Турчина Н.В. Физика в задачах для поступающих в вузы

Подождите немного. Документ загружается.

130

6.6.27. На 8ранице раздела двух жид-

остей плотностями ρ

= 800 8/м

=10

8/м

плавает цилиндричесое тело

плотностью ρ = 900 8/м

. Определите 8луби-

ну по8ружения цилиндра в нижнюю жид-

ость, если е8о высота равна h = 15см. Ци-

линдр плавает та, что е8о ось вертиальна.

 6.6.28. Коничесий тоностенный сосуд

с у8лом при вершине 2α = 60° и радиусом ос-

нования R = 15см плавает вертиально в

жидости плотностью ρ = 10

8/м

та, а

поазано на рисуне 6.6.4. До аой высоты

нужно налить таую же жидость в сосуд, чтобы он утонул, если е8о

масса m = 1 8?

6.6.29. Однородный уб со стороной a = 30 см плавает в рту-

ти и по8ружен в нее на h = 1/4 свое8о объема. Затем поверх ртути

наливают слой воды та, чтобы поверхность воды была располо-

жена выше верхней 8рани уба на ∆h = 2см. Определите силу

давления жидостей на боовую 8рань уба.

6.6.30. Определите силу натяжения нити, связывающей два пла-

вающих в воде шариа объемом V = 20 см

аждый, если верхний

плавает, наполовину по8рузившись в воду. Нижний шари в n = 4

раза тяжелее верхне8о.

6.6.31. Плотность раствора соли изменяется с 8лубиной по за-

ону ρ = ρ

+ Ah, 8де ρ

= 1 8/см

, А = 0,02 8/см

. В раствор опуще-

ны два шариа, связанные нитью. Объемы шариов V

= 0,1 см

= 0,2 см

, их массы m

= 0,13 8 и m

= 0,34 8. Глубина по8руже-

ния перво8о шариа в состоянии равновесия h

= 2 см. При этом

нить натянута. Определите длину нити.

6.6.32. Два шариа одинаово8о размера, один ле8ий, а дру8ой

тяжелый, приреплены  тоному стержню, причем тяжелый —

 середине стержня, а ле8ий —  одному из е8о онцов. При по8ру-

жении в воду в не8лубоом месте свободный онец стержня опира-

ется на дно, стержень распола8ается налонно и из воды выступает

тольо часть ле8о8о шара, причем отношение объема выступаю-

щей части  объему все8о шара равно n. Будет ли эта система пла-

вать или она утонет, если ее опустить в воду на 8лубоом месте?

Массы ле8о8о шара и стержня не учитывать.

6.7. Заон сохранения энер#ии в #идростатие

6.7.1. Алюминиевый шари объемом V = 2 см

равномерно па-

дает в воде. Каое оличество теплоты выделится при перемещении

шариа на h = 2 м?

Рис. 6.6.4

131

6.7.2. Стальной шари радиусом r = 2 см лежит на дне реи

8лубиной h = 3 м. Каую минимальную работу нужно совершить,

чтобы поднять шари на высоту H = 2 м над поверхностью воды?

6.7.3. В бассейн 8лубиной h = 2 м без начальной сорости опус-

ают предмет, имеющий плотность ρ

= 78008/м

. Определите,

с аой соростью предмет упадет на дно бассейна. Сопротивление

воды не учитывать.

6.7.4. С аой высоты должно падать тело, плотность оторо8о

ρ = 200 8/м

, чтобы оно по8рузилось в воду на 8лубину h = 30 см?

Сопротивление воздуха не учитывать.

6.7.5. Резиновый мяч массой m и радиусом r по8ружают под во-

ду на 8лубину h и отпусают. На аую высоту, считая от поверхно-

сти воды, подпры8нет мяч? Сопротивление воды и воздуха при дви-

жении не учитывать.

6.7.6. Пробовый шари удерживают на 8лубине h = 1 м под

поверхностью воды. Ко8да е8о отпустили, он вынырнул из воды

и поднялся над поверхностью на высоту h

= 0,2м. Определите

среднюю силу сопротивления воды. Масса шариа m = 2008;

плотность проби ρ = 200 8/м

. Сопротивление воздуха не учи-

тывать.

