Турчина Н.В. Физика в задачах для поступающих в вузы

Подождите немного. Документ загружается.

140

после начала движения. В аие моменты времени направление

сорости 8руза изменяется?

 7.2.5. Материальная точа совершает 8армоничесие олеба-

ния по заону x = A sin 2πt + . В аой момент времени ее ине-

тичесая энер8ия равна потенциальной?

7.2.6. Материальная точа массой m = 1 8 совершает 8армони-

чесие олебания по заону x = 0,1 sin πt. Найдите масимальные

значения инетичесой и потенциальной энер8ий точи. Опреде-

лите значения инетичесой и потенциальной энер8ий через τ = 0,1 с

после начала движения.

7.2.7. Точа совершает 8армоничесие олебания по заону x =

= 5 sin 2t. В момент времени, о8да возвращающая сила впервые

дости8ла значения F = 5 · 10

–3

Н, потенциальная энер8ия стала рав-

ной U = 6 · 10

–5

Дж. Определите этот момент времени.

7.2.8. Тело совершает 8армоничесие олебания с циличе-

сой частотой ω = 2π та, что в начальный момент времени смеще-

ние тела из положения равновесия равно половине масимально-

8о. Через аое наименьшее время от начала олебаний потенци-

альная энер8ия олебаний станет равной n = от полной?

7.2.9. Частица совершает 8армоничесие олебания по заону

x = 4 sin πt – π . Через аой промежуто времени после начала

движения инетичесая энер8ия частицы во второй раз дости8нет

масимально8о значения?

7.2.10. Тело массой m = 100 8 совершает 8армоничесие оле-

бания. На расстояниях x

= 40 см и x

= 0,4 м от положения рав-

новесия сорости тела равны v

= м/с и v

= м/с соответ-

ственно. Найдите полную энер8ию тела.

7.3. Пр'жинный маятни

7.3.1. Груз массой m = 0,1 8, подвешенный на пружине, совер-

шает N = 20 олебаний за время t = 12,6 с. Найдите жестость пру-

жины.

7.3.2. Если  пружине подвесить 8руз массой m

= 400 8, то час-

тота е8о олебаний будет ν

= 1 Гц. Каой будет частота олебаний

8руза массой m

= 100 8, если е8о подвесить  той же пружине?

7.3.3. Если  неоторому 8рузу, олеблющемуся на пружи-

не, подвесить 8ирю массой m

= 1008, то частота олебаний

⎝

⎛

---

⎠

⎞

---

⎝

⎛

---

⎠

⎞

33 32

141

уменьшится в n = 1,41 раза. Каой массы 8руз был первоначаль-

но подвешен  пружине?

7.3.4. Во сольо раз изменится период олебаний 8руза, под-

вешенно8о на резиновом ж8уте, если отрезать n = е8о длины

и подвесить на оставшуюся часть тот же 8руз?

7.3.5. К ле8ой пружине подвешиваются поочередно два раз-

личных 8рузиа. Период олебаний перво8о 8рузиа T

= 4 с, вто-

ро8о T

= 3 с. Чему будет равен период олебаний, если  этой пру-

жине подвесить сразу два 8рузиа?

7.3.6. Если  пружине подвесить поочередно два различных

8рузиа, то пружина удлиняется на ∆x

= 2 см и ∆x

= 4 см соответ-

ственно. Определите частоту олебаний, о8да  пружине подвеше-

ны оба 8рузиа.

7.3.7. Частота олебаний чашечи с 8рузиом ν

= 2 Гц. Если

на чашечу положить дополнительный 8рузи, то частота олеба-

ний станет ν

= 1 Гц. Насольо изменилось положение равновесия

у этой системы?

 7.3.8. Ка изменится период вертиальных олебаний 8руза,

висяще8о на двух одинаовых пружинах, если от последовательно-

8о соединения пружин перейти  параллельному их соединению?

7.3.9. Пружинный маятни массой m = 200 8 находится на

8ладой 8оризонтальной поверхности. Коэффициент жестости

пружины k = 3,2 Н/м. Грузи маятниа отлоняют от положения

равновесия на расстояние A = 3 см и отпусают в момент времени

= 0. Напишите заон движения маятниа. Найдите е8о смеще-

ние и сорость в момент времени t = 2 с.

7.3.10. Каова масса 8руза, олеблюще8ося на пружине жест-

остью k = 0,5 Н/м, если при амплитуде олебаний A = 6см он

имеет масимальную сорость v = 3 м/с?

