Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3

Подождите немного. Документ загружается.

1. Существенное усложнение анализа процессов коинтеграции при

увеличении числа совместно зависимых переменных. Так, существенные

проблемы возникают уже при анализе более чем двух совместно зависимых

переменных.

2. При увеличении числа анализируемых переменных до трѐх и более

качественно меняется предмет анализа, так как коинтегрирующий вектор

обобщается в коинтегрирующее подпространство. Причиной является

возможность существования несколько коинтегрирующих векторов.

3. Отсутствует предварительная информация о размерности

коинтегрирующего подпространства. Подобная коллизия возникает по

следующей причине. Предположим, на первом этапе анализа мы имеем

множество, состоящее из k интегрированных порядка один, I(1), переменных.

На их основе может существовать вплоть до (k – 1) линейно независимых

стационарных порядка ноль, I(0), коинтегрированных линейных комбинаций,

так как любая линейная комбинация этих взаимосвязей, как следствие самого

способа построения, также является стационарной порядка I(0).

4. Возникает проблема идентифицируемости коинтегрирующх

векторов. Отдельные коинтегрирующие векторы не могут быть более

идентифицируемы, так как существует только пространство, которое

натянуто на векторы. В лучшем случае, векторы в коинтегрированном

подпространстве могут быть установлены, опираясь на использование

ограничений, которые являются следствием интерпретации содержательной

стороны экономической информации об объекте исследования. Выделенные

на основе экономического анализа коинтегрирующие векторы могут быть

интерпретированы как типичный вариант долгосрочного равновесия.

Вернѐмся к ситуации 3 из пункта 4.5, которую мы назвали

промежуточной, то есть к ситуации, когда часть временных рядов из Y

1,t

, Y

2,t

…, Y

k,t

коинтегрированы, а другая нет. Пусть часть совместно зависимых

переменных стационарна порядка, I(0), а остальные переменные

интегрированы порядка один, I(1).

Вначале вспомним основные определения интегрированных и

коинтегрированных процессов.

1. Процессом, интегрированным порядка один, I(1), порождающим

соответствующий временной ряд, называется нестационарный процесс Y

первые разности которого

= Y

– Y

jt-1

являются стационарным процессом порядка ноль, I(0).

2. Порядок интегрирования определяется тем количеством разностей,

которые необходимо выполнить, чтобы получить стационарный порядка

ноль, I(0), процесс.

3. Интегрированным порядка d процессом, I(d), называют процесс,

разности порядка d которого стационарны.

4. Интегрированные порядка один, I(1), процессы: Y

и Y

называют

коинтегрированными порядка один, I(1), если существует такая линейная

комбинация процессов

+ Y

которая является стационарной порядка ноль, I(0). Обозначив

можем записать

– Y

I(0).

5. Крайний случай коинтегрированных процессов имеет место, когда

β = 1. Тогда

–Y

I(0).

6. Пусть есть несколько коинтегрированных процессов и

соответствующие им переменные

= (Y

, Y

, …, Y

) .

Каждая из переменных Y

, Y

, …, Y

интегрирована порядка один, I(1). Пусть

существует вектор β ≠ 0, такой что

β Y

~ I(0).

Такой вектор β называют коинтегрирующим.

Введѐм некоторые дополнительные определения:

1) коинтегрирующая комбинация по определению является линейной

комбинацией векторов;

2) коинтегрированные векторы по определению не стационарны;

3) линейную комбинацию стационарных процессов тоже будем

называть коинтегрирующей комбинацией;

4) любая ненулевая линейная комбинация коинтегрирующих векторов

и β

является коинтегрирующим вектором β

при условии, что вектор β

≠ 0;

5) коинтегрированные векторы β

образуют линейное подпространство

без нулевого вектора, которое называют коинтегрирующим

подпространством.

Введѐм новый вектор Z

, коинтегрированный с Y

. Вектор Y

включает

интегрированные порядка один, I(1), переменные. Обозначим через β вектор

параметров размерности k такой, что вектор Z

, определенный как

= β Y

, (4.28)

является стационарным порядка ноль: I(0). Размерность вектора β совпадает с

размерностью анализируемого вектора Y

, и равна k. Размерность вектора Z

совпадает с числом возможных векторов β.

