скоростью
потока:
δ=+ cosVvV
xH
, δ= sinVv
y
. (25)
При малых углах отклонения потока справедливы следующие ра-
венства:
2
1
2
δ
−≈δcos
, δ≈δsin .
Поэтому полученные выше соотношения можно переписать в виде
16
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
δ⋅=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ
−=
.Vv
,VVv
y
Hx
2
1
2
(26)
Для исследования гиперзвуковых течений необходимо получить
выражения для компонент скорости возмущения через параметры не-
возмущённого газа и угол поворота потока
δ .
Из равенства (26) имеем
2
1
2
δ
−
+
=
Hx
Vv
V
. (27)
Соотношение (12) преобразуется в следующее выражение:
1
1
1
1
1
2
2
2
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
k
M
M
M
V
V
H
H
H
. (27
1
)
С учётом равенства (19) получим
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ
−
+−=−
2
2
2
2
1
111
H
H
M
k
M
M
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
δ
δ−−=
4
11
1
22
k
M
Mk
H
H
,
поэтому формула (27
1
) может быть записана следующим об-
разом:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
δ
δ−=
4
11
1
2
k
MV
V
HH
.
Используя равенство (27), имеем
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
δ
δ−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ
−
+
4
11
1
2
1
2
2
k
M
V
Vv
H
H
Hx
.
Отсюда получается такой результат:
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
δ
δ−=+
2
1
4
11
11
2
2
k
MV
v
HH
x
17
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
δ
δ
+
δ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
δ
δ−=
4
11
224
11
1
42
2
k
M
k
M
HH
.
Пренебрегая вследствие малости членами порядка
4
δ по сравне-
нию с членами порядка
2
δ , получаем следующее выражение:
244
1
22
2
δ
−
δ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
δ
δ−=
k
MV
v
HH
x
.
Окончательно, величина проекции скорости возмущений на ось
x
при малых значениях угла поворота потока может быть вычислена по
формуле
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
δ
δ−=
4
11
2
k
MV
v
HH
x
. (28)
Для определения скорости возмущений
y
v
можно принять во
внимание, что при малых углах
δ с точностью до величин порядка
2
δ
справедливо равенство
H
VV = , следовательно, скорость
y
v можно
вычислить по формуле
δ⋅=
Hy
Vv
. (29)
При использовании формул (28) и (29) необходимо учитывать, что
в рассматриваемом случае угол
δ считается отрицательным.
Анализ полученных формул показывает, что в гиперзвуковом те-
чении около выпуклого угла поперечное возмущение скорости имеет
порядок величины
δ , а продольное возмущение – порядок
2
δ . Следо-
вательно, поперечное возмущение скорости потока, по крайней мере,
на порядок превосходит продольное возмущение
yx
vv >> . Это озна-
чает, что в рассматриваемом течении происходит как бы смещение
частиц по нормали к направлению невозмущённого потока, величина
же продольной скорости практически не изменяется.
3. ПЛОСКИЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ В ГИПЕРЗВУКОВОМ
ТЕЧЕНИИ
Остановимся теперь на соотношениях, характеризующих плоский
косой скачок уплотнения, который возникает при обтекании вогнутого
тупого угла с гиперзвуковой скоростью (такой угол называют также
внутренним углом).
Как известно [3], в таком потоке изоэнтропическое течение невоз-
можно. При этом изменяется энтропия и появляются скачки уплотне-
ния (рис. 6).
18
C
B
V
V
n
V
нn
V
н
V
V
v
F
N
D
V
н
O
A
Рис. 6. Схема течения во внутреннем угле
На рис. 6 и в дальнейшем изложении приняты следующие обозна-
чения:
OAB – обтекаемый внутренний угол;
OC
– линия пересечения плоскости скачка уплотнения с плоско-
стью чертежа;
DN
F
– линия тока;
ϖ – угол поворота потока;
H
V
– начальная скорость до скачка уплотнения;
нn
V – составляющая начальной скорости
H
V , нормальная к по-
верхности скачка;
τ
V – составляющая скорости, касательная к поверхности скачка;
V
– скорость после скачка уплотнения;
n
V – составляющая скорости
V
после скачка, нормальная к по-
верхности скачка;
v
– скорость возмущений ( vVV
H
+= );
β – угол наклона фронта скачка уплотнения к вектору начальной
скорости
H
V ;
α – угол наклона фронта скачка уплотнения к вектору скорости
после скачка уплотнения
V
.
На скачках уплотнения уменьшается скорость потока и растёт
давление. При этом часть кинетической энергии потока необратимым
образом переходит в тепловую. Указанные процессы приводят к тому,
19
что при сверхзвуковых скоростях обтекания даже в идеальном газе
появляется дополнительное сопротивление.
При переходе через косой скачок уплотнения плотность изменяет-
ся по следующему закону [3]:
β
−
+
−
+
=
ρ
ρ
22
1
1
2
1
1
1
sinM
k
k
k
н
н
. (30)
Формулу (30) можно переписать ещё в виде
β
−
+
β
+
=
ρ
ρ
22
22
2
1
1
2
1
sinM
k
sinM
k
н
н
н
. (31)
Изменение давления в таком скачке может быть найдено:
по формуле
1
1
1
2
2
2
+
−
−β
+
=
k
k
sinM
k
k
p
p
н
н
, (32)
или по формуле
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−β
+
=
ρ
−
2
2
2
1
1
2
ннн
н
M
sin
k
V
pp
. (33)
Согласно рис. 6, связь между углом отклонения потока на скачке
уплотнения и углом наклона скачка определяется по формуле
α−β=ϖ . (34)
Зависимость угла отклонения потока на скачке уплотнения от угла
наклона фронта скачка
β
можно определить из следующих соображе-
ний.
Из закона сохранения количества движения следует, что при про-
хождении газа через скачок уплотнения касательная к поверхности
скачка составляющая скорости
τ
V не изменяется, а нормальная со-
ставляющая уменьшается (рис. 7). Поэтому концы векторов скорости
н
V и
V
будут лежать на одном перпендикуляре к поверхности скачка
уплотнения.
Используя данные рис. 7, для угла
ϖ запишем следующее выра-
жение:
20
τ
V
V
V
n
V
н
n
V
н
n
V
н
n
V
−
Рис. 7. Расположение векторов
скорости на скачке уплотнения
(
)
()
β−−
β−
=ϖ
sinVVV
cosVV
tg
nнnн
nнn
.
Умножив числитель и
знаменатель на нормальную
скорость
нn
V
, имеем:
(
)
()
β−−
β−
=ϖ
sinVVVVV
cosVVV
tg
нnnнnнnн
нnnнn
2
2
.
Произведение нормальных компонентов скорости на скачке опре-
делится по формуле [3] :
22
1
1
τ
+
−
−= V
k
k
aVV
крnнn
,
поэтому предыдущее выражение преобразуется к виду
β
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+−−
β
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+−
=ϖ
τ
τ
sinV
k
k
aVVV
cosV
k
k
aV
tg
крнnнnн
крнn
222
222
1
1
1
1
.
Учитывая равенства
β= sinVV
ннn
, β=
τ
cosVV
н
, можно получить:
=
β
+
−
−+β
β
+
−
+−β
β=ϖ
22222
22222
1
1
1
1
cosV
k
k
acosV
cosV
k
k
asinV
ctgtg
нкрн
нкрн
=
β
+
−
−+β
β
+
−
+−β−
β=
22222
222222
1
1
1
1
cosV
k
k
acosV
cosV
k
k
acosVV
ctg
нкрн
нкрнн