Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3
Подождите немного. Документ загружается.
1.3. Оценка параметров отдельного уравнения
31
приведенной формы системы уравнений, через которые однозначно
выражаются структурные параметры данного уравнения.
В качестве примера можно использовать оценку параметров
второго уравнения модели (1.15, 1.16), которое точно идентифи-
цировано. Дейст вительно, параметры приведенной формы моде ли
однозначно определяют оценку −β
22
, как это следует из (1.19):
−b
KM
22
=
d
11
d
12
. (1.23)
Поскольку
d
11
=
P
ˆx
i
ˆz
i1
P
ˆz
2
i1
, d
12
=
P
ˆp
i
ˆz
i1
P
ˆz
2
i1
,
то соотношение (1.23) означает, что
−b
KM
22
=
P
ˆx
i
ˆz
i1
P
ˆp
i
ˆz
i1
,
т.е. что (ср. с (1.23)) используется метод инструментальных пере-
менных с z
1
в к ачестве инструментальной переменной.
Одним методов оценки параметров сверх идетифицированного
уравнения является двухшаговый метод (2М) наименьших квад-
ратов.
32
Глава 1. Системы регрессионных уравнений
На первом шаге с помощью МНК оцениваются параметры при-
веденной формы для переменных X
l
−
:
X
l
−
= ZD
l
−
+ V
l
,
где V
l
— N × (k
l
− 1) -матрица остатков по уравнениям; и опреде-
ляются расчетные значения эти х переменных уже без ошибок:
X
lc
−
= ZD
l
−
.
На втором шаге с помощью МНК оцениваются искомые пара-
метры структурной формы из уравнения:
X
l
= X
lc
−
b
l
+ Z
l
a
l
+ e
l
. (1.24)
Для э того уравнения гипотеза g2 выполняется, т.к. регрессоры не
имеют ошибок, и поэтому применим обычный МНК.
Можно определить единый оператор 2M- оценивания. Посколь-
ку
X
lc
−
= F X
l
−
,
1.3. Оценка параметров отдельного уравнения
33
где F = Z(Z
′
Z)
−1
Z
′
, уравнение (1.24) записывается как:
X
l
=
h
F X
l
−
Z
l
i
b
l
a
l
+ e
l
, (1.25)
а оператор, входящий в него, как:
b
l
a
l
=
X
l
′
−
F X
l
−
X
l
′
−
Z
l
Z
l
′
X
l
−
Z
l
′
Z
l
−1
X
l
′
−
F X
l
Z
l
′
X
l
. (1.26)
Оператор в такой форме получается как результат применения
МНК к уравнению (1.21 ), т.е. результат умножения обеих частей
этого уравнения слева на транспонированную матрицу регрессоров
и отбрасывания компоненты ос татков:
X
l
′
−
F
Z
l
′
X
l
=
X
l
′
−
F
Z
l
′
h
F X
l
−
Z
l
i
b
l
a
l
l
. (1.27)
Откуда следует оператор 2М-оценивания в указанной форме, т.к.
F — симметричная идемпотентная матрица и
F Z
l
= F ZT
A
l
= ZT
A
l
= Z
l
.
34
Глава 1. Системы регрессионных уравнений
Для точно идентифированного уравнения 2М-оценка совпадает
с КМ - оценкой
Попытка при менить оператор 2 М -оценивания для не идентифи-
цированного уравнения не имеет смысла, т.к. обращаемая матрица
в данном операторе вырождена.
Для сверхидентифицированного уравнения можно использовать
также метод наименьшего дисперсионного отношения (МН-
ДО). Строгое обоснование его применимости вытекает из метода
максимального правдоподобия.
Пусть b
l
в уравнении (1.20) оценено, и X
l
b
l
рассматривается
как единая эндогенная переменная. В результате применения МНК
определяются:
a
l
= (Z
l′
Z
l
)
−1
Z
l′
X
l
b
l
,
e
l
= (I
N
− F
l
)X
l
b
l
, , где F
l
= Z
l
Z
l′
Z
l
)
−1
Z
l′
,
(1.28)
Теперь находится остаточная сумма квадратов при условии, что
все экзогенные переменные входят в l -е уравнение. Она равна
b
l
′
W b
l
, где W = X
l
′
(I
N
− F )X
l
. Тогда b
l
должны были бы быть
1.3. Оценка параметров отдельного уравнения
35
оценены так, чтобы
λ =
b
l
′
W
l
b
l
b
l
′
W b
l
→ min!
Иначе было бы трудно понять, почему в этом уравнении присут -
ствуют не все экзогенные переменные.
Решение этой задачи приводит к следующим условиям:
(W
l
− λW )b
l
= 0. (1.29)
Действительно, из условия равенства нулю первой производной:
∂λ
∂b
l
=
2W
l
b
l
(b
l
′
W b
l
) − 2W b
l
(b
l
′
W
l
b
l
)
(b
l
′
W b
l
)
2
=
2
b
l
′
W b
l
(W
l
b
l
− λW b
l
) = 0,
сразу следует (1.29).
Следовательно, λ находится как минимальный корень харак-
теристического уравнения
W
l
− λW
= 0,
а b
l
определяет ся из 1.29 с точностью до постоянного множителя,
т.е. с точностью до нормировки b
ll
= 1 .
36
Глава 1. Системы регрессионных уравнений
В общем случае λ
min
> 1 , но при правильной спецификации
модели
λ
min
−→
N→∞
1 .
