Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3

Подождите немного. Документ загружается.

Существенным ограничением для использования модели

мультиноминального логита является независимость возмущений.

Независимость предполагает, что условные по наблюдаемым

характеристикам уровни полезности любых двух альтернатив независимы.

Это требование трудно гарантировать в практических исследованиях, если

альтернативы очень похожи между собой, и их полезности вследствие этого

мало отличаются.

В качестве способа решения проблемы предлагают использовать

отношение вероятностей двух альтернатив, или укрупнять и ограничивать

список альтернатив. В любом случае по возможности необходимо выбирать

оптимальную комбинацию характеристик с тем, чтобы сократить число

альтернатив.

Тем не менее, мультиноминальные логит модели в прикладных работах

используют достаточно часто, в том числе в таких областях, например, как

маркетинговые исследования.

5.7. Модели с ограничениями значений количественной зависимой

переменной. Тобит модели

Достаточно часто зависимая переменная в экономических

исследованиях, являясь по природе количественной и непрерывной,

ограничена на определенных интервалах своих значений. Ограничения могут

касаться как верхних, так и нижних границ диапазона изменения значений

переменной. Нередко пограничной точкой, определяющей значения

показателя, выступает ноль, когда зависимая переменная принимает только

неотрицательные значения. К категории неотрицательных переменных

относится значительная часть экономических показателей. Например,

основная часть населения работает и получает заработную плату, для неѐ

зависимая переменная уровня заработной платы принимает положительные

значения и непрерывна на положительной полуоси. Другая, неработающая

часть населения, получает иные доходы, но для этой категории показатели

заработной платы отсутствуют. Аналогичные примеры можно привести по

продолжительности рабочего дня, расходам на определѐнные виды товаров,

инвестиции, НИОКР и другие показатели. Здесь мы опять встречаем тип

переменных, который называют ненаблюдаемыми. Для подобного типа

зависимых переменных разработаны тобит (Tobit) модели. Как мы увидим в

дальнейшем, постановка и формальная запись тобит моделей весьма схожа с

формализованной записью стандартных пробит моделей, построенных при

использовании латентных переменных.

Тобит модели были предложены в 1958 году Джеймсом Тобином по

результатам анализа расходов домохозяйств на товары длительного

пользования. Общая структура моделей получила развитие во многих

направлениях, которые также относят к категории Тобит моделей.

В начале приведѐм описание стандартных тобит моделей, но

предварительно сделаем небольшое вступление, поясняющее экономический

смысл регрессионных тобит моделей.

Пусть y – количественная зависимая переменная, имеющая ограничения

на интервале значений, например, текущие транспортные расходы населения,

z – другие потребительские расходы, x – общие расходы населения. Тогда мы

можем сформулировать задачу оптимизации полезности потребителей

относительно структуры расходов на транспорт и на всех другие расходы в

следующем виде:

индивид максимизирует свой уровень потребления

при соблюдении балансового ограничения на доходы

y + z ≤ x; (5.34)

и условии неотрицательности основных переменных

y, z ≥ 0. (5.35)

Задав конкретную функцию полезности в (5.33) можно найти решение задачи.

Так как потребительские расходы не могут быть отрицательными, то z > 0.

Транспортные расходы при определѐнном стечении обстоятельств могут быть

нулевыми. Поэтому угловое решение по потребительским расходам z

отсутствует, а по транспортным расходам y может существовать для

определѐнной категории населения.

Обозначим решение для задачи (5.33) – (5.35) без ограничения через y

Не вдаваясь глубоко в причины, определяющие текущие транспортные

расходы населения, мы будем рассматривать детерминанты, которые

определяют транспортные расходы как некоторую допустимую

гетерогенность в функции полезности и, следовательно, как гетерогенность в

решении задачи оптимизации структуры расходов. Предположим, что

решение задачи оптимизации линейно по x, линейность допустима при

определѐнных предположениях относительно вида и свойств функции

полезности U. Поэтому мы можем записать, что

x + . (5.36)

Случайная составляющая в (5.36) соответствует ненаблюдаемой

гетерогенности поведения потребителей. Интерпретировать (5.36) можно

следующим образом: при отсутствии ограничений на зависимую переменную

расходы на транспорт составят y

Возможен другой вариант интерпретации зависимой переменной без

ограничений y

как «желаемый уровень» значений показателя. Для нашего

примера – это может быть желаемый уровень расходов на транспорт. Тогда

наблюдаемый уровень расходов будет устанавливаться на нуле, если

желаемый уровень становится отрицательным; желаемый уровень

транспортных расходов будет во многом зависеть от расходов на другие

товары.

