Соловьев В.И. Математические методы управления рисками
Подождите немного. Документ загружается.
Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ
Институт информационных систем управления
Одобрено
Президиумом НМС ГУУ
В. И. С
ОЛОВЬЕВ
кандидат экономических наук, доцент
М
АТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ
Учебное пособие
для студентов всех специальностей
Москва — 2003
ББК 65.26я73
УДК 336.6 (075.8)
6Н1
С60
Соловьев В. И. Математические методы управления рис>
ками
: Учебное пособие / ГУУ. – М., 2003. – 100 с.
Пособие посвящено упрощенному изложению основных идей
финансовой и актуарной математики как количественной основы
управления финансовыми и страховыми рисками. Рассматривается
финансовая арифметика, теория оптимального портфеля, теория це>
нообразования основных и производных финансовых инструментов,
теория стоимости фирмы и структуры капитала, модель оценки ос>
новных активов, современные подходы к измерению риска (VaR и
RAROC) и др. Изложение теоретических результатов иллюстриру>
ется примерами практических задач, многие из которых решаются с
применением пакета Microsoft Excel. От читателя требуется владение
лишь базовыми понятиями теории вероятностей и математической
статистики.
Пособие предназначено для студентов экономических специаль>
ностей. Может быть полезно аспирантам, преподавателям, научным
сотрудникам, специалистам>практикам, интересующимся математи>
ческими методами управления рисками.
Библиогр. 48 назв. Табл. 3. Ил. 15.
Ответственный редактор
заведующий кафедрой прикладной математики,
доктор экономических наук, профессор
В. А. КОЛЕМАЕВ
Рецензенты
д>р физ.>мат. наук, профессор В. В. ШЕВЕЛЕВ (МИТХТ)
канд. экон. наук Б. Г. МИХАЛЕВ (ЗАО «Баркли Строй»)
В. И. Соловьев, 2003
ГОУВПО Государственный университет управления, 2003
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое пособие написано на основе лекций по финансовой ма>
тематике, которые автор читает в течение нескольких лет студентам эко>
номических специальностей Государственного университета управления
и ряда других московских вузов, а также практическим финансовым ме>
неджерам и бухгалтерам, повышающим свою квалификацию и полу>
чающим второе высшее образование.
При подготовке пособия автор ставил себе целью предложить наибо>
лее простое изложение основных идей современной финансовой и акту>
арной математики как количественной основы принятия финансовых
решений и управления финансовыми рисками.
В отличие от большинства существующих учебников и учебных по>
собий по финансовой математике финансовой арифметике здесь уделя>
ется достаточно мало внимания, взамен предлагается изложение ключе>
вых идей современной финансовой теории, базирующихся на математи>
ческих результатах: теории оптимального портфеля, теории ценообразо>
вания основных и производных финансовых инструментов, теории стои>
мости фирмы и структуры капитала, модели оценки основных активов,
современным подходам к измерению риска (таким как стоимость риска
VaR и доходность с учетом риска RAROC), психологии отношения к рис>
ку и др.
При этом автор старался сделать книгу максимально доступной чи>
тателю, владеющему, кроме школьного курса математики, лишь основа>
ми теории вероятностей и математической статистики (например, в объ>
еме пособия [17]).
Изложение теоретических результатов иллюстрируется большим
числом примеров практических задач, многие из которых решаются с
применением пакета Microsoft Excel.
Книги и статьи, повлиявшие на автора в процессе освоения финансо>
вой математики, приведены в списке литературы. Кроме этих книг автор
ориентировался при подготовке пособия на собственный опыт руково>
дства проектами по разработке информационных систем для ряда круп>
нейших российских и зарубежных банков и финансовых компаний.
Автор выражает благодарность М. В. Самоявчевой, выявившей мно>
гие опечатки и неточности в рукописи пособия. Конечно, всю ответствен>
ность за оставшиеся неточности несет только автор, который будет бла>
годарен читателям, сообщившим ему о замеченных ошибках и опечатках
на кафедру прикладной математики Государственного университета
управления.
4
ВВЕДЕНИЕ
Издавна в качестве средства оплаты товаров и услуг вы>
ступают д е н ь г и. Еще в середине третьего тысячелетия до н. э.
они появились у шумеров в виде кусочков и слитков серебра. В
VII в. до н. э. в Лидии были изобретены м о н е т ы, т. е. металли>
ческие предметы, на которых отчеканены масса и качество ме>
талла; в конце IX в. н. э. в Китае появились б у м а ж н ы е
д е н ь г и; на рубеже XVI ~ XVII вв. появились б е з н а л и ч >
н ы е д е н ь г и; в современной экономике значительную часть
денежной массы составляют э л е к т р о н н ы е д е н ь г и.
