Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3

Подождите немного. Документ загружается.

2.2. Авторегрессионная модель с распределенным лагом

Обозначив θ = α

∞

s=0

−s

, получим модель нелинейной регрессии

с четырьмя неизвестн ыми параметрами:

= µ + α

t−1

j=0

t−j

+ θ δ

+ ε

В такой модели ошибка и регрессоры некоррелированы, поэто-

му нелинейный МНК дает состоятельные оценки .

2.2. Авторегрессионная модель с распре-

деленным лагом

Авторегрессионная модель с распределенным лагом являет-

ся примером динамической регрессии, в которой, помимо объясня-

ющих переменных и их лагов, в качестве регрессоров используют-

ся лаги зависимой переменной.

Авторегрессионную модель с распр еделенным лагом, которая

включает одну независимую переменную, можно представить в сле-

дующем виде:

= µ +

j=1

t−j

j=0

t−j

+ ε

, (2.4)

Глава 2. Динамические регрессионные модели

где первая сумма представляе т собой авторегрессионную компо-

ненту — распределенный лаг изучаемой переменной, вторая сум-

ма — распределенный лаг независимого фактора. Обычно предпо-

лагается, что в этой модели ошибки ε

являются белым шумом

и не коррелированны с фактором z

, его лагами и с лагами изуча-

емой переменой x

. При этих предположениях МНК дает состоя-

тельные оценки параметров модели.

Сокращенно эту модель обозначаю т ADL(p, q) (от английского

autoregressive distributed lag), также часто используется аббреви-

атура ARDL, где p — порядок авторегрессии, q — порядок распре-

де ленного лага. Более компактно можно записать модель в опера-

торной форме:

ϕ (L) x

= µ + α (L) z

+ ε

где ϕ(L) = 1 −

j=1

и α(L) =

j=0

— лаговые многочлены.

2.3. Модели частичного приспособления,адаптивных ожиданийи исправления ошибок

2.3. Модели частичного приспособления,

адаптивных ожиданий

и исправления ошибок

Рассмотрим некоторые прикладные динамические модели, сво-

дящиеся к модели авторе грессионного распределенного лага.

Модель частичного приспособления

В экономике субъекты не сразу могут приспособиться к меня-

ющимся условиям — это происходит постепенно. Необходимо вре-

мя на изменение запасов, обучение, переход на новые технологии,

изменение условий долгосрочных конт рактов и т.д. Э ти процес-

сы можно моделировать с помощью модели частич ного приспо-

собления.

Для иллюстрации приведем следующий пример: инфляция за-

висит от денежной массы, меняя денежную массу, мы можем полу-

Глава 2. Динамические регрессионные модели

чить какой-то желаемый уровень инфляции. Но реальность несколь-

ко запаздывает.

Пусть x

— желаемый уровень величины x

, z

— независимый

фактор, определяющий x

. Тогда модель частичного приспособле-

ния задается следующими двумя уравнениями:

= β + αz

+ ξ

− x

t−1

= γ(x

− x

t−1

) + ε

(2.5)

Здесь γ ∈ [0; 1 ] — скорос ть приспособления. Если γ = 0, то

= x

t−1

, то есть x

не меняется, если же γ = 1, то приспособле-

ние происходит мгновенно, и в этом случае сразу x

= x

Предположим, что переменная x

ненаблюдаема. Исключим из

этих двух выражений ненаблюдаемую переменную:

= γβ + (1 − γ)x

t−1

+ γαz

+ ε

+ γξ

Ясно, что это модель ADL(1, 0), где γβ = µ, 1 − γ = ϕ

и γα =

. Оценив параметры µ, ϕ

и α

, мы можем с помощью обратного

преобразования вычислить оценки параметров исходной модели.

Модели частичного приспособления, адаптивных ожиданий. . .

Модель адаптивных ожиданий

Очень часто экономические решения, принимаемые людьми,

зависят от прогнозов того, что будет в будущем. При эт ом уро-

вень экономических величин, на которые воздейст вуют такие ре-

шения, зависит не от текущего значения показателя, а от ож ида-

емого значения (напри мер, е сли ожидается высокий уровень ин-

фляции, то следует скупать доллары, курс доллара в результате

вырастет). В теории рассматриваются 2 вида ожиданий — рацио-

нальные и адаптивные. В соответствии с одним из определений,

ож идания называют рациональными, если математическое ожида-

ние прогноза равно факти ческому значению, которое будет в бу -

дущем. Модели рациональных ожиданий часто оказываются до-

вольно сложными. Адаптивные ожидания — это ожидания, кото-

рые зависят только от предыдущих значений величины. По мере

того, как наблюдаются процессы движения реальной величины, мы

адаптируем наши ожидания к тому, что наблюдаем на самом деле.

Чтобы ввести в экономические модели ож идания экономиче-

ских субъектов, в простейшем случае использу ют моде ль адап-

Глава 2. Динамические регрессионные модели

тивных ожиданий. Адаптивные ожидан и я некоторой величины

формируются только на основе прошлых значений этой величины.