7.3.11. Первый шар олеблется на пружине, имеющей жест-

ость в 4 раза бTольшую, чем жестость пружины, на оторой олеб-

лется второй шар таой же массы. Каой из шаров и во сольо раз

дальше надо отвести от положения равновесия, чтобы их маси-

мальные сорости были одинаовы?

7.3.12. Телу массой m, подвешенному на пружине жестостью k,

в положении равновесия сообщают сорость v, направленную верти-

ально вниз. Определите путь, пройденный телом, за вторую одну

восьмую часть периода олебаний, считая их 8армоничесими.

7.3.13. Тело, составленное из двух одинаовых частей массой m

аждая, подвешено на пружине жестостью k. В неоторый момент

времени одна из частей «отваливается». Определите путь, пройден-

ный оставшейся частью тела, за вторую одну восьмую часть пери-

ода олебаний, считая их 8армоничесими.

---

142

7.3.14. Пружина жестостью k приреплена  потолу и бру-

су массой m, лежащему на подставе та, что ось пружины верти-

альна (рис. 7.3.1). Пружина сжата на величину L. Найдите ампли-

туду олебаний бруса, если подставу быстро убрать.

7.3.15. Груз массой m привязан нитью, переинутой через бло,

 дру8ому 8рузу, оторый удерживается на 8ладом 8оризонталь-

ном столе пружиной, прирепленной  стене (рис. 7.3.2). Нить пе-

режи8ают, и 8руз на столе начинает олебаться с амплитудой A.

Найдите жестость пружины.

 7.3.16. Чаша с 8ирями пружинных весов пооится. На чашу

поставили еще одну 8ирю массой m (рис. 7.3.3). Найдите амплитуду

олебаний А чаши. Жестость пружины k.

7.3.17. Груз массой m = 100 8 олеблется на пружине жесто-

стью k = 50 Н/м с амплитудой A = 4 см. Найдите: а) полную механи-

чесую энер8ию олебания; б) потенциальную энер8ию олебания

в точе с оординатой x = 2 см; в) инетичесую энер8ию в этой же

точе; 8) сорость прохождения 8рузом этой точи.

7.3.18. При подвешивании  двум разным ле8им вертиаль-

ным пружинам 8рузов, отношение масс оторых равно = 2, пру-

жины получают одинаовое удлинение. Определите отношение

энер8ий этих систем, если они совершают олебания с одинаовы-

ми амплитудами.

7.3.19. К двум разным пружинам подвешены равные 8рузы,

при этом отношение удлинений пружин = 2. Определите отно-

шение энер8ий олебаний этих 8рузов, если они совершают олеба-

ния с амплитудами, отношение оторых = 2.

Рис. 7.3.1 Рис. 7.3.2 Рис. 7.3.3

--------

∆

--------- -

------

143

7.3.20. К 8рузиу массой m = 200 8 приреплена пружина

жестостью k = 20 Н/м, дру8ой онец оторой приреплен  стене

(рис. 7.3.4). Груз отвели от положения равновесия на расстояние

= 10 см и сообщили сорость v

= 1 м/с. Определите амплитуду

олебания 8руза и полную энер8ию олебания. Трения нет.

7.3.21. Шари, подвешенный на пружине, совершает 8армони-

чесие олебания с амплитудой A = 1 см (рис. 7.3.5). На аом рас-

стоянии l от положения равновесия шариа нужно зарепить пли-

ту, чтобы период олебаний шариа уменьшился на четверть? Уда-

ры шариа о плиту абсолютно упру8ие.

7.3.22. На чашу пружинных весов с высоты h = 0,8 м падает

8руз массой m = 50 8 и прилипает  ней. Определите амплитуду воз-

ниающих при этом олебаний чаши. Чаша невесома. Жест-

ость пружины k = 100 Н/м.

7.3.23. На пружине жестостью k = 200 Н/м висит дис массой

m = 200 8. На не8о с неоторой высоты h падает шайба таой же

массы, что и дис (рис. 7.3.6). После неупру8о8о удара шайбы о дис

возниают олебания с амплитудой A = 2 см. Определите высоту h.

Сопротивление воздуха не учитывать.

7.3.24. На 8ладом 8оризонтальном сто-

ле лежит брусо массой M, прирепленный

 стене пружиной жестостью k. Пуля мас-

сой m, летящая со соростью v, попадает в

брусо и застревает в нем (рис. 7.3.7). Опре-

делите амплитуду возниающих олебаний

бруса.

7.4. Математичесий маятни

7.4.1. Маятни длиной 0,99 м совершает 50 полных олебаний

за 1 мин 40 с. Определите усорение свободно8о падения для это8о

места. Принять π

d 9,86.

