Турчина Н.В. Физика в задачах для поступающих в вузы

Подождите немного. Документ загружается.

230



10.7.23. Две онцентричесие ме-

талличесие сферы радиусами R

=15см и R

= 30 см расположены в возду-

хе (рис. 10.7.5). На внутренней сфере рас-

пределен заряд q

= –2 · 10

–8

Кл, а на

внешней q

=4·10

–8

Кл. Вычислите по-

тенциалы элетричесо8о поля в точах,

удаленных от центра сфер на расстояния

= 10 см, l

= 20 см и l

= 40 см. Изобра-

зите 8рафичеси зависимость потенци-

ала от расстояния до центра сфер.

10.7.24. Потенциал внутренней сфе-

ры радиусом r равен нулю. Потенциал

внешней сферы радиусом 2r равен ϕ. Оп-

ределите заряды сфер. Центры сфер совпадают.

10.7.25. Проводящий шар радиусом R

= 2см и зарядом q

= 1,33 · 10

–8

Кл оружен тоной онцентричесой оболочой радиу-

сом R

= 5 см, заряд оторой q

= –2 · 10

–8

Кл. Определите напря-

женность и потенциал элетричесо8о поля на расстояниях l

=1см, l

= 4 см и l

= 6 см от центра шара.

10.7.26. Заряд q = –10

–6

Кл находится в центре металличесой

сферы радиусом R = 1 м. Заряд на поверхности сферы Q = 1,5 · 10

–6

Кл.

Определите напряженность элетричесо8о поля на расстоянии r =

= 1 м от поверхности сферы и потенциал сферы.

10.7.27. Три проводящие онцентричесие сферы радиусами r,

2r и 3r имеют заряды q, 2q и –3q соответственно. Определите потен-

циал аждой сферы.

10.7.28. Два параллельных тоних ольца, радиусы оторых

одинаовы и равны R, имеют общую ось. Расстояние между их

центрами d. На первом ольце равномерно распределен заряд

<0, на втором— q

> 0. Каую минимальную работу необходимо

совершить для перемещения заряда q > 0 из центра перво8о ольца

в центр второ8о?

10.8. Проводнии в элетростатичесом поле

10.8.1. Доажите, что линии напряженности (силовые линии)

все8да направлены перпендиулярно поверхности статичеси заря-

женно8о проводниа.

10.8.2. В однородное элетричесое поле напряженностью E =

= 6 В/м внесли пластину площадью S = 1 м

(рис. 10.8.1). Оцените

Рис. 10.7.5

231

напряженности поля внутри пластины, вне пластины и заряд, ин-

дуцированный на стороне пластины площадью S.

10.8.3. Две параллельные металличесие пластины располо-

жены на небольшом расстоянии дру8 от дру8а. Одной из пластин со-

общают заряд q = 4 нКл (рис. 10.8.2). Каие заряды будут индуци-

рованы на аждой стороне дру8ой пластины? Каова напряжен-

ность поля внутри второй пластины?

10.8.4. На расстоянии R = 1 м от центра изолированно8о неза-

ряженно8о металличесо8о шара поместили точечный заряд q =4нКл.

Определите потенциал шара.

10.8.5. Определите заряд заземленно8о металличесо8о шара

радиусом r = 2 см, если на расстоянии l = 1 м от е8о центра находит-

ся точечный заряд q = 5 мКл.

10.8.6. Если зарядить два удаленных одинаовых шара, а за-

тем сблизить их до расстояния l = 0,9 м между их центрами, то по-

тенциал одно8о из них возрастает на ∆ϕ

= 1,2 В, а потенциал дру-

8о8о уменьшается на ∆ϕ

= 2,0 В. Оцените модули зарядов на ша-

рах, считая, что радиусы шаров 8ораздо меньше расстояния между

ними.

10.8.7. Металличесий шар радиусом r заряжен до потенциала ϕ

и оружен онцентричесой сферичесой оболочой радиусом R = 3r.

Чему будет равен потенциал шара, если заземлить внешнюю обо-

лочу?

