Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3

Подождите немного. Документ загружается.

регрессии Y

по Y

, …, Y

, и, в связи с этим, критерий нельзя рассматривать

как адекватный для тестирования присутствия коинтеграции.

3. Третья проблема может появиться, если между переменными Y

, Y

…, Y

существует более одной коинтегрирующей взаимосвязи. Тогда метод

наименьших квадратов предоставит нам оценку не самих векторов, а их

линейной комбинации. Решение этой последней проблемы заключается в

самой формулировке нулевой гипотезы критерия как гипотезы об отсутствии

коинтеграции переменных Y

, Y

, …, Y

. Для этих целей критерий остается

пригодным.

Альтернативным к подходу Ингла-Грейнждера выступает метод,

предложный Йохансеном. Процедура тестирования Йохансена достаточно

сложна, но лишена перечисленнытсях выше проблем. Мы рассмотрим два

варианта тестирования. Оба критерия опираются на метод наибольшего

правдоподобия, их можно рассматривать как критерии отношения

наибольшего правдоподобия.

Процедура включает следующие этапы.

На первом этапе мы предполагаем, что вектор Y

включает

интегрированные порядка один, I(1), переменные. С помощью метода

наибольшего правдоподобия с учѐтом ограничений на параметры проводится

оценка модели векторной авторегрессии Y

в виде (4.38), продемонстрируем

еѐ ещѐ раз:

∆Y

= α + Г

∆Y

t-1

+ … + Г

p-1

∆Y

t- p-1

+ (β Y

t-1

. (4.46)

где

– имеют многомерное независимое нормальное распределение с

параметрами E[

] = 0, cov(

) = , принятое в англоязычной литературе

обозначение для такого распределения: NID(0, ). Параметры распределения

случайной составляющей

~ NID(0, ) будут учтены в процедуре оценки.

Ограничение на параметры задѐт условие (4.37), которое мы также

запишем ещѐ раз. Будем предполагать, что на базе интегрированных

переменных I(1): Y

, Y

, …, Y

мы можно построить r стационарных

линейных комбинаций, тогда запим условие

П = β . (4.47)

как произведение двух матриц: – матрицы весовых коэффициентов, с

которыми коинтегрированные векторы входят в уравнение первых разностей

совместно зависимых переменных ∆Y

, размерность составляет k×r, и

матрицы коинтегрированных векторов β размерности k×r. Как уже

отмечались β состоит из коинтегрированных векторов, которым

соответствуют столбцы матрицы β, r – число коинтегрированных векторов .

Таким образом, в рамках метода Йохансена первый шаг предполагает

оценку системы (4.46) с учѐтом ограничений (4.47) и заданного числа

стационарных линейных комбинаций r методом наибольшего правдоподобия.

На втором шаге проводится тестирование гипотез относительно ранга r

матрицы долгосрочного мультипликатора П. Для этого, находят собственные

значения матрицы П. Далее, определяют соответствующие собственным

значениям собственные векторы, которые в свою очередь тоже образуют

матрицу. Из этой матрицы выделяют блок собственных векторов,

соответствующих наибольшим собственным значениям. Доказано, что при

заданном r оценки метода наибольшего правдоподобия для β совпадают с

блоком матрицы, включающей r собственных векторов, соответствующих r

наибольшим среди оцененных собственных значений матрицы П, которые в

свою очередь легко оценить с помощью МНК.

Предположим, теоретические собственные значения, полученые с

помощью МНК, расположенные в порядке убывания, обозначены как

≥

≥ … ≥

Если в системе существует r коинтегрирующих взаимосвязей, и

следовательно матрица П имеет ранг r, тогда необходимо, чтобы

log(1 –

) = 0

для наименьших k – r собственных значений, то есть для j = r + 1, r + 2, …, k.

Используя оценѐнные собственные значения, обозначим их, например, как

> … >

мы можем протестировать гипотезы, касающиеся ранга матрицы

долгосрочного мультипликатора П. Так, например, мы можем протестировать

нулевую гипотезу

о том, что набор коинтегрирующих взаимосвязей r не

превышает некоторого известного числа r

: r ≤ r

против альтернативной гипотезы

о том, что число коинтегрирующих

взаимосвязей r выше r

, но не превышает числа совместно зависимых

переменных k:

: r

< r ≤ k.