Деньги являются самым важным практическим примером
отношения эквивалентности, поскольку посредством
денег можно обменять любые товары. Это отношение эквива>
лентности заложило основы рынка еще в Нововавилонском цар>
стве более 2500 лет тому назад. Вместе с деньгами у шумеров
появилась и арифметика.
Каждое государство в качестве непременного атрибута вы>
пускает свои собственные деньги, деньги других государств на>
зывают валютой.
Переход товара от одного владельца к другому сопровож>
дается потоком платежей. Эти платежи могут
осуществляться в наличной форме, в безналичной или в
электронной. В последних двух случаях посредниками между
продавцами и покупателями выступают б а н к и.
Банки обслуживают сферу обращения: во>первых, накап>
ливая наличная выручка розничной торговли и сферы обслу>
живания, которая возвращается затем населению и предпри>
ятиям в виде заработной платы, пенсий и пособий, во>вторых,
обеспечивая обращение безналичных и электронных денег.
Банки существенно увеличивают возможности потребите>
лей, давая одним возможность откладывать свое потребление
на будущее путем с б е р ежений, а другим — брать в долг и
расширять свои бюджетные возможности путем получения
кредитов.
5
Банки обслуживают и производственную сферу, во>
первых, обслуживая расчетные счета предприятий и
осуществляя безналичные расчеты между ними, а во>вторых,
предоставляя предприятиям кредиты.
При нехватке собственных средств коммерческие банки бе>
рут в долг у других банков, прежде всего, у г о с у дарст>
в е н н ы х б а н к о в, образующих государственную резервную
систему. Кроме кредитования коммерческих банков, государст>
венные банки аккумулируют налоговые поступления от насе>
ления, предприятий и организаций, а также обслуживают
предприятия бюджетной сферы. При нехватке средств в госу>
дарственных банках государство может провести дополнитель>
ную д е н е ж ную эмиссию (при недостатке денег это нор>
мально, а при избытке — приводит к и н ф л я ц и и) или вы>
пустить облигации государственного займа (т. е.
взять в долг у населения).
Крупный бизнес, как правило, невозможно организовать и
развивать в одиночку, только на собственные средства, по>
скольку в любом бизнесе материальные затраты осуществля>
ются до того, как продукция будет произведена и продана, кро>
ме того, производственные мощности необходимо поддержи>
вать, модернизировать и расширять. В простейшем варианте
для развития бизнеса предприятие может получить банковский
кредит. Но есть другая форма развития бизнеса — за счет
инвестиций.
Инвестиции можно организовать путем выпуска ц е н н ы х
б у м а г. Например, несколько инвесторов могут сообща открыть
бизнес, сложив свои капиталы в определенных долях. Под>
тверждением долевого участия в бизнесе, в управлении им, в
распределении прибыли и т. п. служат а к ц и и — каждый ин>
вестор получает такую долю от общего числа выпущенных ак>
ций, какой капитал он внес; каждая акция дает инвестору право
на определенное число голосов при принятии ключевых реше>
ний об управлении бизнесом. Для широкого привлечения капи>
тала организуются о т к р ы т ы е а к ц и о н е р н ы е о б щ е с т в а.
Другим примером ценных бумаг являются о б л и г а ц и и:
покупатель облигации получает документальное свидетельство
задолженности эмитента облигации в четко определенном раз>
мере, но не права участия в управлении бизнесом.
Многих инвесторов покупка ценных бумаг привлекает не
только и не столько участием в управлении бизнесом и распре>
6
делении прибыли (в случае акций) или возможностью получения
фиксированного дохода от инвестиций (в случае облигаций), а
возможностью совершения инвестиционных операций — извле>
чения дохода от покупки и продажи по разным ценам.
Деньги, кредиты и ценные бумаги представляют собой три
типа финансовых инструментов, а финансовый рынок пред>
ставляет собой систему (организованную или неформальную)
торговли финансовыми инструментами на основе четких пра>
вил. Рынок — это не обязательно какое>то место типа фондовой
биржи, где встречаются покупатели и продавцы, в качестве
рынка могут выступать (и активно выступают) телекоммуника>
ционные и компьютерные сети. В нормально функционирую>
щей экономике финансовые рынки обслуживают производст>
венную систему, способствуя развитию производства и про>
движению товаров от производителей к потребителям.
Любые финансовые решения характеризуются тем, что до>
ходы и расходы разнесены во времени и, как правило, не могут
быть точно предсказаны теми, кто эти решения принимает. По>
этому при принятии финансовых решений необходимо учиты>
вать два важнейших фактора — время и риск.