Мы можем предположить, что существует более чем один

коинтегрирующий вектор. Число линейно независимых коинтегрирующих

векторов β может достигать r и равняться рангу матрицы . В общем случае

величина r не превышает k – 1:

r k –1. (4.29)

Подчеркнѐм то обстоятельство, что число коинтегрирующих векторов

меньше k. Так как в противном случае это означало бы, что существует k

коинтегрирующих взаимосвязей между переменными Y

, Y

, …, Y

, то есть,

что между Y

, Y

, …, Y

существует ровно k взаимно независимых

стационарных порядка ноль I(0) линейных комбинаций, что невозможно. Для

этого необходимо, чтобы все Y

, Y

, …, Y

были стационарны порядка ноль

I(0). Это требование противоречит определению коинтеграции как свойству,

присущему коинтегрированным порядка один, I(1), переменным. Отсюда

вытекает справедливость неравенства (4.29).

Таким образом, элементы вектора Y

, с помощью матрицы β

переводятся в вектор Z

. Все элементы Y

, являются интегрированными

порядка один I(1), все элементы Z

– стационарны порядка ноль, I(0). Теперь

мы можем уточнить размерность вектора Z

. Как видим из (4.28), длина

вектора Z

. равна r.

Матрицу β, объединяющую все r коинтегрирующих векторов будем

называть коинтегрирующей матрицей и обозначим, как это принято в

литературе по коинтеграции, также через β. Столбцы матрицы соответствуют

коинтегрирующим векторам. Благодаря тому, что матрица объединяет все

коинтегрирующие векторы, еѐ размерность составляет k×r, ранг матрицы

соответственно равен r. Матрица β образует произвольный базис

коинтегрирующего подпространства процессов Y

. Ранг коинтегрирующей

матрицы β называют коинтегрирующим рангом матрицы или рангом

коинтеграции Y

Экономический смысл коинтегрирующей матрицы связан с

возможностью управления долгосрочной динамикой всех k переменных из Y

Варианты управления связаны с равновесными комбинациями

коинтегрирующих векторов в β.

Для случая векторной авторегрессии существует расширенный вариант

теоремы представления Грейнджера (Engle, Granger, 1987). В теореме

утверждается, что если переменные, включѐнные в Y

, коинтегрированы, то

существует представление данных Y

, Y

, …, Y

, в виде модели коррекции

ошибок.

Возможны несколько способов получить модель коррекции ошибок.

Рассмотрим вариант, исходным пунктом выводов в котором выступает

модель векторной авторегрессии для Y

, представленная в виде (4.7).

Воспроизведѐм запись модели векторной авторегрессии (4.7) для p = 2 и p = 3:

= α +

t-1

t-2

, (4.30)

= α +

t-1

t-2

t-3

, (4.31)

Вычтем и добавим в (4.30) следующие члены: Y

t-1

, получим

= α +

t-1

+ Y

t-1

– Y

t-1

–

t-1

t-2

. (4.32)

Перегруппируем (4.32) и запишем следующее выражение:

– Y

t-1

= α +

t-1

– Y

t-1

–

t-1

t-2

Введѐм новые обозначения

∆Y

= Y

– Y

t-1

; Г

= –

; П = –(I

–

и получим

∆Y

= α + Г

∆Y

t-1

+ ПY

t-1

. (4.33)

Применим подобные манипуляции к (4.31), для этого вычтем и добавим

t-1

t-2

что даѐт нам следующее выражение:

– Y

t-1

= α +

t-1

– Y

t-1

–

t-1

t-2

–

t-1

t-2

–

t-2

t-3

= α +(

– I

) Y

t-1

–

t-1

–Y

t-2

) –

t-1

– Y

t-2

) –

t-2

– Y

t-3

) +

Добавив новые и переопределив старые параметры

∆Y

= Y

– Y

t-1

; ∆Y

t-1

= Y

t-1

– Y

t-2

; ∆Y

t-2

= Y

t-2

– Y

t-3

;

