Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3

Подождите немного. Документ загружается.

1.1. Невзаимозависимые системы

Или в матричной записи:







−1

+ · · · +ω

−1

+ · · · +ω

−1













−1

+ · · · +ω

−1

+ · · · +ω

−1







(1.6)

которая при сравнении с (1.5) оказывается результатом умножения

в (1.5) в сех M

′

и m

′

на ω

−1

′

и сложения столбцов в обеих

частях этого выражения.

Для доказательства этого ут верждения необходимо перегруп-

пировать уравнения системы так, чтобы

X =













Z =







0 · · ·







, ˜a =













, ˜ε =













т.е. если забыть об особой структуре матрицы

Z , формально име-

ется одна изучаемая переменная, для которой имеется N · k «на-

блюдений».

Глава 1. Системы регрессионных уравнений

Теперь система (1.4) записывается следующим образом:

X =

Z˜a + ˜ε,

и применение простого МНК приводит к получению обычных оце-

нок уравнений в отдельности:

= M

−1

Однако такой подход неприемлем, надо применять ОМНК, по-

скольку остатки коррелированы по «наблюдениям», ибо в соот-

ветствии со сделанными предположениями

E(˜ε˜ε

′

) = Ω ⊗ I

где ⊗ — операция прямого умножения матриц .

Система нормальных уравнений ОМНК в данном случае вы-

глядит так:

′

Ω

−1

⊗ I

Z˜a =

′

Ω

−1

⊗ I

X. (1.7)

1.1. Невзаимозависимые системы

Легко убедиться, что

′

Ω

−1

⊗ I







−1

′

−1

′

· · ·

−1

′

−1

′

· · ·







Умножение этой матричной конструкции справа на

Z и деление на

N дает блочную матрицу {ω

−1

′

} , которая является матрицей

системы (1.6), а умножение ее справа на

X и деление на N —

вектор



′

−1

′



, являющийся правой частью системы (1.6).

Так и м образом, (1.7) эквивалентна (1.6). Что и требовалось до-

казать.

Эта оценка совпадает с обычной МНК-оценкой a

= M

−1

если матрица Ω диагональна, т.е. ошибки изучаемых переменных

не коррелированы.

Глава 1. Системы регрессионных уравнений

1.2. Взаимозависимые или одновремен-

ные уравнения. Проблема идентифи-

кации

Далее в этом разделе уравнения регрессии записываются в фор -

ме со скрытым свободным членом.

X — N ×k -матрица наблюдений за изучаемыми переменными

Z — N × (n + 1) -матрица наблюдений за независимыми фак-

торами z;

B — k × k -матрица параметров регрессии при изучаемых пе-

ременных; B 6= I

, иначе система была бы невзаимозависимой;

|B| 6= 0 и β

= 1 — условия нормализации, т.е. предполага-

ется, что, в конечном счет е, в левой части l -го уравнения оста-

ется только l -я переменная, а остальные изучаемые переменные

переносятся в правую часть;

1.2. Взаимозависимые или одновременные уравнения

A — (n + 1) × k -матрица параметров регрессии (последняя

строка — свободные члены в уравнениях);

ε — N × k -матрица значений случайных ошибок по наблюде-

ниям;

XB = ZA + ε. (1.8)

Так ая запись одновременных уравнений называется структурной

формой. Умножением справа обеих частей этой системы уравне-

ний на B

−1

она приводится к форме, описанной в предыдущем

пункте. Это — приведенная форма системы:

X = ZAB

−1

+ εB

−1

D = AB

−1

— (n + 1) × k -матрица парамет ров регрессии приве-

денной формы. Как показано в пункт е 1.1, для их оценки можно

использовать МНК:

D = (Z

′

−1

′

Так и м образом, матрица D оценивается без проблем, и ее мож-

но считать известной. Однако задача заключается в оценке пара-

метров B и A системы в приведенной форме. Эти параметры, по

Глава 1. Системы регрессионных уравнений

определению, удовлетворяют следующим условиям:

DB − A = 0 (1.9)

или W H = 0 , где W — (n + 1) × (n + k + 1) -матрица







D I

n+1







H — (n + k + 1) × k -матрица







−A







Это — условия для оценки параметров структурной формы.

