Турчина Н.В. Физика в задачах для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
650
де d = 2h — расстояние между источниами. Поэтому
∆x = = 1,4 мм.
16.3.2. Запишем формулу дифрационной решети
d sin ϕ = kλ.
Посольу число штрихов N
0
, приходящихся на единицу дли-
ны решети, и период решети d связаны соотношением N
0
= , то
= kλ, отуда N
0
= = 600 мм
–1
.
О т в е т: N
0
= 600 мм
–1
.
16.3.5. Соласно формуле дифрационной решети d sin ϕ = kλ.
По условию k = 2, следовательно, d = = 2,8 · 10
–6
м. Число
штрихов N
0
, приходящихся на единицу длины решети, связано
с периодом решети d соотношением N
0
= , отуда N
0
= 3,57 ×
× 10
5
м
–1
.
О т в е т: N
0
= 3,57
.
10
5
м
–1
.
16.3.7. По формуле дифрационной решети d sin ϕ = kλ, оту-
да = = 5, т. е. d = 5λ.
16.3.8. По формуле дифрационной решети для натриевой
линии имеем
d sin ϕ
1
= λ
1
,(1)
для неизвестной линии
d sin ϕ
2
= 2λ
2
.(2)
Разделив (1) на (2), получим = , отуда
λ
2
= = 409 · 10
–9
м.
Число штрихов N
0
, приходящихся на единицу длины решети,
и период решети d связаны соотношением N
0
= . Из (1) найдем
d = , тода N
0
= = 500 мм
–1
.
О т в е т: λ
2
= 4,09
.
10
–7
м; N
0
= 500 мм
–1
.
lλ
2h
------ -
1
d
---
ϕsin
N
0
-------------
ϕsin
kλ
-------------
2λ
ϕsin
-------------
1
d
---
d
λ
---
3
ϕsin
-------------
ϕ
1
sin
ϕ
2
sin
---------------
λ
1
2λ
2
----------
λ
1
ϕ
2
sin
2 ϕ
2
sin
--------------------- -
1
d
---
λ
1
ϕ
1
sin
---------------
ϕ
1
sin
λ
1
---------------
651
16.3.14. Имеем sin ϕ = = , следовательно, k
1
λ
1
= k
2
λ
2
,
де k
1
, k
2
— поряди спетров. Отсюда
= = 1,6. (1)
Посольу числа k
1
и k
2
должны быть целыми, то из условия (1)
найдем k
1
= 5 и k
2
= 8. Тода d = = 5 · 10
–6
м.
О т в е т: d = 5
.
10
–6
м.
16.3.17. Из формулы дифрационной решети найдем k =
= . Посольу sin ϕ m 1, то k m = 3,4, т. е. k
max
= 3.
О т в е т: k
max
= 3.
16.3.23. Расстояние от
решети до линзы равно рас-
стоянию от линзы до эрана
и равно фоусному расстоя-
нию F линзы. Из рисуна
16.3.1 видно, что расстояния
x
1
= F tg θ
1
,
x
2
= F tg θ
2
.
Посольу x
2
– x
1
= l, то мож-
но записать
l = F(tg θ
2
– tg θ
1
). (1)
Та а tg θ
2
– tg θ
1
есть при-
ращение фунции f(θ) = tg θ, то можно принять
tg θ
2
– tg θ
1
= (tg θ)′ · ∆θ.(2)
Кроме тоо,
∆θ = . (3)
Подставив (3) в (2) и вычислив производные (tg θ)′ и (sin θ)′, найдем
tg θ
2
– tg θ
1
= . (4)
k
1
λ
1
d
------------
k
2
λ
2
d
------------
k
2
k
1
----- -
λ
1
λ
2
------
k
1
λ
1
ϕsin
-------------
d ϕsin
λ
-----------------
d
λ
---
Рис. 16.3.1
θ
2
sin θ
1
sin−
θsin()
′
-------------------------------------
θ
2
sin θ
1
sin−
cos
3
θ
1
-------------------------------------
652
Соласно формуле дифрационной решети запишем d sin θ
1
=
= λ
1
, d sin θ
2
= λ
2
, отуда sin θ
1
= и sin θ
2
= . Тода уравнение (4)
можно записать в виде
tg θ
2
– tg θ
1
= = . (5)
Подставляя (5) в (1), получим l = , отуда
F = . (6)
Величину cos θ
1
найдем из формулы
cos θ
1
= = .
