Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3
Подождите немного. Документ загружается.
176
Глава 6. Панельные данные
Для блочно-диагональных матриц имеем Ω
−1
= I
N
⊗ Σ
−1
, где
Σ
−1
=
1
σ
2
ε
[I
T
−
σ
2
ε
σ
2
ε
+ T σ
2
f
1
T
1
′
T
] .
Тогда матрица D преобразований в пространстве наблюдений
равна
D = I
N
⊗
1
σ
ε
[I
T
−
λ
T
1
T
1
′
T
].
где
λ = 1 −
σ
ε
q
σ
2
ε
+ T σ
2
f
.
Можно доказать, что D
′
D = Ω
−1
.
Применение обычного метода наименьших квадратов не обеспе-
чивает свойства BLUE для параметров уравнения регр ессии. Для
получения эффективных оценок необходимо применить об общен-
ный метод наименьших квадратов (ОМНК).
Применение ОМНК означает применение обычного МНК для
регрессии, которая основана на преобразовании в пространстве на-
блюдений с помощью невырожденной матрицы D .
в матричном виде
Dx = DZα + Du, (6.16)
6.5. Модель со случайными эффектами
177
в скалярном виде
x
it
− λ
x
i
= (Z
it
− λZ
i
)α + u
it
− λu
i
, λ ∈ [0, 1], (6.17)
ОМНК оценка для вектора неизвестных параметров α , получен-
ная из уравнения (6.16) или (6.17) равна
a
GLS
= [(DZ)
′
DZ]
−1
(DZ)
′
Dx = (Z
′
Ω
−1
Z)
−1
Z
′
Ω
−1
x =
=
"
N
X
i=1
T
X
t=1
(Z
it
− λ
Z
i
)
′
(Z
it
− λZ
i
)
#
−1
"
N
X
i=1
T
X
t=1
(Z
it
− λ
Z
i
)
′
(x
it
− λx
i
)
#
.
(6.18)
Данная оценка α называются оценкой со случайными эф-
фектами (random effect): a
GLS
= a
RE
Если λ = 0 , то матрица ковариаций ошибок модели Ω будет
диагональной матрицей и ОМНК-оценка будет совпадать с МНК-
оценкой: a
RE
= a
OLS
.
Если λ = 1 , то оценка со случайным эффектом эквивалентна
оценке с фиксированными эффектами: a
RE
= a
FE
(= a
W
) .
Если преобразуем исходное уравнение (6.15) в модель для инди-
видуальных средних, взяв средние значения по времени для каж-
178
Глава 6. Панельные данные
дой экономической единицы
x
i
= Z
i
α + u
i
= Z
i
α + f
i
+ ε
i
, i = 1, . . . , N (6.19)
и оценим обычным МНК, то получим так называемую межгруп-
повую оценку (between estimator) вектора неизвест н ых оценок
α .
a
B
=
h
Z
′
(I
N
⊗ 1
T
)Z
i
−1
Z
′
(I
N
⊗1
T
)x =
"
N
X
i=1
(
Z
i
− Z)
′
(Z
i
− Z)
#
−1
N
X
i=1
(Z
it
−
Z
i
)
′
(x
i
−x
(6.20)
где
Z =
1
NT
N
X
i=1
T
X
t=1
Z
it
,
x =
1
NT
N
X
i=1
T
X
t=1
x
it
— общие средние зависимой и независимых переменных.
Тогда из общей формулы для ОМНК-оценки можно получить,
что
a
RE
= Qa
B
+ (I
n
− Q)a
W
где Q является матрицей весов , которая пропорциональна мат-
рице, обратной матрице ковариации оценки a
B
(подробнее см.
Hsiao,1986)
6.5. Модель со случайными эффектами
179
Так и м образом, оценка со случайным эффектом является сред-
невзвешенной величиной внутригрупповой и межгрупповой оце-
нок, где веса зависят от соотношения дисперсий этих двух оценок.
Можно показать, что матрица ковариаци и ОМНК-оценок a
RE
равна
var(a
RE
) = (Z
′
Ω
−1
Z)
−1
=
h
(DZ)
′
DZ
i
−1
=
= σ
2
ε
"
N
X
i=1
T
X
t=1
(Z
it
−
Z
i
)
′
(Z
it
− Z
i
) +
T σ
ε
σ
2
ε
+ T σ
2
f
N
X
i=1
(
Z
i
− Z)
′
(Z
i
− Z)
#
−1
.
(6.21)
Сравнивая соотношения (6.12) и (6.21) можно убедиться, что
оценка со случайными эффектами более эффективна, чем оценка
с фиксированными эффектами.
Чтобы применить аппарат ОМНК для модели со случайными
эффектами, необходимо знать матрицу Ω (или величину λ ). Одна-
ко на практике данная матрица неизвес тна. Поэтому, чтобы оце-
нить параметры модели со случайными эффектами, необходимо
оценить дисперсии ошибок σ
2
ε
и σ
2
f
.
180
Глава 6. Панельные данные
Это можно сделать, например, так. Оцениваем внутригруппо-
вую регрессию, рассчитываем для нее вектор остатков и по фор-
муле (6.13) оцениваем дисперсию ошибок σ
2
ε
.
ˆs
2
ε
=
1
NT − N − n
RSS
W
. (6.22)
Аналогично из межгрупповой регрессии (6.19) рассчитываем сум-
му квадратов остатков регрессии RSS
B
и оцениваем дисперсию
ошибки
ˆs
2
f
+
ˆs
2
ε
T
=
RSS
B
N − n
. (6.23)
Наконец, в соотвествии с (6.23) для дисперсии σ
2
f
имем оценку
ˆs
2
f
=
RSS
B
N − n
−
ˆs
2
ε
T
(6.24)
и находим оценку величины λ , что позволяет реализовать метод
ОМНК.
