Турбина К.Е. Теория и практика страхования

Подождите немного. Документ загружается.

Раздел 2. Основы теории страхования

Изложенную методику проиллюстрируем на примере срочного договора страхова-

ния жизни на п лет, по условиям которого страховщик обязуется за внесенные страхо-

вателем взносы выплатить застрахованному по окончании срока действия договора стра-

ховую сумму S либо выплатить выгодоприобретателям такую же страховую сумму в

случае смерти застрахованного в течение срока действия договора. Исходные условия

расчета:

— застрахованными рисками (страховыми событиями) являются: дожитие застра-

хованного до окончания срока действия договора или его смерть в течение этого

срока. С наступлением страхового случая страховщик обязуется выплатить уста-

новленные договором страховые суммы;

— срок действия договора страхования

—-

п лет;

— взносы вносятся единовременно либо в рассрочку с ежегодной или ежемесячной

периодичностью;

— возраст застрахованного на момент заключения договора страхования х полных лет;

— выплата по смерти осуществляется сразу после ее наступления (как вариант

—

конце года смерти).

Условия договора иллюстрирует рисунок, приведений ниже.

ScM

f^H

t_JL

i i i

x+n

X x+1 x+2 x+3 x+n-1 x+n

в соответствии с изложенным порядком расчета определим вначале единовременные

нетто-ставки по рискам, включенным в объем ответственности страховщика, и, далее,

общую нетто-ставку

—

как сумму составляющих.

Страховые суммы на дожитие и смерть в общем случае могут быть различными, в

данном примере принимаем их одинаковыми, т.е. 8д =

SCM

= S.

Нетто-ставка на дожитие определяется как сумма средств страхового фонда, необходи-

MbDc

для выгохат страховых сумм всем застрахованным, дожившим до окончания срока дей-

ствия договора страхования (выплат по дожитию), приведенная (продисконтированная с

учетом инвестищюнного прироста взносов) на начало действия договора страхования и де-

ленная на всех вступивших в страхование. Если представить, что число застрахованных в

момент заключения договора страхования составляет 1х, а согласно таблице смертности до

возраста полных п лет доживут только к+п человек, то необходимая сумма средств составит:

Фд

1х+п

*v" *S.

Разделив получеьшое значение на число вступивших в страхование 1х, определим нет-

то-ставку на дожитие для названных условий страхования при страховой сумме S. С учетом

принятого обозначения единовременной нетто-ставки на дожитие

—

пЕх формула для ее

расчета запишется следующим образом:

110

Глава 9. Цена страховой услуги. Методические основы расчета страховых тарифов

„Е,

=Т„д

— *S

Формула расчета единовременной нетто-ставки для выплат на случай смерти выводит-

ся сходным образом, если сумму средств, выплачиваемых в связи со смертью застрахован-

ных в течение срока действия договора страхования, рассматривать как сумму средств,

выплачиваемых ежегодно по окончании года смерти застрахованных. Тогда формулу для

расчета нетто-ставки (пАх) для выплат по смерти можно записать в виде:

л -г^ _dx*v

l*v^ +

n-l*v^^^_x

n-l (t-x-l)d, ^^

\ t =

^х

Если страховая выплата производится сразу же после смерти, то доля средств, причита-

ющаяся для выплат в текущем году, не успеет обеспечить годичный инвестиционный доход,

учтенный в приведенной формуле, поэтому фактическая нетго-ставка по смерти должна быть

больше рассчитанной по этой формуле. Для практических целей при небольшой величине

годового инвестиционного дохода (10%—20%) хорошие результаты дает приближенная фор-

мула из «Методики расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхо-

ванию жизни» (рекомендована Приказом Росстрахнадзора № 02-02/18 от 28.06.96):

где:

6 = ln(l+i).