6.7.7. Бревно удерживают в вертиальном положении по8ру-

женным в воду та, что е8о верхний онец находится на уровне по-

верхности (рис. 6.7.1). Каая часть бревна выйдет из воды, если е8о

отпустить? Плотность бревна ρ

= 0,8ρ

, 8де ρ

— плотность воды.

6.7.8. Длинный арандаш удерживают

вертиально над водой та, что нижний е8о

онец асается поверхности жидости. На а-

ую 8лубину по8рузится нижний онец

арандаша, если е8о отпустить? Масса аран-

даша m = 10 8, площадь поперечно8о сечения

S = 2 · 10

–4

6.7.9. Цилиндр высотой h и радиусом ос-

нования R плавает в жидости плотностью ρ

(рис. 6.7.2). Каую минимальную работу со-

вершит выталивающая сила при полном по-

8ружении цилиндра в жидость? Плотность

цилиндра равна ρ.

6.7.10. Деревянный уби плотностью

= 600 8/м

плавает в воде. Сторона убиа

a = 10 см. Определите минимальную работу,

оторую необходимо совершить, чтобы: а) уто-

пить уби; б) вытащить е8о из воды.

 6.7.11. Однородный уб с длиной ребра

a = 20 см, из8отовленный из материала

Рис. 6.7.1

Рис. 6.7.2

132

плотностью ρ = 600 8/м

, плавает в воде (рис. 6.7.3). Каую ми-

нимальную постоянную силу нужно приложить  убу, чтобы он

затонул?

6.7.12. Брусо вадратно8о сечения d × d = 2 × 2 см

плавает

в сосуде с жидостью та, а поазано на рисуне 6.7.4. При этом

в жидости находится половина бруса. Каое минимальное оли-

чество теплоты выделится, если брусо повернуть на 90° вору8

оси, проходящей через центр масс? Масса бруса m = 100 8, длина

l = 20 см.

 6.7.13. В водоеме с 8лубины h = 10 м всплывает деревянный

цилиндр радиусом R = 1 м и высотой H = 0,8 м. Каое оличество

теплоты выделится  моменту оончания движения цилиндра и во-

ды? Плотность древесины ρ

= 800 8/м

. Ось цилиндра все время

остается перпендиулярной поверхности воды.

 6.7.14. В цилиндричесом сосуде радиусом R = 40 см, частично

наполненном жидостью плотностью ρ = 10

8/м

, в боовой стен-

е имеется отверстие, затнутое пробой (рис. 6.7.5). Каую мини-

мальную работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробу на дли-

ну l = 10см? Проба имеет цилиндричесую форму радиусом r =

= 3 см. Центр отверстия находится на 8лубине h = 30 см. Трение не

учитывать.

6.7.15. В сосуде, в оторый налиты две жидости — вода и е-

росин, плавает пластиовый уби, при этом две 8рани убиа 8о-

ризонтальны. Куби полностью по8ружен в жидость. Плотность

пластиа ρ

= 0,9 8/см

. Для то8о чтобы по8рузить этот уби пол-

ностью в воду та, чтобы верхняя 8рань оазалась на 8ранице раз-

дела двух жидостей, необходимо а минимум совершить работу

A = 25 мДж. Чему равна длина ребра убиа? Силу трения убиа

о жидость не учитывать.

Рис. 6.7.3 Рис. 6.7.4

l/2

Рис. 6.7.5

133

6.8. Движение идеальной жидости

6.8.1. Определите разность давлений ∆p в широом и узом

= 9 см, d

= 6 см) оленах 8оризонтальной трубы, если вода

в широом олене течет со соростью v

= 6 м/с (рис. 6.8.1).

6.8.2. В узой части 8оризонтально расположенной трубы нефть

течет со соростью v

= 4 м/с. Определите сорость течения нефти

в широой части трубы, если разность давлений составляет ∆p =

=20ммрт.ст.