Рис. 7.3.4 Рис. 7.3.5 Рис. 7.3.6

Рис. 7.3.7

144

7.4.2. Отношение длин маятниов = . Первый маятни со-

вершил 20 олебаний. Сольо олебаний за это же время совер-

шит второй маятни?

7.4.3. Из двух маятниов в одном и том же месте один за нео-

торое время совершил 40 олебаний, дру8ой за то же время —

10 олебаний; разница в их длине равна 90 см. Найдите длину аж-

до8о.

7.4.4. Один математичесий маятни имеет период олебаний

= 5 с, а дру8ой — T

= 3 с. Каов период олебания математиче-

со8о маятниа, длина оторо8о равна разности длин данных маят-

ниов?

7.4.5. Математичесий маятни длиной l со-

вершает олебания вблизи вертиальной стени

(рис. 7.4.1). Под точой подвеса маятниа на рас-

стоянии l

= от нее в стену забит 8воздь. Найди-

те период T олебаний маятниа.

7.4.6. Математичесий маятни длиной l =

= 0,49 м и пружинный маятни совершают олебания с одина-

овым периодом. Определите массу 8руза пружинно8о маятни-

а, если оэффициент жестости пружины k = 10 Н/м.

7.4.7. В подвале 8лавно8о здания МГУ в свое время были уста-

новлены точные маятниовые астрономичесие часы. Определите,

насольо будут отставать эти часы за сути, если их перенести на

рышу здания высотой H = 200 м. Глубину подвала можно не учи-

тывать.

7.4.8. На аую высоту над поверхностью земли нужно под-

нять математичесий маятни, чтобы период е8о олебаний изме-

нился в n = 2 раза?

7.4.9. Найдите период олебаний математичесо8о маятниа

длиной l = 1 м на планете, плотность оторой равна плотности Зем-

ли, а радиус в n = 3 раза больше.

7.4.10. Грузиу, подвешенному на нити длиной l = 1 м, сооб-

щают 8оризонтальную сорость, в результате че8о он начинает со-

вершать 8армоничесие олебания с амплитудой A = 10 см. Найди-

те начальную сорость 8рузиа.

7.4.11. Математичесий маятни длиной l = 1 м совершает

8армоничесие олебания с амплитудой A = 10 см. Найдите усоре-

ние маятниа в тот момент, о8да е8о смещение равно половине

масимально8о.

7.4.12. Математичесий маятни длиной l = 1,5 м отлоняют

от положения равновесия на у8ол α

= 5° и в момент времени t

= 0

отпусают. В аой момент времени у8ол между нитью и верти-

алью уменьшится в n = 3 раза?

----

---

Рис. 7.4.1

---

145



7.4.13. Маленьий шари подвесили на нити дли-

ной l = 50 см в точе O стени, составляющей неболь-

шой у8ол α с вертиалью (рис. 7.4.2). Затем нить с

шариом отлонили на у8ол 2α и отпустили. Считая

удары шариа о стену абсолютно упру8ими, найдите

период олебаний тао8о маятниа.

7.4.14. Математичесий маятни приреплен 

потолу лифта. Длина маятниа l = 0,81 м. Чему равен

период олебаний маятниа, если он движется усо-

ренно: а) вверх; б) вниз? Усорение лифта a = 2,2 м/с

7.4.15. Математичесий маятни длиной l = 0,5 м олеблется

в абине самолета. Найдите период е8о олебаний, если: а) самолет

движется равномерно; б) самолет движется 8оризонтально с усоре-

нием a = 2,5 м/с

; в) самолет движется вверх под у8лом  8оризонту

α = 15° с усорением a = 2,5 м/с

; 8) самолет планирует вниз под

у8лом α = 15°  8оризонту.

 7.4.16. Стальной шари массой m = 1 8 подвешен на нити. Пе-

риод малых олебаний тао8о маятниа T

= 1 с. Если снизу  ша-

риу поднести ма8нит, то период олебаний станет T

= 0,5 с. Най-

дите силу, действующую на шари со стороны ма8нита.

7.4.17. Стальной шари массой m = 2 8 подвешен на нити дли-

ной l = 1 м. Маятни поместили между полюсами ма8нита та, что

на не8о стала действовать 8оризонтальная ма8нитная сила в плос-

ости олебаний маятниа. Найдите эту силу, если период олеба-

ний маятниа после создания поля стал T = 1,6 с.

