Тюрев В.В. Гиперзвуковые течения газа

Подождите немного. Документ загружается.

()

−

→

При

M , стремящемся к бесконечности, согласно равенству (44),

ϖ=β

Поэтому число Маха

стремится к такому пределу:

()

−ϖ

→

Иначе говоря, в случае

∞→

M при малых углах наклона скачка

β число Маха за скачком будет большим. Если скачок имеет неболь-

шую интенсивность, то числа Маха перед скачком и за ним при гипер-

звуковой скорости имеют значения одного и того же порядка.

При рассмотрении течения Прандтля – Майера все параметры

были представлены в функции угла отклонения потока, тогда как для

течения за скачком найдены зависимости, содержащие угол наклона

самого скачка.

Для удобства вычислений необходимо выразить параметры тече-

ния газа после скачка уплотнения через угол поворота потока

. Вы-

ражение (45) можно переписать в таком виде:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ϖ

=β

ннн

Таким образом,

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=−β=−

ннн

−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

нн

Искомое выражение для угла

через угол

преобразуется к ви-

ду

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ϖ

=−β 1

нннн

M . (54)

Для сильных возмущений, когда выполняется неравенство

∞→ϖ

M , данное равенство можно переписать таким образом:

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=−β

нн

Следовательно, при больших числах Маха искомая формула име-

ет вид

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≈−β

нн

. (55)

Подставляя равенство (55) в формулы (46) – (49), можно предста-

вить изменение давления и плотности на скачке уплотнения, а также

величины возмущений скорости в функции угла отклонения потока (уг-

ла встречи потока с поверхностью тела).

Для вычисления сил, действующих на тело в гиперзвуковом пото-

ке газа, необходимо знать распределение давления по поверхности

обтекаемого тела. Для сильных возмущений (

∞→ϖ

M ), с учётом ра-

венства (48), формула для изменения давления принимает такой вид:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Легко видеть, что искомое давление может быть вычислено по

следующей формуле:

()

1 ϖ

. (56)

Из полученных зависимостей следует, что при гиперзвуковых ско-

ростях в плоском скачке уплотнения изменение параметров определя-

ется (как и в течении Прандтля – Майера) одним критерием

β=ϖ

– произведением числа Маха на угол отклонения потока.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ПЛОСКУЮ ПЛАСТИНУ,

НА БОЛЬШИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

ПРИ МАЛОМ УГЛЕ АТАКИ

Полученные выше результаты дают возможность вывести про-

стые формулы для коэффициентов подъёмной силы и лобового со-

противления пластины, обтекаемой газовым потоком с гиперзвуковой

скоростью при малом угле атаки (рис. 9).

нижн

верх

∞

Рис. 9. Схема обтекания плоской пластины

Как известно, при обтекании любого тела сверхзвуковым потоком

возмущения, вызванные телом в потоке газа, вперёд против потока не

передаются. Поэтому часть линии тока

, расположенная перед

пластиной, остаётся прямой линией. В потоке невязкой жидкости или

газа любая линия тока может рассматриваться, как граница потока.

Задача обтекания пластины потоком газа, в связи с указанным обстоя-

тельством, может быть разбита на две задачи:

1) изучение течения выше линии

AOBx ;

2) изучение течения ниже линии

AOBx .

Первая задача исследует обтекание внешнего угла и выше рас-

сматривалась как течение Прандтля – Майера. Вторая задача изучает

явление обтекания внутреннего угла и ранее рассматривалась как

плоский скачок уплотнения.

В дальнейшем параметры невозмущённого потока будут помече-

ны индексом «

∞

», параметры на верхней поверхности пластины – ин-

дексом «

», а на нижней поверхности – индексом «

».