Подставив cos θ
1
в уравнение (6), получим
F = 1 – = 0,65 м.
О т в е т: F = 0,65 м.
16.3.26. Имеем d sin ϕ = kλ. Дифференцируя это уравнение, по-
лучим
d cos ϕ dϕ = kdλ, или = .
Подставляя числовые данные, получим sin ϕ = 0,236, отуда
ϕ d 13,5°. Тода cos ϕ = 0,972, и уловая дисперсия =
=4,1·10
5
рад/м.
Ответ: = 4,1
.
10
5
рад/м.
Г л а в а 17. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
17.1.6. Пусть тело движется с постоянной соростью v относи-
тельно инерциальной системы K′. Посольу в системе K′ длина те-
λ
1
d
------
λ
2
d
------
λ
2
d
------
λ
1
d
------
−
cos
3
θ
1
-------------------
λ
2
λ
1
−
dcos
2
θ
1
----------------------
F λ
2
λ
1
−()
dcos
2
θ
1
---------------------------
dlcos
3
θ
1
λ
2
λ
1
−
----------------------- -
1 sin
2
θ
1
− 1
λ
1
d
----- -
⎝⎠
⎛⎞
2
−
dl
λ
2
λ
1
−
------------------
⎝
⎛
⎝
⎛
λ
1
d
------
-
⎠
⎞
2
-
⎠
⎞
32/
dϕ
dλ
------ -
k
d ϕcos
---------------- -
dϕ
dλ
------ -
dϕ
dλ
------ -
653
ла l = l
0
, а по условию задачи l
0
= 2l, то l = 2l . Отсюда
= 1 – , следовательно,
v = c = 2,6 · 10
8
м/с.
17.4.9. Кинетичесая энерия протонов и сорость их движения
связаны уравнением E
= m
0
c
2
– 1 . Отсюда доля сорости
протонов от сорости света равна
β = = 0,996 · 100% = 99,6%.
О т в е т: β = 99,6%.
17.4.10. Диаметр протона d, движущеося со соростью v отно-
сительно неоторой системы отсчета, и диаметр протона d
0
, непо-
движноо в этой системе, связаны соотношением
d = d
0
.(1)
Из задачи 17.4.9 известно, что доля сорости протонов от сорости
света β = 99,6% = 0,996. Релятивистсое соращение размеров про-
тона из формулы (1) равно
= 1 – = 0,911 · 100% = 91,1%.
Ответ: = 91,1%.
Г л а в а 18. КВАНТОВО-ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
18.1.4. Соласно теории Эйнштейна масса, импульс и энерия
фотона соответственно равны
m =, p =, E = hν,
де ν — частота света, оторая связана с длиной волны λ соотноше-
нием ν =, h — постоянная Плана.
1
v
2
c
2
------
−
1
v
2
c
2
------
−
1
4
---
v
2
c
2
------
1
1
4
---
−
⎝
⎛
1
1 β
2
−
------------------- -
⎠
⎞
1
m
0
2
c
4
E
m
0
c
2
+()
2
-----------------------------------
−
1 β
2
−
d
0
d−
d
0
--------------- -
1 β
2
−
d
0
d−
d
0
--------------- -
hν
c
2
-------
hν
c
-------
c
λ
---
654
Подставляя числовые данные, находим о т в е т:
m = d 4,4 · 10
–36
,
p = d 1,32 · 10
–27
· м/с,
E = d 3,97 · 10
–19
Дж d 2,5 эВ.
18.1.6. Импульс элетрона p
e
= m
e
v; импульс фотона p =.
Приравнивая правые части этих уравнений, получим m
e
v =, от-
уда v = = 1,4 · 10
3
м/с.
О т в е т: v = 1,4
.
10
3
м/с.
18.1.14. Энерия и импульс фотона связаны соотношением
E = pc. За единицу времени на единицу площади будет падать энер-
ия E
1
= = 150 Дж/(с · м
2
).
18.1.25. Энерия излучения ртутной дуи E = ηPt, по условию
t = 1 с. Энерия одноо ванта света E
0
= hν = h . Пусть I — ин-
тенсивность линии (в процентах), тода оличество вантов можно
определить по формуле
n == .