Полная единовременная нетго-ставка определится как сумма: Тн=„Ех+ „^х

Брутто-ставка при нагрузке, установленной страховщиком, — f составит:

Тб = Тн/(1—f),

„A,=i*„A, ==7(ЬЙ)*пА,

Для упрощения записи актуарных формул и снижения трудоемкости расчетов, прово-

димых вручную, используются специальные коммутационные функции: D,,N^,S^,С,,M,,R^,

которые представляют собой:

W W

S=N+N ,+...= IN=S (t-x

l)D.

"" "" '' +

t = x ^ t = x '

X X. t = X

w w

R=M+M ,+...= SM= I (t-x

1)C,

^ ^ ^^^ t=x ^ t=x *

где : w

—

предельный возраст по таблице смертности.

Используя коммутационные функции и вводя дополнительные множители (подобно

тому, как ниже показано для ^Е^), приведенные ранее формулы расчета единовременных

нетто-ставок на дожитие и смерть можно записать в следующем виде:

111

Раздел 2. Основы теории страхования

1 V^

X + П

1 v^ v^ D

* с _

+ n * * S = ^

^^ * Q.

1 X D

X v^ X

: n

M -M

+ n * c.

M -M

A = *

: n 6

x - x + n *5^7(ГМ)* ^ x + n *s

X X

Формулы для расчета нетто-ставок при уплате взносов в рассрочку приведем далее без

вывода, воспользовавшись упомянутой выше методикой.

Коэффициент рассрочки для ежегодных взносов (годичный аннуитет пренумерандо,

рассмотренный ранее) определяется по формуле:

''^-'

(t-x)\

_\-^

гГп\

= ^У

Х±Л

ежегодный нетто-взнос составляет:

Р= «

ах:п|

Коэффициент рассрочки для суммы взносов за год, вносимых с периодичностью раз в

месяц, равен:

(т) х + п-1 , L m 1 ^1

axni й 1^ 2m 1^

D 2m ' D ^

X X

Годичная сумма нетто-взносов, вносимых ежемесячно, с учетом приведенного значе-

ния коэффициента рассрочки составляет:

,(12) Тн

(12) '

З.х:п|

а ежемесячный нетто-взнос равен:

Рассчитаем тарифные ставки (на 1000 руб. страховой суммы) для рассматриваемых

условий страхования при следующих численных значениях: х=40, п=5,1=0,06; f=0,05, S=1000.

При расчете воспользуемся таблицей смертности, фрагмент которой приведен выше, дис-

контирующие множители при норме доходности 1=6% годовых приведены в таблице.

Таблица. Дисконтирующие множители при норме доходности 1=6%

«,

лет

дисконт

0,9434

0,8900

0,8396

0,7921

0,7473

0,7050

0,6651

0,6274

0,5919

0,5584

112

Глава 9. Цена страховой услуги. Методические основы расчета страховых тарифов

Коммутационные числа при 1=6% по данным переписи населения РФ в 1994 г. пред-

ставлены ниже.

Таблица

Таблица коммутационных чисел по переписи населения в 1994 г.

1 Возраст,

хлет

100

Число до-

живаю-

щих, 1х

100000

97916

97723

96291

91306

83333

82246

81100

79892

78619

77275

50142

28542

Воз-

раст,

дс

лет

Число

до-

живающих,

100000

98458

98293

97469

96192

94086

93771

[

Число

умираю-

щих,

2084

193

111

255

604

1087

1146

1208

1273

1344

1419

2101

2125

Число

уми-

раю-щих,

1542

165

142

315

344

Пол:

мужчины

1 Вероят-

ность

смерти,

0,020840

0,001971

0,001136

0,002648

0,006615

0,013044

0,013934

0,014895

0,015934

0,017095

0,018363

0,041901

0,074452

1,000000

Пол:

жен1

Вероят-

ность

смерти,

0,015420

0,001685

0,000941

0,000904

0,015553

0,003780

0,004182

100000,0

92373,6

86973,1

33735,0

15897,3

8101,8

7543,5

7017,4

6521,6

6054,1

5614,0

1520,0

483,1

0,1

щины

100000

92884,9

87480,4

34147,7

16748,0

9147,2

8600,6

1632601,0

1532601,0

1440228,0

513284,0

218765,0

98585,8

90484,0

82940,5

75923,1

69401,6

63347,5

12968,2

3151,0

0,1

1691632

1591632

1498747

564935

262927

133232

124085

м.