Оператор
b
l
a
l
=
X
l
′
−
X
l
−
− kV
l
′
V
l
X
l
′
−
Z
l
Z
l
′
X
l
−
Z
l
′
Z
l
−1
(X
l
′
−
− kV
l
′
)X
l
Z
l
′
X
l
позволяет получит ь так называемые оценки k-класса (не путать
с k — количеством эндогенных переменных в системе).
При k = 0 , они являются обычными МНК-оценками для l -го
уравнения, что легко проверяется; при k = 1 , это — 2М-оценки;
при k = λ
min
— МНДО-оценки (при н и мает ся без доказательства).
2М-оценки зани мают промежуточное положение между МНК- и
МНДО-оценками (т.к. λ
min
> 1 ). Исследования показывают, что
эффективные оценки получаются при k < 1 .
1.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений
37
1.4. Оценка параметров системы иден-
тифицированных уравнений
Из приведенной формы системы уравнений следует, что
x
′
ε = (B
−1
)
′
A
′
z
′
ε + (B
−1
)
′
ε
′
ε.
Как и прежде, в любом наблюдении E(ε) = 0, E(ε
′
ε) = σ
2
Ω, и
ошибки не коррелированы по наблюдениям. Тогда
E(x
′
ε) = (B
−1
)
′
E(ε
′
ε) = σ
2
(B
−1
)
′
Ω,
т.е. в общем случае все эндогенные переменные коррелированы
с ошибками во всех уравнениях. Это является основным препят-
ствием для применения обычного МНК ко всем уравнениям по
отдельности.
Но в случае, если в матрице B все элементы, расположен-
ные н и же главной диагонали, равны нулю, т.е. в правой части l-го
уравнения могут появляться только более младшие эндогенные пе-
ременные x
l
′
, l
′
< l , и последней компонентой любого вектора x
l
является x
l
, а матрица Ω диагональна, т о ε
l
не коррелирует с
38
Глава 1. Системы регрессионных уравнений
переменными x
l
−
при любом l . Это — рекурсивная система, и
для оценки ее параметров можно применять МНК к отдельным
уравнениям.
Для оценки параметров всех идентифицированных уравнений
системы можно применить трехшаговый метод (3М) наименьших
квадратов.
Первые два шага 3М совпадают с 2М, но представляются они
по сравнению с предыдущим пунктом в несколько иной форме.
Предполагается, что идентифицированы все k уравнений:
X
l
= X
l
−
β
l
+ Z
l
α
l
+ ε
l
= Q
l
γ
l
+ ε
l
, l = 1, . . . , k,
где Q
l
= [X
l
−
, Z
l
] , γ
l
= [β
l
α
l
]
′
. Учит ывая указанн ые выше свой-
ства остатков:
E(ε
l
ε
′
l
) = σ
2
ω
ll
I
N
, E(ε
l
′
ε
′
l
) = σ
2
ω
l
′
l
I
N
.
Теперь обе части l -го уравнения умножаются слева на Z
′
:
Z
′
X
l
= Z
′
Q
l
γ
l
+ Z
′
ε
l
, (1.30)
и Z
′
X
l
рассматривается как вектор n + 1 наблюдений за одной
эндогенной переменной, а Z
′
Q
l
— как матрица n + 1 наблюдений
1.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений
39
за n
l
+ k
l
экзогенными переменными, включая свободный член.
Так как все уравнения идентифицированы, и выполнено условие
(1.14), во всех этих новых регрессиях количество наблюдений не
меньше количества оцениваемых параметров. Для сверхидентифи-
цированных уравнений количество наблюдений в новой регрессии
будет превышать количество оцениваемых параметр ов. Это б олее
естественный случай. Поэтому 3М-метод обычно применяют для
всех сверхидентифицированных уравнений системы.
Матрица ковариации остатков по уравнению (1.30) равна σ
2
ω
ll
Z
′
Z .
Она отлична от σ
2
I
N
, и для получения оценок c
l
параметров γ
l
этого уравнения нужно использовать ОМНК:
c
l
= (Q
l
′
Z(Z
′
Z)
−1
Z
′
Q
l
)
−1
Q
l
′
Z(Z
′
Z)
−1
Z
′
X
l
, или
c
l
= (Q
l
′
F Q
l
)
−1
Q
l
′
F X
l
.
Сравнив полученное выражение с (1.26), легко убедится в том, что
c
l
— 2М-оценка.
Если 2М на этом заканчивается, то в 3М полученные оценки
c
l
используются для того, чтобы оценить e
l
, и затем получить
40
Глава 1. Системы регрессионных уравнений
оценки W матрицы σ
2
Ω:
w
ll
=
1
N
e
′
l
e
l
, w
l
′
l
=
1
N
e
′
l
′
e
l
.
Теперь все уравнения (1.30) записываются в единой системе
(подобная запись использовалась в п.1.1 при доказательстве одного
из утверждений):
Z
′
X
1
Z
′
X
2
.
.
.
Z
′
X
k
=
Z
′
Q
1
0 · · · 0
0 Z
′
Q
2
· · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · Z
′
Q
k
γ
1
γ
2
.
.
.
γ
k
+
Z
′
ε
1
Z
′
ε
2
.
.
.
Z
′
ε
k
, (1.31)
или
Y = Qγ + η,
где Y — соответствующий k · (n + 1 ) -вектор-столбец наблюдений
за изу чаемой переменной;
Q — k(n+1)×
k
P
l=1
(k
l
+n
l
) -матрица наблюдений за экзогенными
переменными;