При проведении любой финансовой операции обязательно
должно быть определено время ее совершения: ведь деньги,
полученные сегодня, уже можно непосредственно использовать,
тогда как ту же самую денежную сумму, полученную через оп>
ределенный срок, можно будет использовать только по истече>
нии этого срока, поэтому стоимость денег изменяется во време>
ни — денежные суммы, поступающие в будущем, являются ме>
нее ценными, чем аналогичные суммы, поступающие в более ран>
ние сроки.
Любая операция, протекающая во времени, сопряжена с
р и с к о м, который заключается в том, что вполне возможно не>
соответствие между теми результатами, которых мы ожидаем
от осуществления операции, и теми результатами, которые
произойдут на самом деле.
В 60>е гг. XX в. мировые финансовые рынки отличались вы>
сокой стабильностью, процентные ставки были очень устойчи>
выми, а обменные курсы валют — вообще фиксированными,
начиная с Бреттон>Вудской конференции 1944 г.
В 70>е гг. XX в. произошли события, в результате которых
ситуация на финансовых рынках кардинально изменилась:
7
всемирный нефтяной кризис, вызванный политикой ОПЕК (Ор>
ганизации стран — экспортеров нефти, Organization of the Pe>
troleum Exporting Countries) — законодателя цен на нефть, по>
влек за собой мировой валютно>финансовый кризис, и в 1973 г.
Бреттон>Вудскую систему фиксированных обменных курсов
сменили современные плавающие курсы. В 1971 г. Государст>
венное казначейство США окончательно отменило практику
покупки и продажи золота по фиксированной цене 35 долл. за
унцию золота, в результате чего доллар сильно обесценился —
нынешняя цена золота составляет 300 ∏ 400 долл. за унцию.
Кроме того, в это время существенно изменился профиль
деятельности ведущих компаний: если раньше наибольший до>
ход обеспечивали корпорации>гиганты, которыми были, в основ>
ном, крупнейшие производственные компании, где требовалось
громоздкое и дорогостоящее оборудование и было занято очень
много работников, то в современной экономике господствуют
фирмы, занимающиеся интеллектуальным бизнесом, прежде
всего оказанием информационно>технологических услуг. Такие
интеллектуальные компании нуждаются в гораздо меньшем
объеме основных фондов и в гораздо меньшем числе сотрудни>
ков, но и деятельность их очень рискована: если сегодня фирма
производит программный продукт, пользующийся успехом на
рынке (и ее акции высоко котируются на рынке), то нет никакой
гарантии, что завтра не появится нового, лучшего продукта, ко>
торый вытеснит с рынка существующий; если в кратчайшие
сроки не появится идеи создания новой программы, востребо>
ванной на рынке, то такая информационно>технологическая
компания обанкротится (и ее акции ничего не будут стоить).
В таких условиях торговля финансовыми инструментами
стала чрезвычайно рискованной.
Естественно, все это привело инвесторов к необходимости
управления рисками: определению источников рисков,
оценке рисков, уменьшению и переносу рисков. В особой степе>
ни это относится к рискам, обусловленным неопределенностью
будущих значений цен.
Очень важны в управлении рисками п р о и з в о д н ы е
ф и н а н с о в ы е и н с т р у м е н т ы, к которым в первую оче>
редь относятся фьючерсы и опционы. Фьючерс — это двусто>
ронний контракт, одна из сторон которого обязуется поставить
в определенный момент в будущем определенное количество
8
товара по фиксированной цене, а другая сторона контракта
обязуется купить данный товар в данный момент времени по
данной цене. Опцион — это двусторонний контракт, одна из
сторон которого обязуется продать (или купить) в определен>
ный момент в будущем определенное количество товара по
фиксированной цене, а другая сторона контракта п о л у ч а е т
п р а в о, но не обязанность, купить (соответственно продать)
данный товар в данный момент времени по данной цене (естест>
венно, вторая сторона в момент подписания договора платит
первой определенную денежную сумму). Производные финан>
совые инструменты дают возможность уберечься от будущих
изменений рыночных цен.
Управление рисками невозможно без количественных под>
счетов, обеспечивающих оценку эффективности и риска опера>
ций. Фундаментом управления рисками, как и финансовой тео>
рии в целом, является математика. Многие блестящие идеи в об>
ласти теории финансов, за которые Г. Марковиц, Р. Мертон,
Ф. Модильяни, М. Миллер, П. Самуэльсон, Дж. Тобин, У. Шарп и
М. Шоулз получили Нобелевские премии в области экономики,
основаны на математических выводах из четко сформулирован>
ных предположений. Эти идеи обсуждаются в данной книге.