7588,54

5622,50

5450,73

4681,04

3514,33

2521,41

2421,72

2322,56

2223,95

2125,61

2028,25

785,90

304,71

Мх

4246,9

2792,2

2645,3

2169,8

1865,0

1605,4

1576,6

ИЗ

Раздел

Основы теории страхования

"^^

100

93427

93048

92628

92164

80404

129

379

420

464

509

1087

129

0,004673

0,005257

0,005902

0,006587

0,021678

1,000000

8084,0

7595,5

7133,2

6695,7

2437,4

0,4

115484

107400

99804,8

92671,6

26647,3

0,4

1546,8

1515,8

1483,5

1449,8

928,7

Результаты расчета по приведенным формулам с использованием коммутационных

чисел представлены в таблице. Как видно из таблицы, тарифные ставки зависят от пола

застрахованного, момента выплаты страховой суммы в связи со смертью, принятой часто-

ты уплаты страховых взносов.

Таблица

Расчет тарифных ставок по страхованию жизни на 1000 руб. страховой суммы

(срок страхования:

лет, норма доходности i-0,06, нагрузка/-5%)

Показатели

Е^

(5Е40)

единовременная

нетто-ставка

на

доэюитие

А (5А40) единовременная

нетто-ставка

на

смерть,

выплата сразу после смерти

„AJ5A 40) единовременная

нетто-ставка

на

смерть,

выплата

конце года смерти

Тн

—

нетто-ставка,

вы-

плата сразу после смерти

Тн

—

нетто-ставка,

вы-

плата

конце года смерти

Коэффициент рассрочки

еэюегодных

взносов:

ах:п|(а40:5|)

Рх:п {Р40:5\) еэюегодная

нетто-ставка, выплата сра-

зу после смерти

Р'х.п

(Р'40:5\) еэюегодная

нетто-ставка, выплата

конце года смерти

Расчетные формулы

Е J45^^_D45

^40

^40-^^

40:5'|

"^40

•

М -М

_ ' * X

X:п

6 D^

Тн

5Е40

5А40

Т'н

5Е40

5А40

1 _^40-^45

D^o

Р40:5|

Тн/а

40:5|

Р'40:5|

Т'н/а

40:5|

Мужчины

692,93

60,87

62,67

755,60

753,80

4,349

173,74

173,33

Женщины

731,99

17,01

17,51

749,50

749,00

4,434

169,03

168,92

114

Глава 9. Цена страховой услуги. Методические основы расчета страховых тарифов

Коэффициент

рассрочки

еэюемесячных

взносов:

12 12

а х:п| (а 40

5 |)

Рх^п\

(^40:51

^^^^^л*^«ьш

неттО'взнос,

выплата

сразу

после смерти

Тб — единовременная

брутто-

ставка,

выплата

сразу после

смерти

Тб —

единовременная

брутто-

ставка,

выплата

конце

года

смерти

Рб —еоюегодная брутто-

ставка,

выплата

сразу после

смерти

Р'б

—еоюегодная брутто-

ставка,

выплата

конце

года

смерти

Р^Р^ —

елсемесячная

брутто-

ставка,

выплата

сразу после

смерти

а40

•

= --^ ^ -

i^=—!-(!

- —45.)

р(12) _ 1 * Тн

М0:5|

12 "(127 '

а40 :5

T6=TH/(l-f)

Гб=Гн/(1-0,05)

Рб=(Р40:5)/(1-0,05)

Р'б=(РЧ0:5)/(1-0,05)

Ра^^ = (Р4??5|)/(1-^'0^)

4,209

14,96

795,37

793,47

182,88

182,45

15,75

4,311

14,49

788,95

788,42

177,93

177,81

15,25

Если границы примера расширить для различных возрастов застрахованных на мо-

мент их вступления в страхование, то можно показать, что тарифные ставки зависят

также от возраста застрахованного, с увеличением которого, при прочих равных усло-

виях, они также (у взрослых) увеличиваются. Кроме того, изменяется структура общей

нетто-ставки, т.к. с возрастом увеличивается доля нетто-ставки на смерть и снижается

доля на дожитие.