 6.8.3. Допустимая сорость течения воды в трубопроводе

max

=2,5м/с. Рассчитайте минимальный диаметр трубопровода при

расходе Q = 5600 м

воды в час. Ка относятся давления теущей

жидости в участах трубопровода с бTольшим и меньшим попереч-

ными сечениями?

6.8.4. По 8оризонтальной трубе переменно8о сечения течет во-

да. Площади поперечных сечений трубы в узой и широой ее час-

тях соответственно равны S

= 10 см

и S

= 20 см

. Разность давле-

ний в уазанных сечениях p

– p

= ∆h = 200 мм водяно8о столба

(рис. 6.8.2). Определите объем воды, проходящей за время t = 1 с

через произвольное сечение трубы.

6.8.5. На поршень медицинсо8о шприца диаметром d = 1 см

давят с постоянной силой F = 0,2 H. С аой соростью будет выте-

ать струя из отверстия, расположенно8о на оси шприца, в 8оризон-

тальном направлении? Считать, что жидость в шприце несжима-

ема, а диаметр отверстия мно8о меньше диаметра шприца. Трение

не учитывать. Плотность жидости ρ = 1,2 · 10

8/м

6.8.6. С моторной лоди, идущей со соростью v = 9 м/ч,

опусают в воду изо8нутую под прямым у8лом трубу та, что опу-

щенный онец труби 8оризонтален и обращен отверстием в сторо-

ну движения. Дру8ой онец труби, находящийся в воздухе, верти-

ален. На аую высоту по отношению  уровню воды поднимется

вода в трубе? Трение не учитывать.

6.8.7. На аой высоте площадь поперечно8о сечения верти-

альной струи фонтана в n = 3 раза больше выходно8о отверстия

труби? Сорость воды в выходном отверстии 9 м/с. Сопротивле-

ние воздуха не учитывать.

Рис. 6.8.1

Рис. 6.8.2

134

6.8.8. Под аим у8лом  8оризонту на-

правлена струя воды и аой наибольшей вы-

соты она дости8ает, если площадь ее попереч-

но8о сечения у земли S

= 1см

, а в высшей

точе S

= 2 см

(рис. 6.8.3)? Сорость воды в

сечении S

равна v

= 10 м/с. Сопротивление

воздуха не учитывать.

6.8.9. На 8оризонтальной поверхности стоит широий сосуд

с водой. Уровень воды в сосуде h, вес сосуда вместе с водой P. В бо-

овой стене сосуда у дна имеется зарытое пробой небольшое от-

верстие с зару8ленными раями площадью S. При аом значе-

нии оэффициента трения между дном и поверхностью сосуд при-

дет в движение, если вынуть пробу? Плотность воды ρ.

6.8.10. Из брандспойта вертиально вверх бьет струя воды.

Расход воды Q = 60 л/мин. Найдите площадь S поперечно8о сече-

ния струи на высоте h = 2 м над онцом брандспойта, если вблизи

не8о сечение S

= 1,5 см

6.8.11. В дне сосуда проделано отверстие сечением S

. В со-

суд налита вода до высоты h, и уровень ее поддерживают посто-

янным. Определите площадь поперечно8о сечения струи, выте-

ающей из дна сосуда на расстоянии 3h от это8о дна. Считать,

что струя не разбрыз8ивается, а вода — идеальная несжимаемая

жидость.

6.8.12. В дне плавательно8о бассейна имеется отверстие для

слива воды. Предположим, что сорость, с оторой вода вытеает

из отверстия, пропорциональна давлению воды на дно. Коэффици-

ент пропорциональности равен k. Бассейн имеет вертиальные

стени и 8оризонтальное дно, площадь оторо8о S намно8о больше

площади сливно8о отверстия S

. Определите, а связана сорость

падения уровня воды в бассейне с высотой h уровня над дном бас-

сейна. Плотность воды ρ.

 6.8.13. Из широо8о сосуда через узую трубу вытеает жид-

ость (рис. 6.8.4). Ка распределены по вертиали давление и со-

рость жидости в сосуде и трубе? Величины h, H заданы.