= –

–

; Г

= –

; П = –(I

–

запишем следующее выражение:

∆Y

= α + Г

∆Y

t-1

+ Г

∆Y

t-2

+ ПY

t-1

Обобщив для случая периодов запаздывания p, получим векторную модель

коррекции ошибок (vector error correction model, VECM):

∆Y

= α + Г

∆Y

t-1

+ … + Г

p-1

∆Y

t- p-1

+ ПY

t-1

. (4.34)

где

= –

–

; Г

= –

–

; …; Г

p-1

= –

; (4.35)

П = –( I

–

– … –

) = – , (4.36)

Матрицу П называют долгосрочным мультипликатором, английское

название: «long-rung matrix, который определяет особенности долгосрочного

поведения процессов, объединѐнных в Y

. Матрицу П образуют

коинтегрирующие векторы.

В выражении (4.34)

стационарны по предположению, ∆Y

стационарны как первые разности интегрированного порядка один процесса,

поэтому возможны ситуации, когда элементы в ПY

t-1

тоже стационарны.

Стационарность ПY

t-1

может наблюдаться в нескольких ситуациях.

Во-первых, если все переменные в Y

интегрированы порядка один I(1),

но не существует коинтегрированных взаимосвязей между переменными,

поэтому ранг матрицы П равен нулю:

rank (П) = 0,

а сама матрица П совпадает с нулевой матрицей

П = 0.

То есть матрицу П образуют нулевые векторы. В этом случае (4.34)

представляет собой модель векторной авторегрессии для стационарных

временных рядов, включѐнных в ∆Y

Вторая, если все переменные, включѐнные в Y

, стационарны порядка

ноль I(0), то матрица П = – должна обладать полным рангом:

rank (П) = k,

и существует обратная матрица (L)

-1

так что мы можем представить Y

виде векторной модели скользящего среднего (4.22), а

стационарны по

предположению.

Третий, промежуточный, случай предоставляет наибольшее

разнообразие вариантов развития. Он имеет место, когда матрица П обладает

неполным рангом:

rank (П) = r,

при условии, что

0 < r < k,

то есть некоторые переменные в Y

интегрированы порядка один I(1),

остальные стационарны порядка ноль I(0). В этом случае матрицу П образуют

коинтегрирющие векторы. Тогда элементы в ПY

t-1

, которые являются

линейной комбинацией Y

t-1

, стационарны.

В чѐм особенность третьего случая? Если переменные в Y

интегрированы порядка один I(1), то, по определению коинтеграции, их

линейным комбинациям должны соответствовать коинтегрирующие векторы.

Если П имеет неполный ранг:

r ≤ k – 1,

то это означает, что для k элементов Y

, Y

, …, Y

существует r линейно

независимых комбинаций ПY

t-1

, которые стационарны, то есть, существует r

коинтегрированных взаимосвязей. Вместе с тем заметим, что существование

k коинтегрированных взаимосвязей среди элементов вектора Y

невозможно,

так как если k независимых линейных комбинаций временных рядов Y

, Y

…, Y

порождают стационарные временные ряды ПY

t-1

, то все k переменных

сами должны быть стационарными.

Возвращаясь к рассмотрению третьего случая, когда матрица П

обладает неполным рангом. Столбцы матрицы П образуют коинтегрирующие

векторы, каждый из которых можно разложить по базису коинтегрирующего

подпространства. Долгосрочный мультипликатор П можно представить в

виде произведения двух матриц: матрицы , размерности k×r и матрицы β ,

размерности r×k, имеющих одинаковый ранг, равный r:

П = β . (4.37)

В (4.37) матрица β – матрица коинтегрирующих векторов. Выражение (4.37)

представляет собой разложение коинтегрирующих векторов из П по базису

коинтегрирующего подпространства β. Матрица образована из

коэффициентов такого разложения.

Подстановка (4.37) в (4.34) позволяет получить следующее

представление векторной модели коррекции ошибок, еѐ общепринятое

англоязычное наименование vector-error correction model, или сокращенно:

VECM:

∆Y

= α + Г

∆Y

t-1

+ … + Г

p-1

∆Y

t- p-1

+ (β Y

t-1

. (4.38)

Модель в виде (4.38) является многомерным обобщением одномерного случая

модели коррекции ошибок.

