Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3
Подождите немного. Документ загружается.
166
Глава 6. Панельные данные
дуальным единицам i .
x
it
= Z
it
α + f
i
+ ε
it
, (6.2)
где предполагается, что
g1 . Z
it
— независимы от ε
it
для всех i и t .
g2 . Ошибки ε
it
— независимые одинаково распределённые
случайные величины, E(ε
it
) = 0 , E(ε
2
it
) = σ
2
ε
для всех i и t .
Модель может быть переписана через фиктивные переменные
для каждой экономической единицы:
x
it
= Z
it
α +
N
X
j=1
z
d
ij
f
i
+ ε
it
, (6.3)
где z
d
ij
=
1, i = j,
0, i 6= j.
.
Так и м образом, в модели с фиксированными эффектами име-
ется N фиктивных переменных. Если объединить в се фиктивные
переменные, то мы получим матрицу индивидуальных фиктивных
6.4. Модель с фиксированными эфф ектами
167
переменных — Z
d
, размерности NT × N
Z
d
=
1
T
0 . . 0
0 1
T
. . .
. . . . .
. . . . .
0 0 . . 1
T
. = I
N
⊗ 1
T
(6.4)
где 1
T
— вектор-столбец, состоящий из единиц, I
N
— единичная
матрица размерности N, ⊗ — операция произведения Кр онекера.
Уравнения в матричной форме записывается следующим обра-
зом:
x = Zα + Z
d
f + ε, (6.5)
где x = (x
1
, x
2
, . . . x
N
)
′
— вектор-столбец зависимой переменной
размерности NT ,
Z = (Z
′
1
, Z
′
2
, . . . , Z
′
N
)
′
— матрица наблюдений за факторами раз-
мерности NT × n ,
ε = (ε
′
1
, ε
′
2
, . . . , ε
′
N
)
′
— вектор-столбец ошибок размерности NT ,
168
Глава 6. Панельные данные
f = (f
′
1
, f
′
2
, . . . , f
′
N
) — вектор-столбец параметров регрессии раз-
мерности N .
Параметры α и f можно оценить с помощью обычного метода
наименьших квадратов.
Эти оценки называются МНК-оценками с фиктивными пе-
ременными (Least Squares Dummy Variables estimator, LSDV).
При выполнении сделанных выше предположений g1–g2 МНК-
оценки будут несмещенными и эффективными. Что касается состо-
ятельности оценок, то следует заметить, что в панельных данных
рост числа наблюдений в основном происходит за счет увеличения
количества экономических единиц N → ∞ . Это при водит к росту
числа оцениваемых параметров при фиксированном T , и гаранти-
ровать состоятельность оценок параметров f невозможно.
При реализации МНК могут возникнуть трудности с вычис-
лительной точки зрения, так как во многих панельных данных
число экономических единиц N достигает несколько сотен и ли
тысяч. Сущест вуют более простые методы. Например, используя
центрированные переменные, можно исключить константу и
6.4. Модель с фиксированными эфф ектами
169
существенно сократить количество неизвестных параметров
регрессии, то есть оценка МНК для вектора α получается, если
регрессию построить в отклонениях от индивидуальных с редних.
По существу, это означает, что с помощью преобразования дан-
ных исключаются и ндивидуальные эффекты f
i
. Чтобы у видеть
это, сначала перейдем в уравнении (6.2) к средним по времени
величинам:
x
i
= Z
i
α + f
i
+ ε
i
, (6.6)
где
x
i
=
1
T
P
T
t=1
x
i
,
Z
i
=
1
T
P
T
t=1
Z
i
,
ε
i
=
1
T
P
T
t=1
ε
i
. Вычитая поэле-
ментно (6.6) из (6.2) получим уравнение регрессии в отклонениях
от инди видуальных средних:
x
it
−
x
i
= (Z
it
− Z
i
)α + ε
it
− ε
i
(6.7)
Уравнение (6.7) получается в р езультате преобразования в про-
странстве наблюдений для уравнения р егрессии (6.5) с помощью
матрицы W размерности NT × NT
W x = W Zα + W Z
d
f + W ε. (6.8)
170
Глава 6. Панельные данные
Так как W = I
NT
− Z
d
((Z
d
)
′
Z
d
)
−1
(Z
d
)
′
и
(W Z
d
f = (I
NT
−Z
d
((Z
d
)
′
Z
d
)
−1
(Z
d
)
′
)Z
d
f = (Z
d
−Z
d
((Z
d
)
′
Z
d
)
−1
(Z
d
)
′
Z
d
)f = 0,
соотношение (6.8) может быть записано в следующем виде:
W x = W Zα + W ε. (6.9)
Матрица W
а) вещественна и симметрична: W
′
= W ,
б) вырождена и имеет ранг NT − N
в) идемпотентна: W
2
= W ,
г) положительно полуопределенная в силу симметричности и
идемпотентности: ζ
′
W ζ = ζ
′
W
2
ζ = ζW
′
W ζ ≥ 0 .
Такое преобразование в пространстве наблюдений, которое приво-
дит к наблюдениям в отклонениях от индивидуальных средних на-
зывается внутригрупповым преобразованием (within transformation),
так как центрируем внутри i -ой группы наблюдений по времени.
