Тюменцев Ю.В. Оптимальное управление. Лекции-Слайды

Подождите немного. Документ загружается.

Оптимальное управление

Slide 61

Простейшие способы решения краевых задач ( I)

Редукция задачи расчета оптимальных программ к задаче

отыскания корней трансцендентной функции – 1

Необходимые условия (например, принцип максимума Понтрягина) позволяют

получить некоторую краевую задачу. Искомая экстремаль должна содержаться

среди решений этой краевой задачи.

Краевая задача для обыкновенных дифференциальных у равнений — нет хороших

алгоритмов ее непосредственного решения.

Фактически для таких уравнений мы умеем хорошо решать только задачу Коши.

Рассмотрим как пример задачу с фиксированным левым концом. Здесь на

левом конце мы имеем только n условий, хотя порядок системы равен 2n.

Проблема: Каким обра зом, используя наше умение решать задачу

Коши, построить решение краевой задачи?

Slide 62

Простейшие способы решения краевых задач ( II)

Редукция задачи расчета оптимальных программ к задаче

отыскания корней трансцендентной функции – 2

Рассмотрим одну из возможност е й решения краевой задачи, используя наше

умение решать задачу Коши.

Пусть требуется отыскать упр авление u(t), которое переводит систему

˙x = f(x, u, t) (63)

за время T − t

из одного фиксированного состояния x

в другое

фиксированное состояние x

при условии, что интеграл

J(x, u) =

F (x, u, t)dt (64)

принимает минимальное значение.

Ю. В. Тюменцев 31

Оптимальное управление

Slide 63

Простейшие способы решения краевых задач ( III)

Редукция задачи расчета оптимальных программ к задаче

отыскания корней трансцендентной функции – 3

Рассматриваемая задача сводится к отысканию функций x

, . . . , x

, . . . , ψ

, удовлетворяющих системе уравнений

˙x

= f

, . . . , x

, u

, . . . , u

, t),

= −

j=1

∂f

∂x

∂F

∂x

= ϕ

, . . . , x

, u

, . . . , u

, t, ψ

, . . . , ψ

(65)

где u = u(x, ψ, t) в каждый момент определяется из условия максимума

функции Гамильтона (56):

H = (ψ, f) =

i=0

(x, u, t).

Slide 64

Простейшие способы решения краевых задач (IV)

Редукция задачи расчета оптимальных программ к задаче

отыскания корней трансцендентной функции – 4

Решение системы (65) должно удовлетворять 2n условиям

) = x

, x

(T) = x

, i = 1, 2, . . . , n. (66)

Чтобы построить интегральную кривую системы (65), следует тем или иным

способом задать n чисел ψ

) = α

Построив по значениям x

и α

траекторию системы (65), получим при t = T

некоторые значения фазовых координат ˜x

(T). В общем случае они, конечно, не

будут равны x

(T ).

Введем невязки

= ˜x

(T) − x

Эти невязки будут, очевидно, функциями начальных з н ачений импульсов α

= X

(α

, α

, . . . , α

), i = 1, 2, . . . , n. (67)

Ю. В. Тюменцев 32

Оптимальное управление

Slide 65

Простейшие способы решения краевых задач ( V)

Редукция задачи расчета оптимальных программ к задаче

отыскания корней трансцендентной функции – 5

Чтобы решить поставленную задачу отыскания оптимальной программы, требуется

найти числа α

, α

, . . . , α

, которые обращают функции X

в нули.

Итак, исходная вариационная задача сведена к задаче отыскания нулей функций

(α

, . . . , α

Следует подчеркнуть, что функци она льная зависимость между величинами X

задана неявным образом. Чтобы найти X

, . . . , X

по заданным значениям

, . . . , α

, на до построить численное решение задачи Коши для системы (65)

порядка 2n, причем на каждом шаге численного интегрирования определять

управления u

(t), . . . , u

(t) из условий максимума фу нк ции Гамильтона, т.е.

из решения некоторой вспомогательной задачи нелинейного программирования.

Slide 66

Простейшие способы решения краевых задач (VI)

Редукция задачи расчета оптимальных программ к задаче

отыскания корней трансцендентной функции – 6

Редукция задачи определения оптимальной программы к задаче отыскания нулей

некоторой системы функций при другом задании краевых условий для системы

(65) проводится совершенно аналогично.