Линейная комбинация, которая появляется в (4.38):

t-1

= β Y

t-1

, (4.39)

представляет собой r коинтегирующих взаимоотношений между элементами

t-1

и векторами из Y

t-1

, и характеризует ошибки Z

t-1

, вызывающие отклонения

от равновесных состояний. Всего в модели учтены r ошибок. Коэффициенты,

расположенные в , измеряют, в какой степени элементы из ∆Y

приспосабливаются к ошибкам Z

t-1

, иными словами элементы матрицы

отражают скорость корректирующих действий направленных на

восстановление равновесия при возникновении отклонений. Поэтому

матрицу называют также матрицей корректирующих коэффициентов.

Найдѐм математическое ожидание ∆Y

, записанного на основе модели

коррекции ошибок. Перенесѐм в (4.38) все элементы характеризующие

запаздывание ∆Y

влево и получим:

E[∆Y

− Г

∆Y

t-1

− … − Г

p-1

∆Y

t- p-1

] = E[α + (β Y

t-1

Откуда с учѐтом соотношения (4.39) следует, что

(

− Г

− … − Г

p-1

) E[∆Y

] = α + E[Z

t-1

]. (4.40)

Если

E[α + (β Y

t-1

] = α + E[Z

t-1

] = 0 (4.41)

при условии, что матрица (

− Г

− … − Г

p-1

) является невырожденной,

тогда

E[∆Y

] = 0. (4.42)

Условие (4.42) означает, ни одна из переменных в Y

не включает

детерминированный тренд.

Математическое ожидание E[Z

t-1

] в (4.41) привязано к вектору

свободных членов в коинтегрирующих соотношениях.

В модели (4.38) с учѐтом (4.39) вектор α удовлетворяет условию:

E[β Y

t-1

] = E[Z

t-1

] = α. (4.43)

и имеет r ненулевых констант. Если ограничение (4.41) выполняется, то

ненулевые свободные члены появляются только в коинтегрирующих

соотношениях. Проведя центрирующие преобразования ошибок:

t-1

= Z

t-1

− E[Z

t-1

мы можем убрать вектор констант из модели коррекции ошибок следующим

образом.

∆Y

= Г

∆Y

t-1

+ … + Г

p-1

∆Y

t- p-1

+ (α − + β Y

t-1

, (4.44)

где вектор имеет размерность r и состоит из констант, удовлетворяющих

условию (5.43). В результате видим, что среднее значение всех членов в

выражении (4.44) равно нулю и не включает детерминированных трендов.

Добавим одну общую константу к векторной модели коррекции

ошибок и получим:

∆Y

= + Г

∆Y

t-1

+ … + Г

p-1

∆Y

t- p-1

+ (− α + β Y

t-1

, (4.45)

где – вектор, имеющий размерность k, все элементы которого равны

. В

новых условиях долгосрочное равновесие соответствует траектории

стабильного роста (steady state growth path) с темпом роста для всех

переменных, заданным через

E[∆Y

] = (

− Г

− … − Г

p-1

)

-1

Предполагается, что детерминированный тренд в каждой переменной Y

долгосрочной перспективе уравновешивается, так что в члене,

корректирующем ошибку, исключаются любые детерминированные тренды.

Мы можем двигаться вперѐд так далеко, как это нам позволяет допущение о

существовании отдельных (k – r) детерминированных трендов, которые в

соответствующих коинтегрированных соотношениях уравновешиваются.

Поэтому мы возвращаемся к спецификации (4.38) без ограничений на α. В

этом случае α охватывает r свободных членов в долгосрочных взаимосвязях и

(k – r) различных детерминированных тренда в переменных Y

. Если в модели

отдельных детерминированных трендов более чем k – r, они не могут быть

погашены в уравнениях.

4.7. Критерии на коинтеграцию

Вопрос о том, что является причиной формирования процессов, а что

его следствием – одни из существенных вопросов в эконометрике. Обсудим

вопрос при условии стационарности временных рядов. Один из подходов

исследования причинно-следственных связей опирается на анализ

причинности по Грейнджеру (Granger).