10.8.8. Металличесий шар радиусом R

= R помещен в центр

металличесой оболочи, внутренний и внешний радиусы оторой

= 2R и R

= 3R соответственно (рис. 10.8.3). Заряд шара q. Запи-

шите аналитичесие выражения и постройте 8рафии зависимости

напряженности поля E и потенциала ϕ от расстояния r до центра

шара.

Рис. 10.8.1

Рис. 10.8.2

Рис. 10.8.3

232

 10.8.9. Из трех онцентричесих тоних

металличесих сфер радиусами R

= R, R

= 2R

и R

= 4R райние заземлены, а средней сооб-

щен заряд q (рис. 10.8.4). Найдите зависи-

мость потенциала элетричесо8о поля от

расстояния до центра сфер.

 10.8.10. Две бесонечные параллельные

проводящие плиты заряжены та, что по-

верхностная плотность заряда обеих поверх-

ностей первой плиты равна σ

, а второй σ

Найдите плотности заряда аждой поверхно-

сти обеих плит.

10.8.11. Две одинаовые параллельно расположенные и зао-

роченные проводниом пластины находятся дру8 от дру8а на рас-

стоянии d = 10 см, малом по сравнению с их линейными размерами.

Таая же пластина с зарядом Q = 4 · 10

–8

Кл находится между ними

на расстоянии a = 2 см от одной из них. Каой заряд протечет по за-

орачивающему проводниу, если заряженную пластину вынуть?

10.8.12. Три одинаовые параллельные дру8 дру8у пластины

находятся на малых расстояниях одна от дру8ой. Крайние пласти-

ны заорочены проводниом и на них помещен неоторый заряд.

Средней пластине сообщен заряд q = 4 нКл. Чему равна разность

потенциалов между пластинами A и B (рис. 10.8.5)? Расстояния a =

=1см, d = 3 см; площадь аждой пластины S = 100 см

10.8.13. Четыре параллельные пластины расположены та, а

поазано на рисуне 10.8.6. Найдите разность потенциалов между

внутренними пластинами. Расстояния a и d мно8о меньше линей-

ных размеров пластин; a = 6 см, d = 10 см, ∆ϕ

= 30 В, ∆ϕ

= 40 В.

10.8.14. Найдите напряженность элетричесо8о поля между

тремя бесонечно большими параллельными пластинами в случае, ес-

ли средняя пластина заземлена. Расстояния между средней пласти-

ной и райними равны a и b. Потенциалы райних пластин равны ϕ.

10.8.15. Между двумя заземленными металличесими пласти-

нами находится одинаовая с ними по размерам тоная пластина с

Рис. 10.8.4

Рис. 10.8.5

Рис. 10.8.6

233

поверхностной плотностью заряда σ. Расстояния от нее до двух дру-

8их пластин равны a и b и мно8о меньше линейных размеров пластин.

Найдите напряженности элетричесо8о поля в зазорах между пласти-

нами и поверхностные плотности зарядов, индуцируемых на них.

10.9. Метод зеральных отображений

 10.9.1. Маленьий шари, заряженный до величины q = 10

–8

Кл,

находится на расстоянии l = 3 см от большой заземленной металли-

чесой пластины. С аой силой они взаимодействуют?

10.9.2. Точечный заряд q = 4 · 10

–8

Кл находится на расстоя-

нии a = 10 см от бесонечной металличесой незаряженной поверх-

ности. Определите напряженность и потенциал поля в точе, нахо-

дящейся на расстоянии a от заряда и пластины.

10.9.3. Маленьий шари массой m = 1 8 подвешен на невесо-

мой нерастяжимой нити длиной l = 10 см вблизи большой металли-

чесой заземленной пластины (рис. 10.9.1). Точа подвеса находит-

ся на расстоянии a = 10 см от пластины. При сообщении шариу

неоторо8о заряда нить отлоняется от вертиали на у8ол α = 30°.

Найдите заряд шариа.

10.9.4. Два точечных заряда q = 2 · 10

–8

Кл и Q = 4 · 10

–8

Кл нахо-

дятся вблизи большой заземленной металличесой пластины на рас-

стояниях a = 10 см и b = 20 см от ее поверхности соответственно. При-

чем оба заряда находятся на одном перпендиуляре  поверхности

пластины (рис. 10.9.2). Определите силу, действующую на заряд q.