6.8.14. В боовой стене сосуда с водой просверлены одно над

дру8им два отверстия площадью S = 0,2см

аждое. Расстояние

между отверстиями H = 50 см. В сосуд ежесеундно вливают Q =

=140см

воды. Найдите точу пересечения струй, вытеающих из

отверстий, если ее положение в пространстве не изменяется.

6.8.15. Цилиндричесий ба, имеющий площадь поперечно8о

сечения S, стоит неподвижно на 8оризонтальной поверхности. В е8о

стене находится отверстие сечением S

n S, расположенное на

расстоянии h

= 0,25 см от поверхности воды в бае. Высота воды в

Рис. 6.8.3

135

бае h = 1 м. Найдите площадь поперечно8о сечения струи, выте-

ающей из отверстия, в месте ее падения на 8оризонтальную по-

верхность (рис. 6.8.5); S

= 1 см

6.8.16. С аим усорением движется автомобиль, если по-

верхность бензина в е8о бае составляет с 8оризонтом у8ол α = 7°?

6.8.17. У сосуда, в оторый воду налили до высоты h = 20 см,

в дне имеется маленьое отверстие (рис. 6.8.6). С аим усорени-

ем и в аую сторону должен дви8аться сосуд, чтобы вода из отверс-

тия не выливалась? Сосуд цилиндричесой формы и е8о диаметр

d = 40 см.

6.8.18. В боовой поверхности цилиндричесо8о сосуда есть от-

верстие, нижний рай оторо8о находится на высоте h (рис. 6.8.7).

Высота сосуда H, радиус основания R, е8о масса m. С аой силой F

надо тянуть сосуд, чтобы в сосуде было масимальное оличество во-

ды? Трение между сосудом и поверхностью стола не учитывать.

6.8.19. Авариум, имеющий форму уба с ребром L, до полови-

ны наполнен водой (рис. 6.8.8) и приведен в движение с 8оризон-

тальным усорением a (a < g). Считать, что при движении системы

«авариум—вода» вода не расплесалась. Определите форму по-

верхности воды и давление в точе M.

Рис. 6.8.4 Рис. 6.8.5

Рис. 6.8.6

Рис. 6.8.7

Рис. 6.8.8

136

6.8.20. С аим усорением необходимо перемещать сообщаю-

щиеся сосуды (рис. 6.8.9), чтобы разность уровней в них была h =

= 10 см? Диаметр аждо8о сосуда d = 5 см, расстояние между сосу-

дами b = 15 см.

6.8.21. Сосуд с жидостью вращают с у8ловой соростью ω =

= 4,9 рад/с вору8 вертиальной оси (рис. 6.8.10). Постройте 8ра-

фи зависимости высоты уровня жидости h от расстояния r до оси

вращения. Радиус сосуда R = 20 см.

6.8.22. Цилиндричесий сосуд с жидостью вращают с у8ловой

соростью ω вору8 вертиальной оси. Определите: а) изменение

давления в 8оризонтальном сечении сосуда; б) изменение высоты

уровня жидости от расстояния до оси вращения.

6.8.23. В вертиальном цилиндричесом сосуде, заполненном

водой, находится шари радиусом r = 2 см и массой m = 20 8, при-

вязанный  центру дна нитью длиной l = 40 см. Сосуд начинают

вращать вору8 вертиальной оси с у8ловой соростью ω = 5 рад/с.

Определите у8ол между нитью и осью сосуда в положении устойчи-

во8о равновесия шариа.

 6.8.24. Тоная, запаянная с одно8о онца труба заполнена жид-

остью и зареплена на 8оризонтальной платформе, вращающейся с

у8ловой соростью ω вору8 вертиальной оси (рис. 6.8.11). Отрытое

олено труби вертиально. Геометричесие размеры установи уа-

заны на рисуне. Атмосферное давление равно p

, плотность жидо-

сти ρ. Найдите давление жидости: а) в месте из8иба труби; б) у запа-

янно8о онца труби.