Объектами изучения причинности по Грейнджеру являются

составляющие стационарного векторного процесса. Вопрос, требующий

ответа звучит так: может ли одна из совместно зависимых переменных Y

быть причиной, определяющей поведение другой совместно зависимой

переменной Y

. Концепция причинности по Грейнджеру опирается на такие

основные предположения, как

1) стационарность процессов;

2) будущее процессов не влияет на их прошлое.

Проверка проводится на базе исследования дисперсии текущего значения Y

целью установить, можно ли объяснить еѐ прошлыми значениями Y

или

обусловлено влиянием прошлых значений переменной Y

Если эффекты с запаздыванием Y

статистически значимо влияют на Y

тогда влияние прошлых значений Y

можно считать установленным. Далее,

если влияние переменной Y

установлено, то еѐ называют причиной

переменной Y

. Следует отметить, что причинные связи могут оказаться

взаимными, то есть прошлые значения Y

оказывают влияние на Y

, и

наоборот, прошлые значения Y

оказывают влияние на Y

Вернѐмся к модели (4.1) – (4.2) и посмотрим, как можно

интерпретировать результаты тестирования в рамках процедуры анализа

причинности по Грейнждеру. Так значимость параметра β

говорит о

существенном влиянии Y

t-1

на X

, а значимый коэффициент β

указывает, что

t-1

воздействует существенно на Y

При выполнении предположения о стационарности процессов для

тестирования причинности по Грейнджеру можно использовать F-критерий.

Нулевая гипотеза будет звучать так

: ни одна из совместно зависимых

переменных не оказывает влияния с запаздыванием на другую переменную на

протяжении всех p периодов, то есть причинность по Грейнджеру

отсутствует. При этом период запаздывания определяется максимальным

лагом p.

Ограниченность анализа причинности по Грейнджеру обусловлена, во-

первых, определением порядка следования причинно-следственных связей;

во-вторых, степенью информативности и прогностических свойств

переменных, избранных для исследования процесса.

Протестировать наличие коинтеграции при условии, что в системе

существует, по меньшей мере, один коинтегрирующий вектор, является

подход Ингла-Грейнждера (Engle-Granger). Методика его реализации для

одномерного случая уже подробно обсуждалась. Поэтому прокомментируем

особенности реализации метода для случая векторной авторегрессии.

На первом этапе требуется проведение методом наименьших квадратов

оценки регрессии переменных, входящих в Y

на все остальные k –1

объясняющие переменные, пусть для конкретности это будет переменная Y

Для Y

объясняющими выступят Y

, …, Y

Вторым шагом станет тестирование оценѐнной регрессии на наличие

единичных корней в остатках регрессии:

= Y

–

где – расчѐтные значения. Нулевую гипотезу

формулируют как

гипотезу об отсутствии коинтеграции. Для проведения тестирования

достаточно использовать дополнительный критерий Дики–Фуллера

(augmented Dickey–Fuller test, ADF) для авторегрессионных процессов

высокого порядка, для которого существуют специальные таблицы

критических значений. Если ADF критерий даѐт основания отвергать

гипотезу о наличии единичных корней, то гипотезу об отсутствии

коинтеграции также отвергают. Следовательно, регрессия Y

по Y

, …, Y

даѐт основания для получения состоятельные оценки коинтегрирующего

вектора.

На третьем шаге мы можем оценить модель коррекции ошибок

используя полученную на втором шаге оценку коинтегрирующего вектора.

Тем не менее, при реализации подхода Ингла-Грейнждера возникают

некоторые проблемы. Среди которых выделим следующие.

1. Результаты тестирования чувствительны к спецификации уравнения,

к составу объясняющих переменных регрессии, к условиям нормализации,

применѐнным к коинтегрирующему вектору.

2. Если мы сталкиваемся с таким обстоятельством, что

коинтегрирующий вектор включает переменные Y

, …, Y

, но не включает

, тогда нельзя состоятельно оценить кинтегрирующий вектор на основе