10.9.5. На расстоянии l = 10 см от большой заземленной плас-

тины находится точечный заряд q = 4 · 10

–8

Кл. Каую работу нуж-

но совершить, чтобы переместить заряд на расстояние ∆l = 20 см?

Рассмотрите случаи, о8да перемещение заряда: а) параллельно

пластине; б) составляет у8ол α = 60° с плосостью пластины.

10.9.6. Маленьий шари подвешен на ле8ой пружине жест-

остью k вблизи большой металличесой заземленной пластины

(рис. 10.9.3). Если шари не заряжен, то он находится на расстоя-

Рис. 10.9.1

Рис. 10.9.2

m,q

Рис. 10.9.3

234

нии h от пластины. При сообщении шариу неоторо8о заряда рас-

стояние уменьшается на величину ∆h. Найдите заряд, сообщенный

шариу.

10.9.7. Незаряженный металличесий цилиндр радиусом

R = 4 см вращается вору8 своей оси симметрии. Частота вращения

цилиндра n = 480 об/мин. Найдите напряженность поля в цилинд-

ре на расстоянии r = 2 см от е8о оси. Постройте 8рафи зависимости

напряженности поля в цилиндре от расстояния до е8о оси. Найдите

разность потенциалов между поверхностью цилиндра и е8о осью.

10.9.8. Металличесий уб с ребром d =

= 10 см движется с усорением a = 20 м/с

в на-

правлении, перпендиулярном одной из сторон

(рис. 10.9.4). Оцените напряженность элетри-

чесо8о поля в убе, возниающую вследствие

е8о усоренно8о движения, и поверхностную

плотность зарядов, появляющихся на перпен-

диулярных усорению сторонах уба.

10.10. Диэлетрии в элетростатичесом поле

10.10.1. С аой силой взаимодействуют два точечных заряда

= 6,6 мКл и q

= 1,2 мКл в еросине на расстоянии R = 10 см

дру8 от дру8а? На аом расстоянии их следует поместить в вау-

уме, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

10.10.2. Ооло вертиальной равномерно заряженной плосос-

ти на невесомой нерастяжимой нити висит маленьий шари, заря-

женный с плосостью одноименно. При заполнении все8о ору-

жающе8о пространства маслом положение шариа относительно

плосости не изменилось. Найдите плотность материала шариа.

10.10.3. Два заряженных шариа с равными радиусами и мас-

сами, подвешенные на нитях одинаовой длины, опусают в жид-

ий диэлетри. У8ол расхождения нитей в воздухе и в диэлетри-

е оазался одним и тем же. Зная плотность материала шариов и

плотность диэлетриа, определите проницаемость диэлетриа.

10.10.4. Заряженный шари по8рузили в масло. На аом рас-

стоянии от шариа напряженность поля будет таой же, аой бы-

ла до по8ружения е8о в масло на расстоянии R = 40 см?

10.10.5. Шари радиусом r, несущий положительный заряд q,

висит на невесомой непроводящей пружине. Если этот шари по-

местить в жидость плотностью ρ и одновременно влючить одно-

родное элетричесое поле, веторы напряженности оторо8о на-

правлены вертиально вниз, то длина пружины не изменится. Оп-

ределите напряженность элетричесо8о поля.

10.10.6. Шари радиусом r, несущий положительный заряд q,

равномерно опусается в жидости, 8де создано однородное элет-

Рис. 10.9.4

235

ричесое поле, веторы напряженности оторо8о направлены вер-

тиально вверх. Плотности шариа и жидости равны ρ и ρ

соот-

ветственно, причем ρ > ρ

. Определите напряженность элетриче-

со8о поля. Трением шариа о жидость пренебречь.

10.10.7. Два одинаовых проводящих шариа с зарядами q

= 8 · 10

–9

Кл и q

= 52 · 10

–9

Кл находятся в воздухе на неотором

расстоянии дру8 от дру8а. Затем шарии на неоторое время соеди-

нили и поместили в среду с диэлетричесой проницаемостью ε на

прежнем расстоянии дру8 от дру8а. Сила взаимодействия между

шариами при этом не изменилась. Определите диэлетричесую

проницаемость среды.