Коэффициент равнодействующей аэродинамической силы, сов-

падающей в данном случае с нормальной силой, направлен перпенди-

кулярно к пластине и равен

∞∞

−

вн

Принимая во внимание равенство

∞∞

∞

∞∞

ρ kMp

коэффициент нормальной силы можно определить по формуле

∞

∞∞

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

. (57)

Здесь уменьшаемое есть безразмерное давление на нижней сто-

роне пластины (за скачком) и определяется по формуле (48):

()

−β

∞

Вычитаемое в правой части равенства (57) представляет собой

безразмерное давление на верхней стороне пластины (как при обтека-

нии выпуклого тупого угла), которое, согласно формуле (20), при

ϖ−=δ имеет вид

−

∞

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

Подставляя данные выражения в равенство (40), можно получить:

()

111

∞

−

∞∞

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−+−β

Заменив первую круглую скобку согласно равенству (54), получа-

ем для коэффициента нормальной силы такую формулу:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∞

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

−

∞

. (58)

Если угол наклона пластины

ϖ равен или больше предельного уг-

ла поворота потока в течении Прандтля – Майера, который определя-

ется в соответствии с равенством (24)

()

∞

−

−=ϖ

Mk 1

то на верхней стороне пластины устанавливается полный вакуум. В

этом случае величина, стоящая в квадратных скобках выражения (58),

равна нулю.

При малых углах атаки коэффициенты подъёмной силы

C и ло-

бового сопротивления

C связаны с коэффициентом нормальной си-

лы следующим образом:

121

∞

02.

61.

21.

80.40.

20.

−

40.

∞

Рис. 10. Распределение давления

для первой пары тел

∞

02.

61.

21.

80.40.

∞

80.80.

−

.80

−

61.

Рис. 11. Распределение давления

для второй пары тел

yyya

CcosCC ≈ϖ= , ϖ≈ϖ≈ϖ=

yayyxa

CCsinCC . (59)

При бесконечном увеличении числа Маха (

∞→

∞

M ) имеем

()

1 ϖ+= kC

()

1 ϖ+= kC

Как видим, аэродинамические коэффициенты при очень больших

значениях числа

∞

M и при малых углах атаки весьма малы и, кроме

того, зависят от величины

∞

M . В общем случае эти коэффициенты за-

висят от критерия

K .

5. О ГИПЕРЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ ТОНКИХ ЗАОСТРЁННЫХ

В ПЕРЕДНЕЙ ЧАСТИ ТЕЛ

Результаты, полученные

ранее, могут быть применены

непосредственно к расчёту

гиперзвукового обтекания

тонкого заострённого спереди

тела (рис. 10 - 12). Течение у

поверхности такого тела

представляет собой либо

течение за косым скачком

уплотнения (при положи-

тельном угле отклонения

потока), либо течение

Прандтля – Майера (при

отрицательном угле отклонения потока).

Как уже было показано

выше, в таких случаях при

малых углах заострения тела

и малых углах атаки основной

критерий подобия представ-

ляет собой произведение

числа Маха набегающего

потока

∞

M на некоторый

характерный угол

. Под

величиной

может

подразумеваться или угол

отклонения потока

ϖ=τ

(угол

наклона поверхности тела к

набегающему потоку), или относительная толщина тела

=τ

(отно-

шение наибольшего поперечного размера тела к его длине), так как в

−

∞

02 .

61.

21 .

80 .40.

