Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3

Подождите немного. Документ загружается.

3.1. Критерии проверки стационарности

торые бы позволяли отличить стационарный проце сс от нестацио-

нарного.

Не формальные методы проверки стационарности (визуальн ый

анализ графиков спектральной и автокорреляционной функций) не

способны провести дифференциацию процессов с единичным кор-

нем и стационарных процессов с корнем, близким к единице.

Самым извест н ым и популярным из формальных критериев яв-

ляется критерий, разработанный Дики и Фуллером ((DF)-тест).

Базовая модель, которую использовали Дики и Фуллер, — ав-

торегрессионный процесс первого порядка:

= ϕ

t−1

+ ε

. (3.1)

При ϕ

= 1 э то случайное блуждание. Случайное блужда-

ние — пример авторегрессионного процесса с единичным корнем.

Это название следует из того, что при ϕ

= 1 корень характери-

стического многочлена 1−ϕ

L , соответствующего процессу AR(1),

равен единице.

Интегрированные процессы. . .

Понятно, что вероятность описания экономической переменной

моделью (3.1) невысока. Более ре алистично предположить наличие

в этой модели константы и тренда (линейного или к вадратичного).

Поэтому Ди ки и Фуллер предложили следующие модификации

базовой конструкции.

= µ

+ ϕ

t−1

+ ε

; (3.2)

= µ

+ µ

t + ϕ

t−1

+ ε

; (3.3)

= µ

+ µ

t + µ

+ ϕ

t−1

+ ε

. (3.4)

Нулевая гипотеза в критерии Дики—Фуллера состоит в том, что

ряд нестационарен (I(1)) и и меет один единичный корень, то есть

= 1 , при этом µ

= 0 . А льтернативная — в том, что ряд с таци-

онарен, то есть |ϕ

| < 1 , или интегрирован порядка ноль — I(0).

: ϕ = 1, µ

= 0,

: |ϕ| < 1.

Здесь i = 0, если оценивается (3.2), i = 1, если оценивается (3.3),

и i = 2 , если оценивается (3.4). Итак, если |ϕ

| < 1 , то (3.1) — ста-

ционарный AR(1)-процесс с нулевым средним, (3. 2) — стационар-

3.1. Критерии проверки стационарности

ный AR(1)-процесс со средним

1 − ϕ

, (3.3) — с тационарный про-

цесс AR(1) относительно линейного т ренда, е сли µ

6= 0 , (3.4) —

стационарный процесс AR(1) относительно квадратичного т ренда,

если µ

, µ

6= 0 .

Если же ϕ

= 1 , то {x

} — интегрирован первого порядка, то

есть является случайным блужданием (без дрейфа или с дрейфом),

либо случайным блужданием относительно ненулевого временного

тренда (линейного или квадратичного).

Предполагается, что ошибки ε

некоррелированы. Это предпо-

ложение очень важно, без него критерий работать не будет.

Понятно, почему критерий Дики—Фуллера насит название «Unit

root test» — тест на единичный корень.

Для получения статистики, с помощью которой можно было

бы проверить гипотезу H

, Дики и Фуллер предложили оценить

соответствующую регрессионную модель и взять из нее обычную

t-статистику для гипотезы о том, что ϕ

= 1 . Эту статистику

называют статистикой Дики—Фуллера и обозначают DF. Как бы-

ло показано Дики и Фуллером, эта t-статистика не распределена

Интегрированные процессы. . .

по закону Стьюдента, следовательно, использование в тесте стан-

дартных критических значений не корректно и может привести к

слишком частому ошибочному отклонению H

Статистика Дики—Фуллера имеет асимметричное (скошенное)

распределение с длинным левым «хвостом».

Следует помнить о том, что критерий является односторон-

ним, поскольку альтернатива ϕ

> 1 , соответствующая взрывному

процессу, не рассматривается.

Поскольку статистика Дики—Фуллера имеет нестандартное рас-

пределение, для ее использования требуются специальные табли-

цы. Они были составлены эмпирически, методом Монте-Карло.

Не обходимо иметь в виду, что форма предельного распределе-

ния DF-теста меняется при добавлении константы или тренда в

модель. Это значит, что в каждом отде льном случае т ребуются

различные критические значения, — неверный выбор детерминиро-

ванного члена и, следовательно, требуемой таблицы, может сильно

исказить полученные из анализа выводы.

3.1. Критерии проверки стационарности

Для того, чтобы можно было пользоваться с тандартными ре-

грессиоонными пакетами, уравнения (3.1–3.4) простым преобразо-

ванием приводятся к более удобному эквивалентному варианту, в

котором зависимой переменной является первая разность ∆x

∆x

= δx

t−1

+ ε

, (3.5)

∆x

= δx

t−1

+ µ

+ ε

, (3.6)

∆x

= δx

t−1

+ µ

t + µ

+ ε

, (3.7)

где δ = ϕ

− 1 .