10.10.8. Две большие пластины расположены 8оризонтально

на небольшом расстоянии дру8 от дру8а, причем верхняя пластина

заряжена положительно, а на нижней (диэлетричесой) находит-

ся маленьий шари с зарядом q = 20 мКл. Насольо изменится

вес шариа, если пространство между пластинами заполнить жид-

остью плотностью ρ = 800 8/м

с диэлетричесой проницаемо-

стью ε = 2? Объем шариа V = 1 см

, напряженность элетричесо-

8о поля, создаваемо8о верхней пластиной, E = 100 В/м.

10.10.9. Металличесой сфере радиу-

сом R

= 20 см сообщен заряд q = 2 мКл

(рис. 10.10.1). Сферу оружили слоем ди-

элетриа, внутренний радиус оторо8о

= 2R

, а внешний — R

= 3R

. Опреде-

лите напряженность поля в точе, находя-

щейся на расстоянии r = 50 см от центра

сферы. Относительная диэлетричесая

проницаемость ε = 2. Постройте 8рафи

зависимости E(r).

10.10.10. Металличесий шар с заря-

дом q = 4 · 10

–8

Кл по8ружают в еросин.

Определите модуль и зна заряда, наведенно8о на 8ранице металл—

диэлетри.

10.10.11. Пластина из стела помещена в однородное элетри-

чесое поле напряженностью E = 1,6 · 10

В/м. Определите поверх-

ностную плотность связанных зарядов на поверхностях пластины.

10.10.12. Точечный заряд q = 4 · 10

–8

Кл помещен в еросин.

Найдите модуль и зна поляризационно8о заряда, возниающе8о

вблизи точечно8о заряда.

10.10.13. Два точечных одинаовых заряда q, находящиеся на

неотором расстоянии дру8 от дру8а, помещены в однородный без-

8раничный диэлетри с диэлетричесой проницаемостью ε. Най-

дите поляризационные заряды, возниающие вблизи точечных за-

рядов.

Рис. 10.10.1

236

10.11. Элетроемость

10.11.1. Определите емость

уединенно8о шара, радиус ото-

ро8о равен радиусу R

Земли.

10.11.2. При сообщении проводящему шару заряда q = 3 · 10

–8

Кл

е8о потенциал становится ϕ = 6 · 10

В. Определите емость шара и

е8о радиус.

10.11.3. Насольо увеличится потенциал шара, радиус ото-

ро8о R = 5 см при сообщении ему заряда q = 25 нКл?

10.11.4. Найдите емость сферичесо8о онденсатора, ради-

усы обладо оторо8о равны a и b, причем a < b, если пространство

между обладами заполнено однородным диэлетриом с прони-

цаемостью ε.

10.11.5. Шар радиусом R

= 0,1 см имеет заряд q

= 4 · 10

–8

Кл,

а шар радиусом R

= 0,3 см — q

= –2 · 10

–8

Кл. Шары соединяют

длинной проволоой. Найдите заряд и потенциал аждо8о шара

после их соединения.

10.11.6. Шар, заряженный до потенциала ϕ = 1000 В, соединя-

ют с незаряженным шаром длинным проводниом. После соедине-

ния потенциалы шаров стали одинаовыми и равными ϕ

= 300 В.

Радиус перво8о шара R

= 20 см. Каов радиус второ8о шара?

10.11.7. Имеются два металличесих заряженных шара. Доа-

жите, что после соединения их тоной металличесой проволоой

поверхностные плотности зарядов на шарах будут обратно пропор-

циональны их радиусам. Расстояние между шарами мно8о меньше

их радиусов.

10.11.8. У шара диаметром d

= 10 см заряд q

= 6 · 10

–10

Кл, а

у дру8о8о диаметром d

= 30 см заряд q

= –2 · 10

–9

Кл. Шары соеди-

няют длинной тоной проволоой. Каой заряд переместится по ней?

10.11.9. Две проводящие сферы радиусами R

= 10 см и R

= 15 см, находящиеся достаточно далео дру8 от дру8а, заряжены

до потенциалов ϕ

= 120 В и ϕ

= 60 В соответственно. Каим станет

потенциал сфер, если их соединить тоним проводниом? Найдите

изменение заряда первой сферы.