Рис. 6.8.9

Рис. 6.8.10

Рис. 6.8.11

137

Г л а в а 7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

7.1. Колебательное движение

7.1.1. Частота олебаний орабля ν

= 0,05 Гц, частота олеба-

ний стометровых железнодорожных мостов ν

= 2 Гц, частота виб-

рации элетродви8ателя ν

= 250 Гц. Определите периоды этих о-

лебаний.

7.1.2. Период олебаний рыльев пчелы T = 2,5 мс, а шмель со-

вершает n = 500 взмахов в сеунду. Каое из насеомых и на соль-

о большее оличество взмахов сделает оно в полете за t = 1 мин?

7.1.3. Крылья пчелы олеблются с частотой ν = 300 Гц, а о-

мар совершает n = 600 взмахов рыльями в одну сеунду. Каое

из насеомых и во сольо раз сделает в полете большее оличест-

во взмахов, пролетев одинаовые расстояния? Сорость пчелы v

= 6 м/с, омара v

= 10 м/с.

7.1.4. Небольшое тело с высоты h = 0,2м

начинает сользить по налонной плосости с

у8лом налона α = 30°. У основания налонной

плосости оно упру8о ударяется о пре8раду, и та-

им образом возниает периодичесое движение

(рис. 7.1.1). Определите период олебаний тела.

7.1.5. Заон движения материальной точи имеет вид: x =

=Asin ω(t + τ), 8де A = 2 см, ω = 2,5π с

–1

, τ = 0,4 с. Определите пе-

риод олебаний, начальную фазу и начальное смещение точи (в мо-

мент времени t

= 0).

7.1.6. Материальная точа совершает 8армоничесие олеба-

ния по заону синуса с начальной фазой ϕ = 0, амплитудой A =

= 0,4 м и циличесой частотой ω

= 0,25π. Чему равно смещение

точи из положения равновесия в момент времени τ = 2 с?

7.1.7. Материальная точа совершает 8армоничесие олеба-

ния по заону синуса с начальной фазой α = , частотой ν = 2 Гц и

амплитудой A = 3 см. Запишите уравнение олебаний точи.

7.1.8. Материальная точа совершает 8армоничесие олеба-

ния по заону осинуса с начальной фазой α = – π, амплитудой A =

= 6 см и циличесой частотой ω

= 3π. Чему равно смещение точ-

и из положения равновесия в начальный момент времени? в мо-

мент времени t

= 1 с?

7.1.9. Материальная точа совершает олебания по заону: x =

=0,4 cos π 2t + . Постройте 8рафи зависимости оординаты

точи от времени.

Рис. 7.1.1

---

⎝

⎛

---

⎠

⎞

138

7.1.10. Материальная точа совершает олебания по заону:

x = 0,4 sin π 2t – . Найдите зависимость сорости точи от вре-

мени и сорость точи в момент времени t

= 2 с.

7.1.11. Точа совершает олебания по заону x = A sin (ωt + ϕ),

8де A = 4 см. Определите начальную фазу ϕ, если:

1) x(0) = 2 см и v(0) < 0; 3) x(0) = – см и v(0) < 0;

2) x(0) = см и v(0) > 0; 4) x(0) = – см и v(0) > 0.

7.1.12. Точа совершает олебания с амплитудой A = 4 см и пе-

риодом T = 2 с. Напишите уравнение этих олебаний, считая, что в

момент t = 0 смещения x(0) = 0 и v(0) < 0. Определите фазу (ωt + ϕ)

для двух моментов времени: а) о8да смещение x = 1 см и v = 0;

б) о8да сорость v = – 6 см/с и x < 0.

7.1.13. Масимальная сорость v

max

точи, совершающей 8ар-

моничесие олебания по заону осинуса, равна 10 см/с, маси-

мальное усорение a

max

= 100 см/с

. Найдите циличесую частоту

ω олебаний, их период T и амплитуду A. Напишите уравнение о-

лебаний, приняв начальную фазу равной нулю.

7.1.14. Точа совершает олебания по заону x = A sin ωt.