Например, пусть x

зависит от ожиданий (z

) величины z

, z

—

величина, от прогноза которой должен зависеть x

(например, ин-

фляция), z

— ожидание (прогноз) этой величины в момент вре-

мени t.

= β + αz

+ ε

В целом x

выгодно выбирать в зависимости от того, какой ве-

личина z

будет в будущем: z

t+1

, z

t+2

, . . ., однако в момент выбора

t известны только текущее и прошлые значения (. . ., z

t−1

, z

Ошибка в ожиданиях z

приводит к их кор ректировке. Модель

адаптации ожиданий к фактическому значению z

записывает ся

так:

− z

t−1

= θ(z

− z

t−1

где θ — скорость приспособления ож иданий. Если θ = 0, т о ожида-

ния никак не адаптируются к действительности и прогнозы не сбы-

ваются (скорость адаптации нулевая); если θ = 1, скорость адап-

Модели частичного приспособления, адаптивных ожиданий. . .

тации мгновенная, наши ожидания сбываются (полностью адапт и -

ровались): z

= z

. Обычно 0 < θ < 1.

Легко видеть, чт о модель адаптации ожиданий основывается на

формуле экспоненциальной средней:

= θz

+ (1 − θ)z

t−1

Для оценки параметров модели надо исключить ненаблюдаемые

ож идания z

. Используя лаговый оператор, получаем:

− (1 − θ)z

t−1

= (1 − (1 − θ)L)z

= θz

откуда

θz

1 − (1 − θ)L

= θ

∞

i=0

(1 − θ)

t−i

Так и м образом, ожидани я в рассматриваемой модели описываются

бесконечным геометрическим распределенным лагом с параметром

затухания δ = 1 − θ.

Если в уравнение для x

вместо z

подстави ть данный бес-

конечный ряд, то получится модель регрессии с геометрическим

распределенным лагом:

= β +

αθz

1 − (1 − θ)L

+ ε

. (2.6)

Глава 2. Динамические регрессионные модели

Модель геометрического лага с помощью преобразования Кой-

ка приводится к моде ли ADL. Умножим обе части уравнения 2.6

на 1 − (1 − θ)L и получим:

(1 − (1 − θ)L)x

= (1 − (1 − θ)L)β + αθz

+ (1 − (1 − θ )L)ε

После соответствующего пере обозначения параметров модель

адапти вных ож иданий приобретает новую форму — ADL(1, 0) с MA(1)-

ошибкой:

= θβ + (1 − θ)x

t−1

+ αθz

+ ε

− (1 − θ)ε

t−1

Оценивать модель адаптивных ожиданий можно теми же мето-

дами, что и модель Койка.

Модель исправления ошибок

В динамических регрессионных моделях важно различие меж-

ду долгосрочной и краткос рочной динамикой. Это различие можно

анализировать в рамках модели исправления ошибок. Рассмотрим

в долгосрочном аспекте модель ADL(1, 1):

= µ + ϕ

t−1

+ α

t−1

+ ε

Модели частичного приспособления, адаптивных ожиданий. . .

Предположим, что фактор z

и ошибка ε

являются стацио-

нарными процессами. Тогда при |ϕ

| < 1 изучаемая переменная x

также стационарна. Возьмем математические ожидания от обеих

частей уравнения модели:

¯x = µ + ϕ

¯x + α

¯z + α

¯z.

В этой формуле ¯x = E(x

), ¯z = E(z

) (стационарные уровни x

и z) и учитывается, что E(ε

) = 0. Получаем уравнение

¯x =

1 − ϕ

+ α

1 − ϕ

¯z = µ

′

+ λ¯z,

которое описывает долгосрочное стационарное состояние эко-

номического процесса. Коэффициент

λ =

+ α

1 − ϕ

(2.7)

отражает долгосрочное влияние z на x.

Модель ADL(1, 1) можно привести к виду, который описывает

краткосрочную динамику экономической системы. В этом виде мо-

де ль называется моделью исправления ошибок, сокращенно ECM

(error-correction model):

∆x

= µ − (1 − ϕ

t−1

+ α

∆z

+ (α

+ α

t−1

+ ε

Глава 2. Динамические регрессионные модели

или

∆x

= α

∆z

− θ (x

t−1

− (µ

′

+ λz

t−1

)) + ε

, (2.8)

где θ = 1 − ϕ

, ∆x

= x

− x

t−1

, ∆z

= z

− z

t−1

Предполагается, что если в предыду щий период переменная x

отклонилась от своего «долгосрочного значения» µ

′

+ λz, то эле-

мент x

t−1

− ( µ

′

+ λz

t−1

) корректирует динамику в нужном направ-

лении. Для того чт обы это происходило, необходимо выполнение

условия | ϕ

| < 1.

Иногда из теории, описывающей явление, следует, что λ = 1,

тогда ϕ

+α

= 1. Часто именно такую модель называют ECM.

Рекомендуемая литература

1. Доугерти К. Введение в экономе трику. — М.: Инфра-М, 1997.

(Гл. 10.)

2. Драймз Ф. Распределенные лаги. Проблемы выбора и оце-

нивания модели. — М.: Финансы и статистика, 1982.