10.11.10. Двум шариам, радиусы оторых отличаются в n = 4

раза, сообщены равные одноименные заряды. Во сольо раз и а

изменится потенциал меньше8о шара, если их соединить проводни-

ом? Расстояние между шарами мно8о больше их радиусов.

10.11.11. В результате слияния n = 27 маленьих одинаово

заряженных апеле ртути образовалась одна большая апля.

В задачах этоо раздела вместо термина «элетроемость» использу-

ется термин «емость».

237

Во сольо раз потенциал и поверхностная плотность заряда боль-

шой апли отличается от потенциала и поверхностной плотности

заряда аждой малой апли?

10.11.12. Два удаленных дру8 от дру8а изолированных метал-

личесих шара радиусами R

и R

были заряжены до потенциалов

и ϕ

соответственно. Чему будет равно изменение энер8ии систе-

мы, если шары соединить длинным проводниом?

10.11.13. Каую минимальную работу против сил элетриче-

со8о поля нужно совершить, чтобы собрать аплю ртути радиусом R

и зарядом Q из N одинаовых заряженных апель?

10.12. Плосий онденсатор

10.12.1. Первый онденсатор состоит из стелянной пластины

(облади), порытой с обеих сторон листами станиоля площадью

= 500 см

аждый. Толщина стела d

= 4 мм. Второй онденса-

тор состоит из парафиновой пластины, на оторую с обеих сторон

положили по листу станиоля площадью S

= 250 см

аждый. Тол-

щина парафиновой пластины d

= 0,4 мм. Каой из онденсаторов

обладает большей емостью и во сольо раз?

10.12.2. Каой масимальный заряд может находиться на об-

ладах воздушно8о онденсатора, если «пробой» воздуха возниа-

ет при напряженности элетричесо8о поля E = 30 В/м? Площадь

аждой облади онденсатора S = 100 см

10.12.3. Плосий онденсатор состоит из двух ру8лых плас-

тин диаметром D = 20 см, расположенных на расстоянии d = 2 мм

дру8 от дру8а, между оторыми находится слой слюды, полностью

заполняющий пространство между пластинами. Каой наиболь-

ший заряд можно сообщить онденсатору, если допустимое напря-

жение между пластинами U = 3 В?

10.12.4. Плосий воздушный онденсатор, расстояние между

пластинами оторо8о d

= 1 мм, заряжен до напряжения U

= 100 В

и отлючен от источниа тоа. Каим будет напряжение, если плас-

тины раздвинуть до расстояния d

= 1 см?

10.12.5. Плосий воздушный онденсатор, расстояние между

пластинами оторо8о d

= 0,5 мм, подлючен  источниу постоян-

но8о напряжения. Во сольо раз и а изменится заряд на пласти-

нах онденсатора, если, не отлючая е8о от источниа, раздвинуть

пластины до d

= 5 мм?

 10.12.6. Определите силу, с оторой притя8иваются дру8 

дру8у пластины плосо8о заряженно8о онденсатора. Разность по-

тенциалов между пластинами ∆ϕ = 1 В, площадь аждой пласти-

ны S = 100 см

, расстояние между ними d = 1 мм.

238

10.12.7. Конденсатор емостью C = 100 пФ заряжен до напря-

жения U = 200 В. Каое оличество теплоты выделится, если плас-

тины онденсатора соединить проводниом?

 10.12.8. Из заряженно8о не замнуто8о на внешнюю цепь онден-

сатора вынули диэлетри проницаемостью ε. 1. Во сольо раз при

этом изменилась энер8ия онденсатора? 2. Каой будет результат, ес-

ли онденсатор подлючен  источниу постоянно8о напряжения?

10.12.9. Плосий воздушный онденсатор с площадью пластин S

и расстоянием между ними d заряжен до разности потенциалов ∆ϕ и

отлючен от источниа напряжения. Определите работу, оторую

нужно затратить, чтобы раздвинуть пластины на величину ∆l.