6.4. Модель с фиксированными эфф ектами
171
МНК оценка для вектора неизвестных параметров α , получен-
ная из уравнения (6.9) равна
a = ((W Z)
′
W Z)
−1
(W Z)
′
W x = (Z
′
W Z)
−1
Z
′
W x (6.10)
Часто данную оценку называют внутригрупповой оценкой (within
estimator) и ли оценкой с фиксированными эффектами (fixed
effect estimator), и она в точности идентична МНК-оценке с фик-
тивными переменными. Эту оценку (6.10) можно записать также
в виде:
a = a
W
= a
F E
= a
LSDV
= (
N
X
i=1
T
X
t=1
(Z
it
−
Z
i
)(Z
it
−Z
i
)
′
)
−1
N
X
i=1
T
X
t=1
(Z
it
−
Z
i
)(x
it
−x
i
).
(6.11)
В предположениях g1 и g2 данная оценка с фиксированными
эффектами параметра α является несмещенной и состоятельной.
В качестве оценок индивидуальных эффектов можно предло-
жить
f
i
=
x
i
− Z
i
a
EF
, i = 1, . . . , N.
Условия g1 и g2 гарантируют несмещенность и состоятельность
данной оценки для фиксированных эффектов при T → ∞ .
172
Глава 6. Панельные данные
Если T фиксировано, то индивидуальные средние x
i
и Z
i
при
увеличения числа экономических единиц ( N → ∞ ) не сходятся,
поэтому оценка f
i
несостоятельна.
Можно доказать, что матрица ковариации для оценок с фикси-
рованными эффектами a
F E
имеет следующий вид:
var(a
F E
) = σ
2
ε
(Z
′
W Z)
−1
= σ
2
ε
N
X
i=1
T
X
t=1
(Z
it
−
Z
i
)(Z
it
− Z
i
)
′
)
−1
. (6.12)
В качестве оценки дисперсии σ
2
ε
можно взять несмещенную
оценку ос таточной дисперсии
ˆs
2
ε
=
1
NT − N − n
e
′
e =
1
NT − N − n
RSS
W
=
1
NT − N − n
(x
′
W x−x
′
W Z(Z
′
W Z
=
1
NT − N − n
T
X
t=1
(x
it
− Z
it
α
EF
− f
i
)
2
. (6.13)
Если ошибки ε имеют многомерное нормальное распределение, то
оценки с фиксированными эффектами являются асимптотически
нормальными, поэтому можно пользоваться стандартными проце-
дурами ( t -тесты, F -тесты, тест Вальда) для проверки гипотез от-
носительно параметров регрессионной моде ли с фиксированными
эффектами. В частности, можно провести тестирование на нали-
чие индивидуальных эффектов путем наложения ограничения на
6.5. Модель со случайными эффектами
173
соответствующие коэффициенты регрессионной модели:
H
0
: f
1
= f
2
= ... = f
N
= 0.
Если ε
it
∼ N(0, σ
2
ε
) , то при выполнении гипотезы H
0
величина
F =
(e
′
1
e
1
− e
′
e)/(N − 1)
e
′
e/(NT − N − k)
∼ F
N−1, NT −N−k
, (6.14 )
где e — вектор остатков модели с фиксированными эффектами
(6.2),
e
1
— вектор остатков регрессии с ограничением (т.е без индиви-
дуальных эффектов): x
it
= Z
it
α + ε
it
. Если H
0
принимается, то
надо оценивать объединенную модель (6.1).
6.5. Модель со случайными эффектами
В панельной модели со случайными эффектоми предполагается,
что индивидуальные различия носят случайный характ ер и ре грес-
сионное уравнение записывается в следующем виде:
x
it
= Z
it
α + u
it
(6.15)
174
Глава 6. Панельные данные
или в матричном форме
x = Zα + u,
где u
it
— комбинированная ошибка: u
it
= f
i
+ ε
it
.
Предполагается, что
q1. Z
js
независимы от ε
it
при всех i, j, s, t .
q2. Ошибки ε
it
— независимые, одинаково распределённые
случайные величины.
E(ε
it
) = 0 и E(ε
2
it
) = σ
2
ε
для всех i, s .
q3. Z
js
независимы от f
i
при всех i, j, s .
q4. Ошибки f
i
— независимые, одинаково распределённые слу-
чайные величины:
E(f
i
) = 0 и E(f
2
i
) = σ
2
f
для всех i. .
q5. Ошибки ε
it
и f
i
взаимно независимы при всех i, j, s, t .
При этих предположениях оценки обычного метода наимень-
ших квадратов несмещенные и состоятельные, но не эффективные,
так как есть автокорреляция из-за принадлежности наблюдений к
одной и той же группе («кластерная автокорреляция»).
6.5. Модель со случайными эффектами
175
Так как var(u
it)
= var(f
i
+ ε
it
) = σ
2
f
+ σ
2
ε
и cov(u
it
, u
is)
=
E(f
2
i
+ f
i
ε
it
+ f
i
ε
is
+ ε
is
ε
it
) = σ
2
f
, то при фиксированной i для
t = 1, . . . , T матрица ковариации ошибок имеет вид
cov(u
it
, u
is)
=
σ
2
f
+ σ
2
ε
σ
2
f
· · · σ
2
f
σ
2
f
σ
2
f
+ σ
2
ε
· · · σ
2
f
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
σ
2
f
σ
2
f
· · · σ
2
f
+ σ
2
ε
= I
T
σ
2
ε
+1
T
1
′
T
σ
2
f
= Σ.
В целом матрица ковариации ошибок в модели со случайны-
ми эффектами имеет блочно-диагональную структуру размерности
NT × NT :
var(u) =
Σ 0 · · · 0
0 Σ · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · Σ
= I
N
⊗ Σ = Ω.