Решение двух задач: без ограничений (5.36), и с ограничениями (5.33) –

(5.35) будет отличаться в зависимости от условий неотрицательности,

налагаемых на y

y = y

при y

> 0,

y = 0 при y

≤ 0. (5.37)

Условие (5.37) указывает, что при отсутствии средств потребители

перестанут пользоваться транспортом. Этот вывод как раз укладывается в

схему тобит модели.

Приведѐм формальную запись стандартной тобит модели, которая

носит название регрессионной модели с цензурированными данными:

= x

= y

при y

> 0,

= 0 при y

≤ 0. (5.38)

В модели

не зависят от x

независимы и одинаково распределены по

нормальному закону с параметрами

~ N(0,

Основные отличия тобит моделей с латентными переменными от

аналогичных пробит моделей следующие:

– отличается способ установления связи между латентными и наблюдаемыми

переменными;

– в тобит модели учитывается масштаб значений зависимых переменных, и

как следствие,

– в тобит модели в отличие от пробит моделей отсутствует необходимость в

ограничениях по нормализации;

– в тобит модели рассматривается распределение зависимой переменной y

только в положительной области.

Как мы видим из (5.38) модели с цензурированными данными

представляют собой вариант регрессионных моделей, в которых все

отрицательные значения зависимых переменных установлены равными нулю.

Иначе говоря, все наблюдения цензурируются в зависимости от того, какие

значения принимает зависимая переменная. Пограничная точка равна нулю, и

все наблюдения, в которых зависимая переменная принимает значения

меньше нуля, подвергаются цензуре. Все цензурированные наблюдения

сохраняются в выборке, но вероятность того, что y

= 0 при заданных

значениях объясняющих переменных x

в модели устанавливаются по

следующему правилу:

Pr(y

= 0) = Pr(y

≤ 0) = Pr(x

+ = 0) = Pr(

= x

и поэтому

Положительное распределение зависимой переменной y

является усечѐнным

(truncated) нормальным распределением, ожидаемая величина которой будет

определен как

Пример усечѐнного нормального распределения изображѐн на рис. 5.2. На

графике представлены плотности нескольких распределений: сплошной

линией изображена плотность нормального распределения, три варианта

плотности усечѐнного нормального распределения отмечены пунктирными

линиями. Плотности усечѐнных распределений отличаются точкой усечения:

в одном из трѐх случает точка усечения ниже нуля, во втором – равна нулю, и

в третьем случае – выше нуля.

Выражение

в (5.40) означает условное математическое ожидание нормально

распределѐнной случайной величины с нулевым математическим ожиданием

и значениями, превышающими ( x

). Ожидаемая величина E(y

| y

> 0)

действительно будет положительной.

Рис. 5.2. Примеры графика плотности усечѐнных нормальных

распределений

Почему было бы неправильно ограничивать рассмотрение наблюдений

только в положительной области значений, без отрицательных, и оценивать

линейную модель только на ограниченной выборке положительных значений,

без учѐта всех наблюдений выборки? Дело в том, что условное

математическое ожидание y

теперь будет зависеть не только от x

, но и от

и, поэтому имеет нелинейный характер.

Рассмотрим другую ситуацию, в которой некоторые наблюдения могут

полностью отсутствовать. Например, если значения зависимой переменной

без ограничений попадают в отрицательную область, или равны нулю: y

≤ 0,

тогда невозможно зафиксировать значения всех объясняющих переменных.

Например, при исследовании влияния стажа на уровень заработной платы

показатели невозможно зафиксировать, если человек не работает: y

= 0,

поэтому у него отсутствует заработная плата. В подобных ситуациях

изменяют правило наблюдения, и в результате получаем модели с

усечѐнными или урезанными выборками (truncated regression model).

Приведѐм формальную запись модели:

= x

, i = 1, 2, …, N, (5.41)

= y

если y

> 0

значения переменных (y

) не наблюдаются, если

≤ 0,

возмущения модели

независимо и одинаково распределены по

нормальному закону с параметрами

~ N(0,

)

и не зависят от x

Интерпретация коэффициентов тобит моделей. Возможны несколько

следующих вариантов интерпретации коэффициентов тобит моделей,

которые зависят от исходной формулировки задачи.

1. Пусть описание нулевых исходов представлено как вероятность того,

что зависимая переменная равна нулю:

Pr (y

= 0) = 1 - (x

/ ).

Найдѐм предельное изменение вероятности Pr(y

= 0) при изменении x

на

малую единицу, оно равно

Тогда величину / интерпретируют как предельный эффект изменений в x

в зависимости от вероятности наблюдения нулевых исходов. Эта

интерпретация совпадает с аналогичным подходом в пробит моделях.