7.4.18. Два небольших шариа массами m и M,

подвешенные на невесомых нерастяжимых нитях

длиной l аждая, отведены от положения равнове-

сия на одинаовые у8лы α (рис. 7.4.3) и отпущены

без начальной сорости. Найдите амплитуду воз-

ниших в результате соударения шариов олеба-

ний, считая их 8армоничесими. Соударение

между шариами абсолютно неупру8ое.

7.4.19. Два математичесих маятниа, один длиной l

= 20 см,

а дру8ой длиной l

= 40 см, совершают олебания с одинаовыми

у8ловыми амплитудами. Определите отношение периодов олеба-

ний маятниов и отношение их энер8ий. Массы маятниов одина-

овы.

7.4.20. Математичесий маятни длиной l = 0,5 м отлоняют

на малый у8ол и отпусают в момент времени t

= 0. Сольо раз

инетичесая энер8ия маятниа дости8нет масимально8о значе-

ния  моменту времени t = 7 с?

Рис. 7.4.2

Рис. 7.4.3

146

7.5. Колебательные системы

7.5.1. Пружина жестостью k одним онцом присоединена  оси

олеса массой m, оторое может атиться без просальзывания, а

дру8им приреплена  стене (рис. 7.5.1). Определите частоту олеба-

ний системы. Масса олеса равномерно распределена по ободу.

7.5.2. Два одинаовых тела, соединенных ле8ой пружиной жест-

остью k = 500 Н/м, лежат на 8ладом 8оризонтальном столе. Най-

дите амплитуды возниающих 8армоничесих олебаний тел, если

пружине сообщить энер8ию E = 0,1 Дж.

7.5.3. Шари, подвешенный между двумя невесомыми пружи-

нами жестостями k

= 20 Н/м и k

= 10 Н/м та, а поазано на

рисуне 7.5.2, имеет частоту олебаний таую же, что и математи-

чесий маятни длиной l = 10 см. Определите массу шариа.

7.5.4. На 8ладом 8оризонтальном столе лежит 8рузи массой m,

прирепленный 8оризонтальными пружинами  стенам (рис. 7.5.3).

Жестость одной пружины равна k, а дру8ой в 2 раза больше. Если

8рузи несольо сместить вдоль линии пружин, он начнет олебать-

ся. Найдите период этих олебаний.

7.5.5. Шари массой m = 0,5 8 зареплен двумя недеформиро-

ванными одинаовыми пружинами жестостью k = 500 Н/м между

вертиальными стойами на досе массой M = 28, лежащей на

8ладом столе (рис. 7.5.4). Удерживая досу на месте, шари сме-

щают вдоль линии пружин из положения равновесия на x

= 2 см и

отпусают. Определите частоту олебаний шариа и амплитуду от-

носительно стола, считая их 8армоничесими.

7.5.6. На идеально 8ладой 8оризонтальной плосости располо-

жен брусо массой M = 1 8, срепленный с пружинами, жестость

аждой из оторых k = 30 Н/м (рис. 7.5.5). На брусе лежит шайба

массой m = 0,5 8. Система брусо—шайба приводится в олебатель-

ное движение. Определите масимальную амплитуду олебаний, при

оторой система будет дви8аться а единое целое, т. е. без просаль-

зывания шайбы по брусу. Коэффициент трения сольжения между

брусом и шайбой μ = 0,4.

Рис. 7.5.1 Рис. 7.5.2 Рис. 7.5.3

147

7.5.7. Брусо за рая подвешен  потолу на двух одинаовых

пружинах жестостью k аждая и притянут  полу прирепленной

 е8о центру пружиной жестостью 2k (рис. 7.5.6). Выведенный из

положения равновесия, он начинает совершать олебания в верти-

альной плосости с периодом T. Чему равна масса бруса?

 7.5.8. Грузы массами m и 3m висят на нити, переинутой через

неподвижный бло, причем аждый из них присоединен  полу

с помощью вертиальной пружины жестостью k (рис. 7.5.7). В по-

ложении равновесия обе пружины растянуты. Систему вывели из

положения равновесия, сообщив 8рузу m направленную вниз верти-

альную сорость v

. Найдите амплитуду и период возниших о-

лебаний 8рузов.

 7.5.9. Груз массой m

подвешен  потолу с помощью нити, пе-

реинутой через неподвижный и подвижный блои. Груз массой m

соединен нитью с подвижным блоом и пружиной жестостью k

с землей (рис. 7.5.8). В положении равновесия пружина растянута.

Груз m

смещают из положения равновесия вниз на расстояние A и

отпусают. Найдите период возниающих олебаний и масималь-

ную сорость олеблющихся 8рузов.