В заключение рассмотрим пример расчета тарифных ставок, связанный со страхова-

нием ренты и, как частного случая, пенсии. Расчет тарифных ставок по такому страхова-

нию при периодической уплате страховых взносов и регулярных страховых выплатах пред-

ставляет, по сути, оценку двух видов аннуитетов:

— отложенного аннуитета (обычно пренумерандо), соответствующего приведенной

на начало срока действия договора страхования ожидаемой стоимости регулярные

выплат страховых пенсий (обьино

—

в начале очередного срока) в течение опреде-

ленного периода, если договором предусмотрена срочная рента (пенсия), или бес-

срочно, вплоть до смерти застрахованного, если договором предусматривается

пожизненная рента или пенсия. Такая приведенная стоимость является единовре-

менной ставкой страхового взноса для соответствующих условий страхования. Если

выплату очередной пенсии планируется проводить в конце очередного срока вып-

латы, то в расчете необходимо использовать аннуитеты постнумерандо;

— аннуитета (обычно пренумерандо), соответствующего приведенной на начало срока

действия договора страхования стоимости регулярных взносов, который пред-

115

Раздел 2. Основы теории страхования

ставляет собой коэффициент рассрочки по отношению к единовременному взно-

су и используется для расчета суммы взносов, уплачиваемых за год при любой

принятой при расчете частоте уплаты в году.

Рассчитаем тарифные ставки по страхованию пенсии мужчин при ежемесячных стра-

ховых взносах и пожизненной, либо на срок к лет, выплате ежемесячной страховой пенсии

(выплата в начале срока

—

пренумерандо), возраст застрахованного в момент заключения

договора страхования

—

х полных лет, начало выплаты пенсии

—

60 лет, взносы уплачива-

ются пренумерандо вплоть до наступления пенсионного возраста. Расчет проведем с ис-

пользованием формул Методики Росстрахнадзора (рекомендована Приказом Росстрахнад-

зора № 02-02/18 от 28.06.96), ссылки в квадратных скобках указывают номера таблиц мето-

дики.

Для названных условий страхования ежемесячные тарифные ставки определятся сле-

дующим образом.

Для лица в возрасте х лет стоимость обязательств страховщика по выплате ежеме-

сячной страховой пенсии, пока застрахованный жив, приведенная на начало срока дей-

ствия договора, представляет собой отсроченный на п=(60—х) лет аннуитет пренуме-

рандо. Значение такого аннуитета представляет собой ставку единовременного взноса,

достаточного для исполнения страховщиком своих обязательств, и определяется по фор-

муле [Табл.4]:

./^^ N (m-l)D

^1 ^ D 2mD

X X

В случае, если договором страхования предусматривается выплата страховой пенсии

ежемесячно в течение ограниченного срока, например к лет, сумму обязательств страхов-

щика, приведенную на начало срока действия договора, т.е. ставку единовременного взноса,

можно представить отсроченным на п лет срочным аннуитетом пренумерандо, который

определяется по формуле [Табл.5]:

S^^ N -N , (m-l)(D -D ,)

^Q,,

.1,

I- x

n x

k ^ ^^x

n x

' D 2mD

X X

При использовании этих формул следует учитывать то обстоятельство, что они пред-

полагают ежемесячную выплату в размере (1/т), в данном случае

—

(1/12), а сумма месяч-

ных выплат за год является страховой суммой, равной единице.

Сумма страховых взносов, уплачиваемых раз в месяц, приведенная на начало дей-

ствия договора страхования, т.е. коэффициент рассрочки для годичной суммы ежемесяч-

ных взносов, представляет собой аннуитет пренумерандо [Табл.5]:

(12)

^х-^х

12-1*,.