Подставляя числовые данные, получим для соответствующих
длин волн число фотонов, испусаемых в единицу времени:
n =6,2·10
18
с
–1
; n =1,2·10
19
с
–1
; n =1,1·10
19
с
–1
;
n =5,9·10
18
с
–1
; n =4,6·10
18
с
–1
; n =5,1·10
18
с
–1
.
18.1.26. Доля энерии, затрачиваемая лампой на излучение,
η =, де
E = E
ф
nt (1)
— энерия излучаемоо света, E
ф
= — энерия одноо фотона.
За то же время энерия, потребляемая лампой, W = Pt. Решив сис-
тему приведенных уравнений, получим
λ = = 4,73 · 10
–7
м.
h
λc
------
h
λ
---
hc
λ
------
h
λ
---
h
λ
---
h
λm
e
---------- -
pc
St
------
c
λ
---
IE
E
0
-------
IηNtλ
hc
-------------------
E
W
----- -
hc
λ
------
nhc
ηN
-----------
655
При излучении изменяется ∆m нити нааливания и за счет это-
о изменяется энерия испусаемых лампой фотонов:
E = ∆mc
2
.(2)
Решив систему уравнений (1), (2), получим ∆m = =
=1,68·10
–12
.
О т в е т: λ = 4,73 · 10
–7
м; ∆m = 1,68 · 10
–12
.
18.3.14. Из уравнения Эйнштейна
h = A + eU
найдем длину волны падающео излучения
λ ==204нм,
де А — работа выхода элетрона из платины (см. таблицу).
Предельную длину волны λ
0
, при оторой еще возможен фото-
эффет, найдем из соотношения A = hν
0
= h , отуда λ
0
==
=234нм.
О т в е т: λ = 204 нм; λ
0
= 234 нм.
18.3.18. Запишем уравнения Эйнштейна для элетрона, выры-
ваемоо из металла светом с частотами ν
1
и ν
2
соответственно:
hν
1
= A + eU
1
и hν
2
= A + eU
2
.
Вычитая первое равенство из второо, получим
h(ν
2
– ν
1
)=e(U
2
– U
1
),
отуда
h ==6,6·10
–34
Дж · с.
18.3.29. Соласно заону сохранения энерии
eU = h – A + eU
0
,(1)
де eU — энерия вылетевшео элетрона, — энерия падающе-
о фотона, A — работа выхода элетрона из вольфрама, eU
0
— рабо-
та внешнео задерживающео поля.
ηNt
c
2
-----------
c
λ
---
hc
AeU+
----------------- -
c
λ
0
------
hc
A
------
eU
2
U
1
−()
ν
2
ν
1
−
-----------------------------
c
λ
---
hc
λ
------
656
Из (1) находим U =+U
0
. Подставляя числовые данные,
получим
U =1,5В.
Чтобы фотото уменьшился до нуля, задерживающая разность
потенциалов должна удовлетворять условию eU = , отуда
v ==7,3·10
5
м/с.
О т в е т: U = 1,5 B; v
= 7,3
.
10
5
м/с.
18.4.6. а) Энерию рассеянноо фотона найдем, воспользовав-
шись формулой Комптона:
λ′ – λ =(1–cosθ).
Длины волн λ′ и λ выразим через энерии соответствующих фо-
тонов:
λ′ =, λ =.
Решив данную систему уравнений, получим
E′ ==0,43МэВ.
б) Кинетичесую энерию элетрона после соударения с фото-
ном найдем из заона сохранения энерии:
E
ин
= E – E′ = 0,32 МэВ.
в) Направление движения элетрона найдем
из заона сохранения импульса (рис. 18.4.1):
p = p′ + mv.
Из рисуна видно, что можно воспользовать-
ся теоремой синусов:
=, sinϕ =,
отуда находим
ϕ = arcsin d 35°.
Ответ: а) Е′ = 0,43 МэВ; б) Е
ин
= 0,32 МэВ; в) ϕ d 35°.