В неоторый момент времени смещение x

точи оазалось рав-

ным 5 см. Ко8да фаза олебаний увеличилась вдвое, смещение x

стало равным 8 см. Найдите амплитуду A олебаний.

7.1.15. Колебания точи происходят по заону x = A cos (ωt + ϕ).

В неоторый момент времени смещение x точи равно 5 см, ее со-

рость v = 20 см/с и усорение a = –80 см/с

. Найдите амплитуду A,

циличесую частоту ω, период T олебаний и фазу (ωt + ϕ) в рас-

сматриваемый момент времени.

 7.1.16. Период олебаний материальной точи T = 2 с, амплитуда

олебаний A = 5 см. Определите сорость точи в тот момент времени,

о8да ее смещение относительно положения равновесия x = 3 см.

7.1.17. Во сольо раз время прохождения олеблющейся точой

первой половины амплитуды меньше, чем время прохождения второй

половины? Начало олебаний считать в положении равновесия.

7.1.18. Частица олеблется вдоль оси ОX по заону x =

=0,1sin(2πt). Найдите среднюю путевую сорость частицы: а) за

половину периода; б) за первую 1/8 часть периода; в) за вторую 1/8

часть периода.

7.1.19. Точа равномерно движется по оружности против

часовой стрели с периодом T = 6 с. Диаметр d оружности ра-

вен 20 см. Напишите уравнение движения проеции точи на

ось Х, проходящую через центр оружности, если в момент вре-

мени, принятый за начальный, проеция на ось Х равна нулю.

Найдите смещение x, сорость v и усорение a точи в момент

t = 1 с.

⎝

⎛

---

⎠

⎞

23 23

139

7.1.20. Точа участвует в двух одинаово направленных оле-

баниях: x

= A

sin ωt и x

= A

cos ωt, 8де A

= 1 см; A

= 2 см; ω =

=1с

–1

. Определите амплитуду A результирующе8о олебания, е8о

частоту ν и начальную фазу ϕ. Найдите уравнение это8о движения.

7.1.21. Точа совершает одновременно два 8армоничесих о-

лебания одинаовой частоты, происходящих по взаимно перпенди-

улярным направлениям и выражаемых уравнениями:

1) x = A cos ωt и y = A cos ωt;

2) x = A cos ωt и y = A

cos ωt;

3) x = A cos ωt и y = A cos (ωt + ϕ

);

4) x = A

cos ωt и y = A cos (ωt + ϕ

);

5) x = A

cos ωt и y = A

sin ωt;

6) x = A cos ωt и y = A

sin ωt;

7) x = A

sin ωt и y = A

sin ωt.

Напишите для аждо8о случая уравнение траетории точи,

постройте ее с соблюдением масштаба и уажите направление дви-

жения. Считать, что A = 2 см, A

= 3 см, A

= 1 см; ϕ

= , ϕ

= π.

7.2. Динамиа #армоничесо#о олебательно#о

движения

7.2.1. Колебания материальной точи массой m = 0,1 8 проис-

ходят по заону x = A cos ωt, 8де A = 5 см, ω = 20 с

–1

. Определите

масимальные значения возвращающей силы F

max

и инетичесой

энер8ии E

max

7.2.2. Найдите возвращающую силу F в момент t = 1 с и пол-

ную энер8ию E материальной точи, совершающей олебания по

заону x = A cos ωt, 8де A = 20 см, ω = с

–1

. Масса материальной

точи равна m = 10 8.

7.2.3. Колебания материальной точи происходят со8ласно

уравнению x = A cos ωt, 8де A = 8 см, ω = с

–1

. В момент, о8да

возвращающая сила F в первый раз дости8ла значения 5 мН, потен-

циальная энер8ия точи стала равной 100 мДж. Найдите этот мо-

мент времени t и соответствующую ему фазу ωt.

7.2.4. Груз массой m = 1 8, находившийся в поое на 8лад-

ой 8оризонтальной поверхности, начинает дви8аться под дейст-

вием 8оризонтальной силы та, что импульс 8руза изменяется

по заону p = sin (2πt). Найдите сорость 8руза через τ = 0,25 с

---

2π

------ -

---