В этом случае нулевая гипотеза H

принимает вид: H

: δ = 0 ,

против альтернативной о стационарности проце сса: H

: δ < 0 .

В силу эмпирического характера таблиц они содержат элемент

неопределенности — дается не одно, а два критических значения —

верхнее и нижнее. Если расчетное значение t-статист и ки меньше,

чем нижнее допус тимое критическое значение, н улевая гипотеза о

единичном корне отвергается и делае тся вывод о стационарности

} . Цифры в таблице подразумеваются отрицательными. Если

же расчетное значение t-статисти ки больше верхнего допустимого

Интегрированные процессы. . .

значения критической величины, H

принимается. Между верх-

ним и ни жним пределами — зона неопределенност и .

Недостатком теста Дики—Фуллера являет ся слишком ограни-

чительное предположение о том, что переменная следует авторе-

грессионному процессу первого порядка и ошибки некоррелирова-

ны.

Критери й Дики—Фуллера был модифицирован для авторегрес-

сионных процессов боле е высокого порядка и получил название до-

полненного, или расширенного, теста Дики—Фуллера (Augmented

Dickey—Fuller test, ADF).

В модели в качестве дополнительных регрессоров вводится рас-

пределенный лаг зависимой переменной.

3.1. Критерии проверки стационарности

Базовые уравнения приобретают следующий вид:

∆x

= (ϕ

− 1)x

t−1

j=1

∆x

t−j

+ ε

, (3.8)

∆x

= µ

+ (ϕ

− 1)x

t−1

j=1

∆x

t−j

+ ε

, (3.9)

∆x

= µ

+ µ

t + (ϕ

− 1)x

t−1

j=1

∆x

t−j

+ ε

, (3.10)

∆x

= µ

+ µ

t + µ

+ (ϕ

− 1)x

t−1

j=1

∆x

t−j

+ ε

. (3.11)

Распределения этих критериев асимптотически совпадают с со-

ответствующими обычными распределениями Дики—Фуллера и ис-

пользуют те же таблицы.

Роль дополнительной автор егрессионной компоненты сводится

к тому, чтобы убрать автокорреляцию из остатков. Процедура про-

верки гипотез не отличается от описанной выше.

На примере AR(3) покажем, как получаются уравнения (3.8)–

(3.11).

= ϕ

t−1

+ ϕ

t−2

+ ϕ

t−3

+ ε

Интегрированные процессы. . .

Выведем эквивалентное выражение для этого уравнения. Для это-

го добавим и вычтем ϕ

t−2

= ϕ

t−1

+ (ϕ

+ ϕ

t−2

− ϕ

t−2

− x

t−3

) + ε

= ϕ

t−1

+ (ϕ

+ ϕ

t−2

− ϕ

∆x

t−2

+ ε

Теперь добавим и вычтем (ϕ

+ ϕ

t−1

= (ϕ

+ ϕ

t−1

− (ϕ

+ ϕ

)(x

t−1

− x

t−2

) − ϕ

∆x

t−2

+ ε

= (ϕ

+ ϕ

t−1

− (ϕ

+ ϕ

)∆x

t−1

− ϕ

∆x

t−2

+ ε

И в завершение преобразования вычтем из обеих частей уравнения

t−1

− x

t−1

= (ϕ

+ ϕ

− 1)x

t−1

− (ϕ

+ ϕ

)∆x

t−1

− ϕ

∆x

t−2

+ ε

В итоге получаем:

∆x

= δx

t−1

+ γ

∆x

t−1

+ γ

∆x

t−2

+ ε

где δ = ϕ

+ ϕ

− 1,

= −(ϕ

+ ϕ

= −ϕ

3.1. Критерии проверки стационарности

Покажем теперь, что нулевую гипотезу таким же образом, как и

ранее в тесте Дики—Фуллера, можно сформулировать в терминах

ограничений на коэффициент δ , а именно: если процесс содержит

единичный корень, то δ = 0 .

Из теоремы Виета мы знаем, что для характеристи ческого урав-

нения

1 − ϕ

z − ϕ

− ϕ

= 0

коэффициенты ϕ

можно выразить через корни уравнения λ

сле-

дующим образом:

= λ

+ λ

= −(λ

+ λ

Интегрированные процессы. . .

В случае, когда один из корней, например λ

, равен единице, эти

выражения принимают вид:

= λ

+ λ

= −(1 + λ

+ λ

Подставив первое и третье (после соответствующего преобразова-

ния) уравнения во второе, получим:

+ ϕ

= 1,

δ = ϕ

+ ϕ

− 1 = 0.

Иными словами, если процесс AR(3) содержит единичный корень,

сумма коэффициентов ϕ

равна единице, или δ = 0 в эквивалент-

ном уравнении.

Поэтому гипотеза о наличии единичного корня может быть те-

стирована в духе процедуры Дики—Фуллера, описанной выше: с

помощью t-статистики проверяется значимость фактора x

t−1

в ре-

грессии AR(3) и так же , как ранее, можно модифицировать модель,