Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3

Подождите немного. Документ загружается.

Рекомендуемая литература

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Экономет-

рика — начальный курс. — М.: Дело, 2004. (Гл. 12.)

4. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. —

М.: Статистика, 1976. (Гл. 15.)

5. Песаран М., Слейтер Л. Динамическая ре грессия: теория

и алгоритмы. — М: Фи нансы и статистика, 1984 . (Гл. 5, стр.

67–91.)

6. Badi H.B. Ec onometrics. — 2nd edition. — Springer, 1999. (Ch.

6.)

7. Enders W. Applied Econometric Time Series. — John Wiley &

Sons, 1992.

8. Greene W.H. Econometric Analysis. — Prentice-Hall, 2000. (гл.17)

9. Judge G.G., Griffiths W.E., Hill R.C., Lu tkepohl H., Lee

T. The Theory and Practice of Econometrics. — John Wiley &

Sons, 1985. (Ch. 9, 10.)

Глава 3.

Интегрированные процессы,

ложная регрессия

и коинтеграция

Коинтеграционый анализ временных рядов появился в эконо-

метрии в середине 1980-х годов и был воспринят экономет ристами

как наиболее важное из последних разработок в эмпирическом мо-

де лировании.

Свидетельством этого можно считать хотя бы то множест во

теоретических расширений и практических приложений, которое

нашла данная концепция в анализе, в основном, макро-экономических

данных.

Значительная часть ре зультатов классической эконометриче-

ской теории основывается на предположении о стационарности

процессов, в соответствии с которой мы имеем фиксированную

функцию распределения и не зависящие от времени математиче-

ское ожидание, дисперсию, ковариацию.

Непостоянство во времени среднего и дисперсии свидетельству-

ет о том, что полученные наблюдения (уровни временного ряда)

представляют различные распределения, а это, в свою очередь,

создает огромные проблемы для эмпирического моделирования и

приводит к серьезным статист и ческим ошибкам.

В каждый момент времени t мы располагаем всего одной ре-

ализацией x

случайной величины, у нас нет достаточной инфор-

мации, чтобы делать какие-либо статистические выводы о функ-

ции распределения и ее параметрах для каждого t . Следователь-

Интегрированные процессы. . .

но, чтобы иметь возможность анализировать временной ряд, мы

вынуждены принимать некоторые упрощающие предположения об

} .

Без предположения о стационарности мы не можем проанали-

зировать свойства процесса, оценить его характеристики, выявить

закономернос ти.

Но достаточно одного беглого взгляда на графики большин-

ства экономических временных рядов (дохода, потребления, уров-

ня цен, производства и т.п.), чтобы осознать нежизнеспособность

этого утверждения: экономика находится в постоянном движении,

флуктуирует, изменяется во времени.

Некоторые временные ряды имеют ус тойчивый рост в течение

продолжительного периода времени, для других характерно беспо-

рядочное блуждание (с отсутствием какой-либо ярко выраженной

тенденции).

Тенденция к р осту чаще всего наблюдается в рядах, отража-

ющих динамику таких агре гированных показателей, как выпуск

продукции, валовой национальный продукт и т.д., а случайное

блуждание свойственно по преи муществу финансовым показате-

лям (ставка процента, цены активов и т.д.).

То есть возникает парадоксальная ситуация: предположение о

стационарности процесса, порождающего данные, является одной

из отправных точек в исследовании люб ого временного ряда.

Но с другой стороны, нестационарность является характерной

и естественной особенностью экономической действительности.

Не стационарность временного ряда в сегда была проблемой в

эконометрическом анализе. Как было показано в ряде теоретиче-

ских работ (Phillips, 1968), в общем случае, статистические ха-

рактеристики регрессионного анализа, используемые для нестаци-

онарных временных рядов, сомнительны.

Если переменные, включаемые в модель в качестве регрессо-

ров, нес тационарны, то полученные оценки будут очень плохими.

Они не будут обладать свойством состоятельности, т.е. не будут

сходиться по вероятности к истинн ым значениям параметров по

мере увеличения выборки.

Интегрированные процессы. . .

Так ие показатели как R

, t-статист и ка,F -статистика, будут

указывать на наличие связи там, где ее на самом деле нет.

Такой э ффект называют ложной (бессмысленной, мнимой, фик-

тивной) регрессией — nonsense, spurious regressions.

Причина — в наличии детерминированного или стохастическо-

го тренда.