∞

Рис. 12. Распределение давления

для третьей пары тел

случае тонкого тела эти величины пропорциональны. Тонкие заост-

рённые тела, у которых критерий

constMK =τ=

∞τ

, будем называть

аффинно-подобными. Очевидно, что сохранение такого аффинного

подобия обтекания тела при изменении угла атаки

α достигается в

том случае, когда последний пропорционален характерному углу тела,

т.е. при условии

const=

. Итак, относительные величины скоростей,

коэффициенты сил аэродинамической природы и другие факторы, ко-

торые характеризуют гиперзвуковое обтекание тонкого тела, сохраня-

ют свои значения, если не изменяются величины

∞

Это подтверждается опытными данными, приведенными на

рис. 10 – 12, на которых изображены кривые значений безразмерного

избыточного давления на поверхности цилиндра с оживальной голов-

ной частью. Кривые получены при разных значениях числа Маха и для

различных величин относительной толщины оживальной части (при

нулевом угле атаки). Из рисунков видно, что кривые распре-

деления давления универсальны при изменении чисел

∞

M и

τ , если выдерживается условие аффинного подобия

constM =τ

∞

Исследования показывают, что область действия закона подобия

для гиперзвукового обтекания тонкого тела оживальной формы при-

близительно определяется следующими границами:

∞

M ,

50,

<=τ

Область применимости за-

кона подобия значительно

расширяется, если в качестве

критерия подобия вместо ве-

личины

∞

M взять величину

−τ

∞

M . Выше было пока-

зано, что при гиперзвуковом

обтекании тонкого тела про-

дольное возмущение скорости

ничтожно

∞

<< Vv

, а попе-

речная скорость пропорцио-

нальна углу наклона поверх-

ности тела:

∞

τ= Vv

Рис. 13. Обтекание тела, соот-

ветствующее модели Ньютона

Иначе говоря, тонкое тело раздвигает слои обтекающего его газа

таким образом, как будто в каждом слое (независимо от соседних сло-

ёв) происходит вытеснение газа непроницаемым подвижным поршнем

в направлении, перпендикулярном направлению движения тела. Если

всю область обтекания разбить плоскостями, перпендикулярными к

скорости набегающего потока на множество слоёв, то в каждом из них

будет наблюдаться неустановившееся движение, направленное толь-

ко параллельно этим плоскостям.

Эта особенность гиперзвуковых течений получила название зако-

на плоских сечений. С помощью данного закона нетрудно рассчитать

лобовое сопротивление тела, определяемого работой расширения эк-

вивалентного поршня соответствующей формы. Работа совершается

над газом в слое за время прохождения тела сквозь этот слой. Контур

поршня в каждый момент времени и нормальную скорость его точек

определяем исходя из формы тела, а давление на его поверхности

находим из решения задачи о неустановившемся движении газа.

6. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА

Накопленный значительный опыт показывает, что для расчёта со-

противления тела при гиперзвуковом обтекании можно использовать

закон сопротивления Ньютона, в математической модели которого по-

лагалось, что движущаяся жидкость состоит из одинаковых частиц, за-

полняющих равномерно пространство и не взаимодействующих друг с

другом. При столкновении с телом частицы газа теряют нормальную к

поверхности тела составляющую количества движения (происходит

неупругий удар), вследствие чего появляется сила давления потока на

тело. Избыточное давление газа на участки тела, расположенные по-

зади его наибольшего поперечного сечения, т.е. в аэродинамической

тени (рис. 13), Ньютон считал равным нулю.

Если элемент поверхности

тела площадью

dF наклонён к

невозмущённому набегающему

потоку под углом

ϖ , то масса

газа, в которой происходит

уменьшение количества

движения, равна

dFsinV ϖρ

∞

поэтому нормальная

составляющая силы давления

по закону Ньютона

определяется по выражению

dFsinVdP ⋅ϖρ=

∞

, (60)

а величина местного увеличения давления газа – по формуле

ϖρ==−

∞∞

sinV

pp . (61)

Коэффициент давления

определяется по следующей форму-

ле:

ϖ=

−

∞

sin

. (61

)