Dx + n.

' Dx 24 Dx

где:

п=(60—х)

—

период уплаты ежемесячных взносов.

Численный расчет выполним с использованием приведенной выше таблицы комму-

тационных чисел при следующих значениях: годовая норма доходности i=6%, возраст

застрахованного х=30 лет, ежемесячная пенсия 1000 руб., соответственно сумма пенсии

116

Глава 9. Цена страховой услуги. Методические основы расчета страховых тарифов

за год или страховая сумма на год составляет S=12000 руб., срок срочной пенсии — 10

лет (к=10 лет).

Используя приведенные формулы, последовательно определяем необходимые зна-

чения.

Единовременная ставка пожизненной пенсии составляет:

..(12) N.. (12-1)*D..

а = -^

12000

(60-30)1 30 ^30 2*12*Озо

Подставив из таблицы численные значения коммутационньпс чисел, определим вели-

чину единовременной тарифной ставки, которая равна 9263,1 руб.

Единовременная ставка пенсии, выплачиваемой ежемесячно в течение 10 лет (к=10),

составляет:

••^^^^ N..-N70 (12-1)*(D..-D7f.)

(60-30) азо

= % -^^ - у* to *п

^^^^^

^30 ^ ^^ ^30

Подставив из таблицы численные значения коммутационных чисел, определим вели-

чину единовременной тарифной ставки для срочной пенсии, выплачиваемой ежемесячно в

течение 10 лет, которая составит 7051,71 руб.

Учитывая, что по условиям страхования взносы вносятся ежемесячно, определим их

величину для обоих вариантов страхования. При этом вначале необходимо определить ко-

эффициент рассрочки для годичных взносов при ежемесячной их уплате, который рассчи-

таем по формуле:

^^^^ N -N п 1 D +30

аЗО:301= ?0^^30.30_12-l.(,_D^^^

^30 30

После подстановки значений коммутационных чисел получим величину коэффициен-

та рассрочки, равную

12,53.

Ежемесячный взнос для пожизненной пенсии составляет:

(12)

1*р.1*30|а30_ 1*9263,1^, ,,

12 12 (12) 12 12,53

азо

30 |

Ежемесячный взнос для пенсии, выплачиваемой 10 лет, составляет:

(12)

I _ 1 ,30|a30:10L I

^^^^'^^ - 46 90

12 ^0-12 02) 12 12:53 '

азо

Приведенные примеры расчета страховых тарифов по страхованию жизни и ренты

(пенсии) для простых условий страхования показывают, что после оценки риска они сво-

дятся к четкому алгоритму решения и их проведение не составляет больших трудностей.

Однако по мере усложнения условий страхования и обязательств сторон по уплате взносов,

117

Раздел 2. Основы теории страхования

страховым выплатам, возврату взносов при определенных условиях и т.д. расчет тарифов

существенно усложняется. Кроме того, в современных страховых продуктах по страхова-

нию жизни типа Universal Life сроки внесения страховых взносов и их размер могут быть

жестко не регламентированы, что существенно затрудняет, а в ряде случаев делает невоз-

можным расчет страховых тарифов без использования соответствующих технических средств

и компьютерных программ. Поэтому в практике работы страховых организаций расчет стра-

ховых тарифов, так же как и страховых резервов, является областью профессиональной

деятельности актуария.

Контрольные вопросы к Главе 9:

Приведите понятие экономической сущности страховой премии.

Структура страховой премии, назначение отдельных частей.

Факторы, влияющие на размер страховой премии.

Основные предпосылки и параметры методики расчета тарифных ставок по риско-

вым видам страхования.

Особенности расчета тарифных ставок по страхованию жизни.

6. Факторы, влияющие на размер нетто-ставки по страхованию жизни.

Понятие коммутационных чисел и их применение в актуарных расчетах.

Раздел

Организация страховой

деятельности