Еще в 1926 г. Юл анализировал опасность построения регрес-

сии двух несвязанных переменных, содержащих тренд.

Но первые сущес твенные результаты в этом направлении были

получены только в 70х–80х гг. в работах Грейнджера и Филлипса

(Granger, 1974, Phillips, 1986).

Особый интерес в этих работах вызывает то, что исследование

концентрируется не на тривиальном случае детерминированного

тренда, а на случае стохаст и ческого тренда, когда зависимость во

времени менее очевидна.

В качестве примера рассмотрим 2 независимых случайных блуж-

дания:

= x

t−1

+ ε

, ε

∼ N(0, σ

= y

t−1

+ η

, η

∼ N(0, σ

ошибки ε

и η

некоррелированы.

И рассмотрим 2 уравнения регрессии:

а) между ε

и η

: ε

= γ · η

+ δ

;

б) между y

и x

: y

= βx

+ ν

Проведя дос таточно много реализаций (например, 50000 ) опреде-

ленного размера и оценив соответствующее число раз регрессии,

можно получить экспериментальные распределения стандартных

статистик.

В работе Грейнджера и Ньюболда (1974 г.) методами имита-

ционного моделирования показано, что в случае (а) эмпирическое

распределение t-статистики для γ близко к теоретическому, а в

случае (б) эмпирическое распределение t-статист и ки для β силь-

но отличается от теоретического распределения Стьюдента. Хотя

Интегрированные процессы. . .

оно симметрично, но стандартное отк лонение гораздо больше, чем

у распределения Стьюдента. В итоге, если тестировать значимость

зависимости (б ) при помощи t-статистики, то очень вероятно, что

будет получен ложный вывод о наличии значимой связи. Д ля того,

чтобы процедура тестирования имела смысл, тербуется пересмотр

(очевидно, в б ольшую сторону) критических значений.

Грейнджер и Ньюболд предложили использовать критический

уровень t-теста, равный 11, 2 , а не привычную величину 5%-го

квантиля Стьюдента, равного при мерно 2 -м. Иными словами, для

того, чтобы отклони ть с вероятностью 5% нулевую гипотезу об

отсутствии связи в случае (б), вместо обычного 5%-го квантиля

Стьюдента, равного примерно 2 -м, нужно использовать критиче-

скую границу t-т еста, равную 11, 2 .

В итоге, если использовать привычные распределения Стью-

дента для проверки значимости регре ссий для рядов со стохасти-

ческими трендами, в

случаев можно придти к выводу о том,

что коэффициенты будут значимыми, и примерно в 75% случаев

будет отвергнута верная гипотеза об отсутствии связи.

Точно так же из экспериментов следует, что прямым следствием

нес тационарности является высокий коэффициент детерминации

и соответственно, высокое значение F -статистики, — и это при

полной независимости проце ссов случайного блуждания

Как показали Грейнджер и Ньюболд, главным симптомом лож-

ной ре грессии является малое значение статистики Дарбина-Уотсона.

В отличие от Грейнджера и Ньюболда, Филлипс методу Монте-

Карло предпочел аналитический подход. При помощи разработан-

ной асимптоти ческой теории он дал формальное объяснение экс-

периментальн ых ре зультатов, полученных этими авторами.

Основные выводы работы Филлипса следующие: t-статистика

не имеет предельного распр еделения и расходится при T ⇒ ∞ ,

то есть увеличивается смещение теста и невозможно подобрать

асимптотически корректные критические значения. Поэтому чем

больше выборка, тем больше шансов придти к ложному выводу.

Выход из парадоксальной ситуации — коинтеграционный под-

ход.

Интегрированные процессы. . .

С позиции коинтеграционного подхода особую важность приоб-

ретают так называемые интегрированные процессы. Это понятие

связано с именами Энгла и Грейнджера.

Не стационарный процесс, первые разности которого стационар-

ны, называют интегрированным первого порядка и обозначают

I(1). Стационарный процесс обозначают I(0).

Если k-тые разности случайного процесса стационарн ы, то его

называют интегрированным k-т ого порядка и об означают I(k).

Процессы случайного блуждания и случайного блуждания с

дрейфом интегрированы первого порядка.

Процесс x

i=1

, где z

= z

t−1

+ ε

, будет I(2).

Процесс локального линейного тренда I(2).

3.1. Критерии проверки стационарности

С осознанием опасности применения обычного МНК к неста-

ционарным процессам появилась необходимость в критериях, ко-