В общем случае обтекания тела предположение Ньютона, разу-

меется, не оправдывается в связи с тем, что возмущения, вызванные

телом в потоке, распространяются на большие расстояния от тела и

постепенно с удалением от тела ослабевают. Таким образом, сосед-

ние струйки газа имеют различные направления и величины скоро-

стей. Однако при обтекании тела с большой сверхзвуковой скоростью

закон Ньютона становится справедливым, так как в этом случае удар-

ная волна располагается близко к поверхности тела, и все струйки до

скачка уплотнения имеют одинаковое направление и величину скоро-

сти (невозмущённого потока). За скачком уплотнения упомянутые

струйки движутся в тонком слое между скачком и телом и приобретают

почти одинаковые скорости, параллельные поверхности тела. Чем

больше число Маха и тоньше тело, тем ближе к действительности

теория Ньютона. Вместе с тем, следует отметить, что даже в пре-

дельном случае при

∞→M закон Ньютона отвечает точному реше-

нию только при

Если 1≠

, то закон Ньютона неточен даже при ∞→M , так как

при этом из точного решения (41) можно получить:

ρ=−

∞∞∞

sin

Vpp

; (62)

−

=ϖ

cos

. (63)

Однако практический расчёт распределения давления по по-

верхности тела, обтекаемого гиперзвуковым потоком, с помощью за-

кона Ньютона даёт во многих случаях удовлетворительные результа-

ты, несмотря на то, что влияние вязкости в теории Ньютона не учиты-

вается.

180

120

100.

76.

°ϕ

96.

∞

300.

200.

Рис. 14. Распределение давления по поверхности

конуса, обтекаемого потоком под углом атаки.

Сравнение формулы Ньютона и

экспериментальных данных

На рис. 14 показано безразмерное давление

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∞∞

∞

в раз-

личных точках поперечного сечения конуса с центральным углом

°10

()

°=ϖ 5 . Конус обтекается потоком воздуха с числом Маха 96.M =

∞

под углом атаки

°=α 76. . Кривая на рис. 14 рассчитана по формуле

Ньютона (61

). Как видно из приведенного рисунка, эксперименталь-

ные точки лежат достаточно близко к теоретической кривой.

Пригодность формулы Ньютона для расчёта давления на теле

свидетельствует о том, что локальная картина обтекания определяет-

ся местным «углом встречи» поверхности тела с невозмущённым по-

током. Указанное обстоятельство привело к мысли о возможности рас-

чёта гиперзвукового обтекания заострённого тела по методу касатель-

ных клиньев (для осесимметричного тела – касательных конусов). В

этом методе предполагается, что местное давление в любой точке на

поверхности произвольного тела такое же, как на клине (конусе), каса-

тельном к поверхности в этой точке.

Метод касательных клиньев (конусов) менее удобен, чем формула

Ньютона, так как в общем случае зависимость давления на клине от

его угла представляется в неявном виде, а на конусе она определяет-

ся лишь численными методами.

Однако в гиперзвуковом приближении эти зависимости, как было

показано выше, удаётся получить в явной аналитической форме.

9060

80 .

60.

40 .

20.

50.dL

Рис.15. Давление на поверхности обтекаемого в продольном

направлении цилиндра со сферической головной частью

Было замечено, что можно добиться значительно лучшего совпа-

дения расчётных и экспериментальных данных, если следующим об-

разом видоизменить формулу Ньютона:

∗

sin

; (63

)

здесь

C – безразмерное давление в передней точке тела, которое

легко вычислить по теории сверхзвуковых течений идеального газа

при заданном

∗

ϖ – угле между касательной к контуру тела в этой точ-

ке и направлением набегающего потока;

ϖ – аналогичный угол в про-

извольной точке контура.

На рис. 15 показано распределение давления по поверхности

симметричного продольно-обтекаемого цилиндра со сферической го-

ловной частью при

∞

М . Сплошная линия, рассчитанная по уточ-

нённой формуле Ньютона, проходит близко к экспериментальным точ-

кам.

Показанное на рис. 15 тело имеет затупленную носовую часть, и

при

ϖ =0 величина коэффициента давления равна

C . В месте сочле-

нения носовой и цилиндрической частей касательная к образующей

носовой части тела совпадает с образующей его цилиндрической час-

ти, поэтому в пределе коэффициент давления носовой части стремит-

ся к нулю.