Для тестирования мы можем использовать критерий, основанный на

использовании следа матрицы. Статистика критерия принимает следующий

вид:

Критерий позволяет установить, существенно ли отличаются от нуля

наименьшие k – r

собственные значения.

Другой вариант критерия называется критерием наибольшего

собственного значения. Альтернативная гипотеза критерия, который мы

можем протестировать, формулируется более жестко. Если в основной

гипотезе

мы по-прежнему утверждаем, что число коинтегрирующих

взаимосвязей r не превышает некоторого заданного числа r

: r ≤ r

то в альтернативной гипотезе, утверждается, что число взаимосвязей на

единицу больше зафиксированного числа r

: r = r

+ 1.

Статистика для проверки нулевой гипотезы определяется как

max

) = – T log(1 – ).

Для тестирования необходимо получить оценку (r

+1)-го наибольшего

собственного значения.

Критические значения критериев определяют, используя распределение

Дики-Фуллера, расширенное для многомерных случаев. Процентили

распределения завися от того, включены ли в уравнения константа и

временной тренд. Таблицы распределения табулированы и опубликованы.

5. Модели с ограничениями на зависимые переменные

Наиболее часто модели с ограничениями на зависимые переменные

(Models with Limited Dependent Variables) встречаются на уровне анализа

микроэкономических процессов, опирающихся на информацию о поведении

отдельных индивидов: предприятий, домохозяйств, женщин и мужчин,

работников, стратифицированных по возрасту, уровню образования и другим

критериям.

Обозначения для объектов исследования, которые мы введѐм в текущей

главе, будут отражать специфику изучаемого объекта. Чаще всего анализ

моделей с ограничениями на зависимые переменные опирается на

пространственные данные. Поэтому номеру объекта в выборке будем

приписывать индекс i, индекс пробегает значения от 1 до n, i = 1, 2, …, n, n –

объѐм выборки.

Различают несколько типов моделей с ограничениями на зависимые

переменные. Можно выделить три большие группы (рис. 5.1):

– модели с качественными зависимыми переменными;

– модели с ограничениями на количественные зависимые переменные;

– модели с порядковыми зависимыми переменными.

Модели с

качественными

зависимыми

переменными

Модели с

ограничениями на

количественные

зависимые переменные

Модели с

порядковыми

зависимыми

переменными

Рис. 5.1. Структура моделей с ограничениями на зависимые

переменные

- модели бинарного

выбора;

- мультиноминальные

модели;

-модели с

упорядоченными

откликами

-– модели с усечѐнными или

урезанными выборками;

– модели с цензурированными

выборками;

– модели времени жизни;

– модели с целочисленными

зависимыми переменными

- модели с

ординальными или

ранговыми

переменными;

- модели с

порядковыми

переменными

Модели с ограничениями на

зависимые переменные

К моделям с качественными зависимыми переменными относят:

– модели бинарного выбора (Binary Choice Models), в которых

зависимая переменная принимает два значения или две альтернативы: да или

нет, признак присутствует или отсутствует;

– модели множественного выбора, когда качественная зависимая

переменная может принимать одно из нескольких возможных значений или

альтернатив. К моделям множественного выбора относят

мультиноминальные модели (Multi-nominal Models) и модели упорядоченных

откликов (Ordered Response Models). Основное отличие моделей

упорядоченных откликов от мультиноминальных моделей заключатся в

упорядоченности альтернатив, например, плохо, средне, хорошо. В

мультиноминальных моделях альтернативы не могут быть упорядочены.

Например, возможны такие варианты градации признаков: раса

(европеоидная, монголоидная, негроидна), национальность (русский,

украинец, белорус, немец), профессии и другие;

Отдельно можно выделить модели латентных (ненаблюдаемых)

количественных зависимых переменных (An Underlined Response Models).

Использование латентных переменных может быть применено как для

моделирования поведения бинарных переменных, так и для моделей

множественного выбора.

Группа моделей с ограничениями на количественные зависимые

переменные представлена следующими видами:

– модели с усечѐнными или урезанными выборками (truncated data);

– модели с цензурированными выборками (censored data);

– модели времени жизни (duration models);

– модели с целочисленными зависимыми переменными.