О росте активности на финансовых рынках говорят следую>
щие данные. На Нью>йоркской фондовой бирже в 1987 г. в день
продавалось в среднем 190 000 000 акций, в 1995 г. эта цифра
возросла до 350 000 000, в 2003 г. —до 1 410 000 000 акций.
Еще динамичнее развивается торговля производными фи>
нансовыми инструментами. Хотя фьючерсы и опционы исполь>
зуются в качестве финансовых инструментов очень давно, ор>
ганизованная торговля началась лишь в 70>х гг. XX в., напри>
мер, организованная торговля опционами открылась впервые в
1973 г. на Чикагской опционной бирже. В день ее открытия
26 апреля 1973 г. было заключено 911 опционных контрактов,
через год в день продавалось более 20 000 контрактов, в 1987 г.
дневной оборот составил около 700 000 опционных контрактов (в
2003 г. продавалось в среднем 735 000 опционов в день).
При таких больших объемах заключаемых контрактов ди>
намика стоимостей ценных бумаг неминуемо становится сто
хастической, т. е. носящей с л у ч а й н ы й характер, связан>
ный с большим количеством участников рынка, различием их
интересов, различной реакцией на изменение цен, различной
9
интерпретацией получаемой информации и т. п. Необходимость
учета влияния случайных факторов на стоимости ценных бумаг
привела к появлению стохастических моделей фи>
нансовых рынков и финансовых инструментов.
Стохастическое моделирование рынка ценных бумаг осно>
вано на теории эффективного рынка, которая пред>
полагает, что рынок эффективно реагирует на обновление ин>
формации. На эффективном рынке мгновенно происходит кор>
рекция цен, которые становятся с п р а в е д л и в ы м и, не остав>
ляя участникам рынка арбитражных возможностей, а участни>
ки такого рынка однородны в своих установках и однородно ин>
терпретируют поступающую информацию, мгновенно коррек>
тируя свои решения при поступлении новой информации.
Конечно, возможности математики в управлении рисками и
финансами не безграничны: математика не может позволить
т о ч н о спрогнозировать будущие значения рыночных цен и
позволить выстроить гарантированную стратегию выигрыша;
может идти речь только о вероятностных прогнозах (которые,
по слухам, многие научные группы математиков успешно про>
дают, а биржевые игроки покупают и используют). Ситуация с
рисками точно такая же, как с погодой: мы не в состоянии вли>
ять на ход погодных явлений или хотя бы прогнозировать их на
значительное время вперед (последнее считается в современ>
ной науке принципиально невозможным). Но мы можем сшить
себе теплую одежду и построить дома, оснащенные устройст>
вами отопления и кондиционирования, благодаря чему значи>
тельно меньше зависеть от капризов погоды. Вот и в практиче>
ских приложениях вероятностной финансовой математики речь
идет о том, чтобы меньше зависеть от будущей динамики ры>
ночных цен.
10
ГЛАВА 1. ДЕНЬГИ И БАНКОВСКИЕ СЧЕТА
§ 1.1. СХЕМЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
Основным институтом, обслуживающим финансовые рын>
ки, являются банки. Одной из основных банковских операций
является обслуживание банковских счетов: в определенные
моменты времени банк обязуется добавлять к денежной сумме,
лежащей на банковском счете, некоторый п р оцент. Проценты
могут быть простыми или сложными и начисляться n раз в год
либо непрерывно.
Пусть в начальный момент времени на банковском счете
лежит сумма B
0
, и на эту сумму в конце каждого года начисля>
ется процент i (т. е. доля от п е р в о н а ч а л ь н о й суммы B
0
), то>
гда в конце первого года сумма на счете составит
B
1
= B
0
+ B
0
i = B
0
(1 + i),
в конце второго года —
B
2
= B
0
(1 + i) + B
0
i = B
0
(1 + 2i),
в конце t>го года (t — целое) —
B
k
= B
0
(1 + ti).
Такая схема называется схемой простых процентов.
Исторически такая схема была самой первой, но она допуска>
ет простую возможность для владельца банковского счета зарабо>
тать больше, чем предлагает банк: например, за два года можно
увеличить сумму не до B
0
(1 + 2i), а до
B
0
(1 + i)
2
= B
0
(1 + 2i + i
2
) > B
0
(1 + 2i), а за t лет (t — целое) не до
B
0
(1 + ti), а до B
0
(1 + i)
t
> B
0
(1 + ti), для этого нужно в конце каждого
года снимать со счета всю сумму, включая только что начислен>
ные проценты, и тут же открывать новый счет и класть на него
всю эту сумму!
Банки, конкурирующие между собой, естественно, предос>
тавили вкладчикам возможность проводить такую операцию
«переоткрытия счета» автоматически; такая схема называется
11