Система невязок ( 6 7) в случае, когда на концах заданы не все коо рдинаты,

дополняется соотношениями, получающимися из условий т рансверсальности

после исключения произвольных постоянных.

Ю. В. Тюменцев 33

Оптимальное управление

Slide 67

Простейшие способы решения краевых задач (VII)

Метод Ньютона для отыскания корней функции – 1

Задача отыскания корней функций — много разнообразных методов.

Один из самых старых методов такого рода — метод Ньютона, широко

используемый для решения прикладных задач.

Пусть имеется некоторое нулевое приближение — набор чисел {α

}, которой

соответствуют величины

= X

(α

, α

, . . . , α

Положим

= α

+ δ

Считая величины δ

малыми, примем

≡ X

(α

+ δ

, . . . , α

+ δ

) = X

j=1

∂X

∂α

α=α

i = 1, 2 , . . . , n.

Slide 68

Простейшие способы решения краевых задач ( VIII)

Метод Ньютона для отыскания корней функции – 2

Выберем теперь величины δ

так, чтобы правые части этих ра венств обратились

в нуль. Это дает нам n линейных уравнений относительно n величин

, . . . , δ

. Введем матрицу A(α):

A(α) =

∂X

∂α

, i, j = 1, . . . , n.

Будем обозначать A(α

) через A

. Тогда уравнение относительно вектора

= δ

, . . . , δ

запишется в виде

= −X

или

= −A

−1

. (68)

Ю. В. Тюменцев 34

Оптимальное управление

Slide 69

Простейшие способы решения краевых задач ( IX)

Метод Ньютона для отыскания корней функции – 3

Примем теперь вектор α

+ δ

= α

и повторим процесс.

Общая схема итераций имеет следующий вид:

= −A

−1

k−1

, α

= α

k−1

+ δ

. (69)

На каждой и терации н ужно вычислять матрицу A, причем производные придется

находить численно.

Это требует решения n + 1 задач Коши для системы (65) , порядок которой равен

2n.

Slide 70

Простейшие способы решения краевых задач ( X)

Метод Ньютона для отыскания корней функции – 4

Метод Ньютона иногда называют мет одом касательных, основываясь на

следующей его ин терпретации. Пусть X и α — скаляры, требуется отыскать

корень функции одной переменной X(α).

В точке (α

, X

) проведем касательную к кривой X(α) (см. рис.), уравнение

которой имеет вид:

z(α) = X(α

) + X

′

(α

)(α − α

Ю. В. Тюменцев 35

Оптимальное управление

Slide 71

Простейшие способы решения краевых задач ( XI)

Метод Ньютона для отыскания корней функции – 5

Точку пересечения прямой z(α) с осью абсцисс примем в качестве нового

приближения α

. Зна чение α

будет определяться формулой (69)

= −A

−1

k−1

, α

= α

k−1

+ δ

где A

−1

= 1/X

′

(α).

Slide 72

Простейшие способы решения краевых задач ( XII)

Метод Ньютона для отыскания корней функции – 6

Таким образом, геометрически пр оцесс вычислений по методу Ньютона можно

представить следующим образом.

Задаем α

и вычисляем X

= X(α

), проводим в этой точке касательную и

точку ее пересечения с осью абсцисс принимаем в качестве нового значения

α = α

. Вычисляем затем X

= X(α

), проводим касательную и точку ее

пересечения с осью абсцисс принимаем в качестве α

и т.д.

Ю. В. Тюменцев 36

Оптимальное управление

Slide 73

Простейшие способы решения краевых задач ( XIII)

Сходимость метода Ньютона и его модификации – 1

Если нач альное приближение α

выбрано достаточно близко к значению корня

˜α, то метод Ньютона сходится очень быстро и удобен для практического

использования.

Однако если точка α

не находится в «области притяжения» корня, то метод

Ньютона расходится и не пригоден для практического использования.

Легко привести примеры, когда метод Ньютона приводит к расходящейся

последовательности итераций.

Slide 74

Простейшие способы решения краевых задач ( XIV)

Сходимость метода Ньютона и его модификации – 2

На рис. показан пример такого расходящегося процесса при поиске корня

функции X = arctg α.

Видно, что неудачный выбор начального приближения α

(оно было выбрано

как |α

| > λ, где λ — корень уравнения 2α = (1 + α

) arctg α), приводит к

тому, что каждое следующее значение переменной α отстоит все дальше и

дальше от значения корня.