В общем случае эти услови я достаточно бе ссмысленны, т.к. они

одинаковы для параметров всех уравнений. Они описывают лишь

множество допустимых значений параметров (одинаковое для всех

уравнений), поскольку для n + k + 1 параметров каждого уравне-

ния структурной формы имеется только n + 1 одинаковых уравне-

ний. Необходимы дополнительные условия, специальные для каж-

дого уравнения.

Пусть для параметров l -го уравнения кроме требования

W H

= 0 ((Z

′

−1

′

− A

= 0) (1.10)

1.2. Взаимозависимые или одновременные уравнения

имеется дополнительно r

условий:

= 0, (1.11)

где R

— r

× (n + k + 1) -матрица дополнительных условий,

— (n+k + 1) -вектор-столбец







−A







параметров l -го урав-

нения — l -й столбец матрицы H .













= W

= 0 — общие условия для определения струк-

турных параметров l -го уравнения, где W

— (n + r

+ 1) × (n +

k + 1) -матрица.

Они позволяют определить искомые параметры с точностью до

постоянного множителя (при выполнении условий нормализации

= 1 параметры определяются однозначно), если и только если

ранг матрицы W

равен n + k . Для этого необходимо, чтобы

> k − 1. (1.12)

Глава 1. Системы регрессионных уравнений

Однако, это условие не является достаточным. Имеется необ-

ходимое и достаточное условие для определения парамет ров l - го

уравнения (более операциональное , чем требование равенства n+k

ранга матрицы W

rank(R

H) = k − 1. (1.13)

Доказательство данного утверждения опускается.

Теперь вводятся определения, связанные с возможностью на-

хождения параметров уравнения структурной формы: l -е уравне-

ние не идентифицировано, если r

< k − 1 ; оно точно иденти-

фицировано, если r

= k − 1 и ранг W

равен n + k ; сверхи-

дентифицировано, если r

> k − 1 . В первом случае параметры

не могут быть оценены, и, хотя формально, например, используя

МНК, оценки можно получить, они никакого смысла не имеют;

во втором случае параметры уравнения оцениваются однозначно;

в третьем — имеется несколько вариантов оценок.

Обычно строки матрицы R

являются ортами, т.е. дополни-

тельные ограничения исключают некоторые переменные из струк-

турной формы. Тогда, если k

и n

— количества, соответственно,

1.2. Взаимозависимые или одновременные уравнения

изучаемых переменных, включая l -ю, и независимых факторов в

l -м уравнении, то для его идентификации необходимо, чтобы

+ n

6 n + 1. (1.14)

По определению, r

= n −n

+ k − k

1.12

> k − 1 ⇒ n

+ k

6 n + 1 .

В таком случае условие (1.1 3) означает, что матрица, состав-

ленная из коэффициентов во в сех прочих уравнениях, кроме l -го,

при переменных, которые исключены из l -го уравнения, должна

быть не вырождена. При этом l -й столбец матрицы R

H из (1.13),

равн ый нулю, как это следует из (1.11), исключается из рассмот-

рения.

Для иллюстрации введенных понятий используется элементар-

ная модель равновесия спроса и предложения на рынке одного

товара в предположении, что уравнения спроса и предложения ли-

нейны (в логарифмах):

s = b

p + c

+ ε

— предложение,

d = −b

p + c

+ ε

— спрос,

Глава 1. Системы регрессионных уравнений

где p — цена, b

, b

— эластичности предложения и спроса по

цене, s , d и p — логарифмы предложения, спроса и цены.

Наблюдаемой переменной является фак тический объем продаж

x , и, предположив, что в действительности рынок находится в

равновесии: x = s = d , эту модель в ст руктурной форме (1.8)

можно записать следующим образом:

[ x p ]







1 1

−b







= [ c

] + [ ε

]. (1.15)

В такой записи условия нормализации не выполнены, т.к. в левой

части обоих уравнений находится одна и та же переменная x;

понятно, что принципиального значения эта особенность модели

не имеет.

Следует напомнить, что одной из главных гипотез применения

статистических методов вообще и МНК в частности является g1:

уравнения регрессии представляют истинные зависимости, и речь

идет лишь об оценке параметров этих истинных зависимостей. В

данном случае это означает, что на спрос и предложение влияет