Модели с порядковыми зависимыми переменными близки к типу

моделей с качественными зависимыми переменными с упорядоченными

откликами. Зависимая переменная позволяет не только упорядочить

номинации признака, но и приписать им некоторое число, например ранг.

Поэтому модели такого типа называют ординальными (ordered response

models) порядковыми, или ранговыми (ranking data).

5.1. Модели бинарного выбора

В начале рассмотрим модели ориентированные на выбор между двумя

дискретными альтернативами. Рассмотрим простой пример, предположим,

что мы исследуем наличие собственного жилья у семьи в зависимости от

уровня доходов. Жилье может быть самое разное: усадьба, дом, квартира,

здесь мы этот вопрос не уточняем. Для нас главное, что семья владеет жильем

на правах собственника. Обозначим в качестве зависимой переменой:

= 1, если семья i владеет жильѐм на правах собственника;

= 0, если семья i не владеет жильѐм на правах собственника.

В постанове задачи зависимая переменная y

имеет два возможных

исхода: 0 или 1. Подобную ситуацию мы называем бинарным выбором для

зависимой переменной. В качестве объясняющих переменных могут

выступать различные индивидуальные характеристики объектов, например,

уровень образования, суммарные доходы семьи, уровень доходов на одного

члена семьи, возраст и другие. Обозначим x

– уровень доходов семьи i; x

, …, x

– набор других объясняющих переменных; x

– фиктивная

переменная, которая включена, чтобы учесть наличие свободного члена,

≡ 1. Тогда x

= (x

, x

…, x

) - вектор наблюдений объясняющих

переменных модели, – вектор неизвестных параметров модели, = (

, …,

) ;

возмущения модели. Наша задача: оценить регрессионную

модель бинарного выбора, которая объясняет влияние доходов семьи на

обеспеченность семьи жильѐм. Остановимся на постановке линейной

вероятностной модели.

Запишем линейную модель бинарного выбора в следующем виде:

= x

, (5.1)

Следует отметить, что распределение возмущений

в линейной модели

бинарного выбора будет далеко от нормального, и, скорее всего,

гетероскедастично. Проблема гетероскедастичности связана с вероятностной

природой возмущений.

Распределение ошибок

является условным по x

. Поэтому стандартное

предположение об условном распределении возмущений модели можно

записать как:

| x

] = 0, (5.2)

и, следовательно, с учѐтом того, что зависимая переменная принимает всего

два значения: ноль и один, условное математическое ожидание зависимой

переменной равно следующему выражению:

E[y

| x

] = 1 Pr(y

= 1 | x

) + 0 Pr(y

= 0 | x

Соответствующие вероятности в выражении для условного математического

ожидания зависимой переменной будут равны

Pr(y

= 1 | x

) = F(x

);

Pr(y

= 0 | x

) = 1 - F(x

где F(x

) – линейная функция от x

и . F(x

) должна соответствовать

следующим требованиям:

1) принимать значения в пределах [0, 1];

2) быть монотонно возрастающей по вектору объясняющих

переменных;

должны выполняться асимптотические условия

3) F(u) → 1 при u→ ∞;

4) F(u)

→

0 при u→ – ∞.

Приняв предположение о линейной зависимости функции распределения от

параметров и переменных модели:

F(x

) = x

получим линейную модель, для которой будет справедлив следующий

результат относительно условного математического ожидания значения

зависимой переменной:

E[y

| x

] = Pr(y

= 1 | x

) = x

, (5.3)

Выражение (5.3) означает, что вероятность появления значения, равного

единице, для зависимой переменной y

, равна x

По условиям модели величина x

должна принадлежать интервалу [0,

1]. В общем случае это требование не выполняется. Такое возможно, только

если наложит ограничения либо на x

, либо на . Что труднодостижимо.

Тем самым в линейной модели бинарного выбора нарушаются сразу

несколько предположений, гарантирующих хорошие свойства оценок

наименьших квадратов. Среди них отметим следующие нарушения.

Дисперсия ошибки

не является величиной постоянной, как этого требует

МНК, кроме того она напрямую зависит от объясняющих переменных модели

и параметров .