2. Пусть Тобит модель описывает условное математическое ожидание

зависимой переменной y

при условии, что математическое

ожидание положительно (см. 5.40). Цензурированный предельный эффект

изменения зависимой переменной y

в зависимости от изменения

объясняющей переменной x

зависит от

. Он включает предельные

изменения во втором члене в выражении (5.40), соответствующие

условиям цензуры. Из (5.40) следует, что безусловное математическое

ожидание значение y

будет определено как

E(y

) = x

/ ) + (x

/ ) (5.43)

Поэтому предельный эффект изменения ожидаемого значения y

по x

запишем как

Второй вариант интерпретации коэффициентов тобит модели будет звучать

таким образом. Предельный эффект изменения ожидаемых исходов

зависимой переменной y

по одной из объясняющих переменных x

определяют путѐм умножения соответствующего коэффициента модели на

вероятность получения положительных исходов. Как видим, предельный

эффект для отдельного индивида i будет равен

, если вероятность i-го

исхода равна единице: = 1. Аналогичные результаты мы получаем

в линейной модели.

3. Третий вариант интерпретации:

мы получаем как предельный эффект от изменения латентной переменной

по x

5.8. Проблемы оценивания тобит моделей

Оценка тобит моделей проводится, как правило, с помощью метода

наибольшего правдоподобия. Вклад наблюдений в функцию правдоподобия

вносят три следующих компонента: (1) вероятность общего количества

наблюдений в точке y

= 0:

Pr(y

= 0),

(2) условная плотность y

f(y

> 0),

(3) вероятность положительных значений зависимой переменной y

, то есть

значение вероятности общего количества положительных наблюдений y

> 0.

Обозначим через I

и I

два подмножества индексов наблюдений, в

которых зависимая переменная принимает нулевые и положительные

значения соответственно: I

= {i: y

= 0} и I

= {i: y

> 0}. Запишем логарифм

функции наибольшего правдоподобия как:

Если зависимая переменная подчиняется нормальному закону, то выражение

(5.46) принимает следующий вид:

Оценки наибольшего правдоподобия могут быть получены путѐм

определения максимума функции по параметрам и

При условии, что модель имеет правильную спецификацию и при

выполнении достаточно мягких условий регулярности, метод наибольшего

правдоподобия даѐт нам состоятельные и асимптотически эффективные

оценки как для , так и для

В связи с обсуждением вопросов об оценке параметров вернѐмся ещѐ

раз к вопросу об интерпретации параметров модели. Как видно из (5.47),

параметры можно интерпретировать двояко:

во-первых, вектор параметров демонстрирует влияние изменений в

объясняющих переменных x

на вероятность ненулевых исходов;

во-вторых, влияние изменений в объясняющих переменных x

на

уровень этих изменений. Как видим, оба эффекта представлены одним и тем

же параметром, и, следовательно, будут иметь одинаковый знак.

Оценка моделей с усечѐнными данными. Основное отличие от

моделй с цензурированными данными с позиции оценки состоит в

следующем. В ситуациях с усечѐнными данными выборку нельзя более

рассматривать как случайную. Данное обстоятельство необходимо принимать

во внимание при построении статистических выводов относительно оценок

параметров модели.

Какие наблюдения будут вносить вклад в функцию наибольшего

правдоподобия в моделях с усечѐнными выборками? Наблюдение i напрямую

не участвует в оценке функции плотности распределения зависимой

переменной в наблюдаемой точке y

, тем не менее, в точке y

функция

плотности распределения будет обусловлена на ограничения в выборке, то

есть плотность будет условна по y

> 0. Поэтому функция наибольшего

правдоподобия для регрессионной модели с усечѐнными данными задаѐтся

следующим образом:

Учитывая, что мы имеем дело с нормальным распределением, то лог-

линейная функция правдоподобия будет иметь вид:

Как видно из функции правдоподобия, не имеют значения как

ненаблюдаемые характеристики индивидов при y

= 0, так и общее количество

пропущенных наблюдений. Решающую роль в оценке играет наше

предположение, что характеристики индивидов приводят к невозможности

провести наблюдения над переменными при y

≤ 0.

Отыскание наибольшего значения логарифмической функции

правдоподобия по и

позволяет определить состоятельные оценки

параметров.

Глава 6.

Панельные данные

На практике вс тречаются наблюдения, которые могут имеет до-

вольно простую структуру:

Одномерные данные (cross-section) — данные по отдельным

экономическим единицам в один и тот же момент (небольшой отре-

зок) временни. Например, отдельные люди, фирмы, страны, разные

регионы.

Временные ряды (time series) — множество наблюдений, упо-

рядоченных во времени.

Можно выделить два чистых случая одномерных данных:

155