7.5.10. К оси подвижно8о ле8о8о блоа, подвешенно8о на ни-

ти AB, соединенной с двумя пружинами жестостями k

= 10 Н/м и

Рис. 7.5.4 Рис. 7.5.5

Рис. 7.5.6 Рис. 7.5.7 Рис. 7.5.8

148

= 20 Н/м, приреплено тело массой m = 100 8 та, а поазано

на рисуне 7.5.9. Бло может свободно сользить по нити. Пренебре-

8ая трением в оси блоа, определите период малых олебаний тела.

 7.5.11. Тело массой m = 1 8 и тело массой M = 4 8 соединены

между собой пружиной, а поазано на рисуне 7.5.10. Тело мас-

сой m совершает 8армоничесие олебания с амплитудой A = 1,6 см

и циличесой частотой ω = 25 рад/с. Пренебре8ая массой пружи-

ны, найдите отношение наибольшей и наименьшей сил давления

этой системы на плосость стола. При аом значении амплитуды

олебаний тело массой M оторвется от стола?

 7.5.12. Жесто соединенная онструция из ле8о8о стерж-

ня и небольшо8о по размерам шариа массой m может совершать

олебания под действием двух пружин жестостями k

и k

аждая вору8 вертиальной оси O по 8ладой поверхности стола

(рис. 7.5.11). Пружины ле8ие, точи репления их  стержню

делят е8о на три равные части. В положении равновесия оси пру-

жин перпендиулярны стержню, и пружина жестостью k

рас-

тянута на величину l

. Найдите:

1) деформацию второй пружины в положении равновесия;

2) период малых олебаний системы.

 7.5.13. Внутри 8ладой сферичесой поверхности радиусом

R = 10 см находится небольшой шари массой m =10 8 (рис. 7.5.12),

оторый совершает 8армоничесие олебания. Наибольшее смеще-

ние шариа из положения равновесия, измеренное вдоль поверхно-

сти сферы, равно s

max

= 5 мм. Чему равна полная энер8ия E олеба-

ний шариа?

Рис. 7.5.9 Рис. 7.5.10 Рис. 7.5.11

149

7.5.14. С рая 8ладой полусферы сосаль-

зывает небольшое тело массой m

= 50 8 и абсо-

лютно неупру8о ударяет тело массой m

= 200 8,

лежащее на дне полусферы (рис. 7.5.13).

Найдите у8ловую амплитуду олебаний тел пос-

ле соударения.

7.5.15. Предположим, что по одному из

диаметров Земли просверлили анал. Принимая

Землю за однородный шар плотностью ρ = 5,5 ×

× 10

8/м

, найдите время движения тела от по-

верхности Земли до ее центра.

7.5.16. В пустом пространстве вдоль одной

прямой на расстоянии a дру8 от дру8а располо-

жены три материальные точи. Массы райних

точе равны M (аждая) и намно8о превышают

массу средней точи. Центральную точу сме-

щают на расстояние, мно8о меньшее a, в направлении, перпендиу-

лярном линии, соединяющей райние точи, после че8о она начи-

нает олебаться. Найдите период этих олебаний.

 7.5.17. На брусе массой M = 100 8, на-

ходящемся на 8ладой 8оризонтальной

плосости, вертиально установлен ле8ий

стержень,  оторому привязана нить дли-

ной l = 25 см с 8рузом массой m = 50 8 (рис.

7.5.14). Нить с 8рузом отлоняют на не-

большой у8ол от вертиали и отпусают.

Определите период возниающих олеба-

ний 8руза, считая их 8армоничесими.

7.5.18. Посередине натянутой струны зареплен небольшой

8рузи массой m = 0,1 8. Длина струны l = 2 м. Частота малых о-

лебаний 8рузиа ν = 10 Гц. Найдите силу натяжения струны. Силу

тяжести не учитывать.

7.5.19. Однородный стержень поло-

жили на два быстро вращающихся блоа,

а поазано на рисуне 7.5.15. Расстоя-

ние между осями блоов l = 20 см, оэф-

фициент трения между стержнем и бло-

ами μ = 0,18. Поажите, что стержень

будет совершать продольные 8армониче-

сие олебания, и найдите их период.

 7.5.20. Ареометр массой m = 0,2 8 плавает в жидости. Если

по8рузить е8о немно8о в жидость и отпустить, то он начнет совер-

шать олебания с периодом T = 3,4 с. Считая олебания незатухаю-

щими, найдите плотность ρ жидости, в оторой плавает ареометр.

Диаметр вертиальной цилиндричесой труби ареометра d = 1 см.

Рис. 7.5.12

Рис. 7.5.13

Рис. 7.5.14

Рис. 7.5.15