Для оценки параметров модели со случайными эффектами мо-
жет быть использован также метод максимального правдоподобия.
6.6. Качество подгонки и выбор наиболее адекватной моде ли
181
6.6. Качество подгонки и выбор наибо-
лее адекватной модели
Для обычных моделей регрессии одними из индикаторов каче-
ства модели является коэф фициент детерминаци и (обычный или
скорректированный на число степеней свободы), который интер-
претируется как доля объясненной дисперсии в общей (в диспер-
сии зависимой переменной). Для моделей с панельными данны-
ми по-разному оценивается вариация зависимой переменной для
внутригрупповых и межгрупповых регресионных моделей, поэто-
му данное понятие тре бует некоторого уточнения.
Полная дисперсия зависимой переменной раскладывается на
внутригрупповую и межгрупповую дисперсию, то есть
1
NT
N
X
i=1
T
X
t=1
(x
it
−
x)
2
=
1
NT
N
X
i=1
T
X
t=1
(x
it
−
x
i
)
2
+
1
N
N
X
i=1
(x
it
−
x)
2
. (6.25 )
Если исходить из того, что для обычных моделей регрессии ко-
эффициент детерминации R
2
совпадает с квадратом парной кор-
реляции между исходными ( x ) и расчетными ( x
c
) значениями
зависимой переменной, то
182
Глава 6. Панельные данные
— для оценки качества подгонки данных моделью с фиксиро-
ванными эффектами R
2
выбирается так, чтобы наиболее полно
объяснить внутригрупповую дисперсию, и поэтому
R
2
W
= r
2
(x
it
−
x
i
, x
c
it
− x
c
i
) (6.26)
где x
c
it
−x
c
i
= (Z
it
−
Z
i
)a
FE
, а r
2
обозначает квадрат коэффициента
парной корреляции;
— для оценки качества аппроксимации данных моделью меж-
групповой регрессии R
2
рассчитывается как
R
2
B
= r
2
(x
it
, x
c
it
), (6.27)
где x
c
it
= Z
it
a
B
;
— для оценки точности обычной модели коэффициент детерми-
нации вычисляется как
R
2
overall
= r
2
(x
it
, x
c
it
) (6.28)
где x
c
it
= Z
it
a
OLS
.
Все три типа коэффициентов детерминации (6.26, 6.27, 6.28)
можно вычислить для любой ре грессионной модели, независимо
6.6. Качество подгонки и выбор наиболее адекватной моде ли
183
от метода оценивания параметров регрессии. Если мы оцениваем
панельную модель со случайными эффектами, при условии спра-
ведливости предположения о действии случайных эффектов, все
типы дисперсии R
2
будут обязательно меньше , чем соответству-
ющие R
2
для модели с фиксированными эффектами. Это говорит
о нецелесобразности использования коэффициента детерминации
при выборе между альтернативными методами оценивания. Тем не
менее R
2
можно применять для сравнения моделей, отличающихся
набором регрессоров и оцениваемых одним и тем же методом.
При работе с реальными панельными данными всегда возника-
ет проблема, какую модель (общая регрессия, фиксированные или
случайные эффекты) следует выбрать.
На содержательном уровне разницу между моделями можно
интерпретировать следующим образом. Обычная регр ессия пред-
полагает, что у экономических единиц нет индивидуальных раз-
личий. В модели с фиксированными эффектами считается, что
каждая экономическая единица «особая» и не может рассматри-
ваться как результат случайного выбора из некоторой генеральной
184
Глава 6. Панельные данные
совокупности. (Например, крупный регион, большое предприятие
и т.д.). Если же объекты попали в панельные данные «случайно»
в результате выбора из большой совокупности, то следует при-
менить моде ль со случайными эффектами. Следует отметить, что
модель со случайными эффектами и меет меньшее количество па-
раметров и это хорошо. Но, предположения, лежащие в ее основе
не очень реалистичны. Например, часто считается, что эффекты
f
i
коррелированы с регрессорами Z
it
. В этих условиях оценки
с случайными эф фектами будут несостоятельны. В то же время
оценки с фиксированными эффектами ос таются состоятельными.
Однако для фиксированных эффектов не все Z
it
годятся. Если
фактор не меняется во времени, то из матрицы Z
it
следует исклю-
чить данный фактор, тогда этот фактор уйдет в f
i
. Для моде ли со
случайными эффектами это не так.
Помимо содержательных соображений, существуют статисти -
ческие тесты, позволяющие частично решить проблему выбора мо-
де ли с помощью стандартной техники проверки гипотез.
В рассмотренных моделях существует определенная иерархия:
6.6. Качество подгонки и выбор наиболее адекватной моде ли
185
1) обычная регре ссия (6.1) есть частный случай модели с фик-
сированными эффектами (6.2), когда в последней f
1
= f
2
=
... = f
N
= 0;
2) обычная регрессия (6.1) есть частный случай модели со слу-
чайными эффектами (6.15), когда в последней σ
2
f
= 0;
3) модель со случайными эффектами есть частный случай мо-
де ли с фиксированными эффектами, когда в последней f
i
некоррелировано с ре грессорами Z
it
.
Поэтому при использовании статистических гипотез нулевой гипо-
тезой является более частная модель, а альтернативной — более
общая.
1. Выбор между моделью обычной регрессии и с фиксирован-
ными эффектами проводится с помощью обычного F -теста для
f
1
= f
2
= . . . = f
N
= 0 . в р егрессии (6.3) с фиктивными перемен-
ными.
2. Выбор между моделью обычной регрессии и со случайными
эффектами проводится с помощью теста Брюшта—Пагана (стр оя-