Ю. В. Тюменцев 37

Оптимальное управление

Slide 75

Простейшие способы решения краевых задач (XV)

Сходимость метода Ньютона и его модификации – 3

Было предложено много модификаций метода Ньютона, в котор ых тем или иным способом

устраняется расходимость.

Одна из таких модификаций, довольно широко используем ая, состоит в том, что

первоначальная итерационная схема ( 69)

n+1

= α

− A

−1

(α

)X(α

)

заменяется следующей схемой:

n+1

= α

− κ

−1

(α

)X(α

где κ

— не который скалярный множитель, не превосходящий 1.

Существуют различные рецепты выбора этого множителя, но все они исходят из требования

||X(α

n+1

)|| < ||X(α

)||.

В качестве нормы ||X|| принимают обычно

max

| или

Slide 76

Простейшие способы решения краевых задач ( XVI)

Сходимость метода Ньютона и его модификации – 4

На этом рисунке изображена та ж е самая кривая, что и на предыдущем рисунке.

Обозначим через α

∗

значение α, полученное по схеме простого метода Ньютона, т.е. (69),

в котором κ

= 1. Как видно из рисунка, | X(α

∗

)| > |X(α

)|. Поэтому в качестве

нового приближения α выберем значение

= α

, δ

= −A

−1

т.е. положим κ

Ю. В. Тюменцев 38

Оптимальное управление

Slide 77

Простейшие способы решения краевых задач (XVII)

Сходимость метода Ньютона и его модификации – 5

Видно, что α

находится уже в окрестности корня, где сходится простой метод Ньютона

(κ

= 1, n = 1, 2, . . .).

Итак, предложенный выбор множителя κ

, n = 1, 2, . . . сделал расходящийся

процесс сходящимся.

Если бы оказалось, что при κ

процесс все равно расходится, делается следующий

шаг, в котором принимается κ

, n = 1, 2, . . . и т.д.

Slide 78

Простейшие способы решения краевых задач

(XVIII)

Сходимость метода Ньютона и его модификации – 6

Несмотря н и на какие модификации, применение метода Ньютона невозможно без

удовлетворительного первого приближения.

Успех решени я задач при использовани и этого метода определяется, в пе рвую очередь,

удачным первым приближением.

Вопрос о первом приближении достаточно труден, поскольку надо подобрать начальные

значения импульсов, для которых в обще м случае нет хорошей динамической интерпретации.

Первый недостаток подхода, связанного с редукцией вариационной задачи к краевой и ее

последующим сведением к задаче отыскания нулей трансцендентной функции, заключается

именно в необходимости предварительного выбора первого приближения.

Второй недостаток этого подхода связан с возможной неустойчивостью процесса получения

требуемого решения.

В силу этих причин мет од Ньютона, несмотря на простоту и удобство использования, не стал

универсальным средством расчета оптимальных программ для того класса задач, к которым

можно применить принцип максимума Понтрягина.

Ю. В. Тюменцев 39

Оптимальное управление

Slide 79

Решение краевых задач — перенос граничных

условий (I)

Предварительные замечания

Методы, рассмотренные ранее, приводили к следующей схеме р асчета: задавая

тем или иным способом недостающие данные в задачу Коши для П-системы

(этим термином часто называют систему 2n уравнений, полученную в результате

применения принципа максимума Понтрягина), мы отыскивали точное решение

этой системы.

Полученные конечные значения не удовлетворяли краевым условиям.

Информация о величинах невязок позволяла определить новые значения

недостающих начальных условий и т.д.

К рассматриваемой проблеме можно подойти с других позиций, а именно,

отыскивать решение среди множества тех функций, которые удовлетворяют

краевым условиям.

Такие решения можно находить методами, основанными на переносе граничных

условий – методами прогонки.

Slide 80

Решение краевых задач — перенос граничных

условий (II)

Линейные задачи с квадратичным функционалом – 1

Рассмотрим управляемую систему, дв ижение которой описывается системой

дифференциальной урав нений вида:

˙x = Ax + Bu, (70)

где A и B — матрицы, элем енты которых — некоторые заданные ф ункции времени.

В скалярном виде система (70) запишется в виде:

˙x

j=1

. (71)

На управление u никаких ограничений не накладыв ается.

Пусть начальное состояние системы (70) фиксировано:

x(0) = x

. (72)

Ю. В. Тюменцев 40