hc
λ A−
-------------
e
-------------
mv
2
2
-----------
2eU
m
-----------
2πh
mc
---------- -
2πhc
E
′
------------- -
2πhc
E
------------- -
mcE
E 1 θcos−()mc+
---------------------------------------------- -
p
p
Рис. 18.4.1
p′
ϕsin
-------------
mv
θsin
------------
θsin
p
′
------------
mv
------------
E
′
c 2m
e
EE
′
−()
----------------------------------------
657
Ч АСТЬ 5
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Г л а в а 19. АТОМНАЯ ФИЗИКА
19.1.6. Полная энерия элетрона в атоме водорода на n-й орбите
равна
W
n
= , (1)
де
r
n
= . (2)
Решив систему уравнений (1), (2), получим
W
n
= – · . (3)
По аналоии полная энерия элетрона на k-й орбите
W
k
= – æ .(4)
При переходе элетрона с k-й орбиты на n-ю атом излучает (поло-
щает) вант света
ε = W
n
– W
k
,(5)
де
ε = hν = , (6)
Решив систему уравнений (4)—(6), получим
= – . (7)
С друой стороны,
= R – . (8)
e
2
8πε
0
r
n
------------------ -
ε
0
h
2
πm
e
e
2
---------------- -
1
n
2
------
m
e
e
4
8ε
0
2
h
2
----------------
1
n
2
------
m
e
e
4
8ε
0
2
h
2
----------------
1
k
2
----- -
hc
λ
------
1
λ
---
m
e
e
4
8ε
0
2
ch
3
-------------------
⎝
⎜
⎛
1
n
2
------
1
k
2
----- -
⎠
⎟
⎞
1
λ
---
⎝
⎜
⎛
1
n
2
------
1
k
2
----- -
⎠
⎟
⎞
658
Из сравнения выражений (7) и (8) получим
R = = 1,1 æ 10
7
м.
О т в е т: R = 1,1 æ 10
7
м.
19.2.1. На элетрон, движущийся в атоме водорода по n-й бо-
ровсой орбите, действует улоновсая сила
F =, (1)
де e — заряд элетрона.
Эта сила сообщает элетрону нормальное усорение
a
n
=, (2)
де v
n
— сорость элетрона на n-й орбите.
По второму заону Ньютона
F = ma
n
.(3)
Подставляя (1) и (2) в (3), получим = , отуда
r
n
=. (4)
Соласно первому постулату Бора движение элетрона вору
ядра возможно тольо по определенным орбитам, радиусы оторых
удовлетворяют соотношению
mv
n
r
n
= n .(5)
Решая совместно уравнения (4) и (5), найдем
v
n
= и r
n
=.
По результатам вычислений составим таблицу:
О т в е т: см. таблицу.
n = 1 n = 2 n = 3
v, 10
6
м/с
2,18 1,08 0,73
r, 10
–12
м
52,9 211,6 476,1
m
e
e
4
8ε
0
2
ch
2
-------------------
e
2
4πε
0
r
n
2
------------------ -
v
n
2
r
n
----- -
e
2
4πε
0
r
n
2
------------------ -
mv
n
2
r
n
------------
e
2
4πε
0
mv
n
2
-------------------------
h
2π
------ -
e
2
2ε
0
nh
---------------- -
ε
0
n
2
h
2
πme
2
------------------ -
659
19.3.6. Мезоатом состоит из ядра — протона и одноо μ-мезона,
оторый движется по руовой орбите. По второму постулату Бора
mv
n
r
n
= n . Соласно второму заону Ньютона
F = ma,(1)
де
F = k (2)
— сила Кулона, a = /r
n
— нормальное усорение. Решив систему
уравнений (1), (2), найдем радиус орбиты, на оторой может нахо-
диться μ-мезон в мезоатоме, и сорость μ-мезона на ней:
r
n
=, v
n
= ,
де n — номер обиты. По условию мезоатом находится в основном
состоянии, поэтому n = 1. Следовательно,
r
1
= = 2,42 æ 10
–13
м;
v
1
= d 2,3 æ 10
8
м/с.
19.5.10. Потенциал ионизации водородоподобноо иона U
i
оп-
ределяется уравнением
eU
i
= A
i
,(1)
де A
i
— работа удаления элетрона с первой орбиты в бесонеч-
ность.
Для водородоподобных ионов
A
i
= hν,(2)
де
ν = RcZ
2
– . (3)
Подставляя (3) в (2), получаем
A
i
= hRcZ
2
– . (4)
h
2π
------ -
e
2
r
n
2
-----
v
n
2
h
2
n
2
4π
2
ke
2
m
-------------------------
ke
2
h
-------- -
2π
n
------ -
h
2
4π
2
ke
2
m
-------------------------
2πke
2
h
-----------------
⎝
⎜
⎛
1
k
2
----- -
1
n
2
------
⎠
⎟
⎞
⎝
⎜
⎛
1
k
2
----- -
1
n
2
------
⎠
⎟
⎞