10.12.10. Расстояние между пластинами плосо8о онденсатора

емостью C = 1 мФ увеличивают в n = 2 раза, не отлючая от источ-

ниа, поддерживающе8о между пластинами разность потенциалов

∆ϕ = 1000 В. Каая при этом совершается механичесая работа?

10.12.11. Определите объемную плотность энер8ии элетриче-

со8о поля внутри плосо8о воздушно8о онденсатора, полностью

по8руженно8о в непроводящую жидость с относительной диэлет-

ричесой проницаемостью ε = 2. Напряженность элетричесо8о

поля между пластинами E = 5 · 10

В/м.

10.12.12. Определите энер8ию заряженно8о плосо8о онденса-

тора с диэлетриом из слюды по следующим данным: объем диэлет-

риа V = 100 см

, напряженность поля в диэлетрие E =10

В/м.

10.12.13. Плотность энер8ии заряженно8о онденсатора w =

=200Дж/м

. С аой силой взаимодействуют облади онденса-

тора, если площадь аждой облади S = 200 см

10.12.14. Расстояние между пластинами воздушно8о онденсато-

ра d = 10 см, площадь аждой пластины S = 100 см

. Если между плас-

тинами поместить точечный заряд q = 2 нКл, то на не8о будет действо-

вать улоновсая сила F = 0,1 мН. Определите напряженность поля

онденсатора, напряжение на пластинах, силу взаимодействия плас-

тин, энер8ию элетричесо8о поля и объемную плотность энер8ии.

10.12.15. Два элетропроводящих поршня площадью S аждый

образуют в непроводящей трубе плосий онденсатор, заполненный

воздухом при атмосферном давлении p

(рис. 10.12.1). Во сольо

раз изменится расстояние между поршнями, если их зарядить разно-

именными зарядами ±q? Температура воздуха постоянна, трения в

системе нет. Начальное расстояние между поршнями мно8о меньше

размеров поршней.

10.12.16. Пространство между пластинами плосо8о онденсато-

ра сплошь заполнено диэлетриом, состоящим из двух половино

равных размеров, но с разными диэлетричесими проницаемостя-

ми ε

= 2 и ε

= 3 (рис. 10.12.2). Граница раздела перпендиулярна

пластинам. Площадь пластин онденсатора S = 100 см

, а расстоя-

ние между ними d = 2 мм. Найдите емость онденсатора.

239

10.12.17. Плосий воздушный онденсатор с расстоянием

между пластинами d = 5см до половины по8рузили в еросин

(рис. 10.12.3). На аое расстояние ∆d следует раздвинуть плас-

тины, чтобы емость онденсатора не изменилась?

 10.12.18. Между обладами плосо8о воздушно8о онденса-

тора параллельно им помещают диэлетричесую пластину тол-

щиной a и диэлетричесой проницаемостью ε. Размеры пластини

совпадают с размерами обладо, площадь аждой из оторых рав-

на S, а расстояние между ними d. Определите емость получивше-

8ося онденсатора.

10.12.19. В плосий воздушный онденсатор с площадью

пластин S и расстоянием между ними d внесена параллельно плас-

тинам проводящая пластина, размеры оторой равны размерам

пластины онденсатора, а толщина d

= . Найдите емость он-

денсатора с проводящей пластиной.

10.12.20. Между обладами плосо8о воздушно8о онденса-

тора параллельно им помещена диэлетричесая пластина толщи-

ной a с проницаемостью ε. Размеры пластини совпадают с размера-

ми обладо, площадь оторых равна S, а расстояние между ними d.

Доажите, что емость тао8о онденсатора не зависит от положе-

ния обладо.

10.12.21. Зазор между обладами

плосо8о онденсатора заполнен двумя

плосими слоями диэлетриов прони-

цаемостями ε

, ε

и толщинами d

, d

со-

ответственно (рис. 10.12.4). Найдите ем-

ость это8о онденсатора, если площадь

аждой облади S = 100 см

10.12.22. Пространство между об-

ладами плосо8о онденсатора за-

полнено двумя слоями диэлетриов:

стелом толщиной d

= 1 см и парафи-

ном толщиной d

= 2 см. Разность по-

Рис. 10.12.1

Рис. 10.12.2

Рис. 10.12.3

---

Рис. 10.12.4