Как и зависимая переменная, возмущения в модели бинарного выбора

тоже принимают всего два значения, они равны – x

и 1– x

. Поэтому

распределение

можно записать через условную вероятность по x

как

Pr(

= – x

| x

) = Pr(y

= 0| x

) = 1 - F(x

)= 1 – x

;

Pr(

= 1 – x

| x

) = Pr(y

= 1| x

) = F(x

)= x

Поэтому условная по x

дисперсия возмущений

будет равна

var(

| x

) = x

(1 – x

). (5.4)

Нарушение гипотез, которые лежат в основе метода наименьших

квадратов, приводит к тому, что МНК оценки не будут обладать требуемыми

свойствами, поэтому для оценки параметров модели бинарного выбора метод

наименьших квадратов использовать нельзя.

Проблемы, возникающие в линейных вероятностных моделях,

связанные, помимо всего прочего, с интервалом изменения значений

зависимой переменной в регрессии, призваны преодолеть другие постановки

моделей, относящиеся к классу моделей бинарного выбора. Другое менее

распространѐнное название: модели одномерной дихотомии.

Уравнение модели бинарного выбора показывает вероятность равенства

анализируемого признака единице: y

= 1, в зависимости от вектора значений

объясняющих переменных x

, отражающих основные характеристики

исследуемых объектов. Наиболее общая запись модели имеет вид:

Pr(y

= 1| x

) = G( x

, ), (5.5)

где G(x

, ) – некоторая, в общем случае векторная, функция от объясняющих

переменных x

и неизвестных параметров , принимающая значения в

интервале [0, 1]. В качестве G(x

, ) выступает некоторая функция

распределения многомерной случайной величины, которая тоже имеет

распределение от нуля до единицы:

G(x

, ) = F(x

Использование в виде F(x

, ) стандартной функции логистического

распределения (v), имеющего следующий вид:

F( ) = (v) = (5.6)

приводит к появлению логит (logit) модели.

Подстановка в качестве функции F(x

, ) стандартной гауссовской

функции распределения по нормальному закону (v) позволяет построить

пробит (probit) модель:

Условная вероятность положительных исходов в логит модели бинарного

выбора принимает значение:

и соответствующая условная вероятность отрицательных исходов:

Для пробит модели условная вероятность положительных значений

зависимой переменной Pr(y

= 1| x

) будет равна:

и отрицательных соответственно:

Как для нормального, так и для логистического стандартных

распределений математическое ожидание равно нулю. Дисперсия для

гауссовского нормального распределения равна единице, а для стандартного

логистического распределения равна

/3. Результаты оценки по логит и

пробит моделям, как правило, совпадают при условиях, что (1)

альтернативные значения зависимой переменной проявляются примерно

равное количество раз; (2) объясняющие переменные имеют небольшой

разброс значений. Второе ограничение связано с тем обстоятельством, что

логистическая функция распределения и стандартная гауссовская нормальная

функции распределения ведут себя примерно одинаково на интервале

значений, близком к нулю, и существенно расходятся на концах

распределений: так называемые «хвосты» логистического распределения

более тяжѐлые, чем хвосты нормального распределения. Отметим, что

привлекательность использования логистической функции для оценки

параметров модели заключается в более простой реализации численной

процедуры проведения оценки. Выбор между логит и пробит моделями

можно сделать опираясь как на закономерности появления значений

зависимой переменной, так и на более высокое значение функции

наибольшего правдоподобия.

Интерпретация коэффициентов моделей бинарного выбора имеет свои

особенности, они связаны с нелинейным характером модели. Количественная

интерпретация параметров моделей встречает существенные затруднения.

При проведении эмпирических исследованиях основное внимание в моделях

бинарного выбора уделяют знакам коэффициентов при объясняющих

переменных, и значимости коэффициентов, но не величине самих

коэффициентов. Интерпретация результатов как логит, так и пробит модели

по знаку и тестированию значимости параметров даѐт сходные результаты.

Для целей количественных сопоставлений интересней

проанализировать производные функций по объясняющим переменным x

Производная нормальной функции распределения равна:

где функция означает функцию плотности стандартного нормального

распределения

Для логистической функции производная имеет вид:

Значения производных по параметрам свидетельствуют, что предельные

эффекты не являются величиной постоянной, их величина зависит от

значения всех объясняющих переменных, которые включены в вектор x.

Приведѐм другое представление логит и пробит моделей как моделей

латентных (скрытых) количественных зависимых переменных (An

Underlined Response Models). Подход на основе латентных переменных